CC BY
70
____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 156, кн. 2 Физико-математические науки
2014
УДК 539.3+629.7.01
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОХОЖДЕНИЯ ЗВУКОВОЙ ВОЛНЫ СКВОЗЬ ДЕФОРМИРУЕМУЮ ПЛАСТИНУ, НАХОДЯЩУЮСЯ МЕЖДУ ДВУМЯ КАМЕРАМИ
В.Н. Паймушин, Р.К. Газизуллин, А.А. Шарапов
Аннотация
Дано численное решение плоской задачи о прохождении звуковой волны, формирующейся источником звука в камере высокого давления, сквозь деформируемую тонкую пластину и о формировании в камере низкого давления излученной пластиной звуковой волны. Данная задача связана с математическим моделированием экспериментального определения звукоизолирующих свойств тонкостенных элементов конструкций методом смежных реверберационных камер в акустических испытательных лабораториях. На основе использования волновых уравнений в двумерном приближении исследуются две постановки задачи, различающиеся способом задания источника звука в камере высокого уровня давления. Показано, что обе рассмотренные постановки приводят к практически одинаковым результатам при определении параметров звукоизоляции пластины. Результаты теоретических исследований сравниваются с данными экспериментальных исследований.
Ключевые слова: деформируемая пластина, модель Кирхгофа-Лява, внутреннее трение, модель Фойгта-Томпсона-Кельвина, звукоизоляция, волновое уравнение, численный метод, экспериментальные и теоретические исследования.
Введение
Экспериментальное определение звукоизоляционных свойств тонкостенных элементов конструкций в соответствии с ГОСТ 26602.3-99 и СНиП 23-03-2003 [1] проводят в специальных акустических испытательных лабораториях. Такие лаборатории реверберационного типа состоят из двух смежных по горизонтали помещений (камер высокого и низкого уровней давления), в проем между которыми монтируют испытываемый образец. В камере высокого давления источником звука формируется моногармоническая звуковая волна, которая, взаимодействуя с испытываемым образцом, вызывает в нем установившиеся незатухающие колебания, формирующие в камере низкого давления излученные образцом звуковые волны. Разностью давлений, установившихся в камерах, и характеризуются звукоизоляционные свойства испытываемого образца. Для теоретического определения этих свойств и математического моделирования испытаний в статье [2] были рассмотрены две постановки соответствующей задачи, отличающиеся способом формирования звуковой волны в камере высокого давления. В ней с целью качественного изучения рассматриваемых процессов решения сформулированных задач были получены лишь в первом приближении, соответствующем разложению неизвестных задачи в ряды Фурье и удержанию в них нулевых гармоник. В развитие результатов статьи [2] ниже предлагается численный метод решения
102
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗВУКОВОЙ ВОЛНЫ
103
Рис. 1
плоской задачи о прохождении звуковой волны сквозь деформируемую пластину, расположенную между двумя камерами. Результаты теоретических исследований сравниваются с результатами экспериментальных исследований.
1. Первый вариант постановки задачи и численный метод ее решения
Рассмотрим на плоскости x0z прямоугольную область U, ограниченную координатными линиями x = —B/2, x = B/2, z = —li, z = I2 и разделенную на две подобласти Ui (камера “1”), U2 (камера “2”) деформируемой преградой, имеющей кусочно-постоянную толщину t и расположенной в координатной плоскости z = 0
(рис. 1).
Пусть подобласти Ui и U2 заполнены акустическими средами, характеризующимися плотностями pi, р2 и скоростями звука ci, С2 . Считается, что в камере “1” в точках отрезка дUp координатной линии z = 0, соответствующей -a/2 < x < a/2, имеется генератор звуковых волн, поддерживающий стационарное звуковое давление po = p вшт с круговой частотой ш (i = /—1 - мнимая единица, т -время). Такая падающая на пластину звуковая волна в плоском приближении относительно потенциала скоростей Ф* описывается волновым уравнением (x, z -декартовы координаты)
д 2Ф* д2Ф* =1 д2Ф*
dx2 + dz2 c2 дт2 ’
B/2 < x < B/2, —li < z < 0,
(1.1)
Решение уравнения (1.1) при x = 0 должно удовлетворять условию симметрии
Ф*|ж =Ф*|_Ж Vx е [—B/2,B/2]
(1.2)
и граничным условиям: при x при z при z
B/2 :
дФ*
dx
—li и z = 0, когда x е Up :
дФ*
0, когда x е Up : —pi ——
дт
0
д Ф*
дz
Po-
0,
(1.3)
(1.4)
(1.5)
104
В.Н. ПАЙМУШИН И ДР.
Отметим, что через функцию Ф* по известным соотношениям
Р*
р*
дФ* дт ’
V *
v x
дФ* дх ’
V* У Z
дФ*
dz
(1.6)
определяются давление р* и компоненты вектора скорости падающей звуковой волны VX , V* во всех точках подобласти , причем принимаемое для уравнения (1.1) условие (1.4), соответствующее V*jz_0 = 0, может быть реализовано лишь при t ^ tc (рис. 1).
При воздействии на пластину падающей звуковой волны в первой камере формируются отраженные и излученные пластиной звуковые волны с потенциалом скоростей Ф1, а во второй камере - излученные пластиной звуковые волны с потенциалом скоростей Ф2.
Для определения установившихся в камерах полей звуковых давлений pk и скоростей движения акустических сред VXk, VZk имеют место аналогичные (1.6) зависимости
Pk
д Фk Pk дт ,
Vk
V X
д Фк
дх ’
Vk
V Z
дФк
дz ’
k
1,2,
(1.7)
в которых потенциалы скоростей Фk будем определять в плоском приближении решениями волновых уравнений
д Чк + 34k =1 д Чк
дх2 3z2 ck дт2 ’
подчиняя их при х = 0 условиям симметрии
х,z е Q,k,
k
1,2,
(1.8)
Фk|x =Фk|_x Vх е —B/2,B/2], k = 1, 2, (1.9)
граничным условиям
при х = B/2 : : дх =о, k =1,2, дх (1.10)
при z = —li : дФ =о 3z 0 (1.11)
при z = I2 : дФ2 —2 = 0 3z 0 (1.12)
и условиям равенства скоростей движения пластины и акустических сред при z = 0
3w д Ф1 дФ* 3w дФ2 (1
дТ = д дй' дТ = ~э7' ( . )
Здесь w - функция прогиба в направлении оси 0z точек срединной плоскости пластины. Для ее определения к составленным уравнениям присоединим уравнение движения пластины
D V2 V2 w + pn t
32w дт 2
- q
0, V2 V2
д4 д4 д4
_____L 2_________I____
дх4 дх2 ду2 ду4 ’
(1.14)
которое основано на использовании для описания динамического процесса деформирования пластины классической модели Кирхгофа-Лява. При учете вязкоупругих свойств материала пластины, имеющего модуль упругости E, коэффициент Пуассона v и логарифмический декремент колебаний S, для определения изгибной
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗВУКОВОЙ ВОЛНЫ
105
жесткости D, входящей в уравнение (1.14), в рамках модели Фойгта — Томпсона -Кельвина [3, 4] имеет место представление
D _ Et3 f ^3_ \
12(1 — v2) у + пи дт ) ’
а действующая на пластину аэрогидродинамическая поперечная нагрузка q, обусловленная ее взаимодействием с окружающими с двух сторон акустическими средами, определяется по формуле
q
P0 + P? — Р2,
(1.16)
где p0 _ p
Pi _ Pi I
p20 _ p2
Как видно из приведенных соотношений (1.1)—(1.16), решение сформулированной задачи по теоретическому определению параметра звукоизоляции пластины
0
0
z
z
Rpt
20 lg
P2
P* + Pi
(1.17)
требует последовательного построения решений двух задач:
1) задачи о генерации монограмонической звуковой волны, падающей на пластину, решение которой необходимо для нахождения входящей в условие (1.13) величины V* _ (ЗФ*/Зг) _ 0;
z
2) задачи о прохождении звуковой волны сквозь пластину, решением которой определяются давления Pi, P2, и по формуле (1.17) вычисляется параметр звукоизоляции пластины.
Заметим, что решение волнового уравнения (1.1) будет отличаться от решения уравнения (1.8), записываемого для камеры “1”, только в силу различия формулируемых условий при z _ 0. Поэтому ниже будем рассматривать только алгоритм численного решения задачи (1.8)—(1.16) относительно функций Фд и w .В рассматриваемом случае они представимы в виде
Фк _Фk(x,z) вшт, w _ w(x) вшт. Тогда в силу (1.18) приходим к уравнениям д2Ф к , д2Ф к
+
2—
+ КдФк _ 0, кд _—, к _ 1, 2,
Ck
dx2 dz2
для которых условия (1.2)—(1.4) и (1.9)—(1.12) примут вид:
(1.18)
(1.19)
при x _ 0 : Фк\х _Фк |_х У x е [—B/2,B/2\, к _ 1, 2,
(1.20)
и граничным условиям
Д/2 дФ к 0
при x _ В/2 : —— _ 0,
dx
1 д Ф i 0
при z _ —li : —— _ 0,
dz
1 дФ 2
при z _ I2 : _ 0.
dz
к _1, 2, (1.21)
(1.22)
(1.23)
106
В.Н. ПАЙМУШИН И ДР.
При z = 0 вместо условий (1.4), (1.5) приходим к условиям
~oZ~ = 0 x £ Qp,
Ф* = i 00, x £ Qp, рш
а условия (1.13) в силу w = w(x) вгшт принимают вид
. ~ 5Ф2
• ~ дФ 1
•шw = — — V~
dz '
(1.24)
(1.25)
(1.26)
В направлении оси 0х введем в рассмотрение конечно-разностную сетку x = = xs, s = 0,1,... ,N + 1, с равномерным шагом h так, что xi = 0, xn = B/2; сеточные функции и их производные
Фк = Фk (x = xs, z),
d Ф k = д Ф k
dz
dz
d2 Фk = д2Фsk dz2 dz2
X = Xs
а также конечно-разностные аппроксимации производных
дФ k
dx
Ф■s+1 _ Ф— k-
k
д2Ф k
2 h
dx2
ф sk+1 - 2 ф sk + ф k-1
s-1
k
h2
(1.27)
(1.28)
Тогда при использовании (1.27) и (1.28) условия (1.20), (1.21) приводят к равенствам
ф k = ф k,
Ф N+1
ф
N- 1
(1.29)
при учете которых уравнения (1.19) сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений метода прямых
+ А (фk - Ф k) + к2к ф k = 0
dz2 h2
<2ф s 1
^ (ФГ - 2Фk + Фk
s+1
+ Kfc Ф k = 0, s = 2, 3, ■ ■ ■, N — 1,
(1.30)
<2ф n 2
h2
k + 7- (фГ+1 — фк) + фN = 0.
dz2
Если ввести обозначения для постоянных интегрирования Фk \z=0 = Фkk°, s = = 1, 2,..., N, то для вычисления сеточных функций Фk (z) можно составить равенства
<Ф
Фk(z) = Фk’0 + / dp, s = 1, 2,... ,N.
(1.31)
Интегрируя уравнения (1.30) от z до z = l (l = —I1 при к = 1, l = I2 при к = 2) и удовлетворяя граничным условиям (1.22), (1.23), при использовании равенств (1.31) приходим к системе N интегро-алгебраических уравнений вида
l Z
<фk 2 Г [<фk 2(l — z) Ф2,0,
77 + h J J ~d^dpdC + Фk +
z 0
+ 1 Kk — h
)Ц'<§ d(d<+(l—z> (*2 — I)Ф k0 = 0-
i ш w
X = Xs
X = X
x=x
z
s
z
2
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗВУКОВОЙ ВОЛНЫ
107
~ l z ~
£+h!! ^ ««
z 0
l z __
2 \ Г fdФ| JtJZ , (l z) 2 \ ~s>o
dz
z0
+ [Kk ~ tf) I dZdZ + (l - z) К - h2 )ф +
1
+ h2
d^dedC $Sk + 1,0 =0, s = 2, 3,...,N - 1, (1.32)
z0
_ l z _
£+I//^ d«+
z0
2(1 - z) ФN-1,0 , hk к +
l z
+1 Kk - h
dф
dz
к d£d( + (i - z) Lk - 2\ фN,0 = 0,
z0
в которых неизвестными являются величины dФк/dz и Фк’0 , s = 1, 2,. .., N.
В направлении оси 0z для каждой из камер) выберем сетку А к, где А к : {1,... ,j,..., Мк }, введем векторы неизвестных ^с!фк/dz j = ^с!ф^ и интегрирующие матрицы Л] (см. [5, 6]), [J|] являющиеся матричными аналогами интегральных операторов
z l
IK---) = !'(■■■) d€, IK---)=/(•••) dt
(1.33)
z
2
В результате вместо уравнений (1.32) приходим к системам алгебраических уравнений относительно неизвестных
^Фк} и ф к 0
[й к] {dФк } + 2 [Вк] {dФ к} + {Ск} ФI’0 + 2 {Dк} Фк0 = {0}, [Вк] {d&k-1} + [йк]{Афк} + [Вк] {d^+1} + D}
Фк-1,0+
+ {Ск} Фк’0 + D} Фк+1,0 = {0}, s = 2, 3,.. .,N - 1,
(1.34)
2 [Вк] {dФN-1} + й]{dФN} + 2 D} ФN-1,0 + {Ск} ФN’0 = {0},
где
[йк] = [як - 2^ Л Л - \в\, [йк] е R (Мк, Мк),
[Вк] = 1 Jk\ Л\; [йк] е R (Мк, Мк), [Вк] е R (Мк, Мк),
{Ск} = [як - (1к{Е}-Е}), {Ск}, {E}, {Ек} е R (1,Мк),
{Dк} = 2 (Iк{Е}-{Ек}), {Dк} е R (1,Мк).
(1.35)
108
В.Н. ПАЙМУШИН И ДР.
Здесь {Е} и \Е\ - единичный вектор и единичная диагональная матрица; {Zk} -вектор с элементами {zj,, zk,..., zjf }T; lk = -li и lk = I2 для камер “1” и “2”
соответственно.
Уравнения, соответствующие задаче о генерации падающей на пластину звуковой волны, получаются из уравнений (1.34) при к = 1 и замене неизвестных на неизвестные |^Ф*| и Ф*’°. Для их замыкания к ним необходимо добавить граничные условия (1.24), (1.25), которые в комбинированной форме относительно неизвестных запишутся в виде
(1 - rs)S(0) ^ + rs( Ф *° - =0, s = 1, 2,...,N, (1.36)
dz \ piш J
где rs, s = 1, 2,..., N, принимают значения “0”, если в узлах конечно-разностной сетки, принадлежащих жесткому отражателю (стенке), выполняется кинематическое граничное условие (1.4), а в остальных узлах, в которых выполняются условия (1.5), имеет место rs = 1; S - дельта-функция Дирака, 5(0) = 1 при z = 0 и 5(0) = = 0 при z < 0.
В матричном виде уравнения (1.36) запишутся в виде
(1 - rs)i_E\ j ф :}+г8ф *о
гро
rs----,
Р1Ш
s
1, 2,... ,N.
(1.37)
Здесь и далее под |_Е\ подразумевается строка вида {1,0,0,..., 0}.
После завершения решения задачи о генерации моногармонической волны и нахождения узловых значений функций Ф°, V*0 необходимо построить решение задачи о звукоизоляции пластины. Для этого к системе уравнений (1.32) необходимо добавить уравнение движения пластины (1.14) и условия сопряжения (1.26).
Первое из них в приближении плоской задачи в силу представлений (1.16) и (1.18) примет вид
D
d4w
dx4
- pntu2w - (р° + pi - р°
D =
Et3
12(1 - v2)
1 + iS
(1.38)
0
0
2
Решение этого уравнения при x = 0 необходимо подчинить условиям симметрии
W\x = W\-x V x G [-B/2,B/2\, (L39)
а при x = B/2 - граничным условиям защемления
~ „ dw
wx = 0, —— = 0,
dx
(1.40)
если всю стенку между двумя камерами моделировать пластиной, имеющей кусочно-постоянную толщину.
Для получения алгебраического аналога уравнений (1.38) и условия (1.40) воспользуемся конечно-разностной аппроксимацией производных
dww
dx
d4W
dx4
ws+i - ws-1
2 h ,
_ Ws-2 - 4ws-1 + 6ws - 4Ws+i + ws+2
h4
x=x
x=x
(1.41)
Тогда условие симметрии (1.39) и граничные условия (1.40) приводят к равенствам
W2 = w°, W3 = гу-i, wn-1 = wn+1, wn = 0, (1.42)
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗВУКОВОЙ ВОЛНЫ
109
при учете которых уравнение (1.38) сводится к системе разностных уравнений вида
Di h4
(6wi - 8w2 +2w3) - pnt^Wi - p°’1 - р°Л + р20Д = 0,
jD42 (-4wi + 7w2 - 4w3 + W4) - pntJ1W2 - p*’2 - p°2 + p2’2 = 0,
D (Ws-2 - 4Ws-i + 6WS - 4Ws-i + Ws+2) - pntuj2Ws-p*’S - p1’s + p2’s = 0, (1.43)
D
N-1
h4
(wn-3 - 4wn-2 + 7wn-1) - Put-2 wn-1 -
- P0’N -1 - P?’N -1 + v20’n -1 = 0,
wN = 0.
Из условий равенства скоростей движения пластины и акустических сред (1.26) следуют соотношения
w = - ^ - '>) ■
_ i дФ2
w =------я- >
ш dz
(1.44)
а из соотношений (1.6), (1.7) - зависимости
—0’S • v 0’S —0’S • v 0’S —0’S • v 0’S /-1 /<г\
p* = -ipiu Ф*J , pi = -%рцш Ф1 , p?2 = -ip2U Ф2 . (1.45)
При их использовании уравнения (1.43) для s-го сечения преобразуются к виду
S2
с!Ф S-1
h4 ш \ dz
+ hD- (y:S-2 - 4Vz*’S-i + 6Vz*’S - 4Vz*’S+1 + Vz*’S+2) | _ - pntu2V*’S\ _ (1.46)
dz
dФ i . dФ 1+1 dФ i+2
dz
i----4 d^1 + 6 - 4 d^1 + d^1
pnt—
2
dz
dz dz
/ z=0
Р1—Ф1 + Р2 — Ф 2’ = Р1—ФS’0 +
z=0
Ds h4 и
Щ-2
dz
л dФ2-1
dz
+ 6
d^|
dz
„ dФ 2+1
- dz
pnt—
2 dV2
dz
+
йф2+2
dz
- Р1—ФS’0 + Р2—Ф2S’0 = Р1 — Ф*
z=0
0
z
0
где величины Ф*’0, V*’S считаем найденными из решения задачи о генерации мо-ногарнической волны в прямоугольной области ^1.
Для 1-го, 2-го и (N - 1) -го сечений уравнения (1.43) запишутся по аналогии, а для N-го сечения должны выполняться равенства
dz
z=0
V * ’N
V z
z=0
йф N
dz
z=0
0.
(1.47)
110
В.Н. ПАЙМУШИН И ДР.
В матричном виде уравнения (1.46), (1.47) запишутся в виде
D s , I Г,~ s_ 11 („ D s
Ds_
h4u
[E\{‘Фl--2} - 4 ^ [E\{‘Ф^ - Pnt^j [E\{‘Ф?} - 4 D E ^l+1} + D [E\ {d&S+2 } - Р1^Фl’° + Р2^Ф.
s,°
2
Р1^Фs° + De (yz*’s-2 - 4v;’s-1 + 6v*’s - 4v;’s+1 + vz*’s+2
D
- pntuj2,v*’s\z=°, (L-48) 2
z=°
^ LE\ {Щ-2} -4 ^E\ {+ (6Й - ?^) E\ {dV0 -- 4 ht E {'ЯА1} + D E {d* 2+2} - + №v2° = Р1ШФ S°,
[E\ {d*f } = vz*’N\z=o, [E\ {d*f} =0.
2. Второй вариант постановки задачи и численный метод ее решения
В соответствии со вторым вариантом постановки задачи будем считать, что за счет гармонических колебаний стены z = -/1 по закону U = U в1ШТ (рис. 1, U -амплитуда перемещения) в подобластях ^1 и ^2 сформированы звуковые волны, которые относительно потенциалов скоростей Ф1, Ф2 в плоском приближении описываются волновыми уравнениями (1.8). Для них в рассматриваемом случае граничные условия необходимо выбрать следующим образом:
при x = 0: *k\x =*k\-x Vx e [-B/2, B/2], к = 1, 2,
= B/2 0" A) H I! ^
при x к =1, 2,
= -h : дФ1 . v
при z —— = iuU, dz
= /2 : дФ 2 n
при z —2 = 0 dz ,
= 0 : дФ 1 дФ2 . „
при z —— = iuw, dz —— = iuw. dz
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
Решением сформулированной задачи определяются функции давлений pk = = pk(x,z), и по формуле Rpt = -20 lg P2/P1I, аналогичной формуле (1.17), вычисляется теоретическое значение параметра звукоизоляции пластины. Алгоритм численного решения волнового уравнения, записанного для камеры “2”, остается неизменным, а для камеры “1” в связи с изменением граничных условий приходим к уравнениям
d*1 2
dz + h2
d^dC
2(11 + z) h2
Ф1 °
+
+
2
1
2
h2
‘ф1
dz
z
d£ dZ - (/1 + z)
2
1
2
h2
Ф1’ °
-EU,
z°
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗВУКОВОЙ ВОЛНЫ
111
— — li z
dS + J- jj Щ— w - №±z) pr*+
z 0
dz
h2
-li z
2 2 \ f f d<p 1 ... ,, , )( 2 2 \ жs,0
+ И - Y2 d! ^ - ('■ +z> И - *!"+
z0
l
+ h2
-li z
d$>s+1
dz
1 d£d( - Ф1+1’0 = -iuU, s = 2, 3,...,N - l, (2.6)
h2
z0
_ — li z __ _
dФ N +2 ( ( dФN —1
dz h2
dz W- h
2(l1 + z) ФN — 1,
ФN—^0 +
z0
— li z __
2 \ Г Г dФ N
+ I K1 - h2 ) / I -dZr % dZ - (l1 + z) ( k2 - h2 ) ФN'0 = -iuU,
dz
h2
которые в матричной форме примут вид
A1] { dФ1} +2 [B1 ] { dФ1} + {С1} Ф1-0 + 2 {D1}
ФI’0 = -iu{E }U,
[B1] {dФl-1} + [A1] {dФ 1} + [B1] {dФ 1+1} + {D1}
Ф 1—1’0+
+ {C1} Ф1’0 + {D1} Ф а+1,0 = -iu{E}U, s = 2, 3,...,N - l, 2 [B1 ] {dФN—^ + [A1] {dФN} +2 {D1} ФN—1,0 + {^1} ФN’0 = -*^{E}U,
(2.7)
Здесь матрицы [A1], [B1], {C1}, {D1} по-прежнему определяются по формулам (1.35).
Уравнения движения пластины (1.14) в рассматриваемом случае примет вид
D dw - Pntu2 w - (р° - р°)
z=0
0,
(2.8)
которое после конечно-разностных аппроксимаций производных, учета условий симметрии и граничных условий (1.42) сводится к системе разностных уравнений вида
^4 (6W1 - 8W2 + 2W3) - pntJ2 W1 - p0,1 + p20,1 = 0,
TX (-4г«1 + 7w2 - 4w3 + W4) - pn tu2 W2 - р>°’2 + P°’2 = 0, h4
~h4[ (Ws — 2 - 4Ws —1 + 6ws - 4u>s+1 + Ws+2) - Pn tJ2 Ws - p°’s + p20’s = 0,
(2.9)
DN — 1,~.~ ч 1 2 — ~0’N — 1 . ~0,N —1 n
h4 (wn—3 - 4wn—2 + 7wn—1) - Pntu WN —1 - Pi + p2’ =0,
wN = 0.
Из условий равенства скоростей движения пластины и акустических сред (2.5) следуют соотношения
i дФ1
i дФ2
w =------я- > w =-------я ,
J dz J oz
(2.10)
112
В.Н. ПАЙМУШИН И ДР.
а из условий (1.2) - соотношения
-~'0,s • ф 0,s ~0,s ■ ж 0,s /о ii\
Pi = -гр1Ш ф1 , p = — iP2. Ф2 • (2.11)
Подчинив для s-го сечения уравнения (2.9) условиям (2.10), (2.11), получим
h4.
dФ'
s-2
dz
-4-
dФ
s-i
h4 <
dz
+ 6
dФ i
dz
4
dФ
1+1 dФl+2
1 + 1
dz
dz
2 dФ 1
- pntu —— dz
- Р1.Фj5’0 + Р2.Ф2
D s I d$:
s-2
dz
4
d$:
s-1
dz
+6
d&2
dz
4
СФ
s + 1 2
dz
+
z=0
0
d<ж 2+2
dz
_ t 2 dH
pnt. ,
dz
z=0
— р1.ф^’ + р2.ф2’ = 0- (2.12)
Для 1-го, 2-го и (N — 1)-го сечений уравнения (2.9) запишутся по аналогии, а для N-го сечения должны выполняться равенства
СФ N
dz
0,
сф N
z=0
dz
0.
(2.13)
z=0
В матричной форме уравнения (2.12), (2.13) запишутся в виде
1
1
0
0
z
2
2
z=0
к LEJ 1-
'}-4 DLE J
{с®!-1} + (6D — PntvA LEJ {d$1}
— 4 lej
<»1+1} + к. LEJ
h4 .
СФ 1+2
j — р^Ф^’0 + р2.Ф 2s’0 = 0,
h4
Sr.lej{d^} — 4DleJ{сф2-1} + (6D — pnt.P lej{сф2}
— 4 D EJ{сф2+1} + D. EJ{сф2+2} — Р1.ФГ’0 + Р2.Ф2s’0 = 0, (2.14)
Lej{ сф N} =0,
LEJ{ сф N} =0.
Численная процедура формирования соответствующих матриц и поиска решения алгебраического аналога матричных уравнений реализована на векторном языке системы научных расчетов MATLAB. Его использование позволяет решать задачи указанного класса в несколько раз быстрее, чем при написании программ с использованием скалярных языков программирования.
Формирование матриц фактически сводится к выполнению единообразных элементарных операций над матрицами, аппроксимирующими интегральные операторы типа Вольтерра (так называемыми интегрирующими матрицами). В алгоритмическом плане на этом этапе естественным образом выделяются параллельные ветви вычислительного процесса. Использование языка программирования системы MATLAB допускает использование функций, написанных на языке С+—Н,
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗВУКОВОЙ ВОЛНЫ
113
которые позволяют управлять (запускать, обрабатывать и т. д.) вычислительными процессами на разных процессорах, тем самым значительно увеличивая эффективность вычислений.
Следует также отметить, что важной вычислительной особенностью системы MATLAB является возможность выполнять вычисления с комплексными числами, что существенно упрощает процесс создания программ.
3. Анализ результатов экспериментальных и численных исследований
С целью количественного и качественного анализа построенных теоретических решений рассматриваемой задачи были проведены экспериментальные исследования по определению параметра звукоизоляции плоской пластины, выполненной из стали 20 и имеющей толщину t = 3 мм, длину a = 480 мм, ширину b = 560 мм. Испытания проведены в акустической лаборатории, удовлетворяющей требованиям ГОСТ 27296-87. Она включает в себя две смежные камеры высокого и низкого уровней (КВУ и КНУ), в проем между которыми устанавливается испытываемый образец (рис. 2), а также измерительно-управляющий комплекс с передающей и приемной системами. Камеры имеют следующие значения площадей S и объемов V: S =13 м2, V = 35 м3 (высокого уровня) и S =11 м2, V = 31 м3 (низкого уровня). В них в соответствии с ГОСТ 27296-87 обеспечена минимальная возможность косвенной передачи звука и проникновения посторонних звуков.
Исследование распределения звуковых давлений заключается в последовательном их измерении в камерах испытательной лаборатории и сравнении их средних уровней в определенных полосах частот с последующим вычислением показателей звукоизоляции образцов. Измерения проводились в третьоктавных полосах частот f (Гц): 50, 63, 80, 100, 125, 160, 200, 250, 315, 400, 500, 630, 800, 1000, 1250, 1600, 2000, 2500, 3150. Параметр звукоизоляции Rp воздушного шума ограждающими конструкциями в соответствии с указанным стандартом рассчитывается по формуле
Rp = Li — L2 + ARp, ARp = 10 lg(S/A2), (3.1)
где Li, L2 - средние уровни звукового давления (дБ) в помещениях высокого и низкого уровней, соответственно; S - площадь (м2) поверхности испытываемого образца; A2 - эквивалентная площадь (м2) звукопоглощения помещения низкого уровня.
114
В.Н. ПАЙМУШИН И ДР.
Входящие в (3.1) средние уровни звукового давления Lk находятся по формуле
Lk
10 lg
1
n
]Г io01Lj
j=i
к =1, 2,
(3.2)
где Lj - уровень звукового давления в j-й точке; n - число точек измерения.
Эквивалентная площадь звукопоглощения помещения низкого уровня A2 определяется по формуле
A2
0.16 V2
T2
(3.3)
где T2 - время реверберации (с), измеряемое в соответствии с ГОСТ 26417-85; V2 -объем (м3 ) КНУ; 0.16 - эмпирический коэффициент (с/м).
Как видно из формул (3.1), (3.3), экспериментально определяемый параметр Rp зависит не только от измеряемых уровней звуковых давлений в камерах, но и от времени реверберации в камере низкого уровня. При численном же решении задачи вместо Rp по формуле
Rp = L1 — L2 (3.4)
определяется параметр звукоизоляции Rpt, зависящий только от уровней звуковых давления Lk в соответствующих камерах
Lk = 10 lg (Pk2/Po2) . (3.5)
Здесь pk - эффективное значение реального звукового давления в к-й камере; ро -пороговое значение звукового давления в воздухе (р0 = 2 • 10~5 Па).
После подстановки (3.5) в (3.4) приходим к формуле
Rpt = -20 lg (Р2/Р1). (3.6)
Из формул (3.1) и (3.6) следует, что для объективного сравнения результатов теоретических и экспериментальных исследований, помимо параметра звукоизоляции, требуется фиксировать время реверберации в КНУ, необходимое для вычисления ARp.
В табл. 1 приведены значения параметров, найденные в результате серии испытаний образца при разных температурных режимах и соответствующие измерению звукового давления микрофонами, расположенными равномерно в пределах объемов камер (рис. 2), а также вычисленного на их основании параметра звукоизоляции
Rp2 = Rp — dRp, (3.7)
аналогичного по физическому смыслу параметру Rpt.
На основе изложенных выше численных методик проведены теоретические расчеты для стальной пластины, имеющей параметры E = 200 гПа, v = 0.3, pn = = 7800 кг/м3, a = 0.56 м, t = 0.003 м и окруженной с двух сторон воздухом, характеризующимся параметрами ci = С2 = 331 м/с, pi = р2 = 1.293 кг/м3.
На рис. 3 приведены результаты найденных численных решений сформулированных задач (штриховой линией обозначен график Rpt , соответствующий первой постановке, пунктирной линией - второй постановке) и дано их сравнение
(2)
с результатами физического эксперимента Rp (сплошная линия) и Rp (штрих-пунктирная линия).
Как видно из графиков (рис. 3), оба варианта постановок задач практически эквивалентны, приводят к физически приемлемым результатам, а влияние параметра
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗВУКОВОЙ ВОЛНЫ
115
Табл. 1
f, Гц T2, с A.2, м2 dRp, дБ Rp, дБ RP2), дБ
50 1.2 4.13 -10.7 43.1 53.8
63 1.23 4.03 -10.6 38.9 49.5
80 0.96 5.19 -11.7 37.6 49.3
100 0.59 8.46 -14 33 47
125 0.72 6.85 -13.1 20.1 33.2
160 0.9 5.51 -12.1 17.2 29.3
200 0.61 8.16 -13.8 8.9 22.7
250 0.95 5.2 -11.9 18.1 30
315 0.98 5.09 -11.8 20.1 31.9
400 0.65 7.69 -13.6 19.4 33
500 0.52 9.47 -14.5 24.2 38.7
630 0.54 9.11 -14.3 25.9 40.2
800 0.12 40.46 -20.8 22.2 43
1000 0.09 52.72 -21.9 23.4 45.3
1250 0.13 38.9 -20.6 27 47.6
1600 0.05 103.13 -24.8 25.7 50.5
2000 0.04 128.69 -25.8 26.1 51.9
2500 0.04 127.78 -25.8 28 53.8
3150 0.02 209.2 -27.9 24.7 52.6
f, кГц
dRp, абсолютно не учитываемого в рамках используемых математических моделей, на определяемый параметр Rp2 является весьма существенным (особенно на частотах f > 200 Гц). Сравнивая результаты теоретических и экспериментальных исследований, можно видеть, что практически приемлемую точность рассматриваемые постановки задач обеспечивают при частотах f > 100 Гц.
Были проведены также экспериментальные исследования по установлению в камере низкого уровня закона распределения звукового давления в точках горизонтальной плоскости, проходящей через центр испытываемой пластины. Для этого при проведении эксперимента микрофоны поочередно располагались в 25 точках КНУ при неизменном расположении микрофонов в КВУ вблизи испытываемого
образца (рис. 2). В результате была получена экспериментальная зависимость
(2)
Rp ( x,z). Определялись также теоретические значения параметра Rpt(x,z) =
116
В.Н. ПАЙМУШИН И ДР.
0.4 -1.5
Рис. 4
= —201g (p2/Р\Р), где - среднее значение давления в КВУ. Характер данных кривых для первой и второй постановок практически идентичен, имеются лишь незначительные отличия при частотах f > 1000 Гц.
На рис. 4, 6 представлены экспериментальные зависимости Rp2 (x,z), найденные для частот f = 160 и 315 Гц соответственно. На рис. 5, 7 приводятся аналогичные данные, полученные при численном решении задачи в рамках ее первой постановки.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗВУКОВОЙ ВОЛНЫ
117
Результаты, приведенные на рис. 4-7, указывают на весьма сложный закон распределения звукового давления в объеме КНУ.
Заключение
Полученные результаты, дополняющие результаты проведенных ранее исследований [2, 7, 8], показывают, что рассмотренные выше две постановки задачи (в плоском приближении) по теоретическому определению параметра звукоизоляции пластины, находящейся между двумя камерами, приводят к практически одинаковым результатам на всем диапазоне изменения частоты падающей на пластину звуковой волны. Такие теоретические результаты достаточно близки
118
В.Н. ПАЙМУШИН И ДР.
к экспериментальным результатам при частотах f > 100 Гц. Следует заметить, что при проведении физических экспериментов по определению параметра звукоизоляции тонкостенных элементов конструкций в виде пластин и оболочек должен наблюдаться значительный разброс измеряемых шумомерами уровней звукового давления при различных способах размещения шумомеров в пределах объемов камер акустической лаборатории. Внутреннее демпфирование материала пластины практически не влияет на ее звукоизоляционные свойства.
Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект № 14-19-00667), а также при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 13-08-90435).
Summary
V.N. Paimushin, R.K. Gazizullin, A.A. Sharapov. Mathematical Modeling and Experimental Investigation of Sound Wave Propagation through a Deformable Plate Placed between Two Chambers.
This paper gives a numerical solution of the plane problem of propagation of a sound wave formed by a sound source in a high-pressure chamber through a deformable thin plate, and of formation of a wave emitted by the plate in a low-pressure chamber. The problem under study is related to the mathematical modeling of experimental determination of sound-insulating properties of thin-walled structures by the method of adjacent reverberation chambers in acoustic laboratories. Two statements of the problem, which differ in the way of specification of a sound source in the high-pressure chamber, are investigated based on the use of wave equations in a two-dimensional approximation. It is proved that both of the two considered statements lead to almost equal results in determination of the sound transmission loss of the plate. Theoretical results are compared with experimental research data.
Keywords: deformable plate, Kirchhoff-Love model, internal friction, Voigt-Thompson-Kelvin model, acoustic insulation, wave equation, numerical method, experimental and theoretical investigations.
Литература
1. СП 51.13330.2011. Защита от шума. Актуализированная ред. СНиП 23-03-2003. - М., 2011. - 46 с.
2. Паймушин В.Н., Газизуллин Р.К. Исследование звукоизоляционных свойств абсолютно жесткой пластины, помещенной на деформируемых опорных элементах между двумя преградами // y4em зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2013. - Т. 155, кн. 3. - С. 126-141.
3. Пановко Я.Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем. - М.: Физматгиз, 1960. - 193 с.
4. Хильчевский В.В., Дубенец В.Г. Рассеяние энергии при колебаниях тонкостенных элементов конструкций. - Киев: Вища шк., 1977. - 252 с.
5. Вахитов М.Б. Интегрирующие матрицы - аппарат численного решения дифференциальных уравнений строительной механики // Изв. вузов. Авиац. техника. - 1966. -№ 3. - С. 50-61.
6. Даутов Р.З., Паймушин В.Н. О методе интегрирующих матриц решения краевых задач для обыкновенных уравнений четвертого порядка // Изв. вузов. Матем. -1996. - № 10. - С. 13-25.
7. Паймушин В.Н. О задачах излучения звуковой волны при динамическом процессе деформирования пластин с учетом внешнего и внутреннего демпфирования // Матем. методи та фiз.-мех. поля. - 2013. - Т. 56, № 2. - С. 72-85.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗВУКОВОЙ ВОЛНЫ
119
8. Игумнов Л.А., Локтева Н.А., Паймушин В.Н., Тарлаковский Д.В. Звукоизоляционные свойства одномерной трехслойной пластины // Матем. методи та ф1з.-мех. поля. - 2013. - Т. 56, № 2. - С. 86-93.
Поступила в редакцию
17.04.14
Паймушин Виталий Николаевич - доктор физико-математических наук, профессор кафедры прочности конструкций, Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева; главный научный сотрудник, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, Россия.
E-mail: dsm@dsm.kstu-kai.ru, vpajmushin@mail.ru
Газизуллин Руслан Камилевич - аспирант кафедры прочности конструкций, Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева, г. Казань, Россия.
E-mail: gazizullin.rk@yandex.ru
^Шарапов Адель Альбертович - аспирант кафедры прочности конструкций, Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева, г. Казань, Россия.
E-mail: dsm@dsm.kstu-kai.ru
