CC BY
199
УДК 531/534: [57+61]
Российский Журнал
www.biomech.ru
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И БИОМЕХАНИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ОПИСАНИЮ РАЗВИТИЯ, ДИАГНОСТИКИ И ЛЕЧЕНИЯ ОНКОЛОГИЧЕСКИХ ЗАБОЛЕВАНИЙ
А. Г. Кучумов
Кафедра теоретической механики Пермского государственного технического университета, Россия, 614990, Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: kychymov@inbox.ru
Аннотация. Развитие раковых опухолей связано с различными химическими, генетическими, физиологическими и механическими факторами, которые происходят как на субклеточном и клеточном уровнях, так и на уровнях тканей и органов. В последние десятилетия наблюдается прогресс в выявлении и объяснении процессов, возникающих при развитии раковых заболеваний, а также разработке методов и средств для ранней диагностики и лечения болезни. Значительный вклад в решение данной проблемы, с одной стороны, привнесло развитие биотехнологий и медицины, с другой стороны, такие направления науки, как математическое моделирование и биомеханические исследования, позволяют смоделировать поведение клеток и органов до болезни, при её развитии и лечении, обходясь без сложнейших наблюдений in vivo. В данной работе приведен обзор явлений, которые возникают при зарождении и развитии болезни, описана роль математики и биомеханики в описании и объяснении данных процессов, а также лечении онкологических опухолей. Следует обратить особое внимание на внедрение новых мультимасштабных моделей, которые описывают состояние болезни как на микроуровне, так и на мезо- и макроуровнях.
Ключевые слова: рак, клеточная механика, механотрансдукция, ангиогенез, мультимасштабный подход.
ВВЕДЕНИЕ
В России рак ежегодно уносит жизни более 300 тысяч пациентов. Ежегодно выявляется около 450 тысяч новых онкологических больных. Сейчас на учете с различными онкологическими заболеваниями стоят около 2,5 миллионов россиян.
С 1997 по 2007 год прирост числа заболевших составил 13%. Больше всего - на 123% - увеличился прирост заболевших раком предстательной железы, на 56% - раком щитовидной железы. Зато почти на 18% снизилась заболеваемость раком желудка, на 12,6% - пищевода и на 12,9% - легкого [101]. На рис. 1 показана статистика смертности мужчин и женщин от рака в 2006 году.
Пятилетняя выживаемость онкологических больных в России составляет менее 40%. Этот показатель является самым низким в Европе. Причинами являются слабая диагностика (т.е. выявление изменений в организме человека на самых ранних стадиях болезни, определение причины возникновения рака), недостаточное изучение проблемы метастазирования, дорогое лечение устаревшими лекарствами (небольшое количество исследований в изучении вопроса, как лекарства влияют на степень болезни in vivo), а также небольшое количество аппаратов для лучевой терапии. В западных странах показатель постоперационной смертности снизился на треть вследствие прорыва в разработке инновационных лекарственных средств [102].
© Кучумов А.Г., 2010
Кучумов Алексей Геннадьевич, к.ф.-м.н., доцент кафедры теоретической механики, Пермь
09806267
■ Рак легких и бронхов (27 %)
■ Рак легких и бронхов (33 %)
■ Рак желудка (16 %)
■ Рак поджелудочной железы (5 %)
■ Рак толстой и прямой кишки (10 %)
■ Рак толстой и прямой кишки (11 %)
■ Рак печени (13 %)
■ Рак груди (18 %)
■ Рак пищевода (9 %)
■ Рак яичников (6 %)
■ Рак простаты (8 %)
■ Рак матки (4 %)
■ Рак других органов (11 %)
а
Рис. 1. Смертность (%) мужчин (а) и женщин (б) от рака в 2006 году в мире [101, 102]
С точки зрения биомеханики, медицины и современных технологий на клеточном и молекулярном уровнях можно рассматривать развитие болезней, которые выражаются не только в изменении функциональных характеристик тканей, но и в изменении физиологических и механических свойств клеток, влияющих на проявление патологии на макроуровне. Например, клетки опухолей более жесткие, чем обычные клетки [95]. Таким образом, биомеханическое исследование и моделирование клеток необходимо для качественных и количественных оценок развития и прогнозирования болезни. Биомеханический подход к моделированию поведения клеток не только привёл бы к выявлению и объяснению механизмов развития патологий, так как физические свойства «больных» клеток отличаются от здоровых, но и позволил бы получить необходимые знания в лечении и борьбе с этими болезнями.
В последние десятилетия значительные технологические успехи в науках о человеке повлекли за собой рост информации и данных о раке как о многоуровневом феномене. К настоящему времени клиницистами и онкологами накоплен огромный материал наблюдений за течением раковых заболеваний и на основе анализа получены фундаментальные результаты, касающиеся механизмов взаимодействия клеток и внешнеклеточного матрикса и тканей на различном уровне детализации: от
макроскопического до внутриклеточного. Основываясь на множестве экспериментальных данных и используя различные подходы от диффузионных до многоуровневых моделей, математики и механики пытаются понять и смоделировать сложные механизмы, которые имеют нелокальный характер. Математическое моделирование ищет возможности описать полный цикл возникновения и развития болезни, принимая во внимание различные факторы, стимулирующие данную патологию, а также учесть успешность выбранного вида лечения для подавления болезни с целью привести качественные представления в количественную плоскость.
Таким образом, для оценки эффективности лечения необходимо установить механизмы, которые способствуют росту и развитию раковых опухолей, их взаимодействие с организмом, методы борьбы с болезнью. Для развития данных направлений необходимо провести ряд дорогостоящих и долгосрочных экспериментов, однако теперь это условие не всегда должно выполняться. Развитие и успешное применение математических моделей, которые описывают различные аспекты раковых заболеваний (рост опухоли, васкуляризацию и ангиогенез, транспорт питательных веществ к опухоли), позволит объяснить влияние химических, биологических, биомеханических и др. факторов на болезнь и выработать эффективные алгоритмы борьбы с ней.
Более того, клиницисты и экспериментаторы уверены в роли математического моделирования в развитии диагностики для предсказания, так как не все современные методики позволяют учитывать широкий спектр факторов, которые являются маркерами заболевания.
Серьезным шагом в развитии математического моделирования онкологических заболеваний должна стать разработка многоуровневых моделей, учитывающих изменения на субклеточном (наноуровень), клеточном (микроуровень), тканевом
уровнях (мезоуровень) и влияния вышеперечисленных аспектов на организм в целом (макроуровень), так как рак - болезнь многоуровневого характера.
Статья состоит из следующих разделов. В разделе 1 содержатся некоторые аспекты клеточной механики. Рассмотрена роль цитоскелета в обеспечении динамики и прочности клетки. Рассмотрены основные процессы, связанные с нормальным и патологическим функционированием клетки. Указана роль механотрансдукции. В разделе 2 приведены признаки развития раковых заболеваний (развитие и рост опухоли, васкуляризация, ангиогенез, метастазирование). В разделе 3 представлен обзор одноуровневых математических моделей, описывающих некоторые аспекты развития болезни. Раздел 4 посвящён обзору работ по применению многоуровневого подхода в биомеханике. В разделе 5 приведены многоуровневые модели, касающиеся многоуровневого описания процесса развития болезни и моделей для оценки эффективности методов борьбы с ней.
Некоторые аспекты клеточной механики
Структура клетки и цитоскелета
Клетка состоит из ядра (в котором заключены молекулы ДНК), белковых нитей (актиновых микрофиламентов, промежуточных филаментов и микротрубочек), а также клеточных органелл (комплекс Гольджи, эндоплазматический ретикулюм (сеть), митохондрии), химически взаимодействующих друг с другом посредством цитоплазмы [105]. На рис. 2 и 3 показаны схематичное строение эукариотической клетки и флуоресцентное изображение компонентов цитоскелета [95].
Белковые молекулярные соединения (актиновые микрофиламенты, промежуточные филаменты и микротрубочки) образуют цитоскелет, который играет важную роль в механическом поведении клетки [41]. Цитоскелет определяет форму и размеры клеток, а также влияет на деформационные характеристики и динамику клетки. Эти соединения собираются (полимеризуются) из соответствующих белковых молекул (микрофиламенты из актина, промежуточные филаменты - из различных белков (в том числе виминтина и фибрина) и микротрубочки - из тубулина) и вновь разбираются (деполимеризуются) на отдельные молекулы [74]. Благодаря процессам полимеризации-деполимеризации цитоскелет непрерывно перестраивается, в том числе и в ответ на переменное механическое воздействие, оказываемое на клетку [77]. Любые изменения в молекулярной структуре и концентрации компонентов цитоскелета оказывают влияние на механический отклик клетки в целом. Рассмотрим подробнее компоненты цитоскелета.
Актиновые микрофиламенты
Актиновые микрофиламенты (диаметр 6-8 нм) играют ключевую роль в сократительном аппарате мышечных и немышечных клеток, а также принимают участие во многих других клеточных процессах, таких как подвижность, поддержание формы клеток, локомоции клетки. Актин - один из главных компонентов протеинов в клетке (1-10% веса всех клеточных протеинов во внешнемышечных клетках и до 20% в мышечных клетках). Актин присутствует как в глобулярной форме (С-актин), так и в палочковидной форме (Р-актин) [54] (рис. 4). В подвижности клетки актиновые микрофиламенты играют важную роль, так как большие волокна способны самостоятельно выстраиваться в направлении движения клетки. Актиновые волокна образовываются, когда клетке необходима дополнительная прочность в ответ на возросшее сдвиговое напряжение, поэтому обладают большой прочностью при изгибе.
Промежуточные филаменты
Промежуточные филаменты - нитевидные структуры из особых белков (кератинов, виментинов, дезминов и т.д.), являющиеся одними из трех основных
компонентов цитоскелета [48]. Термин «промежуточные филаменты» означает, что диаметр этих структур (10 нм) находится между диаметром актиновых микрофиламентов (6 нм) и микротрубочек (25 нм) (см. рис. 4). Промежуточные филаменты играют, прежде всего, структурную роль и в ряде случаев обеспечивают механическую прочность клеток. Показано, что промежуточные филаменты влияют на адгезионные контакты «клетка - клетка» и «клетка - внешнеклеточный матрикс» [64].
Микротрубочки
Микротрубочки (см. рис. 4) представляют собой полые цилиндры диаметром 25 нм. Длина их может быть от нескольких микрометров до, вероятно, нескольких миллиметров в аксонах нервных клеток. Микротрубочки участвуют во многих клеточных процессах, включая митоз, цитокинез и везикулярный транспорт. Микротрубочки определяют форму клетки, а также играют важную роль при миграции клеток. Механическое взаимодействие с цитоскелетом, окружающим микротрубочки, значительно уменьшает степень изгиба микротрубочек, подтверждая тот факт, что они могут выдерживать большую сжимающую нагрузку вследствие их латерального расположения от ядра [104].
Эндоплазматический ретикулюм
— Цитоплазма
-Промежуточные филаменты Ядро
Микротрубочки
Ядро
Актиновые микрофиламенты
Рис. 3. Флуоресцентное изображение клеток, полученное Andrew E. Pelling (Лондонский центр нанотехнологий) [94]
Актиновый микрофиламент
Микротрубочка
Деполимеризация ____________ Отрицательно
заряженный 14 нм ^
Є-актин
конец
/’’-актин
7-9 нм
Л"
^25 нм
Полимеризация
Положительно
заряженный
конец
Р~тубулин а—тубулин
Промежуточный филамент
Полипептид N -О—
Начало
Двойная спираль ^
а |хххххх^|
Протофиламент —ч»^
Димер
Тетраліер
С
с|: |8>ооооос|:
I
| 10 нм
Филамент
I
Рис. 4. Структура трех основных компонентов цитоскелета
Рис. 5. Кривые зависимости «напряжение-деформация» для составляющих компонентов
цитоскелета (актина, виментина, тубулина и фибрина); концентрация каждого образца
-1
2 мг-мл
Механические характеристики цитоскелетных структур
Характеристика Элемент цитоскелета
Актиновые микрофиламенты Промежуточные филаменты Микротрубочки
Диаметр, нм 6-8 10 Внутренний - 14, внешний - 25
Модуль Юнга, ГПа 1,3-2,5 1-5 1,9
Жёсткость на изгиб, Н- м2 7-10-26 4-12-10-27 2,6-10-23
Механическое поведение компонентов цитоскелета
На рис. 5 показано сравнение механических свойств компонентов цитоскелета, полученных в работе [95]. Из рисунка видно, что среди компонентов цитоскелета F-актин показывает наибольшее сопротивление деформации при некотором критическом значении, что согласуется с информацией о влиянии актиновых микрофиламентов на локомоцию клетки, так при высоких сдвиговых напряжениях эти структуры могут «течь», обеспечивая локомоцию клетки. Промежуточные филаменты, в свою очередь, обеспечивают сопротивление большой сдвиговой деформации для того, чтобы обеспечить структурную целостность клетки. Они также способны выдерживать механические напряжения при таком уровне деформации, когда актиновые волокна теряют свою структурную целостность.
У микротрубочек нет значительной жесткости при напряжении сдвига для значительного влияния на механические свойства цитоскелета, однако они действуют вместе с другими биополимерами для устойчивости цитоскелета. В некоторых случаях внутриклеточные микротрубочки считаются резистивными к чрезмерному сжатию при физиологических процессах вследствие латерального расположения в цитоскелете.
Механические характеристики элементов цитоскелета приведены в таблице.
Влияние рака на компоненты цитоскелета
В работе [52] проведены исследования по регуляции актиновых микрофиламентов и микротрубочек при метастазах. Для изучения влияния компонентов цитоскелета на механику раковых клеток, взятых из кишечника, в клетку вводились специальные вещества для нарушения целостности актиновых микрофиламентов и микротрубочек. Разрыв актиновых микрофиламентов повышает адгезию клетки in vitro. При частичных разрывах актиновых микрофиламентов и целостности сети микротрубочек наблюдаются явления динамической адгезии in vivo. Нарушение целостности микротрубочек ингибирует эффекты статической адгезии.
Раковые опухоли
Рак на микроуровне
Образование опухоли начинается с «ошибок» в процессах репликации ДНК, которая имеет неустойчивую структуру [5], под влиянием внешних факторов или спонтанных реакций, которое осуществляется на субклеточном уровне и приводит к неконтролируемому делению клеток [51]. Под внешними факторами (генетическими агентами), которые предопределяют мутацию клеток, обычно понимают факторы окружающей среды (ультрафиолетовый свет, радиация, различные химические
вещества (например, бензопирен, содержащийся в сигаретном дыме) и т.д.) и патогены (например, вирус папилломы) [69]. Повреждения в ДНК, которые включают в себя мутации как отдельных генов, так их скопления на уровне хромосом, копируются при митозе в дочерние клетки [30].
Раковые клетки вырабатывают специальные вещества, которые подавляют специальный ген p53 (он отвечает за апоптоз - программируемую клеточную «смерть» [70] после определенного числа делений), тем самым они становятся «бессмертными» с точки зрения нормальной регуляции определенного числа клеток в организме.
Нормальные клетки разрастаются до тех пор, пока они не войдут в контакт с другими клетками, следствием этого является окончание разрастания (пролиферации). Трансформированные клетки не демонстрируют такое контактное ингибирование. Скопление трансформированных клеток от общего прародителя формирует очаг, который является многослойным скоплением, растущим в однослойной клеточной структуре. В отличие от нормальных клеток, которым для роста необходимо прикрепиться к твердому субстрату (зависимость от опоры), пролиферация трансформируемых клеток не зависит от этого прикрепления [9].
Раковые клетки вырабатывают онкогены (гены, индуцирующие трансформацию клетки). Когда ДНК из патогенной клетки попадает в нормальную, клетки-реципиенты также могут претерпеть трансформацию. Онкогены [30] могут функционировать вдоль различных видов и границ ткани для трансформации клеток.
Рак и механотрансдукция
Процесс, при котором клетки чувствуют и переводят внешнее механическое воздействие (стимулы) в биохимические сигналы, влияющие на регуляцию клеточных процессов (например, миграцию, пролиферацию и дифференциацию), называется механотрансдукцией [29, 36].
Механотрансдукция включает в себя три этапа: процесс восприятия
механического воздействия (mechanosensing), процесс передачи и конвертирования сигнала и процесс отклика на механический стимул (mechanoresponse). На рис. 6 схематично показаны эти процессы.
Внешний отклик клетки (пролиферация, апоптоз, адгезия и т.д.)
Механическое воздействие
\
Механочувствительные сенсоры
Изменения в субклеточной и клеточной структуре, а также в функционировании клеточных веществ
Сигнальные пути
Рис. 6. Схема механотрансдукции клеток
Раковые клетки создают собственные биохимические сигналы (в передаче которых участвуют специальные вещества, в том числе протеины), подавляющие действие имунной системы и другие регулирующие в организме процессы для дальнейшего разрастания, ангиогенеза и метастазирования.
Онкогены вырабатывают специальные протеины (Ras, Raf, Grb, ErbB) -сигналы, стимулирующие опухолевые клетки к пролиферации и росту. Протеиновые сигналы этой цепи передаются вперед и назад, в обе стороны связи, которая существует между внешнеклеточным матриксом и внутренней частью клетки, включая цитоплазму и ядро, через интегрины и молекулы адгезии, связывающие клетку с внешнеклеточным матриксом [15].
Рак на макроуровне
Общая схема формирования и развития рака представлена на рис. 7, 8. При формировании первичной опухоли (очаг) раковым клеткам, как и здоровым живым системам, необходимо питание. В организме питательные вещества доставляются током крови. Раковые клетки вырабатывают вещества, которые стимулируют сосуды откликнуться на подаваемые сигналы и начать образовывать сосуды в направлении к опухоли для доставки питательных веществ и кислорода [46]. Интенсивная стимуляция роста кровеносной системы («ангиогенез») в опухоли приводит к ее наполнению кровеносными сосудами («васкуляризации») и часто к кровоизлияниям в ткань опухоли.
При дальнейшем развитии клетки приобретают способность к инвазии [92, 93, 100] (способность отделяться от раковой опухоли и проникать через кровеносные и лимфатические сосуды в другие места, образуя новые очаги заражения - метастазы). Инвазия и метастазирование злокачественной опухоли определяют продолжение заболевания.
Раковые клетки также обладают способностью разрушать соседние ткани и органы, что впоследствии приводит к летальному исходу.
Первичная опухоль
Интравазаци (попадание в кровенос
Колония раковых
Проникної через осно мембраны
Адгезия и экстравазация клеток в ткань
Рис. 7. Общая схема формирования и развития раковой опухоли
Формирование рака в эпителиальной области основания мембраны и создание новых кровеносных сосудов (ангиогенез)
Формирование метастазов, которые растут, чтобы впоследствии охватить ткань и стимулировать ангиогенез
Инвазия опухоли через основание мембраны. Скопление инвазивных
клеток называется злокачественным
раком
Экстравазация:
раковые клетки прикрепляются к стенке сосуда и проникают через паренхиму в ткань
Инвазия раковых клеток в кровь и лимфатический сосуд (интравазация), взаимодействие с компонентами крови (лейкоцитами, тромбоцитами) и доступ к питательным веществам
Раковые клетки внедряются в маленькие кровеносные сосуды различных тканей органа (например, легкие, мозг)
Транспорт
раковой клетки через кровеносную систему
Рис. 8. Начало и развитие рака
Одноуровневые математические модели, описывающие процессы
ПРИ РАЗВИТИИ ОНКОЛОГИЧЕСКИХ ЗАБОЛЕВАНИЙ
При одноуровневом моделировании рассматриваются лишь макропроцессы, связанные с прогрессированием болезни: рост плотной опухоли, ангиогенез,
метастазирование, питательные процессы и т. д. Рассмотрим модели, описывающие эти процессы, подробнее.
Рост плотной опухоли
Модели, описывающие развитие плотной опухоли, являются наиболее распространенными. Объем клеток обычно задается постоянным. Для описания изменения объема опухоли используются обыкновенное дифференциальное уравнение и системы уравнений в частных производных для макропроцессов (метаболизм, массобмен и т.д.). Для интерпретации экспериментальных данных по кинетике роста 50 188К 1812-5123. Российский журнал биомеханики. 2010. Т. 14, № 4 (50): 42-69
плотной опухоли используются различные законы роста, например экспоненциальный закон, соотношение Гомперца [37], логарифмический закон и т.д. В работах [2, 4, 10] предложены детерминистические модели, описывающие пространственное распространение опухоли как на ранних, так и на поздних (инвазивных) стадиях [13, 40]. Рассмотрение развития онкологии с точки зрения механического воздействия опухоли на окружающие ткани приведено в работах [38, 50, 84]. На рис. 9 показано развитие плотной опухоли, полученное с помощью компьютерного моделирования в работе [83].
Соле и соавторы (Sole et al.) [90] разработали интересную модель,
рассматривающую пространственное увеличение опухоли с точки зрения динамики популяций нормальных и раковых клеток
dN1
dt
=r N1
1
N1 — aN2
*1
(1)
dN2 dt
■=r2 N2
N2 — b N1
*
(2)
где Г1 - скорость роста популяции раковых клеток, г2 - скорость роста популяции нормальных клеток, К и К2 - максимальное число клеток, которое может содержаться в выделенном пространстве в ткани, а и в - коэффициенты, учитывающие влияние популяций нормальных и раковых клеток друг на друга.
При рассмотрении пространственного распространения клеток в ткани вводится следующее уравнение:
=CP (1
dt
P) — mP,
(3)
где Р - объем, занимаемый клетками, С - скорость роста клеток, т - скорость смерти клеток. При рассмотрении развития популяций клеток необходимо учитывать генетические факторы, стимулирующие увеличение числа клеток или подавляющие их рост.
1
Рис. 9. Результаты компьютерного моделирования развития опухоли: 1-У - стадии болезни (I соответствует начальной стадии, У - стадии мертвой ткани)
На стимулирование роста раковых клеток оказывает влияние генетический фактор TGFBR-2 (tumor growth factor), а протеин BAX влияет на механизмы апоптоза. Изменение функционирования гена TGFBR-2 заставляет клетки расти быстрее, в то время как нарушение функционирования протеина BAX продляет им жизнь. Таким образом, чем больше мутаций происходит в гене TGFBR-2, тем скорость пролиферации клеток быстрее; мутации BAX сокращают смертность клеток.
Ангиогенез
Для описания ключевых принципов развития ангиогенеза применяется сравнительно меньшее число моделей по сравнению с описанием роста плотной опухоли. В некоторых моделях [93] используется набор дифференциальных уравнений в частных производных, которые описывают пространственно-временное распределение сети сосудов, плотность эндотелиальных клеток и концентрацию ангиогенного фактора роста. Одноуровневые модели процесса ангиогенеза могут использоваться для описания этого явления как при развитии опухоли, так и при заживлении ран. Несмотря на то что эти модели позволяют выявить некоторые параметры ангиогенеза (средняя плотность распределения сосудов в ткани, скорость распространения сосудов), в качестве недостатка одноуровневого описания данного феномена можно привести неспособность представить адекватную картину, касающуюся текущей морфологии тканей с учётом несомненного влияния микроуровневых процессов. В качестве альтернативных подходов для описания ангиогенеза можно выделить вероятностный подход, механический подход, фрактальные модели. На рис. 10 показано пространственно-временное формирование сети капилляров при отклике на опухолевый ангиогенный фактор, полученное в ходе моделирования в работе [25].
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
в
Рис. 10. Пространственно-временное формирование сети капилляров при отклике на опухолевый ангиогенный фактор: а - через 8 дней; б - через 10 дней;
в - через 15 дней
При ангиогенезе происходит миграция эндотелиальных клеток (при предположении об отсутствии пролиферации клеток), которая описывается следующим уравнением:
Л
д2 п д
дх2 дх
( ) дс
Х(с) пт~ дх
д
Р дх
п
V
дх
(4)
где п(х, ^ - плотность эндотелиальных клеток; D, с, р - параметры произвольной миграции, направленной миграции клеток вследствие влияния химических веществ (хемотаксис) и скопления клеток соответственно; с (х, и / (х, ^ - параметры, характеризующие концентрации веществ, играющих важную роль при ангиогенезе, а именно опухолевого ангиогенного фактора (ТАК) и фибронектина соответственно.
Считается, что изменение величины с (с) происходит по следующему закону:
С(с )=
Со
1+а с( х) ’
(5)
где %0 - максимальный отклик на концентрацию вещества клетки, стимулирующий её направленную миграцию, а - степень чувствительности клетки.
Инвазия и метастазирование
Моделирование процесса инвазии представлено в работах [33, 93] с помощью методов клеточных автоматов. В работе [22] предлагается подход с учётом дифференциальных уравнений в частных производных, где описываются клеточная адгезия, митоз и проникновение. В работе [64] с учетом термодинамического подхода объясняется случайное движение клеток в ходе метастазирования. Данная модель описывает лишь феноменологию процесса, однако реальные условия, при которых опухолевая клетка свободно проходит сосуд, прикрепляется к его поверхности и разрушается, не в полной мере соответствуют теоретически предсказанным [80, 81].
Многоуровневый подход в задачах биомеханики
Многие материалы, в том числе биологические ткани и органы, являются однородными на макроуровне, однако на мезо-, микро- и наноуровнях они обладают гетерогенной структурой, которая определяет их макроскопическое поведение.
Многоуровневое моделирование заключается в том, что сначала строится модель поведения материала на самом «мелком» уровне, а затем осуществляется переход на более «крупный» уровень с сохранением информации о свойствах и механическом отклике, относящейся к предыдущему уровню. В конечном итоге получается макромодель исследуемого объекта.
Первоначально идея многоуровневого моделирования (рис. 11) была применена для материалов с внутренними структурными неоднородностями (включениями, трещинами и т.д. [35, 62, 89]).
В дальнейшем появилось множество работ в области композиционных материалов. В России наибольшую известность получили фундаментальные и прикладные подходы в различных задачах механики Б.Е. Победри [8] и
В.Е. Панина [6, 7].
Пример рассмотрения биологических процессов «сверху-вниз» показан на рис. 12. Многоуровневый подход используется в следующих задачах биомеханики:
• изучение ростовых процессов [26], в том числе исследование регенерационных процессов при заживлении переломов и ран [12];
• исследование кости как нанобиокомпозита [14, 34, 61, 84];
• анализ микроструктуры мягких тканей [91, 94];
• гемодинамика сердечно-сосудистой сети [71, 99];
• биотрибология [79, 111];
• исследования в области онкологических заболеваний [16, 20, 21, 22, 114].
Рассмотрим данные задачи более подробно.
Для изучения влияния внешних механических факторов на рост и морфогенез необходимо рассматривать влияние клеток на развитие всей ткани в целом. Данной проблематике посвящены работы [11, 19]. Одним из направлений, связанных с клеточной механорегуляцией, сходных с задачами роста, являются проблемы исследования процессов при регенерации тканей, в частности костной ткани [12]. Известно, что перестройка костного материала осуществляется вследствие клеточных процессов, связанных с остеокластами, остеобластами, клетками-предшественниками и стволовыми клетками, вызванными внешними механическими стимулами (напряжение, деформация, скорость деформации и т.д.).
В репрезентативной работе [45] многоуровневый подход применялся для изучения биомеханических факторов как стимула к регенерации ткани. Рассматривалась двумерная осесимметричная задача восстановления костной ткани при взаимодействии с имплантатом (интрамедуллярный стержень) (рис. 13). На микроуровне рассматривалась кинетика клеток (остеобластов, хондроцитов и фибробластов), далее оценивался вклад каждого фенотипа клеток в производство матрикса и ростовые процессы различных тканей (хрящевая ткань, фиброзная ткань, несформировавшаяся костная масса, кортикальная кость) (макроуровень). Было показано, что результаты численного моделирования хорошо соотносятся с клиническими результатами. Другая многоуровневая модель применялась для изучения восстановления перелома при ежедневной физиологической нагрузке [1].
нано- микро- мезо- макро-
Рис. 11. Многоуровневый подход «снизу - вверх»
Уровень тканей Уровень Клеточный Субклеточный Молекулярный
и органов сосуда уровень уровень уровень
Аневризма Взаимодействие Скопление Фокальная адгезия
«клетка—внешнеклеточный матрикс» микротрубочек
-1 -3 -6 -7 -8 -9
10 м 10 м 10 м 10 -10 м 10 м
<---------► <---------► <--------► м----------------► <---------►
Рис. 12. Пример многоуровневого подхода для описания биомеханики биологических
объектов
В последнее время появилось множество работ, рассматривающих кость как нанобиокомпозит [73, 82] (рис. 15). Поскольку было показано [82], что механические свойства кости на различных уровнях сильно варьируются, возникла необходимость в проведении исследований, включающих эксперименты как на растяжение-сжатие [53], так и на наноиндентирование [48, 82]. В работах [1, 53] свойства кости (минеральная плотность, модуль упругости) оценивались по изображениям компьютерной томографии и других неинвазивных методов. Многоуровневому (или иерархическому) моделированию кости посвящены работы [34, 73]. В работе [34] был приведен численный алгоритм рассмотрения кости на макро- и микроуровнях и описана процедура осреднения. Построены зависимости «модуль Юнга - объёмная доля минеральных веществ в кости», «модуль сдвига - объёмная доля минеральных веществ в кости», «коэффициент Пуассона - объёмная доля минеральных веществ в кости», а также проведено сравнение с результатами других работ. Многоуровневое моделирование кости как двухфазного биологического объекта выполнено в работе [44] (рис. 14). Проведено также моделирование прохождения ультразвука для анализа минеральной плотности кости, результаты сравнивались с экспериментами [47, 82].
В работе [99] выявлено влияние микроструктуры (которое заключается в ориентации волокон коллагена, входящего в состав большинства тканей организма) на механику мягких тканей (например, артериальных стенок). Данный аспект нужно учитывать в совокупности с другими факторами (гипертония, возраст, атеросклероз, аневризмы и т.д.).
Подходы к моделированию сети коллагеновых волокон (являющихся структурными компонентами диска височно-нижнечелюстного сустава, связок, сухожилий и т.д.), описывающие эффекты на различных уровнях, приведены в работах [63, 94].
5 дней 10 дней 20 дней 35 дней 45 дней 55 дней 70 дней 85 дней
а
б
Рис. 13. Компьютерное моделирование процесса сращивания: а — образование различных типов тканей; б - образование различных типов клеток [45]
Поскольку на молекулярном уровне происходят основные процессы, которые являются причинами болезни или влияют на её развитие на уровне артерий, то необходимо рассматривать многоуровневые модели, объясняющие поведение сосудов или течения в них в ответ на имплантацию либо на патологические механизмы, возникающие в стенках сосудов от нано- до макроуровня. Пока данная область биомеханики является развивающейся, и в скором времени ожидается появление работ с многоуровневыми моделями, учитывающими различные факторы (индивидуальные особенности пациента, рост и перестройку сосудов, фильтрационно-реабсорбционные процессы и т.д.). В работе [93] предложена методика многоуровнего моделирования гемодинамики «от сердца до молекул» (см. рис. 12) с помощью immersed finite element method [60]. Авторы планируют использовать предложенную методику для анализа сердечно-сосудистых заболеваний, в частности для анализа гемодинамики при атерогенезе (формирование тромбов и бляшек) - болезни, от которой страдает большинство пожилых людей.
Представительный объём Рис. 14. Реальная микроструктура кости и её представительный объём [44]
Рис. 15. Иерархическая структура скелета от макро- до наноуровня
В области динамики биожидкостей многоуровневый подход также используется при реконструктивной хирургии врожденных детских сердечно-сосудистых заболеваний для оценки последствий хирургического вмешательства. В работе [71] многоуровневый подход применялся для численного моделирования движения крови в сердечно-сосудистом русле при гипопластическом синдроме левого желудочка (врождённая детская патология, при которой левый желудочек отсутствует либо очень маленький). Многоуровневый подход заключался в том, что на начальном уровне рассматривалась область шунтирования, а затем вся сердечно-сосудистая сеть для изучения влияния методик шунтирования (операция Норвуда (Norwood Operation [78]), операция Сано (Sano Operation) [86]) на гемодинамику в целом. В результате моделирования сердечно-сосудистого русла были получены параметры течения (аортальное систолическое давление, аортальное диастолическое давление, систолическое давление правого желудочка, диастолическое давление правого желудочка, пульсирующее давление), которые сравнивались с клиническими данными [66, 67].
Еще одним направлением биомеханики, где активно применяется многоуровневый подход, является биотрибология. Большое количество работ посвящено исследованиям микроструктуры поверхностей крепления насекомых [79] и пресмыкающихся [110], например геккона Токи (рис. 16). Геккон Токи - пятнистая ящерица, обитающая в Юго-Восточной Азии и привлекающая механиков своей необычной способностью передвигаться вверх и вниз по абсолютно ровным вертикальным поверхностям [110]. Развитие микроскопии, в частности изобретение сканирующего электронного микроскопа, позволило изучить сложную иерархию в морфологии тканей геккона на конечностях. Кожный покров конечностей представляет собой сложную структуру, состоящую из ламелл, щетинок и чешуек [79]. Эта структура позволяет данному типу пресмыкающихся легко адаптироваться к любой (даже гладкой) поверхности и достигать максимально возможную площадь контакта между поверхностью и конечностью.
Многоуровневым моделям в исследовании онкологических заболеваний посвящен следующий раздел.
Многоуровневые модели в исследовании раковых заболеваний
Как обсуждалось ранее, рост раковой опухоли - многоуровневая динамическая проблема, чьё развитие не может быть количественно описано без помощи математических моделей. Многоуровневые модели в описании развития онкологических заболеваний должны учитывать молекулярные основы рака и сложные нелинейные взаимодействия клеток опухоли с микросредой, что и определяет дальнейший ход болезни. Сложность описания прогрессирования рака заключается в рассмотрении и математическом описании как минимум трёх уровней: микроуровня, мезоуровня и макроуровня:
• На микроуровне должны рассматриваться молекулярные и субклеточные процессы (мутации генов, изменение структуры и функционирования компонентов цитоскелета, биохимические сигналы).
• На мезоуровне необходимо рассмотрение клеточных взаимодействий друг с другом. Также на этом уровне имеют место механизмы адгезии «клетка - клетка» и «клетка - внешнеклеточный матрикс».
• На макроуровне рассматриваются процессы, происходящие в тканях (рост опухоли как скопления клеток, инвазия, ангиогенез, доставка питательных веществ, механические напряжения).
в
Рис. 16. Геккон Токи: а - вид ящерицы; б - основание нижней конечности; в - изображения, полученные с помощью сканирующей электронной микроскопии, где BR - branches (усики), ST - setae (чешуйки), SP - spatulae (щетинки)
В работах [17-19] постулируется тезис о том, что наибольшую сложность в разработке модели представляет математическая связь между микро- и макроуровнями.
Бирн (Byrne) и Чаплин (Chaplain) в работе [21] предложили модельный подход, развивающий принципы, представленные в работе Гринспана (Greenspan) [39], связанные со сферической устойчивостью клеточных состояний. Опухоль рассматривалась как несжимаемая жидкость, в которой пролиферация и смерть клеток являлась генератором градиентов давлений, стимулирующих движение клеток. При многоуровневом моделировании твёрдых аваскулярных опухолей используются как вероятностные подходы (например, метод Монте-Карло [49]), так и рассмотрения влияния химического взаимодействия на рост и питание очага (например, взаимного влияния протеинов, гена р53 и васкулярного эндотелиального фактора роста (VEGF) [16]).
Многоуровневая модель, рассматривающая полное развитие онкологического заболевания, представлена в работе [32], которая объединяет ранее опубликованные одноуровневые подходы инвазии [21] и ангиогенеза [25] с рассмотрением клеточных и субклеточных процессов.
В работе [23] предложена модель роста опухоли, в которой изучался вклад питательных веществ и факторов роста, доставляемых к опухолевым клеткам посредством диффузии и фильтрационно-реабсорбционных процессов через сосудистую сеть. Данная работа стала одной из ключевых для изучения феномена контактного ингибирования (см. раздел «Раковые опухоли») с учётом классических работ Адама (Adam) [10] и Маггелакиса (Maggelakis) [65]. Двухуровневую модель для описания мутаций генов предложила Комарова (Komarova) в работе [51].
Подходы к комплексному описанию взаимодействия рака с иммунной системой предложены в следующих работах [31, 98, 99, 108, 109, 112]. Описания развития рака, использующие методы теории игр, предложены в [17-19], agent-based method (метод взаимодействия активных частиц со средой) - в [68] и многоуровневого метода -в [114].
Многоуровневые модели, касающиеся доставки жидкости и транспортировки лекарств, описаны в работах [46, 76, 87, 106]. В работе [87] задачи транспортировки веществ рассматриваются на микроуровне (сравнимом с расстоянием между капиллярами).
На макроуровне исследуется опухоль с характерным диаметром L (рис. 17). Предполагается, что на микроуровне она может рассматриваться как совокупность сети капилляров в интерстициальном пространстве, расстояние между которыми ~ d. Отношение d / L обозначается как е. Считается, что на микроуровне опухоль состоит из пористого интерстиция (Qt) и сети капилляров (Qc). Граница между областями обозначается как Г = dQt П dQc.
Постановка задачи для описания транспортировки лекарств в микропространстве имеет следующий вид:
V' ut = 0, х е Wt, (6)
ut = —kVpt ■ 0, х е Wt
V ■ u c = 0, х е Wc,
(7)
(8)
Рис. 17. Схематичное представление опухоли на макроуровне и на микроуровне как совокупности капилляров (Ос) и интерстициальной области (П*)
Є Re —f + (uc 'V) uc =—Vpc + e V" uc , X є ,
. dt
(9)
u c • n = ut • n = R(pc — pt ), X є Г,
(10)
[(n ^V) uc ]• т = —fu c • T, X є Г,
(11)
где Re = pUd — число Рейнольдса (m - вязкость, d — характерный диаметр, p — плотность),
иі(с) - скорость жидкости в интерстиции (капилляре), k - интерстициальная
проницаемость, pc и pt - давления на внутренней и внешней стенке капилляра, п - единичный вектор нормали, т - единичный вектор касательной к Г,
капилляра, а - безразмерный параметр, зависящий от свойств поверхности.
Экспериментальные методики диагностики раковых заболеваний
Недавние успехи в нанотехнологиях повлекли за собой развитие новых экспериментальных методов для механических испытаний на клетках не только в формате микроуровня, но и пикоуровня [59]. Применение экспериментальных методик для выявления болезней во многих развитых странах стало одним из направлений диагностики и мониторинга их развития. Например, одним из патофизиологических откликов рака является изменение деформационных свойств субклеточных компонентов и, как следствие, самой клетки (раковые клетки более жёсткие, чем нормальные клетки). Таким образом, определение механических свойств клетки с помощью экспериментальных методов может использоваться для ответов на следующие вопросы:
• как структурные изменения цитоскелета влияют на механический отклик, в том числе на упругие и вязкоупругие деформационные характеристики одной клетки?
• как деформационные характеристики, полученные для одной клетки, можно обобщить для популяции клеток?
• как экспериментальные исследования для выявления изменений механических свойств клетки in vitro соотносятся с микромеханическими процессами in vivo?
• как изменения напряженно-деформированного состояния и формы клетки совместно с изменениями адгезии влияют на миграцию клетки?
• каковы последствия этих эффектов для развития болезни?
• как использовать информацию о взаимосвязи «структура - механические свойства - биологические функции - состояние болезни» для разработки инновационных методов профилактики, диагностики, терапевтического лечения и оценки эффективности лекарств?
В данном разделе представлены лишь некоторые экспериментальные методы, использующиеся для изучения механических свойств раковых клеток и диагностики онкологических заболеваний. Более подробные обзоры экспериментальных методик, применяемых для диагностики заболеваний, в частности рака, можно найти в работах [9, 28, 43, 56, 58, 95].
безразмерный коэффициент, Lp - проницаемость
Атомно-силовая микроскопия
Атомно-силовой микроскоп (рис. 18) - сканирующий зондовый микроскоп высокого разрешения, основанный на взаимодействии зонда иглы с поверхностью исследуемого образца. Атомно-силовой микроскоп представляет собой систему «образец + игла (кантилевер) + зонд» [11, 103]. На малых расстояниях между двумя атомами, один на подложке, другой на острие, при расстоянии около одного ангстрема действуют силы отталкивания, а на больших - силы притяжения. Величина этого усилия экспоненциально зависит от расстояния образец - зонд.
Описанию экспериментального исследования клеток с помощью атомносиловой микроскопии посвящены работы [27, 55, 72, 75]. В работе [27] проведен анализ влияния выбора точки контакта между кантилевером и зондом на результаты измерений.
В работе Лекки (Lekka) [57] атомно-силовая микроскопия использовалась для сравнения упругих свойств нормальных и раковых эпителиальных клеток, взятых из мочевого пузыря. Было показано, что соотношение между величинами модулей Юнга нормальных и раковых клеток равно примерно одной десятой.
В работе [58] было проведено сравнение упругих свойств доброкачественных (MCF-10A) и злокачественных (MCF-7) клеток, взятых из эпителия груди, с помощью атомно-силовой микроскопии. На рис. 19 показаны зависимости «сила - глубина проникновения» для доброкачественных клеток при различных скоростях нагружения. На рис. 20 представлены диаграммы «модуль Юнга - скорость нагружения»,
полученные при температуре +37° С. Как видно из рисунка, модуль Юнга злокачественных клеток в 1,4-1,8 раза больше, чем у нормальных клеток. На рис. 21, а, б изображены флуоресцентные снимки структуры клеток (а именно распределение актиновых микрофиламентов), оказывающей непосредственное влияние на упругие свойства клетки в целом.
ИК-термография
Тело человека излучает поток тепловой энергии в области инфракрасной части спектра в диапазоне длин волны от 3 до 20 мкм. Максимум излучения наблюдается при длине волны около 9 мкм. Величина излучаемого потока достаточна для того, чтобы его можно было обнаружить с помощью бесконтактных приемников инфракрасного излучения - тепловизоров, позволяющих визуально наблюдать за распределением тепла на поверхности тела человека.
Инфракрасная термография (ИК-термография), являясь физиологичным, неинвазивным методом диагностики, находит свое применение в онкологии для дифференциальной диагностики злокачественных опухолей.
Физиологической основой термографии является увеличение интенсивности инфракрасного излучения над патологическими очагами (в связи с усилением в них кровоснабжения и метаболических процессов) или уменьшение его интенсивности в областях с уменьшенным региональным кровотоком и сопутствующими изменениями в тканях и органах.
Важными термографическими критериями отсутствия патологических изменений являются: сходство и симметричность теплового рисунка, характер распределения температуры, отсутствие участков аномальной гипертермии.
В работе [3] проведено исследование физиологических (биотермомеханических) закономерностей развития рака для разработки методов диагностики заболевания на ранней стадии. Проведен количественный анализ кинетики температуры опухолевой и здоровой ткани на основе алгоритма Грассберга - Прокаччиа. Обрабатываемые сигналы получены в Пермском онкологическом центре с помощью инфракрасной камеры CEDIP Silver 450M.
Рис. 18. Схематичное изображение эксперимента с помощью атомно-силового микроскопа
Рис. 19. Зависимость для доброкачественных клеток «сила индентирования - глубина проникновения» при различных скоростях нагружения
Рис. 20. Модуль упругости доброкачественных и злокачественных клеток в зависимости от скорости нагружения при Т = 37° С
а б
Рис. 21. Флуоресцентное изображение компоновки актиновых микрофиламентов: а - злокачественной клетки (МС^—7) , б - доброкачественной клетки (МСЕ-10Л)
г
г
Рис. 22. Серия снимков, демонстрирующих
движение раковых клеток поджелудочной железы через микроканал: а - клетка на входе в микрососуд (начальный расход жидкости
составил ~0,5 мкл/мин ^ = 0 мс)); б - клетка перед сужением в сосуде с размерами 9x18x150 мкм при градиенте давления 4 кПа ^ = 16 мс); в - клетка в сужении ^ = 32 мс); г - клетка при выходе из сужения ^ = 50 мс)
Рис. 23. Втягивание хондроцита в
микропипетку [42]: а - контакт клетки с микропипеткой перед началом
эксперимента; б - начало аспирации; в - промежуточная стадия эксперимента (появление «языка», характерного для нормальной клетки при всасывании в микропипетку); г - клетка в микропипетке [42]
Фильтрация через микроканал и втягивание в микропипетку
Количественными и качественными методами для наблюдения изменения деформируемости и подвижности клеток являются втягивание клеток в микропипетку (рис. 23, 24) [42] и фильтрация клеток через микроканал (рис. 22) [95, 96]. В работе [96] приведён эксперимент оценки подвижности раковых клеток поджелудочной железы (Рапс-1) при пропускании через микроканал при заданном градиенте давления.
а
б
Рис. 24. Втягивание в микропипетку клетки: а - схематичное изображение замеряемых параметров в ходе эксперимента для оценки модуля сдвига О из соотношения
1 ,АРТ » ~
— = к , где ь - длина клетки в пипетке, Кр - внутренний радиус микропипетки,
Кр О
к - коэффициент, АР - градиент давления; б - экспериментальное исследование
эритроцита [42]
Похожими являются эксперименты с втягиванием (аспирацией) клеток в микропипетку. Данный метод широко используется для изучения деформационного поведения живых клеток, зависящего от времени, под внешнеклеточным давлением. Схематичная диаграмма процесса изображена на рис. 24.
Экспериментальное исследование раковых клеток с помощью данной методики приведено в работах [14, 28, 96]. В работе [113] исследовались нормальные и патологические клетки печени. Показано, что клетки карциномы обладают большей жёсткостью, однако их вязкоупругие свойства практически такие же, как и у нормальных гепатоцитов. Исследования нормальных и инфицированных клеток крыс представлены в работах [87, 107, 111].
Заключение
Значительные успехи в клеточной биологии, биофизике, биомеханике и математическом моделировании привели к возможности описания и объяснения взаимного влияния механического поведения клетки и её субклеточных структур на функциональные процессы (митоз, механотрансдукция, апоптоз и т.д.). Данные исследования должны помочь врачам в лечении различных болезней, так как патологии влияют на организм на всех уровнях. Прорывом в данной области должна стать разработка эффективных методов борьбы с онкологическими заболеваниями, ежегодно уносящими жизни большого количества людей во всем мире, в основе которой должна лежать информация о взаимосвязи процессов на нано- и микроуровнях с процессами на мезо- и макроуровне при раке, полученная на основе мультидисциплинарных исследований (начиная от сложных биомеханических и биофизических экспериментов, заканчивая разработкой многоуровневых моделей для описания эффективности действия лекарств на раковые опухоли).
Список литературы
1. Акулич Ю.В. Математическая модель процесса внутренней адаптационной перестройки спонгиозной и кортикальной костных тканей человека // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2005. - Т. 11, № 2. - С. 157-168.
2. Бардычев Д.М., Иванов В.К. Математическое моделирование кинетики гетерогенной клеточной популяции в процессе опухолевого роста // Цитология. - 1984. - Т. 26, № 12. - С. 1357-1364.
3. Герасимова Е.И., Наймарк О.Б. Применение инфракрасного сканирования при диагностике
опухолевых заболеваний // Материалы XVIII Всерос. школы-конференции молодых учёных и студентов (1-3 октября 2009). - Пермь, 2009. - С. 23.
4. Косевич А.М., Кругликов И. Л. Диффузионная модель роста солидной опухоли // Докл. АН СССР. -1980. - Т. 251, № 1. - С. 226-230.
5. Наймарк О.Б. Локализованные моды дисторсии в структуре двойной спирали ДНК // Российский
журнал биомеханики. - 2006. - Т. 10, № 4. - С. 18-42.
6. Панин В.Е., Егорушкин В.Е., Панин А.В. Физическая мезомеханика деформируемого твердого тела
как многоуровневой системы. Ч. I: Физические основы многоуровневого подхода // Физическая
мезомеханика. - 2006. - Т. 9, № 3. - С. 9-22.
7. Панин В.Е. Основы физической мезомеханики // Физическая мезомеханика. - 1998. - Т. 1, № 1. -С. 5-22.
8. Победря Б.Е., Курочкина Ю.В. Об идентификации в механике нанокомпозитов // Изв. РАН. МТТ. -2007. - № 3. - С. 6-12.
9. Регирер С. А. Приложения биомеханики в исследованиях роста опухолей // Современные проблемы биомеханики. - 2000. - Вып. 10. - С. 268-290.
10. Adam J. A mathematical model of tumor growth by diffusion // Mathematical and Computer Modelling -1988. - Vol. 11. - P. 455-451.
11. Asa Dr., Barber H. The world of nano-biomechanics. - Elsevier, 2008. - 248 p.
12. Andreykiv A., van Keulen F., Prendergast P.J. Simulation of fracture healing incorporating mechanoregulation of tissue differentiation and dispersal / proliferation of cells // Biomechan. Model. Mechanobiol.- 2008. - Vol. 7. - P. 443.-461.
13. Araujo R.P., McElwain L.S. A history of the study of solid tumour growth: the contribution of mathematical modelling // Bulletin of Mathematical Biology. - 2004. - Vol. 66. - P. 1039-1091.
14. Aoubiza B., Crolet J.M., Meunier A. On the mechanical characterization of compact bone structure using the homogenization theory // Journal of Biomechanics. - 1996. - Vol. 29, No. 12. - P. 6674-6686.
15. Bacer E.L., Zaman M.H. The biomechanical integrin // Journal of Biomechanics. - 2010. - Vol. 43. -P. 38-44.
16. Bavafaye-Haghighi E., Yazdanpanah M.J., Kalaghchi B., Soltanian-Zadeh H. Multiscale cancer modelling: in the line of fast of simulation and chemotherapy // Mathematical and Computer Modelling. - 2009. -Vol. 49. - P. 1449-1464.
17. Bellomo N., Delitala M. From the mathematical, kinetic, and stochastic game theory to modelling mutations, onset, progression, and immune competition of cancer cells // Physics of Life Reviews. - 2008. -Vol. 5. - P. 183-206.
18. Bellomo N., Bellouquid A. From a class of kinetic models to macroscopic equations for multicellular systems in biology // Discrete Contin. Dyn. Syst. - 2004. - Vol. 4. - P. 59-80.
19. Bellomo N., Bellouquid A., Delitala M. From the mathematical kinetic theory of active particles to multiscale modelling of complex biological systems // Mathematical and Computer Modelling. - 2008. -Vol. 47. - P. 687-698.
20. Bertuzzi A., Bruni C., Fasano A., Gandolfi A., Papa F., Sinisgalli C. Response of tumor spheroids to radiation: modeling and parameter estimation // Bulletin of Mathematical Biology. - 2009. - Vol. 25. -P. 1-23.
21. Byrne H.M., van Leeuwen I.M.M., Owen M.R., Alarcon T., Maini P.K. Multiscale modelling of solid tumour growth // Selected Topics in Cancer Modeling. - 2008. - Vol. 12, No. 1. - P. 449-473.
22. Byrne H.M., Chaplain M.A. A mathematical model of trophoblast invasion // Journal Theor. Med. - 1993. -Vol. 2. - P. 27-39.
23. Byrne H.M., Chaplain M.A. Growth of nonnecrotic tumors in the presence and absence of inhibitors // Math. Biosci. - 1995. - Vol. 130. - P. 151-181.
24. Capasso V., Micheletti A. Stochastic geometry and related statistical problems in biomedicine // Modeling and Simulation in Science, Engineering and Technology. - 2008. - Vol. 7. - P. 1-37.
25. Chaplain M.A.J. Mathematical modelling of angiogenesis // Journal of Neuro-Oncology. - 2000. -Vol. 50. - P. 37-51.
26. Coelho P.G., Fernandes P.R., Rodrigues H.C., Cardoso J.B., Guedes J.M. Numerical modeling of bone tissue adaptation - a hierarchical approach for bone apparent density and trabecular structure // Journal of Biomechanics. - 2009. - Vol. 42. - P. 830-837.
27. Crick S.L., Yin F. Assessing micromechanical properties of cells with atomic force microscopy: importance of the contact point // Biomechan. Model. Mechanobiol. - 2007. - Vol. 6. - P. 199-210.
28. Dao M., Lim C.T., Suresh S. Mechanics of the human red blod cell deformed by optical twezers // Journal
of the Mechanics and Physics of Solids. - 2003. - Vol. 51. - P. 2259-2280.
29. Decraene J., Mitchell G.G., McMullin B. Evolving artificial cell signaling networks: perspectives and
methods // Studies in Computational Intelligence. - 2009. - Vol. 69. - P. 167-186.
30. Dixit A., Torkamani A., Schork N.J., Verkhivker G. Computational modeling of structurally conserved cancer mutations in the RET and MET kinases: the impact on protein structure dynamics, and stability // Biophysical Journal. - 2009. - Vol. 96. - P. 858-874.
31. Eftimie R., Bramson J.L., Earn D. Interactions between the immune system and cancer: a brief review of non-spatial mathematical models // Bulletin of Mathematical Biology. - 2010. - Vol. 26. - P. 22-54.
32. Fasano A., Bertuzzi A., Gandolfi A. Mathematical modelling of tumour growth and treatment // Bulletin of Mathematical Biology. - 2010. - Vol. 26. - P. 71-108.
33. Folkman J. Tumor angiogenesis // Adv. Cancer Res. - 1985. - Vol. 43. - P. 175-203.
34. Ghanbari I., Naghdabadi R. Nonlinear hierarchical multiscale modeling of cortical bone considering its nanoscale microstructure // Journal of Biomechanics. - 2009. - Vol. 42. - P. 1560-1565.
35. Gibson R.F. A review of recent research on mechanics of multifunctional composite materials and structures // Composite Structures. - 2010. - Vol. 179. - P. 51-60.
36. Godin L.M., Suzuki S., Jacobs C.R., Donahue H.J., Donahue S.W. Mechanically induced intracellular calcium waves in osteoblasts demonstrate calcium fingerprints in bone cell mechanotransduction // Biomechan. Model. Mechanobiol. - 2007. - Vol. 6. - P. 391-398.
37. Gompertz G. On the nature of the function expressive of the law of human mortality, and on the new mode of determining the value of life contingencies // Philos. Trans. R. Soc. London. - 1825. - Vol. 115. -P. 513-585.
38. Graziano L., Preziosi L. Mechanics in tumor growth // Modeling of Biological Materials. - 2008. -Vol. 14. - P. 263-321.
39. Greenspan H.P. On the growth and stability of cell cultures and solid tumors // J. Theor. Biol. - 1976. -Vol. 56. - P. 229-242.
40. Greller A., Bellomo N. Models with space structure and the derivation of macroscopic equations // Journal of Applied Biomechanics. - 2007. - Vol. 15. - P. 119-149.
41. Groh A., Louis A.K. Stochastic modelling of biased cell migration and collagen matrix modification // Journal Math. Biol. - 2009. - Vol. 23. - P. 13-34.
42. Guilak F., Mow V. The mechanical environment of the chodrocyte: a biphasic finite element model of cell -matrix interactions in articular cartilage // Journal of Biomechanics. - 2000. - Vol. 33, No. 12. -P. 1663-1673.
43. Hartmann D. A multiscale model for red blood cell mechanics // Biomechan. Model. Mechanobiol.- 2010. -Vol. 9. - P. 1-17.
44. Ilic S., Hackl K., Gilbert R. Application of the multiscale FEM to the modeling of cancellous bone // Biomechan. Model. Mechanobiol.- 2010. - Vol. 9. - P. 87-102.
45. Issakson H., Wilson W., van Donkelaar C., Huiskes R., Ito K. Comparison of biophysical stimuli for mechano-regulation of tissue differentiation during fracture healing // Journal of Biomechanics. - 2006. -Vol. 29. - P. 1507-1516.
46. Jain R. Transport of molecules across tumor vasculature // Cancer Metastasis Rev. - 1987. - Vol. 6. -P. 559-593.
47. Jasiuk I., Ostoja-Starzewski M. Modeling of bone at a single lamella level // Biomechan. Model. Mechanobiol. - 2004. - Vol. 3. - P. 67-74.
48. Ji B., Gao H. Mechanical properties of nanostructure of biological materials // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. - 2004. - Vol. 52. - P. 1963-1990.
49. Jiang Y., Pjesivac-Grbovic J., Cantrell C., Freyer J.P. A multiscale model for avascular tumor growth // Biophysical Journal. - 2005. - Vol. 89. - P. 3884-3894.
50. Kim Y., Friedman A. Interaction of tumor with its micro-environment: a mathematical model // Bulletin of Mathematical Biology. - 2009. - Vol. 25. - P. 34-45.
51. Komarova N.L. Loss- and Gain-of-Function mutations in cancer: mass-action, spatial and hierarchical models // Journal of Statistical Physics. - 2007. - Vol. 128. - P. 413-446.
52. Korb T., Schluter K., Enns A., Spiegel H., Senninger N., Nicolson G.L., Haier J. Integrity of actin fibers and microtubules influences metastatic tumor cell adhesion // Experimental Cell Research. - 2004. - Vol. 299. -P. 236-247.
53. Kotha S.P., Guzelsu N. Tensile behavior of cortical bone: dependence of organic matrix material properties on bone mineral content // Journal of Biomechanics. - 2007. - Vol. 40. - P. 36-45.
54. Kumar S., Maxwell I.Z., Heisterkamp A., Polte T.R., Lele T.P., Salanga M., Mazur E., Ingber D.E. Viscoelastic retraction of single living stress fibers and its impact on cell shape, cytoskeletal organization, and extracellular matrix mechanics // Biophysical Journal. - 2006. - Vol. 90. - P. 3762-3773.
55. Kumar S., LeDuc P.R. Dissecting the molecular basis of the mechanics of living cells // Experimental Mechanics. - 2009. - Vol. 49. - P. 11-23.
56. Lee G.Y.H., Lim C.T. Biomechanics approaches to studying human diseases // Trends in Biotechnology. -2006. - Vol. 25, No. 3. - P. 579-586.
57. Lekka M. Elasticity of normal and cancerous human bladder cells studied by scanning force microscopy // Eur. Biophys. Journal. - 1999. - Vol. 28. - P. 312-331.
58. Li Q.S., Lee G.Y.H., Ong C.N., Lim C.T. AFM indentation study of breast cancer cells // Biochemical and Biophysical Research Communications. - 2008. - Vol. 374. - P. 609-613.
59. Lim C.T., Zhou E.H., Quek S.T. Mechanical models for living cells - a review // Journal of Biomechanics. -
2006. - Vol. 39. - P. 195-216.
60. Liu W.K., Liu Y., Farrell D., Zhang L., Wang X.S., Fukui Y., Patankar N., Zhang Y., Bajaj C., Lee J.,
Hong J., Chen X., Hsu H. Immersed finite element method and its applications to biological systems //
Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. - 2006. - Vol. 195. - P. 1722-1749.
61. Loboa E.G., Wren T.A., Beaupre G.S., Carter D.R. Mechanobiology of soft skeletal tissue differentiation - a
computational approach of a fiber-reinforced poroelastic model based on homogeneous and isotropic simplifications // Biomechan. Model. Mechanobiol. - 2003. - Vol. 2. - P. 83-96.
62. Lurie S., Belov P., Volkov-Bogorodsky D., Tuchkova N. Nanomechanical modeling of the nanostructures and dispersed composites // Computational Materials Science. - 2003. - Vol. 28. - P. 529-539.
63. Maceri F., Marino M., Vairo G. A unified multiscale mechanical model for soft collagenous tissues with regular fiber arrangement // Journal of Biomechanics. - 2010. - Vol. 43. - P. 355-363.
64. Madri J.A., Pratt B.M. Endothelial cell-matrix interactions in vitro models of angiogenesis // J. Histochem. Cytochem. - 1986. - Vol. 34. - P. 85-91.
65. Maggelakis S.A., Adam J.A. Mathematical model of prevascular growth of a spherical carcinoma // Math. Comput. Modelling. - 1990. - Vol. 13. - P. 23-38.
66. Maher K.O., Pizarro C., Gidding S.S., Januszewska K., Malec E., Norwood W.I., Murphy J.D. Hemodynamic profile after the Norwood procedure with right ventricle to pulmonary artery conduit // Circulation. - 2003. - Vol. 108. - P. 782-784.
67. Malec E., Januszewska K., Kolcz J., Mroczek T. Right ventricle-to-pulmonary artery shunt versus modified Blalock-Taussig shunt in the Norwood procedure for hypoplastic left heart syndrome-influence on early and late haemodynamic status // European Journal of Cardiothoracic Surgery. - 2003. - Vol. 23. -P. 728-733.
68. Mansury Y., Deisboeck T.S. Modeling tumors as complex biosystems: an agent-based approach // International Topics in Biomedical Engineering. - 2006. - Vol. 6. - P. 573-602.
69. Martins M.L., Ferreira Jr S.C., Vilela M.J. Multiscale models for the growth of avascular tumors // Physics of Life Reviews. - 2007. - Vol. 4. - P. 128-156.
70. McKenna S.L., McGowan A. J., Cotter T. G. Molecular mechanisms of programmed cell death // Advances in Biochemical Engineering / Biotechnology. - 1998. - Vol. 62. - P. 3-11.
71. Migliavacca F., Balossino R., Pennati G., Dubini G., Hsia T.Y., de Leval M.R., Bove E.L. Multiscale modelling in biofluidynamics: application to reconstructive paediatric cardiac surgery // Journal of Biomechanics. - 2006. - Vol. 39. - P. 1010-1020.
72. Moreno-Flores S., Benitez R., Vivanco M., Toca-Herrera J.L. Stress relaxation microscopy: imaging local stress in cells // Journal of Biomechanics. - 2010. - Vol. 43. - P. 349-354.
73. Murugan R., Ramakrishna S. Development of nanocomposites for bone grafting // Composites Science and Technology. - 2005. - Vol. 65. - P. 2385-2406.
74. N’Dri N.A., Shyy W., Tran-Son-Tay R. Computational modeling of cell adhesion and movement using a continuum-kinetics approach // Biophysical Journal. - 2003. - Vol. 85. - P. 2273-2286.
75. Na S., Sun Z., Meininger G.A., Humphrey J.D. On atomic force microscopy and the constitutive behavior of living cells // Biomechan. Model. Mechanobiol. - 2004. - Vol. 3. - P. 75-84.
76. Netti P.A., Baxter L.T., Boucher Y., Skalak R., Jain R.K. Macro- and microscopic fluid transport in living tissues: application to solid tumors // AIChE J. - 1997. - Vol. 43. - P. 818-834.
77. Northen M.T., Turner K.L. Meso-scale adhesion testing of integrated micro- and nano-scale structures // Sensors and Actuators A. - 2006. - Vol. 130-131. - P. 583-587.
78. Norwood W.I. Hypoplastic left heart syndrome // The Annals of Thoracic Surgery. - 1991. - Vol. 52. -P. 688-695.
79. Nosonovsky M., Bhushan B. Multiscale friction mechanisms and hierarchical surfaces in nano- and bio-tribology // Materials Science and Engineering R. - 2007. - Vol. 58. - P. 162-193.
80. Panovska J., Byrne H.M., Maini P.K. Mathematical modelling of vascular tumor growth and implications for therapy // Modeling and Simulation in Science, Engineering and Technology. - 2007. - Vol. 1, Part IV. - P. 205-216.
81. Preziosi L., Tosin A. Multiphase modelling of tumour growth and extracellular matrix interaction: mathematical tools and applications // J. Math. Biol. - 2009. - Vol. 58. - P. 625-656.
82. Porter D. Pragmatic multiscale modelling of bone as a natural hybrid nanocomposite // Materials Science and Engineering A. - 2004. - Vol. 365. - P. 38-45.
83. Quaranta V., Weaver A.M., Cummings P. T., Anderson A.R.A. Mathematical modeling of cancer: the future of prognosis and treatment // Clinica Chimica Acta. - 2005. - Vol. 357. - P. 173-179.
84. Ramis-Conde I., Chaplain M.A.J., Anderson A.R.A. Mathematical modeling of cancer cell invasion of tissue // Mathematical and Computer Modelling. - 2008. - Vol. 47. - P. 533-545.
85. Sander E.A., Shimko D. A., Dee K. C., Nauman E. A. Examination of continuum and micro-structural properties of human vertebral cancellous bone using combined cellular solid models // Biomechan. Model. Mechanobiol. - 2003. - Vol. 2. - P. 97-107.
86. Sano S., Ishino K., Kawada M., Arai S., Kasahara S., Asai T., Masuda Z., Takeuchi M., Ohtsuki S. Right ventricle pulmonary artery shunt in first-stage palliation of hypoplastic left heart syndrome // Journal of Thoracic and Cardiovascular Surgery. - 2003. - Vol. 126. - P. 504-509.
87. Sato H., Suzuki M. Deformability and viability of tumor cells by transcapillary passage, with reference to organ affinity of metastasis in cancer // Fundamental aspects of metastasis. - Amsterdam: North-Holland Publishing Company, 1976.
88. Shipley R., Chapman S.J. Multiscale modelling of fluid and drug transport in vascular tumours // Bulletin of Mathematical Biology. - 2010. - Vol. 25. - P. 32-55.
89. Silberschmidt V.V. Account for random microstructure in multiscale models // Multiscale Modeling and Simulation of Composite Materials and Structures, 2008. - Springer. - P. 1-35.
90. Sole R.V., Garcia I.G., Costa J. Spatial dinamics in cancer // International Topics in Biomedical
Engineering, 2006. - Springer. - P. 557-572.
91. Speirs D.C.D., de Souza Neto E.A., Peric D. An approach to the mechanical constitutive modelling of arterial tissue based on homogenization and optimization // Journal of Biomechanics. - 2008. - Vol. 41. -P. 2673-2680.
92. Stamenovic D., Ingber D.E. Models of cytoskeletal mechanics of adherent cells // Biomechan. Model.
Mechanobiol. - 2002. - Vol. 1. - P. 95-108.
93. Stamper I.J., Byrne H.M., Owen M.R., Maini P.K. Modelling the role of angiogenesis and vasculogenesis in solid tumour growth // Bulletin of Mathematical Biology.- 2007. - Vol. 69. - P. 2737-2772.
94. Stylianopoulos T. et al. Volume-averaging theory for the study of the mechanics of collagen networks // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2007. - P. 2981-2990.
95. Suresh S. Biomechanics and biophysics of cancer cells // Acta Materialia. - 2007. - Vol. 55. -P. 3989-4014.
96. Suresh S. Connections between single-cell biomechanics and human disease states: gastrointestinal cancer and malaria // Acta Biomaterialia. - 2005. - Vol. 1. - P. 15-30.
97. Tao Y., Guo Q. The competitive dynamics between tumor cells, a replication-competent virus and an immune response // Journal Math. Biol. - 2005. - Vol. 51. - P. 37-74.
98. Tao Y., Guo Q. Simulation of a model of tumors with virus-therapy // International Series of Numerical Mathematics. - 2006. - Vol. 154. - P. 435-444.
99. Taylor C.A., Humphrey J.D. Open problems in computational vascular biomechanics: hemodynamics and arterial wall mechanics // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. - 2009. - Vol. 198. - P. 3514-3523.
100.Tzvetkova-Chevolleau T., Stephanou A., Fuard D., Ohayon J., Schiavone P., Tracqui P. The motility of normal and cancer cells in response to the combined influence of the substrate rigidity and anisotropic microstructure // Biomaterials. - 2008. - Vol. 29. - P. 1541-1551.
101.URL: www.biochemistry.ru
102.URL: www.rbk-expert. ural. ru
103.Van Vliet K.J., Bao G., Suresh S. The biomechanics toolbox: experimental approaches for living cells and biomolecules // Acta Materialia. - 2003. - Vol. 51. - P. 5881-5905.
104.Wang J.H.-C., Lin J.-S. Cell traction force and measurement methods // Biomechan. Model. Mechanobiol. -
2007. - Vol. 6. - P. 361-371.
105.Wang J.H.-C., Thampatty B.P. An introductory review of cell mechanobiology // Biomechan. Model. Mechanobiol. - 2006. - Vol. 5. - P. 1-16.
106.Ward J.P., King J.R. Mathematical modelling of drug transport in tumor multicell spheroids and monolayer cultures // Math. Bioscience. - 2003. - Vol. 181. - P. 177-207.
107.Ward K.A., Li W.I., Zimmer S., Davis T. Viscoelastic properties of transformed cells: role in tumor cell progression and metastasis formation // Biorheology. - 1991. - Vol. 28. - P. 301-313.
108.Wu J.T. Modeling and analysis of a virus that replicates selectively in tumor cells // Bulletin of Mathematical Biology. - 2001. - Vol. 63. - P. 731-768.
109.Wu J.T., Kirn D.H., Wein L.M. Analysis of a three-way race between tumor growth, a replication-competent virus and an immune response // Bulletin of Mathematical Biology. - 2004. - Vol. 66. -P. 605-625.
110.Yao H., Gao H. Mechanics of robust and releasable adhesion in biology: bottom-up designed hierarchical structures of gecko // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. - 2006. - Vol. 54. - P. 1120-1146.
111.Yao W., Gu L., Sun D., Ka W., Wen Z., Chien S. Wild type p53 gene causes reorganization of cytoskeleton and therefore the impaired deformability and difficult migration of murine erythroleukemia cells // Cell Motil. Cytoskeleton. - 2003. - Vol. 56. - P. 1-12.
112. You S.T., Qian G. A mathematical model of combined therapies against cancer using viruses and inhibitors // Science in China. Series A: Mathematics. - 2008. - Vol. 51. - P. 2315-2329.
113.Zhang G., Long M., Wu Z., Yu W. Mechanical properties of hepatocellular carcinoma cells // World Journal of Gastroenterology. - 2002. - Vol. 8. - P. 243-249.
114.Zhang L., Wang Z., Sagotsky J. A., Deisboeck T.S. Multiscale agent-based cancer modeling // Journal Math. Biol. - 2009. - Vol. 58. - P. 545-559.
MATHEMATICAL MODELLING AND BIOMECHANICAL APPROACH TO DESCRIBE THE DEVELOPMENT, THE DIAGNOSTICS, AND THE TREATMENT OF ONCOLOGICAL DISEASES
A.G. Kuchumov (Perm, Russia)
The development of oncological tumors is caused by different chemical, genetic, physiological, and mechanical factors, which occur either at the subcellular and cellular levels or at the tissue and organ levels. The real progress to reveal and describe the processes during the development of the cancer diseases, and also to create new methods and equipment for an early diagnostics and treatment can be observed in the last decades. On the one hand, the biotechnology and medicine development and on the other hand mathematical sciences and biomechanical investigations, which allow us to simulate the behavior of healthy and diseased cells and organs without complicated observations in vivo, have brought the substantional contribution to solution of this problem. In this paper, the review of processes occuring during the cancer onset and development, and also the role of mathematics and biomechanics to describe and explain these processes, and also the cancer tumors treatment is dicussed. It shoud to pay a special attention to the utilization of the new multi-scale models, which describe the disease state either at the microlevel or at the meso-scale and macro-scale.
Key words: cancer, cell mechanics, mechanotransduction, angiogenesis, multi-scale approach.
Получено 08 сентября 2010
