CC BY
16
УДК 539.3; 616.314
В.П. Неспрядько*, Е.В. Дорошенко H.H. Тормахов **, С.И. Дорошенко***
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФОРМЫ УПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ В ОРТОДОНТИЧЕСКОЙ АППАРАТУРЕ
*Национальный медицинский университет им. A.A.Богомольца, **Институт механики HAH Украины им. С.П.Тимошенко *** Киевский медицинский университет УАНМ
Введение
При лечении зубочелюстных деформаций возникает необходимость приложения ортодонти-ческого усилия к элементам зу-бочелюстного аппарата пациента [II. Это усилие создается с помощью ортодонтических аппаратов, в которых оно возникает в ходе функциональных движений нижней челюсти пациента, либо при использовании ортодонтических винтов или упругих элементов. Ортодонтические аппараты и элементы зубочелюстной системы пациента, на которые действует ортодонтическое усилие, аккумулируют упругую энергию, которая затем используется на коррекцию деформаций зубочелюстного аппарата.
Данная работа посвящена математическому моделированию формы упругих элементов, которые применяются в ортодон-тии для создания ортодонтических сил, необходимых для лечения зубочелюстных деформаций.
Результаты исследования и их обсуждение
В работе [2] было предложено использовать упругие элементы в виде петель, расположенных с лингвальной и вестибулярной сторон зубного ряда (см. рис. 1). Упругие элементы 1 концами 2 жестко закреплены в пластинке 3, которая фиксируется на опорных зубах, альвеолярных отростках и нёбе пациента. Второй конец упругих элементов плотно охватывает перемещаемый зуб 4. Благодаря тому, что упругий элемент 1 плотно охватывает перемещаемый зуб 4, на этот зуб со стороны упругого элемента может действовать не только ортодонтическое усилие Р, но и изгибающий момент М. Преимуществом таких упругих элементов по сравнению с упругими элементами прямолинейной формы является то, что они могут запасать большую величину упругой энергии. С точки зрения механики деформируемого твердого тела упругий элемент этого типа может классифицироваться как плоский симметрично нагруженный изгибающим моментом и осевой силой гибкий
стержень с защемленными концами (см. рис.2). Ортодонтические аппараты с такими упругими элементами могут передвигать зуб поступательно (корпусно) в дис-тальном или мезиальном направлениях, поворачивать его по- и против часовой стрелки вокруг его горизонтальной оси, а также комбинировать эти воздействия. Перечень возможных воздействий на зуб приведен в табл. 1.
При всех этих видах нагрузок, которые представлены в табл. 1, упругий элемент, установленный в ортодонтическом аппарате [2], в напряженном состоянии может иметь одну и ту же форму. Но, чтобы реализовать все комбинации воздействий на зуб, он должен при одной и той же форме в нагруженном деформированном состоянии иметь разную форму в разгруженном и ненапряженном состоянии.
Задачей данного исследования является определение формы упругих элементов в разгруженном состоянии для реализации
Таблица 1
Виды силового воздействия на перемещаемый зуб
1 Крутящий момент против часовой стрелки
2 Крутящий момент по часовой стрелке
3 Усилие, действующее в дистальном направлении
4 Усилие, действующее в мезиальном направлении
5 Крутящий момент против часовой стрелки и усилие, действующее в дистальном направлении
6 Крутящий момент против часовой стрелки и усилие, действующее в мезиальном направлении
7 Крутящий момент по часовой стрелке и усилие, действующее в дистальном направлении
8 Крутящий момент по часовой стрелке и усилие, действующее в мезиальном направлении
Вид А (повернено) м
всех возможных случаев ортодон-тического лечения.
Поставленная задача решается с использованием методов деформированного твердого тела [В]. В ходе математического моделирования сделаны допущения о малости упругих деформации, конечных перемещениях и поворотах точек поперечного сечения упругого элемента в одной плоскости и допущение о сохранении плоскими сечений упругого элемента в процессе его деформирования. Для решения этой задачи была разработана методика расчета формы упругого элемента в недеформированном и ненагру-женном состоянии по его форме в нагруженном состоянии, а также по нагрузкам, действующим на него. Разработанная методика была протестирована на примере изгиба стержня в форме четверти круга, защемленного одним концом и нагруженного на своем свободном конце сосредоточенной силой [4]. Расхождение перемещений, рассчитанных по формулам [4} и по приведенной методике, не превысило 0, 5 %, что свидетельствует о достоверности разработанной методики.
В качестве примера рассчитаем по предложенной методике форму упругого элемента в ненагружен-ном состоянии, который е нагруженном состоянии изображен на рис. 2 и имеет размеры Я = 3 мм, 1_ = 6 мм. В расчете полагали, что модуль упругости упругих элементов равен 2-105МПа. Толщина поперечного сечения упругого элемента была принята равной 0,1 мм, а его
ширина - 1, Б мм. Так как форма упругого элемента и приложенная на него нагрузка симметричны, то рассчитывали только половину профиля упругого элемента. При расчете были приняты такие нагрузки, при которых изгибающий момент в поперечном сечении упругого элемента не превышал величины X, 5 Нмм и остаточные деформации а упругом элементе не возникали.
М,Нм»
РисЗ
Рассмотрим случай воздействия на зуб только крутящего момента величиной М =1, 5 Нмм в направлении против часовой стрелки (поз. 1 табл. 1), Изгибающий момент при этом воздействии остается постоянным по длине стержня (прямая I на графике, который показан на рис. 3). Форма упругого элемента в разгруженном состоянии, рассчитанная по предложенной методике для этого случая нагружения зуба, показана кривой I на рис. 4. Утолщенной линией на рис. 4 дана форма упругого элемента в нагруженном состоянии.
В случае воздействия на зуб только усилия Р = 0, 25 Н, действующего в дистальном направлении, изгибающий момент по высоте стержня изменяется по закону И, показанному на рис. 3. Изгибающий момент достигает максималь-
но 1, 2
ной величины в нижней точке упругого элемента и равен М =1, 5 Нмм. Форма упругого элемента в разгруженном состоянии для этого случая нагружения зуба показана на рис. А кривой II.
В том случае, когда упругий элемент создает на зуб мезиаль-но направленное усилие Р = -О, 25 Н и крутящий момент М =1, 5 Нмм, действующий в направлении против часовой стрелки, график изменения изгибающего момента в зависимости от вертикальной координаты упругого элемента обозначен цифрой III (рис. 3). Максимальный изгибающий момент по длине упругого элемента возникает в этом случае нагружения в точке его контакта с перемещаемым зубом. Форма упругого элемента в разгруженном состоянии показана кривой Ш на рис. 4. Как можно видеть, форма кривой III очень близка к форме упругого элемента в нагруженном состоянии. Малое отличие этих кривых объясняется тем, что максимальные величины изгибающего момента и прогибы упругого элемента наблюдаются для
е <
4 •
Рис 4
этого случая 8 месте прикрепления упругого элемента к зубу, а в нижней части упругого элемента изгибающие моменты от действия М и Р взаимно уравновешивают друг друга. При этом углы наклона кривых 0 и 3 в точках контакта упругого элемента с зубом отличаются на 5
По результатам проведенных исследований можно сделать следующие выводы.
С помощью упругого элемента, который в напряженном состоянии имеет одну и ту же форму, можно нагружать перемещаемые зубы крутящим моментом, усилием или комбинацией этих нагрузок.
Для того, чтобы создать такие виды нагрузок на зуб, необходимо, чтобы упругие элементы в разгруженном состоянии имели соответствующую геометрию.
Предложены методика для расчета формы упругих элементов в разгруженном состоянии и соответствующая компьютерная программа для ее реализации, которая была тестирована в одном из видов нагружения упругого элемента. Приведены примеры расчета формы упругих элементов для случаев их нагружения только крутящим моментом, только усилием и совместным приложением крутящего момента и усилия.
Литература
1. Проффит У.Р. Современная ортодонтия / У.Р. Проффит. - М.: МЕДпресс-информ, 2006. - 560 с
2. Декларафйний патент на корисну модель № 43071 Апарат для мезюдистального перем1щення зуба. Дорошенко С.1, Кульпнський С.А., Довбенко С.А., Саранчук О.В., 1евлева Ю.В. , Дорошенко К.В. // Про-мислова власнкть, опубл. 27.07.09, Бюл. № 14.
3. Филин А.П. Прикладная механика твердого деформируемого тела / А.П. Филин - М.: Наука, 1975. -Т.1.- 832 с.
4. Тимошенко С.П. Сопротивление материалов / СП. Тимошенко. - М.: ОГИЗ. Гос. изд-во техн.-теор. лит-ры, 1946. - Т.2. - 456 с.
Стаття надшшла 30.09 2010 р.
Резюме
Запропоновано методику математичного моделювання форми пружних елемент1в ортодон-тичних апара-пв, призыачених для перемщення i повороту зуб!в, та комп'ютерну програму для 11 реал1зацп. Методика дозволяе розрахувати форму пружного елемента в розвантаже-ному сташ за формою пружного елемента в навантаженному стат та видом навантаження на зуб.
Ключов! слова: математичне моделювання, пружний елемент, ортодонтичний апарат, пе-рем1щення та поворот зубзв.
Summary
The technique of mathematical simulation of the form of elastic elements of the orthodontic devices intended for mowing and turning of teeth and the computer program for its realization is offered. The offered technique allows calculating the form of an elastic element in the unloaded state after its form in the loaded state and shape of loading on a tooth.
Key words: mathematical simulation, elastic element, orthodontic device, mowing and turning of the teeth.
