CC BY
9
УДК 004.422.8:539.2
ПЕТЕЛИН АЛЕКСАНДР ЕВГЕНЬЕВИЧ, аспирант, [email protected]
КОЛУПАЕВА СВЕТЛАНА НИКОЛАЕВНА, докт. физ.-мат. наук,
профессор,
Томский государственный архитектурно-строительный университет, 634003, г. Томск, пл. Соляная, 2
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФОРМИРОВАНИЯ ЗОНЫ КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКОГО СДВИГА В АЛЮМИНИИ
Для исследования образования зоны сдвига использован комплекс программ DDCS (Dislocation Dynamics of Crystallographic Slip), реализующий математическую модель динамики формирования элементарного кристаллографического скольжения и сдвига в материалах с ГЦК структурой. Рассчитаны масштабные, временные и энергетические характеристики кристаллографического скольжения в алюминии.
Ключевые слова: математическое моделирование, ГЦК материалы, зона кристаллографического сдвига, пластическая деформация, дислокация, комплекс программ.
PETELIN, ALEKSANDER EUGENJEVICH, P.G., [email protected]
KOLUPAEVA, SVETLANA NIKOLAYEVNA, Dr. of phys.-math. sc., prof., [email protected]
Tomsk State University of Architecture and Building,
2 Solyanaya sq., Tomsk, 634003, Russia
MATHEMATICAL MODELLING OF CRYSTALLOGRAPHIC SLIP ZONE IN ALUMINUM
Process of formation of crystallographic slip zone in aluminum has been investigated. Scale, time and energy characteristics of the slip zone have been calculated by software product of Dislocation Dynamics of Crystallographic Slip (DDCS).
Keywords: mathematical modeling, crystallographic slip zone, FCC materials, plastic deformation, dislocation, software product.
Кристаллографическое скольжение является одним из определяющих механизмов пластического формоизменения кристаллических тел. При исследовании кристаллографического скольжения его границу можно представить как замкнутую дислокационную петлю, отделяющую область, где произошло скольжение, от остальной части плоскости скольжения. Как правило, дислокационным источником генерируется серия дислокационных петель, формирующих зону кристаллографического сдвига.
Экспериментальные исследования динамики формирования зоны кристаллографического сдвига затруднительны ввиду своей трудоемкости и не-
© А.Е. Петелин, С.Н. Колупаева, 2010
обходимости использования специализированного оборудования. Актуальными и перспективными методами изучения кристаллографического сдвига в кристаллических материалах в настоящее время являются имитационное и математическое моделирование.
В настоящей работе исследование выполнено с использованием математической модели динамики дислокаций при формировании зоны кристаллографического сдвига, записанной исходя из закона сохранения энергии и представленной в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений [1-4]:
УОЪ 2(/ -1)
(1)
" -
&
Здесь г и ^ - текущий радиус и время движения расширяющейся дислокационной петли; - кинетическая энергия единицы длины /-й расширяю-
щейся дислокационной петли; т - действующее на дислокационный источник напряжение; тк = ту + т&; ту - напряжение решеточного и примесного трения; т& = aGbp1/2 - дислокационное сопротивление движению дислокации; а - безразмерный параметр, характеризующий интенсивность междислокационных взаимодействий [5]; в0 - энергия единицы длины покоящейся дислокации; G -модуль сдвига; Ъ - модуль вектора Бюргерса; В - коэффициент вязкого торможения движущейся дислокации; В = Вгт/(ОЪр) - средний диаметр зоны сдвига [5, 6]; Вг - вычисляемый параметр; р - плотность дислокаций; с - поперечная скорость звука в металле; Р = (Р]РД)/8; Р] - доля порогообразующих дислокаций некомпланарных систем скольжения; рж - доля порогов на околовинтовых сегментах дислокационной петли; £, - множитель Смоллмена; У = (2 - у)/(2л(1 -V)); V - коэффициент Пуассона.
В математической модели динамики замкнутой дислокационной петли (1) учтены силы Пича - Кёлера, обусловленные приложенным воздействием, и силы сопротивления движению дислокаций, обусловленные решеточным, примесным и дислокационным трением, линейным натяжением, генерацией точечных дефектов, обратными полями напряжений со стороны скопления ранее испущенных дислокаций и вязким торможением [1-4].
Заметим, что число дислокационных петель в зоне сдвига может достигать десятков, сотен и тысяч дислокаций. Для получения характеристик зоны кристаллографического сдвига требуется провести расчеты для каждой из дислокаций зоны сдвига, то есть провести сотни вычислительных экспериментов; при проведении параметрического анализа количество вычислитель-
ных экспериментов увеличивается многократно. Как следствие, возникают проблемы хранения и обработки большого объема данных, организации сложной структуры данных, представления данных в удобном исследователю виде, обеспечения автоматизации их анализа.
Для преодоления обозначенных выше проблем и автоматизации исследования кристаллографического скольжения авторами создан комплекс программ Dislocation Dynamics of Crystallographic Slip (DDCS). С использованием комплекса программ возможно проведение как единичных расчетов динамики формирования зоны кристаллографического сдвига, так и серии расчетов при выбранном варьируемом параметре модели (например, температуре, плотности дислокаций, значении приложенного напряжения) и заданных пределах его изменения [4, 7-13].
Чтобы выявить влияние сопротивления, связанного с генерацией точечных дефектов движущейся дислокации, на динамику распространения скольжения, проведены расчеты как с учетом, так и без учета генерации точечных дефектов при движении дислокации. Для дислокации, генерирующей точечные дефекты, предполагается, что сопротивление движению дислокации, связанное с производством точечных дефектов, равномерно распределено по всей длине петли. Отметим различия в поведении первой испущенной дислокационным источником дислокационной петли. Дислокация, испытывающая сопротивление, связанное с генерацией точечных дефектов, останавливается после некоторого пробега, и значение радиуса остановившейся дислокации определяет диаметр зоны сдвига. Для дислокации, не производящей точечные дефекты, пробег первой дислокации ограничен величиной среднего диаметра зоны сдвига D [5, 6].
Основные закономерности формирования элементарных кристаллографических скольжений в различных материалах определяются, прежде всего, характеристиками (свойствами) материала. В настоящей статье исследование проведено для алюминия, который достаточно широко применяется в строительстве. Расчеты выполнены при следующих значениях параметров модели: Tf = 1 МПа, а = 0,5, P = 1/96, р = 1012 м-2; значения модуля сдвига G и коэффициента вязкого трения B при различных значениях температуры использованы по данным [14-16].
Результаты расчетов показали, что изменение действующего на дислокационный источник напряжения существенно влияет на число дислокаций в зоне сдвига и менее выражено - на ее диаметр. Число дислокаций в зоне сдвига увеличивается как с ростом температуры, так и с ростом действующего на дислокационный источник напряжения (рис. 1, а). Выявлено также существенное влияние на динамику формирования зоны сдвига сопротивления, связанного с генерацией точечных дефектов. Так, количество дислокаций в зоне сдвига в отсутствие генерации точечных дефектов на порядок больше количества дислокаций при генерации точечных дефектов.
Зависимость количества дислокаций в зоне сдвига от действующего на дислокационный источник напряжения имеет нелинейный характер, наиболее выраженный при больших значениях действующего напряжения для дислокаций, не производящих точечные дефекты, и менее выраженный -
для дислокаций, производящих точечные дефекты (рис. 1, а). Радиус зоны сдвига имеет линейную зависимость как от температуры, так и от действующего на дислокационный источник напряжения (рис. 1, б), при этом для дислокаций, не производящих точечные дефекты, значение радиуса зоны сдвига на порядок величины больше, чем для дислокаций, производящих точечные дефекты.
т, МПа х, МПа
Рис. 1. Зависимость количества дислокаций в зоне сдвига (а) и радиуса зоны сдвига (б) от действующего напряжения для дислокаций, производящих (кривые 4-6) и не производящих (1-3) точечные дефекты, температура: 273 К (3, 6), 298 К (2, 5), 338 К (1, 4)
Пробег дислокации уменьшается с увеличением её порядкового номера в скоплении (рис. 2, б, 3, б), причем для дислокаций, производящих точечные дефекты, различие длин пробега двух последующих дислокаций больше, чем для дислокаций, не производящих точечные дефекты. Пробег дислокации, не производящей точечные дефекты, на порядок величины больше длины пробега дислокации, производящей точечные дефекты.
С увеличением порядкового номера дислокации в скоплении время её движения увеличивается для дислокаций, не производящих точечные дефекты (рис. 2, а, б, в), и уменьшается для дислокаций, производящих точечные дефекты (рис. 3, а, б, в).
Максимальное значение кинетической энергии единицы длины дислокации, испущенной дислокационным сегментом-источником, уменьшается с увеличением её порядкового номера. Для первой испущенной дислокационным источником дислокации, не производящей при своем движении точечные дефекты, максимальное значение кинетической энергии единицы длины дислокации примерно в два раза больше, чем в случае генерирующей точечные дефекты дислокации. С увеличением порядкового номера дислокации в скоплении разница между максимальными значениями кинетической энергии единицы длины дислокации, производящей и не производящей точечные дефекты, становится более существенной, и для 150-й дислокации достигает порядка величины (рис. 2, а, 3, а).
/, МКС
I, МКС
о
2
Ь*
МКС
г, 10 м
Рис. 2. Зависимость кинетической энергии единицы длины дислокации (а), её радиуса (б) и скорости (в) от времени и зависимость кинетической энергии единицы длины дислокации от её радиуса (г) для 1-й (кривая 1), 10-й (2), 60-й (3) и 150-й (4) дислокаций, не производящих точечные дефекты. Температура - 293 К, действующее напряжение - 10 МПа
0,0 0,5 1,0
/, МКС
Л мкс
/, мкс г, 10 м
Рис. 3. Зависимость кинетической энергии единицы длины дислокации (а), её радиуса (б) и скорости (в) от времени и зависимость кинетической энергии единицы длины дислокации от её радиуса (г) для 1-й (кривая 1), 10-й (2), 60-й (3) и 150-й (4) дислокаций, производящих точечные дефекты. Температура - 293 К, действующее напряжение - 10 МПа
Для дислокации, производящей точечные дефекты, характерно более быстрое убывание скорости и кинетической энергии единицы длины дислокации, чем для дислокации, не производящей точечные дефекты.
Выводы
В результате исследования показано, что существенное влияние на характеристики зоны сдвига оказывают действующее на дислокационный источник напряжение и температура. При этом изменение температуры оказывает менее выраженное влияние, чем изменение действующего на дислокационный источник напряжения.
Выявлено также существенное влияние на динамику формирования зоны сдвига сопротивления, связанного с генерацией точечных дефектов. Так, для дислокаций, не производящих точечные дефекты, количество дислокаций в зоне сдвига и ее радиус на порядок величины больше, чем для дислокаций, производящих точечные дефекты. Скорость дислокаций, не производящих точечные дефекты, и кинетическая энергия также выше, а с увеличением порядкового номера дислокации в скоплении разница между максимальным значением кинетической энергии единицы длины дислокации, производящей и не производящей точечные дефекты, может достигать порядка величины и более.
Библиографический список
1. Дислокационная динамика кристаллографического скольжения / Л.Е. Попов, С.Н. Колупаева, Н.А. Вихорь [и др.] // Известия вузов. Физика. - 2000. - № 1. - С. 71-76.
2. Dislocation dynamics of elementary crystallographic shear / L.E. Popov, S.N. Kolupaeva, N.A. Vihor, S.I. Puspesheva // Computational Materials Science. - 2000. - V. 19. -P. 267-274.
3. Пуспешева, С.И. Динамика кристаллографических скольжений в меди / С.И. Пуспешева, С.Н. Колупаева, Л.Е. Попов // Металловедение. - 2003. - № 9. - С. 14-19.
4. Петелин, А.Е. Автоматизация исследования кристаллографического скольжения в ГЦК металлах / А.Е. Петелин, С.Н. Колупаева // Известия Томского политехнического университета. - 2010. - Т. 316. - № 5. - C. 141-146.
5. Попов, Л.Е. Пластическая деформация сплавов / Л.Е. Попов, В.С. Кобытев, Т.А. Ковалевская. - М. : Металлургия, 1984. - 182 с.
6. Попов, Л.Е. Концепция упрочнения и динамического возврата в теории пластической деформации / Л.Е. Попов, В.С. Кобытев, Т.А. Ковалевская // Известия вузов. Физика. -1982. - № 6. - С. 56-82.
7. Самохина, С.И. Программная поддержка исследования зоны сдвига в г.ц.к. металлах / С.И. Самохина, А.Е. Петелин, С.Н. Колупаева // Актуальные проблемы информатики и информационных технологий: материалы Х Межд. науч.-практич. конф., Тамб. гос. ун-т. - Тамбов : Изд-во ТГУ им. Г.Р. Державина, 2006. - С. 148-150.
8. Самохина, С.И. Разработка программного комплекса для моделирования зоны сдвига в г.ц.к. металлах / С.И. Самохина, А.Е. Петелин // Вестник ТГУ. Приложение. - 2006. -№ 18. - С. 141-145.
9. Самохина, С.И. Комплекс программ для исследования зоны кристаллографического сдвига / С.И. Самохина, А.Е. Петелин, С.Н. Колупаева // Прикладные задачи математики и механики: материалы XIV Международной научной конференции ученых Украины, Белоруссии, России. - Севастополь : Изд-во СевНТУ, 2006. - С. 48-51.
10. Самохина, С.И. Моделирование зоны кристаллографического сдвига в ГЦК металлах. Численное решение системы жестких дифференциальных уравнений / С.И. Самохина,
А.Е. Петелин, С.Н. Колупаева // Вестник ТГУ. Приложение. - 2007. - № 23. -С. 333-338.
11. Самохина, С.И. Исследование дислокационной динамики кристаллографического скольжения. База данных программного комплекса DDCS / С.И. Самохина, А.Е. Петелин, С.Н. Колупаева // Прикладные задачи математики и механики: материалы XV Межд. научн. конф. ученых Украины, Беларуси, России. - Севастополь : Изд-во Сев-НТУ, 2007. - С. 274-277.
12. Колупаева, С.Н. Программный комплекс «Dislocation Dynamic of Crystallographic Slip» / С.Н. Колупаева, С.И. Самохина, А.Е. Петелин // Прикладные задачи математики и механики. Материалы XVI Международной научно-технической конференции. - Севастополь : Изд-во СевНТУ, 2008. - С. 262-266.
13. Колупаева, С.Н. Комплекс программ для исследования кристаллографического скольжения в ГЦК металлах. Вычислительный модуль / С.Н. Колупаева, С.И. Самохина,
A.Е. Петелин // XVII Международная научно-техническая конференция «Прикладные задачи математики и механики». - Севастополь : Изд-во СевНТУ, 2009. - С. 35-39.
14. Hikata, A. Interaction of dislocations with electrons and phonons / A. Hikata, R.A. Jonson, C. Elbaum // Phys. Rev. - 1970. - V. B2. - P. 4856-4863.
15. Старцев, В.И. Прочность и пластичность металлов при низких температурах /
B.И. Старцев, В.А. Ильичёв, В.В. Пустовалов. - М. : Металлургия, 1975. - 382 с.
16. Готтштайн, Г. Физико-химические основы материаловедения / Г. Готтштайн. - М. : Бином. Лаборатория знаний, 2009. - 400 с.
