CC BY
5УДК: 539.12.05.072
Математическое моделирование энерговыделения РЭП в аморфном теле
В.С. Виноградов, О.Н. Третьякова, В.В. Чередов
Исследование процессов прохождения пучков заряженных частиц через различные среды и связанных с этим явлений представляет интерес как для теоретических исследований, так и для практических приложений. В данной работе представлен алгоритм моделирования прохождения пучка релятивистских электронов (РЭП) через аморфные тела (среды с неупорядоченной атомной структурой). Для расчета нагрева тела в результате выделения энергии решается уравнение теплопроводности для цилиндрически симметричной мишени.
Исследование свойств различных веществ с помощью электронных пучков и генерируемого ими электромагнитного излучения является наиболее распространенным и перспективным физическим методом. Варьируя параметры РЭП, можно получать электромагнитное излучение с заранее заданными характеристиками: длиной волны, поляризацией, интенсивностью и другими свойствами. Так, например, в рентгеновском диапазоне излучение применяется при исследовании электронной структуры твердых тел, жидкостей и газов, при анализе структуры упорядоченных и частично упорядоченных систем: кристаллов, макромолекул и т.д.
Задачи переноса электронов можно решать исходя из различных подходов. Во-первых, можно решать кинетическое уравнение переноса электронов. Этот путь при учете различных каналов взаимодействия электронов очень трудоемкий, особенно если мишень имеет границы сложной формы. Гораздо более удобен и естественен для решения такого рода задач метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). Существует множество различных схем метода Монте-Карло, применяемых в решении задач переноса электронов и других видов излучения [1, 2]. Эти схемы различаются, во-первых, по способу выбора длин пробегов между двумя последовательными взаимодействиями и, во-вторых, по способу учёта потерь энергии при взаимодействии частиц с веществом.
В данной работе предусматривается схема, близкая к схеме индивидуальных соударений. Рассматриваются два основных механизма взаимодействия электронов с веществом: упругое рассеяние в экранированном поле ядер и ионизация атомов вещества. Упругое рассеяние в экранированном поле ядра, задаваемым потенциалом вида:
V = - — Ф(г), r
где Ф(г) - функция экранирования [3]. Дифференциальное сечение рассеяния
da dQ
на таком
потенциале может быть описано формулой Резерфорда с параметром экранирования Л
da
-2 Z2 (1 -р2)
dQ р4(l - cos 6 + 2ц) ' где параметр экранирования имеет вид
(2)
Т = 1,7 -10 -5 Z
с
5 7/3
1 -Р'
Р'
1,13 + 3,76
а
(3)
dQ - элемент телесного угла, в который происходит рассеяние, О - угол рассеяния по отношению к предыдущему направлению, Р = , V - скорость электрона, С - скорость света,
и = - постоянная тонкой структуры. Полное сечение упругого рассеяния вычисляется
интегрированием дифференциального сечения рассеяния по всему допустимому диапазону углов рассеяния. Полное сечение ионизации вычисляется по формуле Гризинского [3]
a,on (E)=P^0 Z П
f R^
V I J
mc
1 +- f
E
2 2 mc mc
1 + 2-
E
1E 1 + — ln — 3 I
(4)
i J
где го - радиус первой боровской орбиты, ^ - постоянная Ридберга, тс2 - энергия покоя электрона, II - потенциал ионизации i -ой оболочки атома, П - количество электронов на I -ой оболочке, р - плотность материала.
Длина пробега между двумя последовательными парными взаимодействиями рассчитывается исходя из обратных сумм индивидуальных процессов столкновения
^, (5)
где - пробег по отношению к упругому рассеянию, - пробег по отношению к ионизации.
Для расчета потерь энергии наиболее проста модель непрерывного замедления, основанная на выражении для средних потерь энергии на единице пути, рассчитываемых по формуле Бете-Блоха [3]. Соответственно, потери энергии на длине пути А? определяются следующим образом
dE
En En+1 =
ds
(Sn - S n+1).
(6)
где Еп , Еп +1 - энергии в точках траектории , 5и+1, = - ,
; (е + 2тс2)
dE 2nr0 f 2N. ) 2
- 01 A mc
ds р2
M
f s2' ln —
212 mc2
-1+р2 )+(1 -р2)+8 (1 -vT-р
(7)
0
2
где I - средний потенциал ионизации для данного атома, М - молярная масса, е - энергия электрона, NА - число Авагадро.
Алгоритм построения электронной траектории состоит из следующих этапов: 1. Разыгрывается длина пробега электрона из функции распределения
F (А ) = 1 - ехр[—т(А)], (8)
где
Ау
(Ау ) = !-
ds
\ ( у )
(9)
- свободный пробег до взаимодействия.
2. Вычисляются декартовые координаты точки /-го взаимодействия
х, = х, , + Аз.а. , •
/ / — 1 / / — 1 5
у/ = у,— + д—1; = —1 + ,
где хо, У о, ^ о - начальные координаты частицы; «о, До, %с косинусы вектора скорости частицы
(10)
начальные направляющие
= «,—1& — (Д,—1 ' + «,■—1%/—1 со' 1—&
2 Л/2
1 — %и
Дг = Д, —1- — —1 Sin ' + Д,—1%,—1 СО' -2
х У
2 Л/2
1 — %,—1
(11)
%, = %,—1-
1& — (1 — %11
' 1—&2 V2
,1—%/-1
Здесь - = с^в , ' - азимутальный угол, отсчитываемый от плоскости, проходящей через вектор —1 ; Д—1 ; —1) и ось OZ. Здесь ' разыгрывается из равномерного распределения: ' = 2п( , где ( - случайная величина, принимающая значения от 0 до 1.
3. Проверяется, не произошло ли пересечение границы среды, заданной соответствующими уравнениями: плоскости, поверхности второго порядка или других поверхностей. Если пересечение произошло, начинается новая траектория, а старая сохраняется для дальнейшей обработки.
4. Для следующего атома сначала разыгрывается тип элементарного процесса: упругое рассеяние или ионизация.
5. Для данного процесса и данной энергии электрона определяется результат взаимодействия розыгрышем:
а) угла рассеяния при упругом взаимодействии из распределения
1 в1 Ла
F{в<вх) = - Г^ЛО,
гг 1 ,
а 0 ЛО (12)
вычисленного заранее и хранящегося в архиве данных;
б) потери энергии \К в неупругих взаимодействиях из соответствующих дифференциальных распределений.
6. Определяется выполнение критерия обрыва траектории по энергии е < ео, где ео -некоторая минимальная энергия электрона, при которой тепловыделением можно пренебречь. Если это условие выполняется, то начинается новая траектория.
При взаимодействии РЭП с твердотельной мишенью происходит её нагрев, неравномерный в продольном и радиальном направлениях. Так как время распространения тепла на расстояния порядка размеров мишени сравнимо с длительностью импульса (порядка 10-3 с), то за счет теплопроводности температурное поле будет перераспределяться внутри мишени. Этот процесс описывается нестационарным уравнением теплопроводности, которое для цилиндрически симметричной мишени имеет вид
би 1 б Л би Л б Л би л .
= кггИ кгw(г,^'),
Ы Г *Г V *г ) *2 \ *2 )
(13)
где р - плотность материала, к - коэффициент теплопроводности, с - удельная теплоёмкость, W - тепловыделение РЭП. Граничные условия для уравнения записываются в виде:
би *г
= 0,
*г
= 0,
г=R
(14)
что соответствует отсутствию потока через боковую поверхность (тонкий диск), цилиндрической симметрии нагрева и изотропности мишени, и
би
*и
(15)
что соответствует описанию излучения диска через торцевые поверхности как излучения абсолютно чёрного тела. Предполагается, что в начальный момент времени температурное поле внутри мишени однородно
и(г, Ё,0) = ио. (16)
Решение уравнения (13) проводится численным методом, для чего выполняется дискретизация его и условий (14-16). Аппроксимация конечными разностями имеет второй порядок точности для уравнений, для начальных и граничных условий. Полученная система линейных уравнений
г=0
4
аи
4
аи
2=0
2=Ь
решается методом итерации с помощью программ библиотеки NAG Mark 9B. Итерации по времени выполняются до завершения действия импульса.
На рисунке представлено распределение температуры вдоль трубки T(z), где z - продольная координата, с внутренним диаметром 0,01 см и толщиной стенки 0,005 см для различных материалов мишени. Из анализа этих результатов видно, что наиболее интенсивный нагрев происходит для трубок из более тяжелых элементов. Максимальная температура нагрева для вольфрама T=4650 К, для молибдена T=2774 К и для бериллия T=2185 К при следующих характеристиках пучка: энергия электронов пучка 100 кэВ, плотность тока 0,1 А/см2, разброс угла падения 0,1 рад, длительность импульса 103 сек.
Т, 0.43х103 К 1 0 9
8
7
6
5
4
3
2
1 0
0.0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8
z, 10 3 cm
Рис. 1. Распределение температуры по длине цилиндрической мишени для различных материалов: 1 - вольфрам, 2 - молибден, 3 -бериллий.
Предложенный метод учета теплопроводности позволяет рассмотреть динамику температурного поля в облучаемой мишени, а также получить распределение температуры после окончания действия пучка.
Литература
1. Аккерман А.Ф. Моделирование траекторий заряженных частиц в веществе. М.: Энергоатомиздат, 1991. -190 с.
2. Аккерман А.Ф., Никитушев Ю.М. Решение методом Монте-Карло задач переноса быстрых электронов в веществе. Алма-Ата: Наука, 1972. - 324 с.
3. Мотт Н., Месси Г. Теория атомных столкновений. М: Мир, 1969. - 742 с.
СВЕДЕНИЯ О СОАВТОРАХ
Виноградов Владимир Сергеевич, доцент кафедры физики Московского авиационного института (государственного технического университета); к. ф.-м. н.; Телефон: 158-48-24, e-mail: vin 42@ rambler. ru
Третьякова Ольга Николаевна, профессор кафедры физики Московского авиационного института (государственного технического университета), к. ф.-м. н.; Телефон: 158-86-98, 8(916)542-03-18, e-mail: tretiyakova_olga@mail.ru
Чередов Владимир Викторович, с.н.с. кафедры вычислительной математики и программирования Московского авиационного института (государственного технического университета); Телефон: 190-61-61, e-mail: cheredov@ mail . ru
