CC BY
210
УДК 519.2:336-051 ББК 65B631
Бурмистрова Наталия Александровна
кандидат педагогических наук г.Омск
Burmistrova Natalia Alexandrovna
Candidate of Pedagogics,
Omsk
Математическое моделирование экономических процессов как средство формирования профессиональной компетентности будущих специалистов финансовой сферы
Mathematical Modeling of Economic Process as the Means to Develop Professional Competence of Future Specialists in Finance
В статье рассмотрены возможности применения математического моделирования в качестве средства формирования профессиональной компетентности будущих специалистов финансовой сферы. Определена «ведущая функция» дисциплины «Математика» и выделены типы математических моделей в основных разделах курса, используемые для анализа реальных экономических процессов.
The possibilities to use mathematical modeling as the means to develop professional competence of future specialists in financial sphere are considered in this article. The author defines the leading function of mathematics and shows the types of mathematical models in units that can be used for analysis of actual economic processes.
Ключевые слова: математическое моделирование экономических процессов, профессиональная компетентность специалиста, средства формирования профессиональной компетентности, государственный образовательный стандарт, «ведущая функция» учебной дисциплины «Математика».
Key words: mathematical modeling of economic process, professional competence of a specialist, means of professional competence development, state educational standard, the leading function of mathematics.
В положениях Болонской декларации, обеспечивающей интеграцию российской высшей школы в пространство европейского образования, в качестве основного содержится пункт о необходимости использования компетентност-ного подхода, ориентированного, прежде всего, на профессиональную подготовленность выпускников к трудовой деятельности.
Выступая в роли результата профессионального образования, компетентность рассматривается как интегративное, формируемое качество личности, совокупность необходимых умений, опыта и принятых ценностей, обеспечивающих способность специалиста выполнять профессиональные функции в соот-
ветствии с установленными в социуме в конкретный исторический момент нормами, стандартами и требованиями ?3?.
Обращаясь к вопросу о средствах формирования профессиональной компетентности, следует заметить, что профессионально ориентированное образование предусматривает три уровня целей ?1?, которые применительно к высшей школе можно представить следующим образом:
■ глобальный уровень (педагогическая интерпретация социального заказа, отраженная в государственном образовательном стандарте);
■ этапный уровень (дифференциация глобальной цели в основные цели по этапам подготовки: бакалавриат, магистратура);
■ оперативный уровень (формулирование целей изучения учебных дисциплин, составляющих содержание образования).
В соответствии с предложенной иерархией уровней целей высшего профессионального образования нами был проведен анализ ГОС ВПО специальностей направления 080100 «Экономика». Результаты анализа позволили определить основную цель обучения будущих специалистов финансовой сферы в высшей профессиональной школе как подготовку к профессиональной работе в государственных органах федерального, регионального и муниципального уровня; банках, биржах, финансовых и страховых компаниях, инвестиционных фондах, Министерстве финансов РФ, экономических службах предприятий и организаций всех форм собственности, на должностях, требующих высшего экономического образования ?2?.
Обозначенная общая цель определяет содержание образования и, включая в себя основные задачи обучения (получение знаний, опыта осуществления известных способов деятельности, опыта творческой деятельности), является основой для всех последующих целей, в том числе целей обучения математике. Учитывая данный факт, выделим основную цель изучения дисциплины «Математика», ради которой она включена в учебный план.
В соответствии с требованиями ГОС к обязательному минимуму содержания основной образовательной программы учебная дисциплина «Математика» включает три взаимосвязанных блока:
■ математические структуры и методы их анализа;
■ математические модели и моделирование различных процессов и явлений;
■ вычислительная математика и использование компьютерных технологий.
Состояние и перспективы развития современного образования диктуют
необходимость увеличения в процессе обучения удельного веса именно второго блока, тогда как в течение последних лет преувеличивают роль, по сути, вспомогательного третьего блока, да и первый блок сегодня выглядит несколько гипертрофированным и часто вызывает неприязнь у студентов.
Принимая во внимание вышесказанное, и учитывая результаты анализа требований квалификационной характеристики ГОС ВПО, профессионального поля и профессиональной деятельности специалиста финансовой сферы выделим «ведущую функцию» дисциплины «Математика», которая в контексте реализации общей цели обучения, состоит в формировании у студентов способов деятельности, необходимых для выполнения профессиональных функций.
Цель учебной дисциплины «Математика», отождествляя «ведущую функцию» курса, позволяет, в свою очередь, определить содержание математической подготовки будущих специалистов финансовой сферы. При этом очевидно, что содержание математических знаний, умений и навыков студентов не должно ограничиваться изучением теоретического материала и решением задач абстрактного характера. Оперируя математическими понятиями, студенты должны научиться исследовать конкретные профессиональные объекты, их взаимодействие, что, в свою очередь, обеспечивается возможностью использования метода математического моделирования реальных экономических процессов.
Ввиду того, что существует несколько вариантов включения математического моделирования в учебный процесс, представляется целесообразным введение элементов моделирования в общий курс математики в качестве одной из
содержательно-методических линий. В ходе реализации этой линии студенты должны получить представление о сущности формализации и о методе моделирования, научиться строить и исследовать простейшие, характерные для будущей профессиональной деятельности модели. Учитывая требования ГОС ВПО экономических специальностей в части содержания учебной дисциплины «Математика», выделим типы математических моделей, используемые для анализа реальных экономических процессов при обучении математике (табл. 1).
Содержание таблицы показывает, что практически каждый раздел курса «Математика» предполагает обращение к различным математическим моделям, их построению, исследованию, что оказывает ощутимую помощь при анализе моделируемых с их помощью экономических процессов, интерпретации полученных результатов и принятии качественных решений в будущей профессиональной деятельности.
Таблица 1
№ Раздел курса «Математика» Математические модели Экономические процессы
1 Элементы аналитической геометрии Вектор; уравнение линии; уравнение поверхности Представление экономических величин в векторной форме; определение рыночного равновесия в модели спроса и предложения
2 Линейная алгебра Матрица; уравнение; система линейных уравнений Функционирование экономического объекта в рамках соответствия затрат выпуску
3 Введение в исследование операций Система линейных неравенств; платежная матрица; граф; сетевой график Максимизация прибыли, минимизация издержек при заданных ограничениях; сетевое планирование
4 Математический анализ Числовая последовательность; функция; предел функции; производная функции; коэффициент эластичности функции; интеграл; дифференциальное уравнение Непрерывное начисление процентов; расчет предельных величин, коэффициентов эластичности; определение объема выпуска продукции; дисконтирование денежных потоков
5 Элементы теории вероятностей и математической статистики Вероятность случайного события; функция распределения случайной величины; закон распределения случайной величины Расчет надежности ценных бумаг; определение качества продукции, суммы страхового взноса
В качестве примера продемонстрируем возможности использования коэффициента эластичности функции в роли математической модели при исследовании экономических проблем. В этой связи, обратимся к рассмотрению понятия относительной производной (эластичности) функции ?4?.
Дх
Рассмотрим функцию у = /(х). Если Ах - приращение аргумента, то — ?
х
относительное приращение аргумента. Тогда эластичностью функции у = / (х) в точке х называют предел отношения относительного приращения функции
г Дх ^
гДу_ л V у у
к относительному приращению аргумента
V х у
при Дх^-0, т.е.
11т 'Ду Дх ^ = 11т ( л л Ду х
Дх^-0 V у х у Дх^-0 у Д
х Ду х
= —11т= — •уХ
у ДхДх у
х
Ех (у) = у ' ух - коэффициент эластичности у по
х
(1)
Из определения эластичности следует, что при достаточно малых Ах выЕ () ~Ду • Дх
полняется приближенное равенство Ех(у) ~ у ■ х или
Ду Дх
~ Ех (у) ' при Дх^-0
ух
(2)
Таким образом, эластичность есть коэффициент пропорциональности между относительными изменениями величин у и х, т.е. Ех (у) показывает приближенно на сколько процентов изменится у при изменении х на 1%.
Пример 1. Найти эластичность функции у = / (х) в точке х
1) у = 2 х - 6 , х 0 = 4
2) у = 5 - х, х0 = 3.
Решение
1) Ех (у) =
х
(2 х - 6) =
2 х
х
2х - 6 2х - 6 х - 3
Вычислим значение коэффициента эластичности функции при х = 4
х
Е=4( у) = ^ = 4.
Таким образом, при повышении х на 1% значение функции увеличится на
х — х — 3 — 3
2) Ех(у) = — (5-.)' = 5-х^ Е,=3(у) = 53-3= т = -и.
Следовательно, при увеличении х на 1% значение у уменьшится на 1,5% (соответственно при уменьшении х на 1% значение у увеличится на 1,5%).
В общем случае, положительное значение коэффициента эластичности показывает, что относительное (процентное) изменение переменных х и у происходит в одном направлении. Отрицательное значение коэффициента эластичности демонстрирует изменение переменных х и у в разных направлениях.
Ввиду того, что эластичность характеризует процентный прирост функции на 1% прироста аргумента, то в качестве меры реагирования одной переменной величины на изменение другой (обычно выраженных в различных единицах измерения) эластичность используется во многих областях экономики. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 2. Зависимость себестоимости о объема производства выражает формула С = 50 - 0,5х. Требуется определить эластичность себестоимости при выпуске продукции х = 10. Какие рекомендации можно дать относительно изменения объемов выпускаемой продукции?
Решение
В силу определения эластичности функции получаем Ех (С) = —-— С'(х) =--------х------(50 - 0,5х)' = - 0,5х
С(х) 50 - 0,5х 50 - 0,5х ‘
Вычислим значение коэффициента эластичности функции С (х) при х = 10
Ех=ю(С) = -0,11.
Следовательно, при данном объеме выпуска продукции (10 единиц) увеличение количества продукции на 1% приведет к снижению себестоимости при-
мерно на 0,11%, что, в свою очередь, свидетельствует о рациональности расширения производства.
Аналогично, используя в качестве математической модели коэффициент эластичности, можно исследовать функцию затрат относительно объема выпускаемой продукции, функцию выручки относительно цены и т.д.
Пример 3. Зависимость между количеством выпускаемых деталей в партии х (тыс.ед.) и затратами на их изготовление у (тыс.руб.) для предприятий от-
= 27 6
расли выражает уравнение У = + 6 . Найти эластичность затрат для пред-
х
приятий, выпускающих 10 тысяч деталей в партии.
Решение
Вычислим коэффициент эластичности затрат относительно количества выпускаемых деталей в партии
77 ( \ х , х Ех (У) = — У =
У 27
у —+ 6
V х у
+ 6
х
2
27
V х 2 у
27
27 + 6 х
27 + 6 х
- + 6 ' -х
Определим значение коэффициента эластичности затрат для предприятий, выпускающих 10 тысяч деталей в партии
27 27
Ех=10 (У) =---------------=--------= -0,31
х=10 27 + 6 • 10 87
Таким образом, при увеличении на 1% количества деталей в партии затраты соответственно уменьшатся на 0,31%.
Рассмотрим возможности использования коэффициентов эластичности спроса и предложения в анализе и прогнозировании ценовой политики.
Пусть В(р) ? функция спроса д по цене р, значения которой убывают с
ростом цены (рис. 1). Поскольку в экономической теории ось цен принято располагать вертикально, то обычно график функции спроса представляют в виде обратной зависимости В(д), где по оси абсцисс - д (объем спроса), по оси ординат - р (цена) (рис. 2). Однако аналитическое выражение, используемое для анализа функции спроса, имеет вид В = В (р).
Аналогично можно определить аналитическое (5 = 5(р)) и графическое (рис. 3) представление возрастающей функции предложения.
То, в какой мере объем спроса (предложения) сокращается (возрастает) при данном повышении цены, характеризует эластичность спроса (предложения) в зависимости от цены. Коэффициенты эластичности основных рыночных категорий показывают на сколько процентов изменится спрос (предложение) при изменении цены на 1% и определяются формулами
Р
Ер(В) = г л • В'(р) ? коэффициент эластичности спроса
Ер (5)
В(р) Р
5 (р)
(3)
5 (р) ? коэффициент эластичности предложения(4)
Ввиду того, что функция В(р) ? убывающая, то В'(р) < 0, и поэтому обычно Ер (В) < 0. Напротив, функция предложения 5(р) возрастающая и Ер (5) > 0.
Пример 4. Функцию спроса на товар определяет формула В( р) = 100 - 3 р. Найти эластичность спроса при цене 20 ден.ед.
Решение
Найдем коэффициент эластичности спроса
Ер (В) = А • (100 - 3р)'= 3р
100 - 3 р 100 - 3 р-
Вычислим значение коэффициента эластичности при р = 20
- 3 • 20
1,5.
100 - 3•20
Полученный результат показывает, что при повышении цены на 1%, спрос снижается на 1,5%.
Покажем, как влияет эластичность спроса на расходы покупателей и, соответственно, доход продавцов ?5?. Поскольку доход от продажи товара равна произведению цены р на величину спроса
Я(р) = р • д = р • В(р) , то
Я(р) = р • В(р) ? функция суммарного дохода продавца.
Найдем коэффициент эластичности функции дохода Я( р)
Следовательно, коэффициент эластичности функции дохода определяет формула
В силу формулы (5) очевидно, что изменение дохода зависит от цены и эластичности спроса.
Проанализируем влияние эластичности спроса на доход продавца. Из формулы (5) следует, что
личение цены ведет к снижению дохода и наоборот (изменение цены и дохода происходит в разных направлениях).
вышение цены приводит к росту дохода (изменение цены и дохода происходит в одном направлении).
Таким образом, получили математическое обоснование одного из основных утверждений экономической теории: с ростом цены для товаров эластич-
Ер(Я) =------•[р •В(р)] =------------•[р ' •В(р) + р •В'(р)]
р •В (р) р •В (р)
Ер (Я) = 1 + Ер (В)
(5)
1. Если спрос эластичен: |Е(В)| > 1 ^ Е(В) < -1, то Ер (Я) < 0 и уве-
2. Если спрос неэластичен: |Е(В)| < 1 ^ Е(В) >-1, то Ер(Я) > 0 и по-
ного спроса доход от реализации продукции уменьшается, а для товаров неэластичного спроса - увеличивается.
Поскольку на формирование рыночной стоимости товаров оказывает влияние не только эластичность спроса, но и эластичность предложения, рассмотрим на конкретном примере взаимодействие коэффициентов эластичности спроса и предложения в условиях рыночного равновесия.
Пример 5. Функции спроса и предложения заданы формулами
1 2
О(р) = —, 5(р) = р . Найти:
Р
1) равновесную цену;
2) эластичность спроса и предложения;
3) изменение дохода при увеличении цены на 3% от равновесной.
Решение
1) О( р0) = 5 (р0) - условие рыночного равновесия
1 = 2 = -,
— - р0 ^ ро = 1 (ден.ед.) - равновесная цена.
р о
2) Вычислим коэффициенты спроса и предложения
Ер (О) = -^- • О'(р) = р
Г л \
О(р) 1/рр
1
V р2 У
2 р
р
4
Е»(5) = 7^ • 5'(Р) = ~р • ( р 2)' = - • 2 р = 2.
5 (Р) Г Я
Полученные значения коэффициентов эластичности свидетельствуют о том, что спрос и предложение эластичны относительно цены. При увеличении цены на 1% спрос уменьшится на 2%, а предложение возрастет на 2%.
3) Функция дохода имеет вид Я (р) = р • О (р).
Коэффициент эластичности дохода, определяемый формулой
Е р (Я) = 1 + Е р (О), показывает на сколько процентов изменится доход при изменении цены на 1%. Соответственно при увеличении цены на 3% доход изменится на 3Ер (Я) = 3(1 + Е р (О)) = 3(1 + (-2)) = -3, т.е. уменьшится на 3%.
Экономическая интерпретация результатов решения задачи подтверждает теоретическое утверждение о том, что при эластичном спросе изменение дохода происходит в направлении противоположном изменению цены.
Включение рассмотренных выше теоретических аспектов и практических задач в содержание раздела «Математический анализ» курса математики экономического вуза демонстрирует возможность использования коэффициентов эластичности функций в качестве математических моделей для формализации исследуемых экономических процессов.
В свою очередь, введение математического моделирования в курс математики в качестве одной из содержательно-методических линий позволяет организовать учебный процесс так, что совокупность полученных знаний, умений и навыков способствует формированию профессионально востребованных теоретических, практических и личностных качеств будущего специалиста, обеспечивающих способность выполнять профессиональные функции в финансовой сфере.
Библиографический список
1. Елагина, Л.В. Профессиональная культура и профессиональные компетенции специалиста: от анализа взаимосвязи к практике формирования. ?Текст? / Л.В. Елагина, В.Г. Рындак, Ю.В. Шаронин // Среднее профессиональное образование. - 2008. - №5. - С. 51-55.
2. Государственные образовательные стандарты высшего профессионального образования. ?Электронный ресурс?. - Российское образование. Федеральный портал. Режим доступа: http://www.edu.ru.
3. Компетентностный подход в педагогическом образовании. ?Текст?: коллективная монография / Под ред. проф. В. А. Козырева и проф. Н.Ф. Радионовой. - СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2004. - 392 с.
4. Красс, М.С. Математика в экономике. Основы математики. [Текст]: учебник /М.С. Красс. - М.: ИД ФБК - ПРЕСС, 2005. - 472с.
5. Математика в экономике. [Текст]: учебник / А.С.Солодовников, В.А.Бабайцев, А.В.Браилов, И.Г.Шандра - М.: Финансы и статистика, 2007. - Ч.2. - 506 с.
Bibliography
1. Competence Approach in Pedagogic Education. [Text]: Collective Treatise / under the Editorship of Kozyrev V.A. and Radionova N.F. - St. Petersburg: Publishing House of the RSPU named after Hertsen A.I., 2004. - 392 p.
2. Krass, M.S. Mathematics in Economics. Fundamentals of Mathematics/ M.S. Krass. - M.: ID FBK - PRESS, 2005. - 472 p.
3. Mathematics in Economics. [Text]: Textbook / A.S.Solodovnikov, V.A. Babaitsev, A.V. Brailov, I.G. Shandra. - M.: Finance and Statistics, 2007. - Part 2. - 506 p.
4. State Educational Standards of Higher Professional Education. [Electronic Resource]. -Russian Education. Federal Data Portal. Access Mode: http://www.edu.ru.
5. Yelagina, L.V. Professional Culture and Professional Competences of a Specialist: From Analysis of the Correlation to the Practice of Formation. / L.V. Yelagina, V.G. Ryndak, Yu.V. Sharonin // High Profesional Education. - 2008. - № 5. - P. 51-55.
