CC BY
16
УДК 621.816:536.7
С. А. КОРНЕЕВ В. С. КОРНЕЕВ Д. А. РОМАНЮК
Омский государственный технический университет, г. Омск Федеральный научно-производственный центр «Прогресс»,
г. Омск
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭФФЕКТА НАВЕДЁННОЙ ДЕФОРМАЦИОННОЙ АНИЗОТРОПИИ
РЕЗИНОКОРДНОГО УПРУГОГО ЭЛЕМЕНТА ПЛОСКОЙ МУФТЫ
Для построения нагрузочных характеристик упругого элемента резинокорд-ной плоской муфты конструкции ФНПЦ «Прогресс», защищенной патентами РФ, при произвольной несоосности соединяемых валов и величине передаваемого крутящего момента используется феноменологический подход классической термодинамики с привлечением современных методов рациональной механики сплошных сред, позволяющих обеспечить независимость получаемых определяющих соотношений от выбора системы отсчета. В нелинейном приближении первого порядка по свободной энергии описан эффект наведенной деформационной анизотропии упругого элемента с учетом влияния температуры.
Ключевые слова: резинокордная муфта, несоосность валов, деформационная анизотропия, определяющие соотношения, нагрузочные характеристики.
Введение. Резинокордные плоские муфты (РКПМ), разработанные в ФНПЦ «Прогресс» [1], отличаются простотой конструкции, имеют малые осевые размеры, способны передавать большие крутящие моменты. Одним из важных достоинств, которое открывает большие перспективы широкого применения РКПМ в приводах разнообразных машин и агрегатов, является высокая компенсационная способность по отношению к перекосам и монтажным смещениям. Чтобы на стадии проектирования приводов с РКПМ можно было учитывать возможную несоосность соединяемых валов, в [2] предложено использовать феноменологический метод классической термодинамики, который не предполагает явного моделирования внутреннего строения резинокордного композита и довольно сложного взаимодействия армирующих элементов со связующей матрицей. Взамен этого привлекаются данные экспериментальных исследований РКПМ.
К сожалению, использованное в [2] квадратичное приближение для изотермической силовой функции (свободной энергии) не позволяет описывать тонкие эффекты наведенной деформационной анизотропии, которая возникает в упругом элементе муфты при закручивании вокруг собственной оси после осевого (радиального) смещения полу-
муфт или перекоса. Данный эффект является сугубо нелинейным эффектом, требующим дополнительного теоретического исследования.
1. Существо феноменологического метода. Для
описания РКПМ с несколькими упругими элементами достаточно рассмотреть случай РКПМ с одним упругим элементом (рис. 1). Исходными являются следующие допущения: а) большая полумуфта 1 и малая полумуфта 2 считаются абсолютно твёрдыми телами; б) резинокордный элемент 3 полагается упругодеформируемым твердым телом; в) силы инерции и аэродинамические силы, действующие на упругий элемент при его вращении, пренебрежимо малы по сравнению с силами, возникающими при деформации упругого элемента от действия приложенного крутящего момента и монтажных смещений (осевых, радиальных, угловых); г) температурный режим работы муфты близок к изотермическому.
Благодаря принятым допущениям при исследовании нагрузочных характеристик упругого элемента исчезает разница между состоянием установившегося вращения муфты и состоянием статического равновесия, при котором одна из полумуфт закреплена, а к другой полумуфте приложен крутящий момент (при наличии предварительных монтажных смещений).
Рис. 1. Расчётная схема РКПМ в начальном (а) и текущ ем (б) состояниях: 1 — большая полумуфта; 2 — малая полумуфта; 3 — упру гий элемент
Главный вектор сил У' , действующих на упругий элемент со стороны большой полумуфты, и главный момент этих же сил М'Со относительно центра С0 (неподвижной) большой полумуфты (рис. 1) определяются по формулам [2]
У' = -У", М^о = у X У" - Ме.
Главный вектор сил У'', пу иложунных к упругому элементу со стуруны малой поУумуфты, и главныУ ыомент указннных сил Ме относите«,-но цунтра С (ходоижн011) ,евеой по^^улуфты (рис. 1) определяется еыуаженуяме [у]
У = У(у, 0). ЗЯ-;Ы = М е (¡и, 0) • о(в) ■
Тензоф вяо^тго ранвт 00 = 0^0в)1 называемый тен-зоромыиноее)ато0ом [3], задаеовт -левх3щими ва-висим о от ями:
1 ,
|0|sin| в|
Zт1 - 2еп1+1--г(в><1)2' ^зрвзд
Обратвоай т-нзо| Z 1 равен
Z-1 т I
1 - cos
■¿вх I -
№
■1(в(1)
P т оп ри
5 = -
(1)
энергии от вектора перемещения и, вектора поворота 0 и абс-люоной температуры П = п (и,а,и) Например, в овопратичнос прпСзлижеаии попучают-ся определяю—ие соотношеаия [2-
P=Ko+CM [ щя = C0 • и + М =
(и)
Здесь I — единичный тензор, u — вектор смещения малой полумуфты относительно (условно неподвижной) большой полумуфты, 0 — вектор угла поворота малой полумуфты за счут перекосов при монтаже и действия крутящих момент у в М' , М"кр (рис. 1). Приведенный главный вектор Р и приведенный главный моуент МС находатся рр термодинамических соотношений [2]
в которых /п= и — ТЗ — свободнар енеугия (термодинамический потенциар Гельмгольца) упругого элемента; Т, Б, и — его абсолютная температура, энтропия и внутренряя эуертия сооеветственио.
В результате всу дальуейшие расчёты замыкаются на установлении вида завис имости свободной
в которые тензоры второго иант К, О, С могут зависеть от иеи+ературы T. Трансдационный тензор К и ротацеоноый танзтр О стмметричны и попожиитмьня определемы , смешанный тешор С по свои: овтшетоам произволен. В тистеме координат, у которой ось z сотптдает с осью вращения, а ос и х, = смжо с т пао скости симметриин еде ф орми-рованного упругого элемента, тензоры К, О имеют лишь три отмтные от нуля томпоненты: фхх, Ky, K: ф , М , ф . При этом ф = K , ф = ф вслед-
zZ ^¿xx "ао' zz L ж yy' ""xx М
ствие осесимметричности упиугтго элемента. Тензор C = 0. Поэтому в квадратичном приблище=ми (2) приведенный момент Щя = М • М индиффярен-тен к линейному перемещению u, а усилие P = K • и не зависит отугла относительного поворота 0, обусловленного монтажными перекосами и закручиванием полумуфт. Данный результат не согласует ся с и ме ющимися опытными данными [4]. Для по вышения точности расчетов требуются приближения более высокого порядка. Однако приближения третьего и более высоких порядков приводят к громоздким и малопригодным для практики результатам из-за большого числа материальных параметров, являющихся компонентами некоторых тензоров третьего и более высокого ранга. Чтобы сократить число неопределенных материальных параметров и одновременно обеспечить общность конечного результата, необходим детальный предварительный анализ свойств исследуемого объекта с использованием представлений о независимости искомых определяющих соотношений от выбора системы отсчета по примеру того, как это делается в рациональной механике сплошных сред: нелинейной теории упругости, теории пластичности (при больших деформациях), гидромеханике неньютоновых жидкостей [5—10].
2. Определяющие соотношения упругого элемента муфты. В отсчетной конфигурации (рис. 1а) упругий элемент муфты, изготовленный из рези-нокордного композита, обладает трансверсальной
о
го
Щс =
а,ы
и,Ы
и,а
изотропией: его свойства остаются неизменными при любом повороте относительно собственной оси, имеющей направляющий орт п. Поэтому свободная энергия упругого элемента является функцией трех векторных аргументов и температуры:
Ы = ф(и,в,п,Г)
(3)
Ы' = ф(и1 ,в* ,п* ,Т *)
(4)
и* = у• и, в1 = х в, п*=х-и,
(5)
Ы*=F.
(6)
или коротко
ф(<2 • и, (2 • в, (2 • п,т)=ф(и, в, п, Т).
х)
^ = ф(и 2,в2,и-0,ии,в11,Т ) .
(8)
мс=га =нн
с {дв 1 иПг 2 ^ т1дв1и
Введем о=иентооныв
о Ь^д&дО д0д
(11)
Выражение (3) односится к пстодной системе отсчета (обозначаемоо без и вездочки). Следуя принципу объективности [5—0], можно утверждать, что в любой другой системд отсчета (обознаоаемой со звездочкой) должно выполняться аналогичное соотношение:
Функции ((1) цдолетво рхют отдеовк^оЕП^:») ограничениям
доо Нио I ■ от=
(12)
Температура не у вис и^ от выбо=а системы отсчета: Т*=Т. По деореме Нолла [ 11 ] (зм. также [5—10]) вектор перемещения u, вектор поверота 0 и орт нормали п (и уредунсвс^у пове=хн=сти гого элемента муфты в отсчётной конфигурации) являются объе ктоиным, ВИКТО ]паМИ:
где Т — ортогональньш тенз(^]з. :;сзра1стеризуощий взаимный повирот обеих зизтем отсвёте относительно друг друга. Св обо )=ая энергия упругого элемента во всех схстемао ттсдттт при ынимает одинаковое численное значение :
На основен=и (3) — (6) можно 2aпистть п епнчку равенств
ы =п (и1,в *,п',т *)= = ф(ти,]- в,х-п,х) =f = ПT(u,ÍЗ,^,Г)
На осноофнии 1)3), (1Т) дая искомых ^еииин (10) получаются оьеражения
Н = Вф1(о,Т)и + ф3(с,Т)в + ф4(с,Т)п, (13)
Мс =2ф2 (о,зТв + ф3 (о,тЗи + ф5 (оеет, (14)
которые представляют собой определяющие соотношения упругого элемента муфты в самом общем виде.
2.1. Нелинейное приближение первого порядка. Чтобы продвинуться дальше, выясним сначала, какой вид имеют функциональные зависимости Ф: (о,Т) в ранее рассмотренном случае квадратичного приближения по свободной энергии, приво-дящегок линейным определяющим соотношениям (2). Используя систему координат, у которой ось z с направляющим ортом ez совпадает с осью вращения упругого элемента,а оси х, у с направляющими ортами ex, ey лежат в плоскости симметрии недеформированного упругого элемента (рис. 1), имеем
Н = КТЬТ** + "хеу/+кИ)и) ,
Равенство )7) ознечолт, что залисимость ф(и,в,п,Т) является изоаропеюй с колярной ф)гш^цией т]нех векторных аргум тнпoт (12]. Ч с о птт етсх вии и хе=е емой об изотроноых с^аляозна^зс функцевх [12Г (сп. такж= [9, 1(3]) ояннaя хавихимоста имеет пяпь скалярных аргументов (ьомимп еемперфтуры ОТ):
Н = Т0х(Т)и + Т1 (Т^п,
М^Ох^ + СЗ .ИИнп
(05)
ПУ^;у + переход0 )х (15) было птиняоо во внимание,
и = г=ех + иуее + иое0, Л =0 Лзех
ег= п • 1))=и-п = ог
= 0 • п = о5 ■
Тем гамых оиcло сктхн=ныx ареумениов в (=) снижается дх фяcеи по мнию с девятью пе-зав^(^имыии скхляртыми арпументоми (компонентами векаорив 0, ев и темоепетууы Т) исходной функциоиооьной зовимим(сти (п(.
Ввхдёя елвьующох обсвечения:
о1 = и2, о2 =в3, о3 =и-]], о4 = и• п, о5 =в-п. (9)
Тогда охряду , (е) ытжоо использовать компактную зап исе 17 С= ((ф, 2о.
Обратимыя оя обтвом термодинамическим соотношениям (1). Со 1ла сно Т1Т пр и веденные значения главного веоторо и елаБвого момента ртвны
н= ^оы~т ='^Г^']1оо1
Iой Ли I=1 TОеilCтT•Оu
Сравнов ,(=)) с ((3), ( 1 4) пpиxoдoм е зыводу, что в KDед+eтичнеи пеиближении е1х> свободной энергии
ПпМмМТххМ )/2, вТоМ) = 063)12, (16)
Фз(е,(е)=0 = Фг(ее) = Kе(мOое, Ф5 (о, т) = М(е(е=)ое. (17)
Анатиз (13), (17) троводиг к заключению, что следующим (за квадратичным приближением по свободной зн=ргит) явл=ктст прмбегжение, по ко-торпмт записимобт= Ф^е.Т) представляют собой линейные футк=ии пно^етаттое и
Р](о,т) = (](т) + (6тМхб , (л б = КгггН)
(18)
Ограничения (12), накладанзммые на (18), требуют, чтобы вьап олнялось условие симметричности М] (2 )аЦь((й ) ((,Ь а 1...5) .
2.2. Зависимость от температуры. На основании (11), (18) можно записать
ор,2) = 0. (2 )вДН щ, (ч Ь.
иЧ( ь=а
Отсю]\г) ичрег]рийование(2 по ннв<(]иартач получаем
р(чй)=2Ь^¿Ш;,(йОаиь в с(ч),
(г1 233 2г1
где F0 (й) = р(и г О,Г) — знгчение сво-одной чэн^егигиР упругого эломента ]] недеформированном состоянии, когда в соответс—вии с (9] и = 0, (2 = 0. Тогда по третгему с((огношинию 11) болдаем аифажение
З = б(/]С^1 п-анИикзННиЬЙ Юиа-—Пи) ие с
С(С] Л,я (=1 3]ьи
для эетрипи^ yтоиоогo 2лемента. Здесь и далее штрихом обо—начгется пртизвзднся ио температуре.
С друг—й 2Р,оис^1Р]Е>а, в рабдчсо диапв—о(ве температур и реформацс— ^<21^:^ноь<а];]Г]35:а)]^ муиты теплоемкость упруго го глепента
С = У]
(р 0]
является, пос—оии—ге волишонои 2 диазaтoчиoв для при кто ки точиостью [2]. Поэто му, педcтaвлиo (19) в (20) и —сооо— ряо п]:зеобразо^иуов^, б0=ем иметь
сад=аНнРрун 3^ ¿ЬьОиы ■
и
01)
Равеоорр1;)]) (2и) о°вжио ныпелнятьсо е^ц)^ пюЯып значениях иныариынтос (¡у Послоднее ]возможно, еели вторые п[зоиз]Ро1]^^:;1Ы[^ по атнueиaтyпд
0Й(1=0, уа(еНн0 .
След^еваеесе][еО] в ртслмптривоемом слдае чоу стоянуой веплаемковси упругнсс улемеиее ]00) ко-эффициеугы ), Пь ф) до^икны зависоть оо тем-ператфры уго липeйнями е^сея^о^]]:
н ]o)еРИвo; (ве^ е0) , Hгаг1явBмnГГо-тCr (], а'=1...5 Ц). ((2)
Здесь Т — некоторая фивсированнао темверая тура (например, комнатная).
3. Обвпждeниe результаноп. Для е0пввчвни= анализа пулучновых рязуозьватня рассмотц им случай, когда матрицы коофсОынсзияноов Р( , ]оь ииеют упрощёноош язи^,0,
[0]] =
Ра ' Пп 0 0 0 0
Нз 0 Пзз 0 0 0
о з ЫгоСя 0 0 щ;; 0 0
0 о 0 0 Псс 0
о 0 0 0 0 П55
(23)
Эвристичесыим oб-енoвантом ^2325] 2Лбйот бе~ зультаты ^Щв (р7; К2 ¿адр) а,(гич1^ого пpиетижeби= по свободной энергии. Более подробное и детальное обоснование яво$^енс5] предметом обсуждения отдельнай ста2ьи1
При з^чен^х материальных парамотров (23) приведенный гд2вный вектор P и приведенный главный мс]мeно(M выз^ислянзися по формудам (13), (14), кот о ры л в (]елинейном п риближении нeевт ^о порядка (1=) конкщетазируютоя вы вaжеоипои ин= вариантов (9(. Н результате полуоаются следующие определяющие лоотношения:
У= з(в.1 в HпП301 В Н;; (у ) ()( В а4. (у • п)п 0 (24)
Мея2(03ВH33Я21ЯВс(;;;я.u1uвп^Яеи] . (25)
Соотуопшелния (ея1: (^.С) ь^ожув ирядставить в аль-тернативаюй фозме з
УяКуви^ м^с^во^ (26)
Входящ ие в (2бв транслацпгнный тою о р К, р о-тационный язнзор СЯ, сзпpяжuнный яенеlвр C находятся по формуаам
к = з(р1 в ) в а..] г п 1
] = 2l0]Ва3303lIва55п®ш U = П[;Я®U[ у27)
где ® — знак диадного произведения.
Нелинейные соотношения (26) при значениях (27) позволяют описывать эффекты наведенной деформационной анизотропии упругого элемента муфты, например, влияние осевой деформации ино величину крутящего момента, влияние угла за-кр2гчивания на величину осевой силы и т.п. Об-оусл влено это тем, что даже в случае линейного разложения (18), сопряженный тензор C отличен от нуля. Численные значения семи материальных параметров (23) и ихзависимость от температуры (22) можнонайти, например, по данным испытаний РКПМ с одним упругим элементом на кручение и изгиб, на осевое и радиальное смещение, проведенных отдельно при некоторых двух фиксированных температурах.
Выводы. Привлечение современных методов р ациональной механики сплошных сред позволяет аогигесву строго и физически обоснованно построить нелинейную математическую модель, описывающую термомеханические свойства упругого эле-емента муфты.
В ходе исследования важную роль сыграл принцип объективности — фундаментальный принцип механики сплошной среды, применение которого обеспечивает независимость получаемых о пределяющих соотношений от выбора системы дотсчета.
д0у 1д Последующее применение известной теоремы о б изотропных скалярных функциях позволило сократить число скалярных аргументов функциональной зависимости для свободной энергии с девяти параметров,до шести.
Осуществить это удается после того, как в явном 0виде выделяется параметр трансверсальной изотро-0пии упругого элемента муфты, характеризуемый ортом нормали к срединной поверхности упругого элементав отсчетной конфигурации.
е
X
О го
Библиографический список
1. Высокоэластичные муфты: проспект. ФГУП «ФНПЦ «Прогресс». URL: http://www.progress-omsk.ru/constructor. php?act = group2 (дата обращения: 20.03.2017).
2. Корнеев С. А., В. С. Корнеев, Д. А. Романюк. Энергетический метод расчёта нагрузочных характеристик резино-кордной плоской муфты с учётом несоосности соединяемых валов // Омский научный вестник. Сер. Приборы, машины и технологии. 2017. № 2 (152). С. 8-12.
3. Жилин П. А. Теоретическая механика. Фундаментальные законы механики. СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2003. 340 с.
4. Динамическая нагруженность и надежность работы муфты тягового привода электровозов ЭП1М и ЭП1: отчет о НИР (заключ.) / ОАО Науч.-исследоват. и конструк.-технолог. ин-т подвижного состава (ОАО «ВНИКТИ»); рук. Березин В. В.; исполн.: Соколов Ю. Н. [и др.]. Коломна, 2009. 82 с. № И-01-09.
5. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975. 592 с.
6. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.
7. Поздеев А. А., Трусов П. В., Няшин Ю. И. Большие упругопластические деформации. М.: Наука, 1986. 232 с.
8. Астари Дж., Марруччи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. М.: Мир, 1978. 309 с.
9. Корнеев С. А. Принцип объективности и техника его применения при построении определяющих соотношений с точностью до скалярных коэффициентов // Математическое
моделирование систем и процессов: межвуз. сб. науч. тр. / Пермский гос. техн. ун-т. Пермь, 2007. № 15. С. 97 — 122.
10. Корнеев С. А. Понятия и основы локально-неравновесной термодинамики сплошной среды. Омск: Изд-во ОмГТУ, 2009. 284 с.
11. Noll W. Euclidean geometry and Minkowskian // American Mathematical Monthly. 1964. № 71. P. 129-144.
12. Wang C.-C. A New Representation Theorem for Isotropic Functions // Archive for Rational Mechanics and Analysis. 1970. Vol. 36, № 3. P. 198-223.
КОРНЕЕВ Сергей Александрович, доктор технических наук, профессор (Россия), профессор кафедры «Основы теории механики и автоматического управления» Омского государственного технического университета (ОмГТУ).
КОРНЕЕВ Владимир Сергеевич, кандидат технических наук, доцент (Россия), доцент кафедры «Основы теории механики и автоматического управления» ОмГТУ.
РОМАНЮК Дмитрий Анатольевич, ведущий инженер-конструктор ФНПЦ «Прогресс», г. Омск. Адрес для переписки: korneyev@omgtu.ru, когеа_ home@mail.ru
Статья поступила в редакцию 20.03.2017 г. © С. А. Корнеев, В. С. Корнеев, Д. А. Романюк
