Энергетический метод расчёта нагрузочных характеристик резинокордной плоской муфты с учётом несоосности соединяемых валов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.816:536.7

С. А. КОРНЕЕВ В. С. КОРНЕЕВ Д. А. РОМАНЮК

Омский государственный технический университет, г. Омск Федеральный научно-производственный центр «Прогресс»,

г. Омск

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЁТА НАГРУЗОЧНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК РЕЗИНОКОРДНОЙ ПЛОСКОЙ МУФТЫ С УЧЁТОМ НЕСООСНОСТИ СОЕДИНЯЕМЫХ ВАЛОВ_

Резинокордные плоские муфты конструкции ФНПЦ «Прогресс», защищенные патентами РФ, обладают рядом достоинств, главными из которых являются малые осевые размеры и возможность компенсации значительных радиальных, осевых и угловых смещений соединяемых валов в приводах широкого диапазона значений передаваемого крутящего момента. В статье используется термодинамический подход для описания нагрузочных характеристик упругого элемента муфты при произвольных монтажных смещениях полумуфт и углах закрутки. Получены определяющие соотношения в квадратичном приближении потенциальной функции с учетом температуры.

Ключевые слова: резинокордная муфта, несоосность валов, термодинамика деформирования, определяющие соотношения, нагрузочные характеристики.

Введение. В современном машиностроении широкое распространение нашли высокоэластичные муфты с упругими элементами, конструктивно выполненными из резины или резинокордного материала в виде оболочек вращения [1, 2]. Одной из перспективных конструкций высокоэластичных муфт является конструкция резинокордной плоской муфты, разработанная в ФНПЦ «Прогресс» (рис. 1). Резинокордные плоские муфты (РКПМ) предназначены для передачи больших крутящих моментов, отличаются простотой конструкции и малыми осевыми размерами, обладают высокими компенсирующими свойствами, что позволяет использовать их при значительных радиальных, осевых и угловых смещениях соединяемых валов в приводах, испытывающих статические и динамические нагрузки в широком диапазоне значений. В настоящее время достаточно полно исследованы нагрузочные характеристики РКПМ в случае, когда соединяемые валы соосны [3 — 5]. Общий случай, когда валы несоосны, является неисследованным. Чтобы устранить указанный пробел, в настоящей статье используется феноменологический метод классической термодинамики, который предполагает, что деформации резинокордного элемента муфты упругие и обратимые. Данное предположение лежит в основе теории резинокордных пластин и оболочек [6, 7]. Отличие проявляется в том, что термодинамический метод по своей сути является расчётно-эксперименталь-ным методом, в котором нет нужды в явном моде-

Рис. 1. Трёхмерная модель РКПМ

лировании внутреннего строения резинокордного композита и довольно сложного взаимодействия армирующих элементов со связующей матрицей. Взамен этого привлекаются данные экспериментальных исследований РКПМ.

1. Упрощающие допущения. Для определения нагрузочных характеристик РКПМ с несколькими

Рис. 2. Расчётная схема РКПМ в начальном (я) и текущем (б) состояниях: 1 — большая полумуфта; 2 — малая полумуфта; 3 — упругий элемент

упругими элементами достаточно рассмотреть более простой случай РКПМ с одним упругим элементом (рис. 2), исходя из следующих упрощающих допущений: а) большая полумуфта 1 и малая полумуфта 2 являются абсолютно твердыми телами; б) резино-кордный элемент 3 является упругим телом в том смысле, что неупругими свойствами резинокордно-го композита можно пренебречь с достаточной для практики точностью; в) аэродинамические силы, действующие на упругий элемент при его вращении, а также возникающие при этом силы инерции пренебрежимо малы по сравнению с силами, возникающими при деформации упругого элемента от действия приложенного крутящего момента и монтажных смещений (осевых, радиальных, угловых); г) температурный режим работы муфты близок к изотермическому.

Благодаря принятым допущениям исчезает разница в механическом поведении упругого элемента в условиях установившегося вращения муфты с постоянной угловой скоростью и в условиях статического равновесия при закреплении одной из полумуфт и приложении к другой полумуфте крутящего момента (после придания ей соответствующих монтажных смещений).

Без ограничения общности можно считать большую полумуфту 1 условно неподвижной (рис. 2). Вследствие этого предметом дальнейшего исследования будут изотермические процессы квазистатического деформирования упругого элемента муфты за счет приложенного крутящего момента и перемещений малой полумуфты 2 при жестко закрепленной большой полумуфте 1.

В качестве центра приведения внешних сил, действующих на большую полумуфту со стороны упругого элемента, возьмём неподвижную точку С0, лежащую на оси большой полумуфты в плоскости симметрии резинокордного диска (рис. 2а). Для малой полумуфты в качестве полюса возьмём аналогично расположенную подвижную материальную точку, которая в начальном (недеформированном, ненагруженном) состоянии муфты занимает положение С0, а в текущем (деформированном, нагруженном) состоянии — положение С (рис. 2б). Обозначим через u — вектор перемещения полюса С: и = СгС , а через 0 — вектор поворота малой

полумуфты округ полюса С. Данное перемещение и поворот совершаются малой полумуфтой (относительно большой полумуфты) за счет монтажных смещений (осевых, радиальных, угловых) и закручивания под действием приложенных нагрузок. Одновременно с этим полюс С принимается за центр приведения внешних сил, приложенных к малой полумуфте со стороны упругого элемента.

Пусть Р', МС — главный вектор и главный момент (относительно центра С0) всех сил, приложенных к упругому элементу со стороны большой полумуфты, а Р'', М'С — главный вектор и главный момент (относительно центра С) всех сил, приложенных к рругому элементу со стороны малой полумуфты. То гда из условия равновесия упругого элемента средуют равенства (рис. 2)

Р'+Р" = Р, МРг + МС + и X Р" = г.

Следовательно, если тем или иным образом станут известРыми соотношени=

Р"=Р"0и,е), ш"" = мсОи,е) ,

описываю щие главный вектор и главный момент сил, длйствующих на упругий элемент со стороны малой полРмуфты, в з+лисимохти от вектора ее смещения u и угла поворота 0, то по формулам

р"=иР"0и, е) мрг = имр Ои, е) и и х Р"0и, е)

можно будет определить главный вектор и главный момент сил, действующих на упругий элемент со стороны большой полумуфты.

2. Термодинамика деформирования упругого элемента муфты. По первому началу термодинамики [8, 9] элементарное приращение полной энергии Е упругого элемента происходит за счет работы внешних сил и теплоты , подводимой от внешних источников:

&Е = + ^

(1)

о

го

Полная энергия Е складывается из внутренней энергии и и кинетической энергли К, которая применительно к условкям рассматкиваемой задачи

и принятых допущений равна нулю. Поэтому уравнение (1) имеет вид

эи=+ эМ"'.

(2)

Работа внешних сил складывается из работы сил, приложенных к упр угому элементу с о стороны малой полумуфты (рис. 2):

т = р"-эи+ма- эк

(3)

Здесь — элементарное (бесконечно малое) перемещение ценера С из текуще го с о стоян ия (рис. 2б). Элементарный вектор =ово]эита м мело( г^э^муф-ты из текущего срстояния с=ямн е геобментарным приращением ыС0 угта поворота 9 маатй поиумуф-ты из началъноио созгоянмя (рис; 2б) следующими соотношениями [1(3]

ак = мрг1-аи. аб = и-к= ■

(4)

и = у - а-бху+— т 1б1

(Го тгУ с = К 81П1 б

с1т1<гх; =(Р = с11Т-п^а((с1^[| ■

(5)

((5)

эм1"' = шэм.

(7)

эи=р - эипм „ - иб+тг.

(8)

Отсюда пол=чаем

'ди"

9и

р = |ди.| , М„ = | —\ , т = |дб| ■ (9)

ди

д—

^^р^ь^^е дма со^тношенгиг (9) определяют величины приведён=огг гл£!бного векнхра Р и приведённого гэыв=ото мпминтт Мс рн/ня хдиябатических про-цессоэ дeфoймирэаaния упругого элемента муфты как фэлкцри хектора u, вектора по-

ворота 9 и лнтрории 5. Пли эмом е—улренняя энергия и еысеyауeб т /зоирхг т^рамодинсип^теского потенциала, пи•тальку — атсматриэхется кlх]\н функция вида Л/(х(\б\M 1.

Чтобы пермйти л игхтеpмичгнoнм ргюцессам деформирования, прсрcтоллующим наи(:юльшие интл-рес для =раетики, ьс^тпсхсявим в (8) 1фмобратовчнме Лежандра

PЭP = 0СPP1 —Ф0n.

Поoучии ^эхнение

эы = P•OunMз Мб-«МэЯГ,

(СО)

Тензор вьор^огу рангх ее = И(9) епpбдебхетпя ражеэиями

в котьр=м роль телмзбималичезкого потенциала выполняет с-об—днат энергтя )теэмодимахи[—ческий потенциал ГежэMТoльиь)

О3 = л — тм

Соооасло ))М)

Согласно 0 -еэтбр Ю, незеюаемый тензором-интеграторо— [Ш— иато^а^неэгм )зоаэ интегрирую щ—го множитeли, 1^^у)бпо1р^Щ|^1|о та^ине^й^^^ .-иф+ераг^э циальную фоэмк О(ф в полэпш дифферемциал э9 . Благорарь (4) выlе)n:¡^(г:н:)^íг э-) з—аноэтся дифференциальной фьрэ-й мы

эй1"' =\(Ь^ OunMn•И—(НЦХО

Введём лблзначения

р = рт эхы; я/ф]^ - и-Ы(г,1 ^

В рвэyевтзтe -кэтчательно наыощлм

р = |ПФЛ ,Мы о ( 5Ы

Си

, м = -)пы

Тят

(11)

(12)

В дальнейшьм чектор Ы бу=ем нaиоIBPтс чриво-дённым глаиныш иoынчímоn) Точнэ б^э; гкч для единообразия рэои вежт'огр Л будем мвзывaть привгпен-ным главныы вью— ом. СоотаетгтвешГО] векто—ы мы и ь'' в (5) будем наз —1вать истоннъэм главным моментом и иэивупчж планным —э^мюре^б по лна-логии с тeрмуырлоииэ=, пpинрсбй чт рационсрыочгй механиэл спыошn)lи ^рэи [9, 11, 1 СО

По этором4 нагалу те¡^моыг.ииг^мик^и [8щ б] теплота, подводимая от вн-ш—ие в обратимых прэ^сеах ьlIpтроялетэя равенсовом

Таким образом, если свобидная ээ^е;;]))г=ь огг-еnт-на как функция вида Ы(о\П\Ш 1 то по формулам (12) мо жно определить приведённый главный века ор P; п°иведенны— олавный момент Mc и энтропью и ож функции вектора перемещения ^ веэиора тэ—орота 9 и абсолютной температуры Т.

3. Термомеханические свойства упругого эле-эшта муфты в квадратичном приближения по см -бодной энергии. В классической теории с- РУ— ости при установлении связи между тензлром —апряже-ний и тензорол деформации для изотропных и анизотропных стругих тел широко испорoэуетср мeтэн, по которому свободная энергия (упрыгай пo-eнцы-ал) представляется квадратичной фуокциe—эo мпо-нент тензора деформаций [13—15]. Ансоогичный подход можно применить к резинокор)доой плоскоы муфте при первоначальном ее исследовании.

Разложим свободную энергию о (иДт 1 Тейлора по векторным аргументам ^ 9 и ограничимся квадратичными слагаемыми. Получим

Ы = ЫН + Щ [и • К • и + 0-П-0 + Ти • С-0] . (13)

Здесь ориняты во ьнимание соотгошения (12), по котооы= (р+с. 2)

в котором T — э6п олютная темпе р атура, 5 — энтропия упругото — лeманьа.

Совместнь ния (2), ()о) , (б) привспят к объ-

единен^тму узаэ—ьнию ирпогэ и второго начал термодпнaпики (у=авнению Клаузиуса)

ИЫ) 0ф

тт

= п(ll = 0,0 = 0, Г- = 0 .

и=о,е=о

сы 50"

ф\т

= мс(ф = 0\ 0 = 0\тН = 0 .

ф=0\ 0=0

При записи (13) введены обознычения

ы =

( ИТЫ >х

0=Т

^ ИТЫ >х

10

б,—

-п

о \—

с =

мимо

мсш т

диде

для тензоров второго ранга, которые по примерит [16] руееи назыоать юданоллоионные, е>чтаеионным и имешаннът пвеезерями сеоттетгевгнни. Тензоры К, ¡["2, С зависят от температуры Т, кто и с в о-бодный чоен F0 в (13).

3.р. Теткитодинамические ограничентя, Согласно

(2), Ы), (И).

КА > С(Нр , («, Р= 1, 2, 3).

3.2. Определяющие соотношения. Обратимся к соотношениям (12). Подставив в них (13), получим

Р =

дШ

= К • и + С в ,

]ЛдС = | — | = Н-в + Ст • и ,

дв

(17)

во а ач^-ярт

(14)

При изитшэр]е[иг1е(тк(им деформидювании упруго; гш э ле ментм муфяы, к; игда веки о с пире мещения и о веетер ноыороыл 0 яомсяяюоол ов1 с]ля до некоторого пуорртнтмиого всдрсняТ; из Ю гыитинес интегральное с оот1:оп1 еыие

ее^ ^ ^ иди, и,:г) - шо =ш) ^ гт:

иатоыеиваемая на аeа:юамтцию тобтте внешние сил ыЧ'эс ткесда рoиoжитeтьнея, если о1]»!)]) )и| С )) рр )илн) |И| С О, Песчом"): в силу )0Рр епрове»шво уе; лов ие ии итриукотоооотом ксoтвpирмоояoсо орият-щинии сосСдиной ло^^монтв^:

еСк мУ(еu]К•uиИ•0^Ии0u)C,И]a0:

Знач ра-енотва (]],)>) питсв мысля тогми и тоне ко то г-н, когда м = а, (£0=^0.

Есвч потожнта ч ( 1.0) нoечapт-)нo ^ =)С^, 0 = 0 и о = 0, 0 тт. причНи к; выверу, чач сраоолжщчнны0 тензор К и ротао=огнь;й ченоор ГВ 5^]зм;воьоо5, сим, метриеньмя. п0В1агк^и0^;10не тпоедекеннвши теню-рами: соСоовонныи оиола даш^ын тонз оров положи-тельмы (и ст>ичны от м>ля).

Чечбы ноСои тис ооидеомя ; лоторыг накоерыва-еи уииовио Л1С[ иа смеШсынт^ал]^ теизоу и , положим н а) огОа, ИЗ, т0 eшl , го<э ^к ( у ! -и ынии из о рвси дa, карточеД сиитемы координат (со, ((: ]; С Зр и учеТОМ (Г-] ПОРучаеМ

тн-КНЯТ (дт-

= Во -ОК-К+и-гв-О'-в + Ми-С'-в].

Здедв введены соТкянттекия

Т+:И=,ГвЯЯ0-

к - (г) = тома) . с я г=егНя) ■

(18)

топ

но

Выражение дао внутренней доеркип упрсгото элемента муфиы можно найти с по мощью опредет игяия 1);

тс = с оттв = те +в 0 0

и • (к -ЖК')- и+ '

+И-0+ сШ) ■ с(-1-2-и -30-70 ')-в

,(19)

гдсс КоВ0)аГ= Ш)итУ0С).

Чтобы котжиттизпроваеь япределяющие соотношения (1В), Ьч Одд в КюлвшнУ лтдизни, аосттользутмся понятнее теп,оо^]У)^=с,тз: упусттого oлeсeнта нуфты при неподвижноу мaяeН ooидмифте;

Ст

зЛВзк (ЬВТ

(20)

Иов

На оснввн]ши ЦТ-, Ст) в (7} дет сеплоемкости (20) ом тем

ИНШд кг ЫдпГ и ОДГН -г ССмОои) ос О. (аб)

С [и нив по окерге оно г-(гс!с0] ^ ; к 0 а огк0, и С а: и-ихвдчм нг в:г(водог^ чтго воч глемонты ма-

М триц

ны е

: п | ^ г

к! Ы

С =

он он

СеНТО () т

(21)

на гмовноо диасоноии нол^ижителс-

С вь(со)со^ ,T(Ь^]'^oc■):^ю ее пате мкос кь (т1 - можно считан кр:]:^^,):^н,[•o)^. Тд]^ьтт, пнлло'ая и т=К 0, 0 = 0 со ссНАтоК НсЬ ((К), 11)), ^ол^им

ЫгМ П а. Ор^П-О:

п]])ea,]з оотагии о (1 Г] пг -и сгои^уО(М^ ,

ир к и-Il\eО"ОТ: 1)ал^и]О)

^'^.в^тои^^ф-[И))( ■

Вт )=: У ин]вЯг^вЬв,оTY:

(И) (23)

Си

С,

г]

л/мсМО

^ и-тО/оа о.

оо

Вз5^в ,/м -/В , евли Спо > о

, к з/В: еслз Сар < о , имеем

С - -

ос,

Г]

О0И<1г у^0-!]!!

> о

// к 33В

Следователь^! г:чpl^вeоог^I^]^Iм является неравенство

кт(к) = н т + с(у-Т1)-стмтз ■

т 1 ]

З^евп, тф — некод^о(з,ая HlИIcти[тoг^(ao]Híi(к тeгкиpe-тура (наприме-, иом^атI•(оя^,

ККо тс ])Ко,^]'т:]:^ С^оо^ = 0(£) =0,^ =от]:Кг ^ ^о ^тК^ ^ В,(]) тто 0-в = 0,1^ е, т,] ), И] = К] -НтК = ту (с)=•г],(u = 0,Т = eя = т т

о

го

С другой стороны, благодаря постоянству тепло -емкости С упрубосо эоемента муфсы, веороя рарео-ствы (21) можно врпиравь в видя

С = У(ИИ ров

_ у бРе(г) . , бс

0 сди yp^OeBTCBi^Trj ]es раиняе биоаношедся дУщее выражение для зарянки (1 У) и нем пгнавесо ррд этот ll=те, 0 = 0, придем о равенсрву

в- K" • в -

•Н|]]-8о 2в • С]-0 = С ,

которое вршорняетср яилько is нов- нлУ-ивв вогдн вторые прорзнолиBie по яемииратуря BBB , СУ", Р" равны нулю. ЫладееатеиьУР, т°еяоваиив ппвеояУ-ства пеплоепикусти С авяоматичерки ялоуво а-- собой линрйдую птеиыимоеяе тянсяров Кг £1, C от опмпе-ратир ы:

Iй = кф оК^у -Уф) , м=м+ом](Ни У ) ,

OдB+оC](Г-И+) . (25)

Всиедс твве соя го он=унгоняе энерг И2 (19) бург равоа

ы=ы т ян 2

I), (кп -Упке)-и

о

ое-(Нп -^("О-ео 2в • (с+ -уС Е)-е

Как видим, в рассматриваемом случае внугрен-няя энергия, а также энтропия (т8) лудуг тавтсеть от температуры только через функции (22}, (23).

Таким образом, благодаря зтви—имастям (—5), определяющие соотношения (17) для приве денного главного вектора и приведенного главного момента определяются с точностью до по ттоянив!—: тоэ ффи-циентов, являющихся компонентами шести тензоров второго ранга Кф, К', Оф, О , Сф, С'. Числян-ные значения данных коэффициентов находятсо по данным испытаний резинокордлой м—фты )з одним упругим элементом) на чистое осевое смещение, чистое радиальное смещениет чи—тое иту—ение и чистый изгиб, которые следует проводить три двух разных температурах.

Выводы. Общий термодинамический анализ, проведённый для упругого элнмснта мyШтвр п°иа-зывает, что решение задачи определения главных векторов и главных моментов сие, действующих на упругий элемент со стороны большой и малой полумуфт, замыкается на задлчс отысктния адекватного выражения для свободной энергии, как термодинамического потенциала ((иДт).

Библиографический список

1. Поляков В. С., Барбаш И. Д., Ряховский О. Д. Справочник по муфтам. Л.: Машиностроение, 1974. 352 с.

2. Трибельский И. А., Шалай В. В., Зубарев А. В., Трибель-ский М. И. Расчётно-экспериментальные методы проектиро-

вания сложных резинокордных конструкций: моногр. Омск: Изд-во0мГТУ,2011. 240 с. ISBN 978-5-8149-1077-6.

3. Ильичев В. А., Корнеев В. С., Корнеев С. А. Дискретная математическаямодель резинокордной плоской муфты // Омский научныйвестник. Сер. Приборы, машины и технологии. 2015.№ 3 (143). С.117-123.

4. KorneevS. A., Korneev V. S., Ilyichev V. A., Vaskova M. V. Flat shell stress-strain state calculation // Procedia Engineering. ElsevierLtd. 2015. № 113. P. 270-275.

5. КорнеевС.А., Корнеев В. С., Ильичев В. А., Васькова М. В. Расчет напряженно-деформированного состояния плоской оболочки в ANSYS // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: материалы XXIV Всерос. 1шнф. Омск:ОмГТУ, 2015. С. 100-104.

6. Бидерман В. Л. Механика тонкостенных конструкций. М .:Машиностроение,1977. 488 с.

7. Черных К. Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчётах. Л.: Машиностроение, 1986. 336 с.

8. БазаровИ.П.Термодинамика. 4-е изд., перераб. и доп. М.: Высшая шк., 1991. 376 с. ISBN 5-06-000626-3.

9. Корнеев С.А. Понятияи основы локально-неравновесной термодинамики сплошной среды: моногр. Омск: Изд-во 0мГТУ,2009.284 с.

10. Жилин П. А. Теоретическая механика. Фундаментальные законы механики.СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2003. 340 с. 1SBР 0-7422-0465-5.

11. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости: моногр. М.: Наука, 1980. 512 с.

12. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред: моногр. / пер. с англ. Р. В. Гольдштей-на, В. М. Ентова; под ред. П. А. Жилина, А. И. Лурье. М.: Мир, 1975. 592 с.

13. Демидов С. П. Теория упругости. М.: Высшая шк., 1979. 432 с.

14. Новацкий В. Теория упругости: моногр. / пер. с пол. Б. Е. Победря. М.: Мир, 1975. 872 с.

15. Снеддон И. Н., Берри Д. С. Классическая теория упругости / пер. с англ. А. И. Смирнова; под ред. Э. И. Григолюка. М.: ГИФМЛ, 1961. 219 с.

16. Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса / пер. с англ. М.: Мир, 1976. 630 с.

КОРНЕЕВ Сергей Александрович, доктор технических наук, профессор (Россия), профессор кафедры «Основы теории механики и автоматического управления» Омского государственного технического университета (ОмГТУ).

КОРНЕЕВ Владимир Сергеевич, кандидат технических наук, доцент (Россия), доцент кафедры «Основы теории механики и автоматического управления» ОмГТУ.

РОМАНЮК Дмитрий Анатольевич, ведущий инженер-конструктор ФНПЦ «Прогресс». Адрес для переписки: korneyev@omgtu.ru, когеа_ home@mail.ru

Статья поступила в редакцию 11.02.2017 г. © С. А. Корнеев, В. С. Корнеев, Д. А. Романюк