Математическое моделирование движения воздушной среды и загрязняющих веществ от автотранспорта в условиях городской застройки Текст научной статьи по специальности «Математика»

Секция математического моделирования экологических систем

УДК 519.63:532.55

Т.В. Камышникова, Т.В. Лященко

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ВОЗДУШНОЙ

СРЕДЫ И ЗАГРЯЗНЯЮЩИХ ВЕЩЕСТВ ОТ АВТОТРАНСПОРТА В УСЛОВИЯХ ГОРОДСКОЙ ЗАСТРОЙКИ

Настоящая работа посвящена разработке математической модели для прогноза распространения загрязнения в атмосфере от автотранспорта в масштабах района города. Наиболее полный подход к моделированию процессов распространения загрязнения в воздушной среде города основан на решении систем полных трехмерных уравнений Навье-Стокса. Заключительным этапом рассматриваемого подхода является численное решение уравнения диффузии с включением интенсивности выбросов. Решение такого рода задач требует построения удовлетворительной физической мо.

Физическая модель атмосферы

Атмосфера представляет собой подвижную среду, в которой происходят разнообразные по масштабам, направлению и скорости движения. Обычно эти движения имеют турбулентный характер и характеризуются непостоянством поля скоростей. При таких движениях образуются беспорядочные, меняющиеся по направлению и силе потоки воздуха и вихри. В них можно выделить элементарные массы воздуха, которые отрываются от общего потока и движутся самостоятельно, а затем разрушаются. Все это приводит к сильному перемешиванию и взаимодействию между различными частями среды. Перемешивание приводит к переносу любых физических , , , -ция примеси и т.п. При математическом описании процесса турбулентного перемешивания важную роль играет коэффициент турбулентности или ко, -лентных потоков различных физических субстанций. Теории турбулентности достаточно сложны, и существует множество эмпирических методов для вычисления коэффициентов турбулентности. Коэффициент турбулентности зависит от множества параметров, в частности от шероховатости подстилающей поверхности, распределения температуры по высоте (так называемой температурной стратификации), скорости ветра.

Постановка задачи

Большинство используемых моделей динамики воздушной среды и распространения примесей включает в себя уравнения Навье - Стокса и

уравнение конвекции-диффузии. Чтобы из большого количества процессов выделить рассматриваемый и дать его математическое описание, к системе дифференциальных уравнений необходимо присоединить математические формулировки частных особенностей изучаемого объекта - краевые и .

Построение поля ветра

, -

да с характерными размерами в несколько километров. Характерная высота верхней границы слоя атмосферы, в пределах которого происходит интенсивный перенос загрязнения (слой перемешивания), составляет 40 50 .

физической модели атмосферы. Для этой цели можно воспользоваться уравнениями движения

ди ди ди ди д2и д2и

--------+ и-----------+ V----------+ w-------------и- .

ді дх ду д дх

и

ду у

д2и 1 др

д = —д ■ (1) д р дх

д д д д д2 V д2 V д2 V 1 др

---+ и-+ V--+ w--и—т--и—т-У—т =-------------, (2)

ді дх ду д дх2 * ду2 д2 р ду

д д д д д2 w д2w д2 w 1 др

---+ и-+ V--+ w--и—--Ц—т-У—т- =-------

ді дх ду д дх ду д рд

(3)

Уравнение неразрывности

ди ди ди 1 йр

-------1------1---------1----------= 0.

дх дх дх р йі

(4)

Здесь і - время; и, V, w - компоненты вектора скорости в направлениях декартовых координат х, у, z; р - давление; р - плотность; р,у -горизонтальные и вертикальные коэффициенты турбулентного обмена.

Опишем граничные условия для системы (1)-(4).

На нижней границе выполняется условие прилипания, что соответствует полному “торможению” газового потока на границе

и = 0, V = 0, w = 0 .

(5)

На верхней границе компоненты скорости совпадают с ветром, который считывается с интервалом в один метеоэпизод метеостанцией

на боковых границах

и = и&, V = vg, w = wg ;

^ = 0, ^ = 0, ^ = 0,

дп дп дп

(6)

(7)

где п - нормаль к боковой поверхности.

В систему (1)-(7) входят пять неизвестных u,v,w,p,р. Поэтому она должна быть дополнена уравнениями энергии, уравнением, определяющим .

атмосфере, на плотность воздуха. Однако в дальнейшем мы будем полагать это влияние несущественным и опустим данное уравнение. Будем считать, что атмосфера несжимаема, то есть р = const, v = (u, v, w), тогда уравнение неразрывности записывается в виде

divv = 0 . (8)

Начальные условия:

u( х, y, z,0) = и о (х, y, z), v( x, y, z,0) = vo (x, y, z), w( x, y, z,0) = Wo( x, y, z),

p(x, y, z,0) = P0 (x, y, z), (x, y, z) e G при t = 0 . (9)

Алгоритм решения задачи

Система уравнений (1)-(9) полностью описывает движение несжимае-.

точных формул для коэффициентов турбулентности, которые зависят от температуры, влажности и скорости ветра. Систему (1)-(9) будем решать методом расщепления по физическим процессам и по геометрическим переменным. Решение для нахождения поля ветра заменяется последовательностью решений ряда одномерных задач с помощью метода факторизации трехточечных разностных уравнений. После подстановки выражений и, v, w в разностный аналог уравнения неразрывности получится уравнение Пуассона для вычисления давления. Решение уравнения Пуассона ( ). -правкой к давлению. После счета поля скоростей во внутренних узлах сетки

u , v, w .

скоростей решается задача распространения загрязняющей примеси.

Уравнение диффузии

Уравнение, описывающее перенос загрязнения в атмосфере и выражающий закон сохранения массы загрязнения имеет вид

——+ div U р + ар = D р + f , (10)

dt

где р(x,y, z, t) - интенсивность аэрозольной субстанции, мигрирующей

вместе с потоком воздуха в атмосфере; и = ui + vj + wk - вектор скорости частиц воздуха, как функция x, y, z, t; ар - член, учитывающий деструкцию субстанции; f(x,y,z,t) - источник рассматриваемой загрязняющей субстанции рщ v - соответственно горизонтальный и вертикальный коэффи-

,

_ дф дф дф а^иф = и-1- + V

дх ду д

- -

;

Бф =

д

дх

дф

и

V

дф

ду

+

)

V

V

дф

д

- -

.

Г раничные условия имеют следующий вид: на нижней границе

на верхней границе

на боковых границах

дф

дz

дф

= фс

V

дz

0;

(11)

(12)

ф = ф0, и ■ п < 0 ;

дф = 0, и ■ п > 0 , дп

(13)

их физический смысл заключен в равенстве концентрации загрязнения некоторому значению ф0 в случае, если ветер на границе направлен внутрь

области и в беспрепятственном проникновении сквозь границу, в противном .

Начальные условия имеют вид:

ф(х, у^,0) = ф0(х, у.^0) .

(14)

Для замыкания системы (10) - (14) необходимо определить поле ско-, . -трации примеси в трехмерной области при известном поле скоростей воздушного потока используется метод геометрического расщепления. Это позволило свести исходную задачу к последовательному решению трех более простых связанных между собой одномерных задач.

Выводы

Построена математическая модель движения продуктов сгорания автотранспорта и формирование облака газовой смеси вблизи автомагистрали с учетом наличия ветра, турбулентности, интенсивности транспортного потока в зависимости от времени суток, времени года, с учетом городской застройки. Модель численно реализована.

21 1