CC BY
65
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
УДК 629. 4.027,5:001.891.54 Сенько Вениамин Иванович,
д. т. н., профессор, ректор, Белорусский государственный университет транспорта,
факс +375(232)711590 Васильев Степан Михайлович, к. т. н., доцент кафедры «Вагоны и вагонное хозяйство», Белорусский государственный университет транспорта, тел. +375(232)953908, факс +375(232)711590, e-mail: stepangomel@mail.ru
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ОДИНОЧНОЙ КОЛЁСНОЙ ПАРЫ С УЧЁТОМ ЯВЛЕНИЯ УПРУГОГО СКОЛЬЖЕНИЯ
V. I. Senko, S. M. Vasilyev
A MATHEMATICAL MODEL OF A SINGLE WHEELSET MOVEMENT DUE TO THE PHENOMENON OF ELASTIC SLIP
Аннотация. В соответствии с теорией упругого скольжения предлагается методическая основа для определения кинетической и потенциальной энергий, а также обобщенных сил. Разработана расчетная схема взаимодействия сил при упругом скольжении. Получена математическая модель движения одиночной колесной пары в условиях стеснения свободы качения рамой тележки с учетом явления упругого скольжения. Рассмотрены особенности движения колесной пары и формирования реакций колеса вагона в горизонтальной плоскости.
Предлагается математическая модель с тремя степенями свободы. Методика построения модели основана на использовании уравнения Лагранжа II рода.
Рассматриваются основные положения упругого скольжения. Получены аналитические соотношения для определения обобщенных сил.
Получена система уравнений движения, учитывающая основанные параметры, определяющие условия упругого скольжения (псевдоскольжение).
Ключевые слова: колесная пара, упругое скольжение, коэффициент крипа, математическое моделирование, уравнение Лагранжа второго рода.
Abstract. According to the theory of elastic sliding, we proposed a methodological basis for the determination of kinetic and potential energy, as well as generalized forces. The design model of interaction of forces in the elastic slip is developed. The mathematical model of movement of a single wheel set in a restraint of freedom rolling bogie frame, taking into account the phenomenon of elastic slip is derived. The features of the motion of the wheelset and wagon wheel reactions forming in the horizontal plane are considered. A mathematical model with three degrees of freedom is proposed. The method of constructing a model is based on the Lagrange equations of the second type.
We consider the fundamental principles of elastic slide. Analytical relations for the determination of the generalized forces are derived. A system of equations of motion, which takes into account based parameters that determine the conditions of elastic slip (pseudo slip) is also derived.
Keywords: wheel set, elastic slip, creep coefficient, mathematical modeling, Lagrange equation of the second kind.
Введение
Вследствие коничности поверхностей катания колёс колёсная пара в горизонтальной плоскости движется по синусоидальной траектории. Длина волны извилистого движения одиночной свободной колёсной пары определяется из выражения [1]
[ТБ
Lrn = 2п
(1)
где г - радиус колеса по кругу катания, для среднестатистического колеса принимаем г = 0,45 м;
- половина расстояния между кругами катания колёс колёсной пары; для среднеизношен-ных колёс 5 = 0,8 м;
ц - уклон образующей поверхности катания колеса к горизонтали, ц = 0,05.
Для стандартной колёсной пары из расчёта по формуле (1) Ьид = 16,85 м.
Приведенная формула (1) выведена в предположении качения колёсной пары по рельсам без
проскальзывания колёс по рельсам. Такое качение возможно только для свободной колёсной пары при малой скорости движения. Однако из экспериментов следует, что в случае стеснения свободы качения колёсной пары рамой тележки при значительных вертикальных нагрузках от колеса на рельс и с увеличением скорости движения длина волны извилистого движения колёсной пары и экипажной тележки отличаются от расчётных. Всё это заставляет думать о возникновении проскальзывания колёс по рельсам. Если появляется проскальзывание, следует признать, что связь, налагаемая рельсами на колёса тележки и вагона в горизонтальной плоскости, не является жёсткой. Величина силового эффекта, выражающего эту связь, устанавливается теорией упругого скольжения колёс по рельсам, предложенной Ф. Картером в 1920-х годах.
1. Постановка задачи исследования
Пусть колесо при движении по рельсовому пути поворачивается в продольной вертикальной
Механика
плоскости на некоторый угол ф вокруг своего геометрического центра, не нарушая сцепления колёс с рельсами. На колесо действуют вертикальная сила Р и крутящий момент М. Наиболее распространённой причиной возникновения момента М может быть стеснённое качение колёс одной колёсной пары. Под действием этого момента и сил сцепления колёс с рельсами обод колеса и головка рельса упруго деформируются.
Предположим, что колесо катится слева направо. Волокна обода деформируются так, что справа от точки контакта возникает сжатие, а слева - растяжение. Для головки рельса наблюдается противоположная картина.
В результате этой деформации при повороте оси колёсной пары на угол ф путь, проходимый точкой на поверхности катания колеса в зоне сжатых волокон, меньше аналогичного пути, проходимого в зоне растянутых волокон.
В то же время точка контакта колеса с рельсом за счёт деформации рельса смещается в направлении, противоположном движению колеса.
Разница между фактическим путём центра колеса и путём, который при тех же условиях прошло бы абсолютно жёсткое колесо по абсолютно жёсткому рельсу, и названо упругим скольжением.
Таким образом, физическая сущность явления упругого скольжения при качении железнодорожных колёс по рельсам сводится к кажущемуся проскальзыванию материала колёс и рельсов через точку контакта без нарушения сцепления в этой точке (псевдоскольжение).
Согласно теории Картера, возникающая касательная реакция между колесом и рельсом при относительно небольшой величине этой реакции составляет [2]
г и
Т = —у—, V '
(2)
где у - коэффициент пропорциональности, названный коэффициентом упругого скольжения или коэффициентом крипа; по Картеру, для стальных колёс и рельсов
у — 2,5-103 ург , кН, (3)
Р - вертикальная нагрузка на колесо, кН, г - радиус колеса по кругу катания, м; и - скорость упругого скольжения колеса по рельсу;
V - скорость движения поезда. Знак «минус» показывает, что реакция со стороны рельса на колесо направлена противоположно упругому скольжению.
Скорость упругого скольжения и можно найти как разность между фактической скоростью перемещения центра мгновенного круга катания колеса ик и скоростью чистого качения этого же центра юк г (рис. 1)
и = йк -юк гк, (4)
где юк - угловая скорость вращения колеса;
г - радиус мгновенного круга катания ко-
леса.
Юкгк и
Рис. 1. Схема движения колеса при упругом скольжении
С точностью до малых величин первого порядка скорость перемещения центра мгновенного круга катания колеса может быть заменена скоростью перемещения центра среднего круга катания того же колеса.
С указанной точностью в проекциях на оси прямоугольных координат
Тх — —у
Ту — —У
х — ю г
""Г";
у — ю г у V '
(5)
где Тх , Т - проекции касательной реакции
упругого скольжения на соответствующие координатные оси;
х, у - координаты центра среднего круга катания колеса;
у - мгновенный угол установки колёсной пары относительно оси пути.
С помощью зависимостей (5) внешние реакции, действующие со стороны рельсов колеи на колёса вагона в горизонтальной плоскости и требующиеся для составления уравнений движения, можно выразить в функции искомых перемещений элементов вагона.
Приведенные выводы и формулы, относящиеся к возбуждению горизонтальных колебаний
вследствие коничности поверхностей катания колёс, справедливы только для случая сохранения боковых зазоров между гребнями колёс и рельсами [3]. Если амплитуды извилистого движения колёсных пар достигнут величин этих зазоров, то характер возмущения колебаний изменится и придётся учитывать дополнительное ударное взаимодействие гребней колёс с рельсами.
Следует учесть также, что путь принимается прямолинейный, абсолютно жёсткий, не имеющий горизонтальных неровностей. Поверхности катания колёс не изношены.
Расчётную схему для получения математической модели принимаем в виде, показанном на рис. 2.
У] 7у1
со
CN1
Ту2
7x1
W
7x2
7
2 г
d дК дК дП „
----+-= Q,.
dt д qt д q д q
(6)
Кинетическая энергия системы равна:
К = 1 m( X2 + Y2) +1Y^ v2 +1Y01
^2
. (7)
v r J
Движение колёсной пары плоское, т. е. высота центра тяжести колёсной пары остаётся постоянной; упругие связи отсутствуют. В связи с этим потенциальная энергия системы постоянна, т. е.
П = П0 = const. (8)
Подставляем значения К и П и их производные в исходное уравнение (6) и получаем:
r»X + ^-X = Qx; г
mY — Qy;
Y=V = ®V-
(9)
Рис. 2. Расчётная схема одиночной колёсной пары
при движении с учётом упругого скольжения
2. Математическая модель движения колесной пары с учетом упругого скольжения
Обозначим:
m - масса колёсной пары;
Yz, Y01 - моменты инерции колёсной пары относительно вертикальной оси Z и собственной оси вращения соответственно.
На расчётной схеме показано начальное положение. Движение колёсной пары считаем плоским.
Рассматриваемая механическая система имеет три степени свободы, определяемые обобщёнными координатами X, Y, у.
Движение колёсной пары осуществляется с постоянной скоростью, откуда
Х = V = const; Х = Vt.
Используем уравнение Лагранжа второго рода в виде
Составляем выражения для обобщённых неконсервативных сил Q.
Реакции между колёсами и рельсами разложим на касательные и нормальные составляющие Тх и Ту. Направление этих составляющих совпадает с положительным направлением координатных осей.
Даём колёсной паре вариации обобщенных координат 5х, 8у, 5у:
И = (Тх1 + Тх 2) 5х;
О = — = т + Т ;
ОХ
8Ау = (ТУ1 + Ту 2) 5у;
ОАу
О = —- = т + т •
°у д Ту1 ^ Ту 2 ;
8А¥ = Тх1 БО у - Т х2 БО у = (Т Х1 - Тх2)Б О у;
А
Оу = = (Тх1 - Тх2 ) Б.
Определим
величины Тх1, Тх2, Ту\, Ту2 по теории упругого скольжения через скорости этого скольжения.
Абсолютные скорости центров средних кругов катания колёс составляют:
их1 = X + Б у; их2 = X - Бу;
иу1 = у ; иу2 = г.
Скорости упругого скольжения колёс (первой и второй точек) в направлениях Х и Y составляют:
Механика
X
X
Vxl = Uxl 'J (r "^Y) = X + Sy - XX + -jY -
- Sy + — X; r
XX
jY
Vx2 - Ux2--(r + jY) = XX - Sy - XX XX =
r r
= -SyX;
r
x
jYy
Vyi - UV1--(r-jY)y - Y-yX+ ^XX -
yi
- 7 - yX;
X
juYy
Vy2 - Uy2--(r + jY)y - Y-yX- ^XX -
y 2
— У — уХ.
Записываем выражения для определения составляющих касательных сил
y jY
- dy „ J V.
Ti --Y^ - -y| S£ + ^ | = -yS^ Y;
V
X r
y jY
dx dy j
Tx2 --Yl - ^ — |-+yS^ + Y- Y;
X r
V
Tyi - -Y^1 - -Y
^y X^
yi
V
Г Vy2
У2 --Y— --Y
— - y—
vx
^Y X^
dx
dY
--Y— + Yy; dx
— - y—
V X X У
dY
--Y— + Yy. dx
Получаем выражения для обобщённых сил: Qx - Txi + Tx2 - 0;
Qy - Tyi+Ty 2 =-2{dY - yV;
Qy -( -Tx2)S = |%-Yjy-YS^+YjYV -
dX r
dX r
n dy ,
= -2YS — - 2Y—Y. dX r
Уравнения (9) приобретают вид
r Y Л m + Yoi
V
r
XX - 0;
mY + 2yY'- 2Yy - 0;
jS
Y XX + 2yS y' + 2^—Y - 0.
z r
(10)
В уравнениях (10) освобождаемся от дифференцирования переменных У и у по Х.
ёУ _ ёУ _ 1 ^
ах — — V йг ~ V '
ёу 1 . аналогично получаем -— — у .
ёХ V
Записываем уравнения (10) в виде
mY + 2Y YX - 2Yy = 0;
2y S2 . 2Y jS Л Y XX + —— yy + Y - 0.
(11)
V r
Заключение
В соответствии с теорией упругого скольжения предлагается методическая основа для определения кинетической и потенциальной энергий, а также обобщенных сил. Разработана расчетная схема взаимодействия сил при упругом скольжении. Получена математическая модель движения одиночной колёсной пары при учёте псевдоскольжения.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Вершинский, С. В. Данилов А. В., Хусидов В. Д. Динамика вагонов. М. : Транспорт, 1991. 360 с.
2. Гарг В. К. Дуккипати Р. В. Динамика подвижного состава : пер. с англ. М. : Транспорт, 1988. 391 с.
3. Вериго М. Ф., Коган А. Я .Взаимодействие пути и подвижного состава. М. : Транспорт, 1986. 560 с.
4. Андронов А.А., Витт А.А, Хайкин С.Э. Теория колебаний. М. : Физматгиз, 1959.
5. Бабаков И.М. Теория колебаний. М. : Гостехиздат, 1958.
6. Винокуров М.В. Исследование колебаний и устойчивости вагонов // Сб. науч. работ ДИИТа. Вып. XII, 1940.
7. Лазарян В.А. Лекции по теории колебаний. Ч.1. Изд-во ДИИТа, 1954.
8. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М. : Гостехиздат, Л., 1950.
r
r
r
r
r
r
