CC BY
105
2. Рассмотренная модель требует дополнительной экспериментальной и компаративной проверки по результатам расчета растения как гибкого стержня [5].
3. Преимуществом рассмотренной недеформируемой модели растения является то, что все конечные формулы записаны в аналитическом виде.
Литература
1. Летошнев М.Н. Сельскохозяйственные машины. Теория, расчет, проектирование и испытание. - М.; Л.: Гос. изд-во с.-х. лит., 1955. - 764 с.
2. Кленин Н.И., Сакун В.А. Сельскохозяйственные и мелиоративные машины: элементы теории рабочих процессов, расчет регулировочных параметров и режимов работы. - М.: КолоС, 1980. - 671 с.
3. Физико-механические свойства сельскохозяйственных растений как основание для проектирования сельскохозяйственных машин // Тр. лаборатории ВИСХОМ. - М., 1939. - 214 с.
4. Кильчевский Н.А. Курс теоретической механики (кинематика, статика, динамика точки). - М.: Наука, 1972. - 456 с.
5. Гутров М.А. Модель статического деформирования злаковых растений при взаимодействии с мотовилом жаток // Тракторы и сельскохозяйственные машины. - М., 2005. - № 10.
УДК 631.362:531 А.М. Плаксин, Н.Р. Саврасова
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КЛУБНЕЙ КАРТОФЕЛЯ НА ПОВЕРХНОСТИ ЛЕНТОЧНОГО СОРТИРУЮЩЕГО УСТРОЙСТВА
В статье предложена математическая модель, описывающая процесс сепарации клубней картофеля на ленточном сортирующем устройстве транспортерного типа. Она учитывает контактное взаимодействие трех клубней сферической формы, опирающихся на две поверхности, движущиеся с разными скоростями. Модель позволяет подобрать кинематические и конструкционные параметры сортирующего устройства
Ключевые слова: клубни картофеля, сепарация, математическая модель, неголономная механическая система.
A.M. Plaksin, N.R. Savrasova
MATHEMATICAL MODELING OF MOVEMENT AND INTERACTION OF POTATO TUBERS ON THE SURFACE OF THE BELT SORTING DEVICE
Mathematical model describing the process of potato tuber separation on the belt sorting device of conveyer type is offered in the article. It considers contact interaction of three tubers of the spherical form leaning against two surfaces, moving with different speeds. The model allows to select kinematic and constructional parameters of the sorting device.
Key words: potato tubers, separation, mathematical model, nonholonomic mechanical system.
Введение. В получении высоких и устойчивых урожаев картофеля важную роль играет качество семенных клубней и их предпосадочная подготовка. Сортирование - важная операция в технологии предпосадочной обработке картофеля. Посадку желательно проводить клубнями примерно равного веса и размера. В этом случае повышается производительность и качество работы картофелепосадочных машин, поэтому при машинной посадке семенной материал должен быть отсортирован. Существующие сортировальные машины разделяют семенные клубни на три фракции: мелкие - до 50 г, средние - до 50-80, крупные - свыше 80 г.
Из всех существующих типов сортирующих устройств наиболее полно удовлетворяют агротехническим требованиям транспортерные машины ременного типа, так как они (в отличие от роликовых, барабанных, грохотных) практически не повреждают клубни, не забиваются при работе, имеют большую производи-
тельность и меньшую удельную металлоемкость. Однако недостатком существующих ременных сортировок является сравнительно невысокая точность сортирования [1].
В Южно-Уральском НИИ плодоовощеводства и картофелеводства было разработано ленточнощелевое сортирующее устройство транспортерного типа для сортирования предметов округлой формы.
Характерной особенностью данного устройства (рис.1) является наличие двух ленточных транспортеров: нижний (1) расположен под углом а к горизонту, верхний (2) выполнен в виде двух параллельно расположенных клиновых ремней (на рис. 1,б показан один ремень).
Клиновые ремни (3-4) служат для задержки соответственно крупной и средней фракций картофеля на нижнем транспортере для последующего перемещения в приспособление для приема отсортированного картофеля. Мелкий картофель, характерные размеры которого меньше величины зазора между плоскостью транспортера и ремнем, скатывается вниз по наклонной плоскости (5).
а б
Рис. 1. Схема устройства: а - вид сбоку; б - общий вид
Лабораторные испытания выявили следующий недостаток данного сортирующего устройства: при одинаковых скоростях ремня и нижнего транспортера некоторые мелкие клубни задерживались на нижнем транспортере более крупными и перемещались вместе с ними к отсортированной крупной фракции (рис. 2,а), что снижало качество сортирования. Чтобы освободить пространство для схода более мелкой фракции, необходимо заставить крупные клубни перекатываться по рабочей поверхности. Так как на данном сортирующем устройстве клубень опирается на две движущиеся поверхности (клиновой ремень и нижний транспортер), то эффекта перекатывания можно добиться за счет различных скоростей клинового ремня и нижнего транспортера (рис. 2,б).
Рис. 2. Влияние относительной скорости ремня на характер движения клубней: а - скорость ремня и транспортера одинакова; б - скорость ремня больше скорости транспортера
Для исследований влияния относительной скорости ремня и нижнего транспортера на процесс сортирования клубней потребовалось создание математической модели взаимодействия клубней на поверхности сортирующего устройства.
Цель исследований. Создание математической модели, описывающей процесс сортирования клубней при их движении по поверхности данного сортирующего устройства.
Задачи исследований:
- составление и численное интегрирование дифференциальных уравнений движения системы трех округлых тел, опирающихся на наклонную поверхность и движущийся ремень;
- теоретическое исследование на основе математической модели влияния относительной скорости ремня на процесс сортирования.
Математическая модель. Так как при сортировании на данном устройстве проблема возникала с
тем, что мелкий клубень задерживался на транспортере двумя более крупными, в математической модели рассмотрим взаимодействие трех клубней, два из которых опираются на нижний транспортер и ремень, а третий, более мелкий, на первые два (рис. 3).
Рис 3. Расчетная схема: а - введение голономных связей; б - введение обобщенных координат
Введем следующие допущения: 1) форма всех тел сферическая; 2) радиусы больших шаров одинаковые: г = Г = г; 3) контакт малого шара с каждым из больших постоянный; 4) учтем влияние момента трения качения, не будем учитывать трение между шарами и моменты трения верчения; 5) нижний транспортер будем считать неподвижным, а за скорость клинового ремня примем относительную линейная скорость верхнего и нижнего транспортеров; 6) предположим, что в точках касания всех трех тел с наклонной поверхностью, а также в точках соприкосновения первого и второго тела с ремнем, нет проскальзывания.
Ось X направим в сторону движения ремня через точки касания первого и второго тела с плоскостью, ось У - по линии наибольшего ската вверх, ось 1 - перпендикулярно наклонной поверхности. В соответствии с принятым допущением о постоянном контакте тел координаты хз, уз центра масс третьего шара могут быть определены из следующей системы уравнений (рис. 3,а):
(хз - х2 )2 + уз - Я2, (х3 - X! )2 + у3 - Я2 ,
(1)
где Я = д/(г 2 + Г У ~(Г12 ~ Г У - проекция расстояния между центрами масс шаров на плоскость ХУ.
Выражая из (1) хз , уз, получим две голономные связи:
Учитывая, что уі=0, у2=0, іі=гі=г, іг=гг=г, із=гз , а также голономные связи (2), положение системы данных трех тел может быть определено с помощью 11 обобщенных координат. За обобщенные координаты примем (рис. 3,б): координату центра масс вдоль оси X и три угла Эйлера для первого тела
(х1 ,р1 ,01 ,Щ1), координату центра масс вдоль оси X и три угла Эйлера для второго тела
(х2 ,р2,02, у2), три угла Эйлера для третьего тела ((р3,63 ,у3). Введем следующие обозначения:
41 - х1, 42 - Р, 4з - °1, 4л -^1 , 45 - Х2, 4в -Р , 4і -°2 , 48 -¥2 , 49 - Рз ,
410 - @з, 411- ^з ■
Предположение об отсутствии проскальзывания в точках контакта с поверхностями ремня и нижнего
транспортера накладывает ограничения на скорости этих точек тел, что приводит к появлению следующих неголономных связей:
- для первого и второго шаров (рис. 4):
V = V + ю,лхр = 0;
p(i) c(i) (i) r'p(l) '
V,r, = V+ (Ь1Л x Д... = v;
k (i) c(i) (i) f'k (i) 1
■ для третьего шара (на рис. 4 не показан):
(3)
Vp3 = Vc3 +®s x Pps
0,
где V , V - скорости точек контакта шара с поверхностью и ремнем соответственно; Ус - скорость центра масс тела; V - скорость ремня; 3 - мгновенная угловая скорость тела; р , рк - радиус-вектора, определяющие положение точек контакта относительно центра масс шара; I - индекс тела.
Рис. 4. Точки контакта
Для данной неголономной системы были составлены уравнения движения с множителями Лагранжа [2]:
дТ
d
dt
\uqk
дЧк
Qk
ik ’
(4)
где T - кинетическая энергия системы; Q - обобщенная сила, k = 1 +11- индекс обобщенной координаты; i = 1 ^ 6 - индекс уравнения неголономной связи; - множители Лагранжа; aik - коэффициенты перед обобщенными скоростями в уравнениях неголономных связей.
Для определения коэффициентов aik уравнения неголономных связей (3) были выражены через
обобщенные координаты и обобщенные скорости с помощью кинематических уравнений Эйлера [3]. Уравнения неголономных связей в проекциях на координатные оси, выраженные через обобщенные координаты и обобщенные скорости, имеют вид:
jc1 + <p1 sin61 cos щ1 ■ r1 — в1 sin^1 ■ r1 = 0,
.tj — < sin Qx cosщ —вх sin щ1 )■ r cos Д +
+ <pj cos^j ■ r sin Д + y/jrj sin Д = v, x2 + <p2 sine2 cos Щ ■ r — &2 sinw2 ■ r2 = 0,
x2 — (< sin в2 cosщ — в2 sin Щ)■ r cos( +
+ <р2 cosв2 ■ Г2 sin (32 + Щ2r2 sin (32 = v,
+ (<93 sine cos щ — в3 sinщ )r3 = 0
Xj + x2
2
— *2 xi (_xj — _t2)+
2J4R2 — (tj — X2 )2
+ фъ sin в3 sin щ ■ r + в3 cos щ ■ r = 0.
Система из 11 уравнений с множителями Лагранжа (4) вместе с уравнениями неголономных связей (5) образуют полную систему из 17 дифференциальных уравнений относительно 17 неизвестных. Неизвестными являются 11 обобщенных координат и 6 множителей Лагранжа А.
Результаты численного решения. Данная система дифференциальных уравнений была численно проинтегрирована в пакете MathCAD. Были введены следующие параметры: плотность материала шаров
2 ,
(клубней) р = 1200 кг/м3, a = 20 °, r = r = 0,03 м, r3 = 0,02 м, I = — mr , ( = (= 40°,
Sk= 1 ■ 10—5 м, v = 0 ^ 0,8 м/с. В начальный момент времени система находилась в покое, шары вплотную
прилегали друг к другу. В результате численного интегрирования получены графики движения, линейные и угловые скорости тел системы.
Когда ремень и транспортер движутся с одной скоростью (относительная скорость ремня равна нулю), расстояние между первым и вторым шарами не изменяется (рис. 5,а; график 1), т.е условий для скатывания третьего шара не создается и процесс разделения невозможен.
При относительной скорости ремня, отличной от нуля, расстояние между двумя большими шарами постепенно увеличивается (рис. 5, графики 2-6), тем самым освобождается место для скатывания малого шара. «Освобождение» малого шара произойдет тогда, когда расстояние между большими шарами станет равным его диаметру (в нашем случае А = 2r3 = 0,04 м). При этом быстрее процесс разделения произойдет при относительных скоростях ремня 0,1-0,3 м/с (рис. 5,б; графики 3-4). Увеличение относительной скорости ремня до 0,6-0,8 м/с приводит к замедлению процесса сепарации (графики 5-6).
а б
Рис. 5. Изменение расстояния между первым и вторым шарами для угла наклона поверхности а = 20 ° при различных относительных скоростях ремня у , м/с: а - 1-0, 2-6 - больше 0; б (увеличено) - 2-0,05; 3-0,1; 4-0,3; 5-0,6; 6-0,8
На рис. 6 показано влияние малого шара на скорости и положение больших шаров при скоростях ремня 0,1 и 0,3 м/с. Результатом взаимодействия малого шара с большими является увеличение скорости первого шара и уменьшение скорости второго. Причем при относительной скорости ремня 0,1 м/с второй шар в какой-то момент времени начинает двигаться относительно транспортера в противоположном направлении
(график 2 на рис. 6,а). При скорости ремня 0,3 м/с оба шара во время процесса сепарации перемещаются в одном направлении (рис. 6,б).
Рис. 6. Изменение скоростей первого и второго шаров вдоль оси X при угле наклона поверхности а = 20 °
и скоростях ремня V, м/с: а - 0,1; б - 0,3
Заключение. Процесс разделения клубней возможен, если скорости ремня и нижнего транспортера будут различными. В этом случае все клубни начинают перекатываться относительно транспортера в направлении движения ремня. Процесс разделения происходит вследствие того, что в результате взаимодействия малого клубня с большими увеличивается скорость центра масс первого клубня и уменьшается скорость второго. Это приводит к увеличению расстояния между первым и вторым клубнем и освобождению места для скатывания малого клубня.
Увеличение относительной скорости ремня не ускоряет процесс разделения. Быстрее всего процесс сепарации происходит при относительных скоростях ремня 0,1—0,3 м/с. При этом процесс разделения происходит на более коротком участке, чем при более высоких относительных скоростях ремня.
Предложенная математическая модель дает полное описание поведения системы данных тел, подчиняющейся введенным геометрическим и неголономным связям, и позволяет подобрать кинематические и конструкционные параметры сортирующего устройства.
Литература
1. Колчин Н.Н., Трусов В.П. Машины для сортирования и послеуборочной обработки картофеля. Конст-
рукция, основы теории, расчет. - М.: Машиностроение, 1966.
2. Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Динамика неголономных систем. - М.: Наука, 1967.
3. Бутенин Н.В., ЛунцЯ.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики. - СПб.: Лань, 2002.
