CC BY
57
ПРОБЛЕМЫ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК
УДК 621.791.039:518
А.В. Грезина
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ ЭЛЕКТРОДОДЕРЖАТЕЛЕЙ ДУГОВЫХ СТАЛЕПЛАВИЛЬНЫХ ПЕЧЕЙ
Работа посвящена актуальной проблеме повышения устойчивости системы электрододержателей мощных дуговых сталеплавильных печей (ДСП). На основе анализа геометрической схемы связей построена математическая модель, описывающая взаимосвязь крутильных колебаний верхних элементов системы электрододержателей с изменением электродинамических сил. Проведено исследование устойчивости методом D-разбиения. Расчеты динамической системы электрододержателей ДСП-100 показали, что наиболее эффективным методом повышения устойчивости является увеличение рассеивания энергии в стойке и роликовых опорах и уменьшение электродинамических сил, действующих на токоведущие части системы электрододержателей.
А.У. Grezina MATHEMATICAL MODELLING OF THE STEEL MELTING ARC FURNACES ELECTRODE HOLDERS SYSTEM DYNAMICS
The article is dedicated to a pressing problem of the increase of stability of high-intensity steel-smelting arc furnaces’ electrode holder systems (SSAF).
A mathematical model describing interrelations of electric holders ’ upper elements torsion oscillations subject to electrodynamics force changes has been made on a basis of a geometric diagram of links. As evident from calculations, the most effective method of SSAF-100 stability increase consists in widening of energy diffusion in the stand and roller bearings and reduction of electrodynamics forces having an effect on conducting elements of electrode holder systems.
Введение
Работа посвящена актуальной проблеме повышения устойчивости системы электрододержателей (ЭД) дуговых сталеплавильных печей (ДСП). Известно, что при их эксплуатации возникают низкочастотные колебания различной физической природы. Они могут быть связаны с колебаниями ЭД, печи с расплавленным металлом, колебаниями в системе автоматического регулирования, предназначенной для управления вертикальными перемещениями графитовых электродов. Наибольшую опасность представляют колебания
ЭД, которые снижают производительность этих энергетических установок и приводят к аварийной ситуации. Для решения этой сложной и недостаточно изученной проблемы необходимо изучить основные причины самовозбуждения колебаний системы ЭД с помощью геометрической схемы связей, построить математическую модель замкнутой динамической системы и провести исследование устойчивости.
1. Анализ причин самовозбуждения колебаний и построение математической модели системы электрододержателей дуговой сталеплавильной печи
Рассмотрим эквивалентную механическую модель одного электрододержателя (рис. 1) [1]. Стойка (0-1-2-3) и часть рукава (4-5) представлены в виде стержней с непрерывным распределением масс и жесткостей; средняя часть рукава с опорной плитой и кронштейном 6, электрод 7 с головкой 8 - в виде абсолютно твердых тел. В точках 1 и 2 введены упругие элементы роликовых опор, работающие на изгиб и кручение. Эти элементы имитируют упругие и диссипативные свойства роликовых опор вертикальной стойки.
Из анализа сил и моментов, действующих на каждый ЭД, и характера колебаний на низших частотах следует, что наибольшее практическое значение представляют изгибные колебания ЭД в направлении оси х и его чисто крутильные колебания относительно оси г. Математическая модель одного ЭД [1] представляет собой сложную систему дифференциальных уравнений в частных производных с достаточно сложными краевыми условиями. Использование этой системы для исследования устойчивости не представляется возможным из-за трудностей теоретического характера.
Результаты исследований, приведенные в работах [1,2], показали, что можно упростить эквивалентную механическую модель ЭД (рис. 1) и построить математическую модель, описывающую только крутильные колебания верхней горизонтальной части ЭД с электродом, так как их вклад в работу упругих сил составляет около 45%. При этом наибольшая роль принадлежит жесткости в кручении верхней части стойки ЭД элемента (2-3). Учитывая вышесказанное, построим математическую модель, описывающую взаимосвязь крутильных колебаний системы трех ЭД с изменением электродинамических сил, действующих на трубошины и электроды. Для этого рассмотрим эквивалентную механическую модель (рис. 2) [2], на которой в качестве основных колебательных элементов выделим верхние части ЭД (горизонтальный рукав с трубо-
Рис. 1
Рис. 2
шинами и электродом), представленные в виде твердых тел. Крутильная жесткость стоек представлена в виде дискретной пружины, имеющей приведенную жесткость с.
Для построения математической модели вычислим приведенные к центру масс электродинамические силы, действующие на трубошины ' Эр, и приведенные к центру масс
электродинамические силы, действующие на электроды '. Выражения ' Эр и 'І имеют следующий вид:
рЭ = Ма111 )1 рЭ = Ма1,1]1 1 (1)
,тр 2 п гу ’ ,)э 2 п) ’
где Ма=МоМ - абсолютная магнитная проницаемость (м0=1,257-10-6 Гн/м - магнитная постоянная; м - относительная магнитная проницаемость); I, - сила тока в ,-м проводнике; I) - сила тока в )-м проводнике; I - длина проводника (верхней горизонтальной части ЭД); 11 -длина электрода; Гу - расстояние между ,-м и )-м проводниками.
Природа самовозбуждающихся колебаний электрододержателей скрыта во взаимосвязи электродинамических сил, действующих на их токоведущие элементы (трубошины, электроды) с колебаниями упругой конструкции. Действительно, с одной стороны, система ЭД подвержена воздействию электродинамических сил и моментов, а с другой, колебания ЭД приводят к изменению длин дуг, что, в свою очередь, приводит к изменению протекающего в каждой фазе тока. При колебаниях ЭД происходит изменение расстояний между ними на величину Аг,). Это приводит к изменению электродинамических сил, имеющих характер упругого взаимодействия, ма-
Э м а 10101
лые вариации которых можно записать в виде Ар] = Агу-—, АГ] = I(0у (() - 0, (?)), где
2 П Г!)
0, ^) - угол поворота верхней части ,-го электрододержателя относительно оси г.
Колебания ЭД вызывают изменения длин дуг на величину А10, и, соответственно, А1, токов. При этом изменяются электродинамические силы, действующие на трубошины и электроды. Рассматривая малые изменения длины дуги ¡0 и силы тока 10 , приращение силы
тока в 1-м ЭД будет выглядеть следующим образом:
А ((а, + р, р +10 Д) в,А1„ (2)
‘ 1,2 (х2 + Д3) + Д(а,+в,¿0)’
где 10 - стационарное значение силы тока в ,-м проводнике; а, - анодно-катодное напряжение на дуге; в - градиент столба дуги; х, Д - приведенные реактивное и активное сопротивления соответственно. Так как наибольший интерес представляет горение боковых дуг, то изменение длин горящих дуг от стационарного значения ¡° с изменением обобщенных координат 0 , ^) запишем в виде А10, = 10 , (I — т) .Таким образом запишем выражения приращений приведенных электродинамических сил в следующем виде:
А р;,т,г = А1, . А Р,Э, =А I, .! = 2,3 ;
2 п г 1, 2 пг 1,
_ Л!, ^ _ Л', • І =1-3 ; (3)
2 П Г 2 І 2 П Г 2 І
Л 'э _ Л! М а д ' Э _ д I М- а 13 ^1 к — 12
Л 'з,ктр — Л!к~ о , Л 'з,кэ _ Л !к~ 0 , к — 1,2 '
2 П Г 3к 2п Г 3к
Проведем анализ причин самовозбуждения колебаний системы ЭД с помощью геометрической схемы связей. Геометрическая схема связей представляет собой систему взаимодействующих между собой осцилляторов, которые обозначаются точками, а действующие между ними направленные и взаимные связи (силы), соответственно направленными и ненаправленными отрезками. Тогда замкнутый контур без самопересечений, составленный из ненаправленных и по крайней мере одного направленного отрезка, проходимого в одном направлении, определяется как цикл. Для дискретных линеаризованных систем доказано [3], что необходимым условием экспоненциальной неустойчивости статически устойчивой системы является наличие на геометрической схеме связей отрицательного трения или цикла. Учитывая электродинамические силы, действующие на каждый ЭД, построим геометрическую схему связей рассматриваемой системы (рис. 3).
действуют взаимные и направленные связи по координате, обусловленные наличием электродинамических сил. Используя теорию чувствительности, найден процентный вклад каждого цикла в суммарную работу всех циклов, увеличивающих энергию динамической системы ЭД на потенциально неустойчивой 1-й форме колебаний. Результаты исследований показали, что наибольший вклад в увеличение энергии вносят циклы, определяемые электродинамическими силами соседних фаз.
Из экспериментальных и теоретических исследований следует, что запаздывание также является одним из основных причин самовозбуждения колебаний ЭД, так как в силу инерционных свойств электрических контуров системы, электродинамические силы формируются не мгновенно, а с некоторым запаздыванием т=%/(2п/К) (где f- собственная частота колебаний) являющимся постоянной времени электрического контура цепи.
В результате анализа геометрической схемы связей математическая модель замкнутой динамической системы ЭД в принятой идеализации представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений 6-го порядка с запаздыванием
©,
03
Рис. 3
Из геометрической схемы связей следует, что между осцилляторами ©1 (г), 0 2 (г), 0 3 (г)
2ПГ1°2
2пг2з (4)
•• •
J3 03(г) + Ь3 03(г) + С30з(г) + 1 (— + 11)|аа-— (0з(г)-01(г)) + 1 (— + 11)^а
2 2пг° 2
2<1
• (0 з (г) - 0 2 (г)) = ЛМзЭ1гар + ДМ зЭь + Дм32 тр + ДМ 32
где ЛM = ^ И_(а 1 + в А) + ^_________________в/0 а-т)
1}тр 2щ 2 1°(Е2 +х2) + Л(а+в/0) в11 ( )?
и1 0 (а, +р 10) +10Я
ЛМ 1э = ^¡-¡-I1I • 0 2 1 /1^—1 п 0 •в0;(г - т),
1э 2щ 1 /°(Я2 +х2) + Я(а 1 +в А0) 1 1
Си Ьи J I - приведенная жесткость, коэффициент рассеивания энергии, момент инерции верхней части г-го электрододержателя с электродом.
2. Исследование устойчивости системы ЭД
Для исследования устойчивости системы ЭД запишем математическую модель в более удобном виде
J101 (г) + Ь 01 (г) + СП0! (г) - с^02 (г) - С1з0з (г) = -о^02 (г - т) - о^0з (г - т) ;
J2 02 (г) + Ь2 0 2 (г) + С220 2 (г) - с2101 (г) - с2з0з (г) = -о 2101 (г - т) - о2з0з (г - т) ; (5)
J з 0з (г) + Ьз 0з (г) + Сзз0з (г) - Сз101 (г) - Сз202 (г) = -Оз101 (г - т) - Оз202 (г - т).
Считая, что активные и реактивные сопротивления, анодно-катодные напряжения на
дуге, градиент столба дуги и стационарные значения силы тока одинаковы во всех трех фа-
зах печи, можно записать а1=а2=аз=а, р1=р2=рз=р, г12=г2з=г1з/2, с1з=с, с12=с2з=4с1з,
С11=Сзз=С1, С22=С2, 012=021=02з=0з2=20, 01з=0з1=0.
Характеристическое уравнение представляет собой квазиполином
8озе"3рТ -(40с + 8р + Р2)о2е“2рТ + (64с2 + з2Р1 + 2Р2)сое~рТ --з2с3 -(з2р + Р2)с2 + Р2Р2 = 0,
где Р1( р) = Jp 2 + Ьр + С1, Р2 ( Р) = Jp 2 + Ьр + С2, Ji=J, Ьг=Ь.
Исследование устойчивости проведем методом О-разбиения. Так как параметры направленных связей входят в него нелинейно, то нельзя использовать стандартные приемы построения О-разбиения по одному комплексному параметру. В связи с этим введем в характеристическое уравнение комплексный параметр w(p), равный
ы(р) =^— (8озе-3рТ - (40с + 8Р + Р2 )о2е-2рТ +
Р2Р 1 2
Р1 Р2
+ (64с2 + з2Р: + 2Р2 )сое"рТ - з2с3 - (з2Р + Р2 )с2).
Исходному значению квазиполинома соответствует ^=-1. Построим О-разбиение при р=г ю, 0<ю<<^ и найдем область устойчивости .0(0). Кривая для -<^<ю<0 получается зеркальным отображением построенной кривой относительно реальной оси. Используя правила штриховки, найдем область устойчивости 0(0). Если точка ^=-1 находится внутри области 0(0),то исследуемая система устойчива.
Меняя эквивалентную жесткость с [Нм], коэффициенты рассеивания энергии Ь [Нмс] и направленных связей о [Нм], построим О-разбиение и определим, устойчива ли система при данных значениях параметров. Результаты исследований, диаграммы устойчивости приведены в таблице. Знак «+» означает, что при соответствующих параметрах система устойчива, знак «-» - неустойчива.
Сравнение найденных расчетных значений бифуркационных параметров с параметрами, соответствующими действующим образцам дуговых печей марки ДСП-100, показывает, что наиболее эффективным методом достижения устойчивости является увеличение па-
раметра рассеивания энергии и уменьшение направленных связей. Изменение параметра приведенной жесткости верхней части стойки оказывает меньшее влияние на устойчивость.
-6 Гн
|1 а = 1,25 • 10-6 — м
-6 Гн
|1 а = 1,04 • 10-6 — м
6 Гн
ц а = 1,25 • 10-6 — м
b с 3.510Л4 610Л4 710Л4 7.810Л4 810Л4
3-10л7 - + + + +
3,510Л7 - - - - -
410Л7 - - - - -
4,510Л7 - - - - -
510Л7 - - + + +
5,510Л7 + + + + +
610Л7 + + + + +
710Л7 - - + + +
810Л7 - - - + +
3,510Л8 + + + + +
с = 5,0 х 107 Нм, b = 6,0 х 104 Нмс Система Система
устойчива неустойчива
ЛИТЕРАТУРА
1. Городецкий Ю.И., Коваль Н.В., Некоркин Ю.Е. Математическое моделирование колебаний электрододержателей мощных дуговых сталеплавильных печей // Математическое моделирование и оптимизация: Межвуз. тематич. сб. науч. трудов / Под ред. А.В. Сергиевского. Н.Новгород: ННГУ, 1991. С.147-160.
2. Городецкий Ю.И., Грезина А.В. Построение математической модели для исследования устойчивости колебаний электрододержателей сталеплавильных печей // Проблемы теории колебаний: Межвуз. сб. науч. трудов. Н.Новгород: ННГУ, 1995. С.94-102.
3. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы. М.: Наука, 1978.
336 с.
Грезина Александра Викторовна -
кандидат физико-математических наук,
старший преподаватель кафедры «Прикладная математика»
Нижегородского государственного университета
