CC BY
46
УДК 622.73:519.6
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСТАНОВКАХ ПО ИЗМЕЛЬЧЕНИЮ ЧАСТЬ 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
ЛИПАНОВ А.М., ЖИРОВ Д.К.
ДИНАМИКИ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦ ЦЕНТРОБЕЖНО-УДАРНОГО ТИПА.
Институт механики УрО РАН, 426067, г. Ижевск, ул. Т.Барамзиной, 34
АННОТАЦИЯ. Разработана математическая модель, описывающая динамику движения частиц по лопатке центробежно-ударной мельницы. Уравнения позволяют определять скорость, угол вылета частиц с лопаток центробежных измельчителей в зависимости от скорости вращения ротора, угла наклона лопаток, коэффициента трения.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: частица, центробежно-ударная мельница, скорость вылета, удар, лопатка. ВВЕДЕНИЕ
Ежедневно в мире перерабатывается более ста миллионов тонн различных материалов. Механическое измельчение является первым этапом получения высокопрочных конструкционных наноматериалов. Набольшую долю измельчаемого сырья составляют сыпучие материалы, содержащие в своем составе несколько неоднородных по своей структуре компонентов. К их числу относятся полезные ископаемые, нерудное минеральное сырье, шлаки, зерно, отходы промышленности, сельского хозяйства и т.д.
Многокомпонентные материалы характеризуют по механическим параметрам: твердость, хрупкость, объемная масса, а также по их химическому составу. Если рассмотреть многокомпонентный материал как исходное сырье для последующей переработки, то, как правило, это твердые частицы, между которыми в пустотах находится воздух. Расстояние между частицами в материале при его переработке непрерывно меняется. В результате чего объемная масса твердых частиц материала является непостоянной величиной. Можно значительно сократить расстояние между твердыми частицами, если приложить сжимающую статическую или динамическую нагрузку к материалу. Динамическая нагрузка, в отличие от статической, позволяет в большей степени уплотнить материал [1].
Измельчение материалов может быть произведено различными способами, наиболее распространенные: раздавливание, разламывание, удар, истирание, резание и комбинация этих способов.
Анализ выполненных исследований по статическому и динамическому нагружениям различных материалов показывает, что из всех способов разрушения наиболее эффективным для большинства многокомпонентных структурно-неоднородных материалов является свободный удар [2 - 8].
Приведенные выше способы механического разрушения и их комбинации (рис. 1) определяют неоднородность разрушения частиц особенно для многокомпонентных структурно-неоднородных материалов. Неравномерность разрушения определяется различием в физико-механических и химических свойствах каждой частицы. Каждая частица индивидуальна. В таблице представлены наиболее практичные способы разрушения для материалов с различными свойствами.
Результаты проведенных исследований Р. Гийо, А.Р. Демидова, Л.А. Глебова, В.А. Денисова, С.В. Золотарева [2, 9 - 12] показали, что измельчение большинства многокомпонентных структурно-неоднородных материалов с помощью свободного удара позволяет получать продукт помола высокого качества, затрачивая при этом минимальное количество энергии.
В центробежно-ударных мельницах разрушение материала происходит за счет кинетической энергии частиц, вылетающих из ротора и ударяющихся об отбойные деки (плиты).
а - раздавливание; б - раскалывание; в - разламывание; г - резание; д - распиливание; е - истирание; ж - стесненный удар; з - свободный удар
Рис. 1. Способы механического измельчения материалов
Таблица
Способы разрушения материалов
Свойства материала Способы воздействия
сжатие удар истирание отраженный удар срез резание
Твердый, скалывающийся + + - + - -
Твердый, хрупкий + + - + - -
Твердый, вязкий + + - - - -
Средней твердости + + - + О -
Упругий, мягкий - - + - + +
Волокнистый О - + + + +
Чувствительный к теплоте - О - О + +
Примечание: плюс - пригодный; О - условно-пригодный; минус - не пригодный.
Наиболее важным фактором, влияющим на процесс измельчения в центробежно-ударных мельницах, является скорость частиц в момент удара. При повышении скорости вылета частиц увеличивается скорость их измельчения. На скорость вылета частиц влияет ряд факторов: длина разгонных лопаток, форма лопаток, скорость вращения ротора. По форме лопатки могут быть прямолинейные или криволинейные, расположены под различным наклоном к окружной скорости.
Основная деталь центробежно-ударной мельницы - ротор. Он состоит из диска, с расположенными на нем лопастями (лопатками). Поверх лопастей также имеется диск.
Частицы измельчаемого материала, начинают вращение вместе с ротором, при этом на частицу действует центробежная сила, которая обуславливает движение частицы относительно разгонной лопатки. В результате следует рассматривать два вида движения: вращательное вместе с разгонной лопаткой и движение частицы относительно лопатки [13].
Окружная скорость определяется по формуле
прп
=ор= (1)
где уокр - окружная скорость частицы, м/с; а - угловая скорость вращения ротора, рад/с; р - радиус от центра вращения ротора до центра тяжести частицы, м; п - скорость вращения ротора, об/мин.
Для определения расположения лопатки на разгонном диске необходимо знать отношение (рис. 2):
— = -n = sin ZO AB = sin p, (2)
OA R
где AC - разгонная лопатка; -n - перпендикуляр из оси вращения O на разгонную лопатку АС; R - радиус из оси вращения в конец разгонной лопатки.
Если -n = O и ф = O, то лопатки считаются радиальными, в противном случае лопатка направлена вперед по ходу вращения ротора или назад.
Рис. 2. Силы, действующие на частицу при движении по лопатке центробежной мельницы
На рис. 2 изображен диск с четырьмя лопатками, имеющими наклон вперед по ходу вращения. Положение частицы на лопатке определяется углом ODB, обозначим его p', тогда
O B
— = sin ZODB = sin p'. (3)
OD
При движении частицы по разгонной лопатке угол p' меняется и на конце лопатки становиться равным ф.
Ру-Брагиком была выведена зависимость, определяющая скорость вылета частиц с прямолинейных радиально расположенных разгонных лопаток, без учета трения и аэродинамического сопротивления воздуха, если измельчаемые частицы подаются близко к центру вращения ротора:
v = ®rV2 =^72, (4)
3O
где v - скорость вылета частицы, м/с; а - угловая скорость вращения ротора, рад/с; R - радиус разгонного диска, м; n - скорость вращения ротора, об/мин.
Вывод зависимостей скорости движения частицы по прямолинейной лопатке от времени и от пути ее движения был произведен в работе Товарова и Оскаленко [13], но с допущением о начальной скорости частицы в момент попадания ее на лопатку равной нулю, кроме того, некоторыми членами уравнения также пренебрегли в силу их незначительности для относительно больших разгонных дисков, длина лопаток которых более или равна O,3 м.
В действительности, расстояние между валом ротора и началом разгонной лопатки центробежно-ударной мельницы не равно нулю и, соответственно, начальная скорость частицы в момент попадания ее на разгонную лопатку будет отличной от 0. Первоначальные координаты частицы, в момент ее падения на разгонный диск также неизвестны.
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦЫ ПО ЛОПАТКЕ
Рассмотрим процесс движения частицы по лопатке с наклоном вперед по ходу движения, расположенной на горизонтальном роторе. На частицу действует центробежная сила Рц, которая складывается из вертикальной и горизонтальной составляющих. Вертикальная составляющая Р^тф создает давление частицы на лопатку, горизонтальная составляющая РцсоБф обуславливает движение частицы вдоль лопатки.
Дифференциальное уравнение движения частицы по разгонной лопатке имеет
следующий вид:
m-
d2 S dt2
= P cosфPv sin^'-Рк • f,
(5)
где dS - перемещение частицы по разгонной лопатке за время dt; Рц = та 2 р - центробежная сила;/- коэффициент трения частицы о лопатку; Рк = 2т/а^^ - сила Кориолиса.
dt
После преобразований уравнения получим:
d 2£
dS
m—— = ma pcos^'-fma psin^'-2mfa —. dt2 dt
(6)
___ , ^ 0 + ^ , Т п «-•
Поскольку cos^ = —0-= — выражение (6) примет следующий вид:
Р Р
d 2S 2 S 0 +S , 2 r n _ . dS
= a p 0--fa p—-2fa —,
p p dt
dS
dt2 d 2S dt2 d 2S
dt 2
= a (S0 + S)-fa2rn-2fa —,
dt
+ 2f adS -a2S = a 2(S 0 -rnf). dt
(7)
Обозначим £0 через Z. Найдем зависимость пути частицы от времени ее движения, используя программу wxMAXIMA.
- fta
S(t) = e
sinh [f+hta) 2 f a (2Z - fr)
2f+1
a
+ cosh (^ f2+1 • ta){ 2Z - fr)
- Z + fr. (8)
Продифференцировав уравнение (8), получим зависимость скорости частицы от времени:
- ft a
v(t) = e
cosh
(f+1 • ta) 2f a (2Z - fr)
+
ylf2+1 •a sinh (^ f2+1-ta)( 2Z - fr)
- fta
- fa e
sinh (^ f2+1 • ta) 2 f a (2Z - fr)
(9)
2f+1 •
a
+ cosh у f2+1 • ta) (2Z - fr)
> —
2
ПРИМЕР РАСЧЕТА
Пусть начальная скорость в момент попадания на лопатку равна нулю; радиус диска (в нашем случае £) S = 0,125 м; 2 = £0 = 0,05 м; длина лопатки ¿лопатки = £ - £0 = 0,075 м; скорость вращения ротора п = 0... 12000 мин-1; коэффициент трения примем равным 0,5; гп = 0,02 м.
Используя МАХ1МА, из уравнения (8) находим время, в течение которого частица проходит всю длину лопатки, затем подставляем полученное значение в выражение (9) и получаем относительную скорость движения частицы в момент отрыва ее от лопатки. Линейную скорость вылета частицы находим сложением векторов относительной скорости частицы и линейной скорости конца лопатки.
На рис. 3, 4 изображены графики зависимости времени движения по лопатке и скорости вылета частицы с диска радиусом 125 мм, длиной лопатки 75 мм в зависимости от угловой скорости вращения ротора, изменяющейся в диапазоне от 0 до 12000 об/мин.
ВЫВОДЫ
Приведенные в работе уравнения движения частиц позволяют определять скорость вылета, угол вылета частиц с лопаток центробежно-ударных измельчителей в зависимости от скорости вращения ротора, угла наклона лопаток, коэффициента трения между частицами и лопаткой.
Аналитическое решение полученной системы дифференциальных уравнений невозможно, поэтому для её решения необходимо использовать численные методы.
Работа выполнена при финансовой поддержке проекта УрО РАН № 14-1ИП-2.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Пугачев А.В. Контроль и автоматизация переработки сыпучих материалов. М. : Энергоатомиздат, 1989. 152 с.
2. Гийо Р. Проблема измельчения материалов и ее развитие / под ред. Г.С. Ходакова / пер. с франц. Г.Г. Лунц. М. : Изд-во литературы по строительству, 1964. 342 с.
3. Гутьяр Е.М. К объемной теории дробления // Известия Моск. с.-х. академии им. Тимирязева. 1961. Вып.4. С. 163-166.
4. Румпф Г. Об основных физических проблемах при измельчении // Европейское совещание по измельчению. Франкфурт-на-Майне, 1962 / пер. с нем. Л. А. Ласточкина. М., 1966. С. 444-472.
5. Reis. Verfahenstechnische und technologie Problemen bei der Zerkleinerung weicher bis mittelharter Stoffe // Aufbereitttechnik. 1964. B. 5, №4. Р. 166-178.
6. Клейс И.Р. Износостойкость элементов измельчителей ударного действия. М. : Машиностроение, 1986. 157 с.
7. Климович В.У. К проблемам теории измельчения // Научные труды. Омск : Изд-во Омского ин-та инженеров ж.-д. транспорта, 1964. Вып. 48. С. 5-15.
8. Липанов А.М., Денисов В.А., Братухина Ю.В., Жиров Д.К. Энергоэффективность в технологиях переработки минерального сырья // Химическая физика и мезоскопия. 2010. Т. 12, №2. С. 188-191.
9. Демидов А.Р., Чирков С.Е. Измельчающие машины ударного действия // Обзор. М. : Машиностроение, 1969. № 11. С. 23-28.
10. Глебов Л.А. Интенсификация процесса измельчения сырья в производстве комбикормов : дис. ... докт. техн. наук. М., МТИПП, 1990. 450 с.
11. Денисов В.А. Повышение эффективности процесса измельчения зерновых компонентов комбикормов : Автореф. дис.. докт. техн. наук. М., 1992. 32 с.
12. Золотарев С.В. Ударно - центробежные измельчители фуражного зерна (основы теории и расчета). Барнаул : ГИПП «Алтай», 2001. 200 с.
13. Товаров В.В., Оскаленко Г.Н. Исследование вылета частиц из лопастных роторов центробежных измельчающих машин // Труды Института Гипроцемент, XXIV. М. : Госстройиздат, 1962. С. 64-90.
MODELING PARTICLES DYNAMIC MOTION ON CENTRIFUGAL SHOCK MILL BLADES. PART 1. MATHEMATICAL MODEL
Lipanov A.M., Zhirov D.K.
Institute of Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Izhevsk, Russia
SUMMARY. Mathematical model describing of particles dynamic motion on centrifugal shock mill blades is developed. Equations allow to determine angle of jump, speed of particles from centrifugal mill blades depend on rotor speed, blade angle, frictional coefficient.
KEYWORDS: particles, centrifugal shock mill, angle of jump, shock, blade.
Липанов Алексей Матвеевич, академик РАН, главный научный сотрудник ИМ УрО РАН, тел. (3412) 20-76-58, e-mail: [email protected]
Жиров Дмитрий Константинович, кандидат технических наук, научный сотрудник ИМ УрО РАН, тел. (3412) 20-34-76, e-mail: [email protected]
