Математическое моделирование динамических процессов плавной сети Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 639.2.081.117

А.А. Недоступ, А.О. Ражев

Калининградский государственный технический университет, 236000, г. Калининград, Советский проспект, 1

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ПЛАВНОЙ СЕТИ

Приводится методика расчета плавной сети с прямолинейными верхней и нижней подборами, находящимися перпендикулярно потоку воды.

Ключевые слова: плавная сеть, уравнения, динамика.

A.A. Nedostup, A.O. Razhev

MATHEMATICAL MODELING OF DYNAMIC PROCESSES DRIFTING NET

The article provides a method of calculating a drifting net with headline and leadline, located perpendicular to the flow of water.

Keywords: drifting net, equations, dynamic.

Введение

Плавная сеть представляет собой объячеивающее орудие внутреннего и прибрежного рыболовства. Различают три способа эксплуатации сетей: плав по поверхности, плав «в полводы», или разноглубинный, и плав донный [1-5]. Конструкция плавной сети состоит из сетной оболочки, посадочных нитей, верхней, нижней и боковых подбор, оснастки верхней подборы (плава), оснастки нижней подборы (загрузки), угловых огонов сети, оттяжек, поводцов и вешек (рис. 1).

Рис. 1. Донная плавная сеть Fig. 1. Drifting net

В процессе раскрытия и сплава сети рассчитываются соответствующие гидродинамические и гидростатические силы, действующие на различные элементы, определяется скорость различных элементов и их перемещение. Необходимо рассчитать параметры сети так, чтобы при различных скоростях течения ее форма в плане удовлетворяла условиям промысла, т. е. имела уловистость.

В данной статье предлагается математическая модель плавной одностенной сети, позволяющая по заданной конструкции и параметрам материала сети и внешней среды определить ее силовые и пространственно-временные характеристики.

Объекты и методы исследований

Рассмотрим метод моделирования поведения плавной сети с прямолинейными верхней и нижней подборами, находящейся в потоке воды с изменяющейся во времени скоростью течения. На верхней подборе сети расположены плавы, нижняя подбора подгружена. Сетная оболочка прикреплена поводцами за угловые огоны верхней и нижней подбор к оттяжкам вешек. Каждая оттяжка прикреплена к вешке. Рассмотрим участок сети между двумя вешками.

Пусть поток воды направлен параллельно поверхности воды, перпендикулярно горизонтальным подборам. При таких условиях расчет можно проводить в плоскости, перпендикулярной подборам OXY, т.е. в двухмерном пространстве. В плоскости OXY сетная оболочка представляет собой кривую. Разобьем кривую на несколько участков и заменим каждый участок отрезком прямой линии (рис. 2). Чем больше разбиений, тем точнее будет математическая модель. Поводцы и оттяжку вешки представим в виде дополнительных участков. Добавим узел в соединении оттяжки и поводцов и узел на месте крепления оттяжки к вешки. В результате получим ненаправленный односвязный граф, состоящий из множества вершин N, являющихся точками соединения отрезков (участков сети), и множества ребер, замещающих отрезки.

Сосредоточим массы и веса всех участков сети в узлах графа. Составим дифференциальные уравнения движения и определим начальные условия для каждого узла /е N [6]:

dv=w, V(0)=0

d J _ _, (1)

dr= ^ r(0) = r0

где уг - скорость узла г; wi - ускорение узла г; Гг - координаты узла г; Гг динаты узла г; ^ - время процесса моделирования.

Ускорение для каждого узла определяется из уравнения

начальные коор-

mw.

= 1

jeN,

(r, - г, )|

Tj Rj + (0, Gj )

\rj - r

F

(2)

где тг - сосредоточенная масса в узле г с учетом присоединенной массы; wi - узловое ускорение в точке г; Яу - сила гидродинамического сопротивления, действующая на участок сети между узлами г и у; Ог]- - вес участка сети между узлами г и у; гг - координаты узла г; Г - координаты узла у; Ту - сумма сил натяжения всех ниток, пересекающих плоскость, проходящую между узлами г и у параллельно плоскости 0X2; Тг - дополнительная сила, зависящая от узла г; N - множество всех узлов, смежных узлу г по ребру (г,у).

При расчете ускорений необходимо учесть влияние присоединенной массы. Для упрощения вычислений будем считать присоединенную массу каждой нитки как для цилиндра диаметром, равным диаметру нитки. Присоединенная масса для цилиндра равна массе жидкости в его объеме [7, 8].

Суммарная сила натяжения на участке (г,у) определяется из уравнения

Т. =■

у

rj - Г

/ L -

rj - r

> L,

r - r

< L,

где, Aij - сумма площадей поперечного сечения всех ниток, оттяжек или поводцов на участке г, j плоскостью, проходящей между узлами г и j параллельно плоскости 0X2; Lij -длина участка г, j при Т- = 0 (без растяжения); Е- - модуль упругости материала участка сети (для капрона принят 1,7-109 Па).

Рис. 2. Вид сети в плоскости OXY Fig. 2. View drifting net in plane OXY

Найдем для каждого узла тг и а для каждого участка Од, Щ- и А- и подставим их в уравнения (2) и (3):

т = тог + 2 +р)) ) (4)

2

={р-, (5)

где р- - усредненная плотность ниток участка г, р - плотность воды; V- - объем ниток участка г;т0г - собственная масса (с учетом присоединенной) узла г без участков.

Для узлов i = [1.. .к- 2] и i = к: Гг = 0; т0г = 0. Для узла г = 0 (нижняя подбора, точка О):

г, _-(0,2впаих )-в1Я0-(Г/ ,0),

т _ (ро + р) (6)

'"01 / \ 5

(Ро -Р)

где О - погонный вес в воде нижней подборы; п - количество ячей по верхней подборе; их - посадочный коэффициент по верхней подборе; а - шаг ячеи; ЯО - сила гидродинамического сопротивления участка нижней подборы; ег - единичный вектор, имеющий направление скорости перемещения узла г относительно потока воды; Г] - сила трения нижней подборы о дно водоема; рО - усредненная плотность нижней подборы с загрузкой. Для узла г = к - 1 (верхняя подбора, точка 0):

Г г _ (0,20паих) - егЯв , (7)

2паих0 (рд +р)

т01 _—(-Ч- , (8)

(Р-Рд )Е

где 0 - погонная плавучесть верхней подборы; Яд - сила гидродинамического сопротивления участка верхней подборы; Рд - усредненная плотность верхней подборы. Для узла г = к + 1 (вешка, точка В):

Г, _ (0,20,.) - е,К,, (9)

т01 _ 0РРРР, (10)

(Р-Р, )£

где 0, - плавучесть вешки; р, - усредненная плотность вешки; Я, - сила гидродинамического сопротивления вешки.

Единичный вектор, имеющий направление скорости перемещения узла г относительно потока воды:

е _ ,- У0>. (11)

, - (,,0)

Для вычисления силы гидродинамического сопротивления Яу используются эвристические зависимости [9], связывающие проекции этих сил на оси локальной декартовой системы координат с проекциями участка сети в той же системе координат. В локальной системе координат ось ОХ направлена по вектору ег. Переведем координаты участка г, ] в локальную систему координат с началом в точке гг, выполнив аффинное преобразование [10]:

(Д _М -Г), (12)

где гх и гу - проекции участка сети на оси локальной системы координат; М - матрица поворота.

После вычисления сил гидродинамического сопротивления в локальной системе координат необходимо выполнить обратное преобразование:

R = M1 •( R, R),,

(13)

где М"1 - обратная матрица поворота; Ях и Яу - проекции сил гидродинамического сопротивления участка /, ] на оси локальной системы координат. Матрица поворота находится по формулам

(

М, =

сов« Бт«

Л

v-sin^ cos^y

(14)

at = arctan —.

(15)

где а - угол поворота; ех, еу - проекции вектора е на оси модельной системы координат.

Проекции гидродинамических сил имеют следующие эвристические зависимости от проекций участка сети:

(

R, =-

л

C0 + (с90 C0 )

ry

r* + Гу2 y

Vi - v

PS,J>

(16)

1

r r

x у

R = — с

Ry 2 C90 rx2 + ry2

Vi -v

ps„

(17)

где с0 - гидродинамический коэффициент для сети, расположенной параллельно потоку воды; с90 - гидродинамический коэффициент для сети, расположенной перпендикулярно потоку воды; - площадь сечения ниток участка сети в плоскости, перпендикулярной вектору е .

Гидродинамические коэффициенты находятся по формулам [9]:

Co = К Re-

(18)

C90 = 16 I

2К_

Re

.0.28

(19)

т, d

Re = — $

v, - v

(20)

где ¥а - сплошность сети; Re - число Рейнольдса для сети; 3 - кинематическая вязкость воды.

e

Для участков сетной оболочки (между точками 0 и О):

Ь. _ 2тал/ 1 -

V V

I- и„

~ ^^2

4 _ 2п-

г 4

£ .. _ 4птай,

У

(21) (22) (23)

(24)

г, _■

й

аихЛ[1- и;

(25)

где й - диаметр ниток сетной оболочки; т - количество ячей на участке сетной оболочки по боковой подборе.

Для поводцов и оттяжки: Ь. - входной параметр, Г0=1,

4 /4,

(26)

V _ АЬ

(27)

^ _ Ьу4

(28)

где й. - диаметр поводца или оттяжки.

Рассчитаем гидродинамическую силу нижней и верхней подборы, используя эмпирические зависимости для цилиндра:

Яо _ ^ Ь1кю

,0 - V

-0.16

3

,0 - ,

2

Рйо (2апих ),

(29)

Я0 _ 2 ЬАд

,к-1 - ,

-0.16

3

,к-1 - ,

2

Рй0 (2апих ),

(30)

где йО - диаметр нижней подборы; йд - диаметр верхней подборы; Ь1 = 4,2 - коэффициент для шестипрядных полиэтиленовых канатов [9]; к1 - поправочные коэффициенты, определяющие удлинение цилиндра.

к1О _

1

1 + (йО / (2апих ))

1/3 •

(31)

ке =-1-—. (32)

16 1 + (ёв /(2апых ))1/3

Рассчитаем гидродинамическую силу сопротивления вешки, применив эмпирические зависимости для цилиндра:

*=2

d..

Vk+i - v

x-0.16

3

Vk+i - v

2

Pdvhv ,

(33)

k, = ■

1

1 + (dv / h )

1/3

(34)

где ^ - диаметр пенопласта вешки; к - высота пенопласта вешки; Ьу = 3,0 - коэффициент для гладкого цилиндра [11]; ку - поправочный коэффициент, определяющий удлинение цилиндра.

Сила трения нижней подборы о дно водоема:

F =

sgn

((Vo - V), ) fFy | Fy < 0

0|Fy > 0

(35)

где ¥у - проекция равнодействующей силы за вычетом силы трения, приложенных к нижней подборе на ось ОУ; / - коэффициент трения нижней подборы.

Fy =

( ( Z

MU ] V V

Г -r0)Jj

+ (0, G0ti)

rj - r0

+F0

(36)

J J

где г0 - координаты нижней подборы.

Результаты и их обсуждение

Для проверки описанной математической модели плавной сети была создана компьютерная программа. Параметры моделируемой сети указаны в таблице. В начальный момент времени сеть была неподвижна. Нижняя подбора находилась на дне в начале системы координат. Вешки находились на поверхности воды в координатах (0,7), где У = 4 м - глубина водоема в месте расположения сети. Скорость течения воды в течение всего процесса моделирования была постоянна и равна V = 0,3 м/с. Сетная оболочка была разбита по высоте на 10 одинаковых участков. Количество ячей по вертикальной подборе 30.

Графики зависимостей различных параметров сети от времени показаны на рис. 3-8.

На графиках используются следующие обозначения: в - верхняя подбора; О - нижняя подбора; К - точка соединения поводцов и оттяжки вешки; В - вешка; V - скорость течения; - скорость нижней подборы по оси ОХ; Увх - скорость верхней подборы по оси ОХ; уВх - скорость вешки по оси ОХ; УеУ - скорость верхней подборы по оси ОУ; уВу -скорость вешки по оси ОУ; Те - натяжение в верхнем поводце; ТО - натяжение в нижнем поводце; К - сила гидродинамического сопротивления сети, которая определяется как

сумма проекций на ось OX всех Rj между узлами Q и G; Ff - сила трения нижней подборы о дно водоема.

Статья подготовлена в рамках выполнения гранта РФФИ № 11-08-00096-а.

Параметры донной ставной сети Parameters of drifting net

Параметр Значение

Количество ячей по горизонтальной подборе п 650

Количество ячей на участке т 3

Шаг ячеи а, мм 55

Посадочный коэффициент по верхней подборе их 0,707

Длина верхнего поводца Ьк_1,к, м 1,0

Длина нижнего поводца Ь0к, м 1,0

Длина оттяжки вешки Ькк+1, м 4,0

Диаметр ниток сети й, мм 0,6

Плотность нижней подборы с грузом рО, кг/м 7850

Плотность верхней подборы с поплавками р0, кг/м 700

Плотность вешки р,, кг/м3 500

Плавучесть 1 м верхней подборы, Н 0,5

Вес 1 м2 сети, Н 0,029

Вес в воде 1 м нижней подборы, Н 1,5

Плавучесть вешки 0,, Н 30

Коэффициент трения нижней подборы / 0,3

Рис. 3. Зависимость координат на оси OX от времени Fig. 3. Dependence of coordinates on the OX axis from time

в \

G

к

О 11,04 23,63 35,52 47,36 59,20 71,04 S2,Bfi 94,72 L0G,56 llfl.4

г, с

Рис. 4. Зависимость координат на оси OY от времени Fig. 4. Dependence of coordinates on the OY axis from time

скорость, м/с

/V / \ V --

,VGS

»■J.fi-ii'.'Ä^.iif.

/

/

/

i

Рис. 5. Зависимость проекции скорости на ось OX от времени Fig. 5. Dependence of a projection of speed on the OX axis from time

Рис. 6. Зависимость проекции скорости на ось OY от времени Fig. 6. Dependence of a projection of speed on the OY axis from time

сила, H

1«

V Ta

4 TG ----- ---

35,52 47,36

94,72 106.56

ne,4

t, с

Рис. 7. Зависимость гидродинамической силы сопротивления и натяжений в поводцах от времени Fig. 7. Dependence of hydrodynamic drag force and tension in streamer line from time

Рис. 8. Зависимость силы трения нижней подборы о дно водоема от времени Fig. 8. Dependence of frictional force leadline about a reservoir bottom from time

Список литературы

1. Баранов Ф.И. Теория и расчет орудий рыболовства. - М.: Пищепромиздат, 1948. -436 с.

2. Баранов Ф.И. Техника промышленного рыболовства. - М.: Пищепромиздат, 1960. -696 с.

3. Литвиненко А.И. Орудия промышленного рыболовства внутренних водоемов России: справ. Орудия промышленного рыболовства Сибири и Урала. - Тюмень: ГОСРЫБ-ЦЕНТР, 2003а. - Т. 2. - 186 с.

4. Литвиненко А. И. Орудия промышленного рыболовства внутренних водоемов России: справ. Орудия промышленного рыболовства южных районов Европейской части России. - Тюмень: ГОСРЫБЦЕНТР, 2003б. - Т. 3. - 248 с.

5. Литвиненко А.И. Орудия промышленного рыболовства внутренних водоемов России: справ. Орудия промышленного рыболовства центрального, северного и северо-западного районов Европейской части России. - Тюмень: ГОСРЫБЦЕНТР, 2004. - Т. 4. - 242 с.

6. Недоступ А.А., Ражев А.О. Моделирование динамических характеристик ставной сети // Рыб. хоз-во. - 2013. - № 2. - С. 97-99.

7. Ламб Г. Гидродинамика / Пер. с англ. - М.; Л., 1947.

8. Риман И.С., Крепс Р.Л. Присоединенные массы тел различной формы. - М., 1947.

9. Недоступ А.А., Володько Д.А., Ражев А.О. Гидродинамический расчет рыболовной сети // Инженерные системы - 2012: сб. тр. V Междунар. науч.-практ. конф. - М.: РУДН, 2012. - С. 27-31.

10. Дорофеев С.Н. Геометрические преобразования в примерах и задачах. - Пенза: Информационно-издательский центр ПГУ, 2002. - 189 с.

Сведения об авторах: Недоступ Александр Алексеевич,

проректор по информатизации и развитию, кандидат технических наук, доцент,

зав. кафедрой промышленного рыболовства, e-mail: nedostup@klgtu.ru;

Ражев Алексей Олегович, младший научный сотрудник научно-исследовательского центра рыболовства и рыбохозяйственного образования, e-mail: progacpp@live.ru.