Дискретные методы расчета рыболовных систем Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

_Известия ТИНРО_

2005 Том 140

ПРОМРЫБОЛОВСТВО

УДК 639.2.081

Е.В.Осипов (Дальрыбвтуз, г. Владивосток)

ДИСКРЕТНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА РЫБОЛОВНЫХ СИСТЕМ

В работе с общих позиций рассматриваются различные элементы орудий лова. Приведена их классификация по типам объектов, на основе которой для каждого типа разработана общая математическая модель, что позволило привести алгоритмы расчета для всех типов сетных оболочек и пластин, состоящих из различных ячей. Такой подход дает возможность рассчитывать любые конструкции сетных орудий рыболовства с общих позиций на основе приведенных в работе математических моделей и алгоритмов.

Osipov E.V. Discrete methods of the fishing systems calculation // Izv. TIN-RO. — 2005. — Vol. 140. — P. 339-351.

Several different methods of the fishing systems calculation are developing recently. However, the general elements in fishing gears are common, thus a uniform approach to the modeling any fishing gear is possible and necessary. The uniform approach could be based on discrete methods of calculation. In the paper, certain elements of the fishing gears are considered from common positions and classified. A general mathematical model is developed for each type. Design procedures are explained for all types of coating and plates. As the examples, the design procedures for a longline, a pair trawling system, and a trap are presented.

В настоящее время в промышленном рыболовстве разработаны самые разнообразные методы расчета рыболовных систем. При этом наличие общих элементов в орудиях лова показывает, что возможен и даже необходим единый подход, в рамках которого с общих позиций можно моделировать любые орудия лова. Вполне подходят для этого дискретные методы расчета.

Наиболее сложной и полной дискретной моделью сетной оболочки является модель, основные элементы которой — нити, образующие ромбическую ячею, и узел их соединения (Габрюк, 1995). Эта модель позволяет рассчитывать геометрические характеристики сетной оболочки кошелькового невода и исследовать его статику без учета гидродинамических сил.

Для разработки единого подхода к расчету рыболовных систем разобьем их на элементы, из которых образуем следующие классы.

Одномерные объекты (нити, ваера, канаты и др.).

Двухмерные объекты (сетные пластины, гибкие щитки и др.).

Трехмерные объекты (3D):

— простые (буй, груз, наживка, якоря и др.);

— сложные (траловые доски, сетные оболочки и др.).

Каждый класс орудий лова будет иметь внутреннюю структуру (математическую модель) и внешний интерфейс, который позволит объектам действовать в системе друг с другом.

Орудия лова являются сложными техническими системами, параметры геометрии которых зависят от действующих на них сил. При этом процессы лова развиваются как во времени, так и в пространстве. Исследовать такие многомерные системы сложно. Для решения этой задачи существуют методы редукции сложных систем уравнений к более простым. Редукция системы уравнений производится с целью описания определенного процесса в заданном временном интервале и с заданной точностью (Чернавский, 2004).

При создании моделей рыболовных систем используем редукцию уравнений, основанную на временной иерархии процессов постановки, лова и выборки, которые занимают от нескольких минут до часов, откуда следует:

1. Параметры всех медленных процессов можно считать постоянными и равными их начальным значениям, например скорость течения и плотность воды.

2. К быстрым процессам мы отнесем изменение формы нитей, образующих орудия лова, которые почти мгновенно принимают установившиеся равновесные состояния.

Таким образом, нас интересует только установившееся равновесное состояние рыболовной системы. Например, из практики рыболовства известно, что невозможно облавливать гидробионтов траловыми системами, у которых доски двигаются неустойчиво, т.е. не находятся в равновесном состоянии.

Используя изложенную выше схему классификации объектов, рассмотрим их по порядку.

Гибкая нить относится к одномерным телам, в поперечных сечениях которых возникают только растягивающие усилия Т, при этом изгибающие М,, Му и крутящий М моменты, а также поперечные силы И , И малы и ими можно пренебречь, -т.е. М = М = М = 0, И = И = 0.

Г Г X У Т X У

Векторное дифференциальное уравнение движения нити имеет вид (Габ-рюк и др., 2003)

где т = тн + ц — сумма линейной плотности нити и присоединенной массы жидко сти, приходящейся на единицу длины нити; а — ускорение текущей точки нити; Ц — масса 1 м нити в воде; Г'№ и Гг — гидродинамическая сила и реакция грунта, приходящиеся на 1 м длины нити; Т — орт касательной к нити.

Используя методы редукции, примем а = 0, тогда из уравнения (1) получим базовое векторное уравнение равновесия нити в потоке

Проецируя уравнение (2) на оси земной и поточной систем координат (рис. 1), получим математическую модель нити в потоке (Габрюк, Осипов, 2001):

та = дТ / д1 + Ц + с + РГ = д(Т Т)/ д1 + Ц + см, +Р1

(1)

ё (Т Т)/+ Ц + г + = 0.

(2)

Т = Ц втасов^ - гхи сова + ги эта; а = ( совасовф + гхи в1па + ги сова)/Т; ф = -(д2 вт^ + Гуи)/(Т81Па);

(3)

Cyv =±(C21 sinacosa + C22 sin3 acosa;

C^ =-(C31sinacosa + C32 sin3acosa), при as ,

где rxv, ryv, rzv — проекции гидродинамической силы, приходящиеся на 1 м нити на оси поточной системы координат; и — скорость течения; kw — коэффициент веса нити в воде; G — вес 1 м нити в воздухе; a — угол атаки нити; ф — угол крена плоскости потока нити; С , С , С — коэффициенты гидродинамических сил: стальной трос — С11 = 0,447С12'= 0,55, С13 = 0,023, C21 = 0,035, C22 = 0,14, С31 = 0,244, C32 = 0,65; синтетический трос — С11 = 0,883, С12 = 0,134, С13 = = 0,023, С21 = 0,046, С22 = 0,13, С31 = 0,263, С32 = 0,697; - = d / dl — символ производной по дуговой координате l; x, y, г — координаты текущей точки нити; T — натяжение в текущей точке нити; (xv, y , гJ — символ круговой перестановки индексов; р — плотность среды.

Рис. 1. Углы а и ф, задающие ориентацию нити между базисами основной (земной) и поточной систем координат

Fig. 1. Angles а and ф strands specifying orientation between basis's of the basic (terrestrial) and stream datum

Система (3) записана в нормальной форме Коши, когда в левые части уравнений входят первые производные от неизвестных функций, а правые части уравнений не содержат производных.

Из курса математики (Матвеев, 1967) известно, что задача Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений (3) имеет единственное решение, если выполняются условия теоремы Пеано, где для существования хотя бы одного* решения нормальной системы дифференциальных уравнений необходимо и достаточно, чтобы правые части этих уравнений были непрерывными и ограниченными.

Для системы (3) эти условия выполняются при всех значениях неизвестных Т, а, ф, х, у, г, кроме Т = 0, но на практике Т всегда отлично от нуля. Таким образом, в системе (3) правые части дифференциальных уравнений непрерывны и ограниченны следовательно, выполняются условия существования и единственности их решения.

При расчете рыболовных систем приходится решать краевые задачи, когда нить проходит через две заданные точки. Краевая задача решается

* Поскольку система (3) находит равновесное состояние нити, которое, исходя из физической сущности этого явления, является единственным.

нахождением равновесного состояния, путем решения задач Коши при вариации начальных углов а0 и ф0 добиваемся выполнения условия во второй точке, для быстрой сходимости используем специально разработанные алгоритмы.

Надо отметить, что если правые части уравнений (3) нелинейные, то их аналитическое решение найти невозможно. Поэтому они решаются численно методом Рунге-Кутта. В этом случае возникает вопрос, связанный с определением шага интегрирования. Правые части дифференциальных уравнений непрерывны, исходя из этого, мы можем задаваться любым шагом интегрирования Д/, но если он большой, то точность расчетов может снижаться. В этом случае точность зависит от конкретной задачи и определяется экспериментально. Но и слишком малый шаг интегрирования A/min может не отражать реальность, так как на этих участках не выполняются физические условия для гибкой нити (нить имеет жесткость) и решение системы уравнений (3) будет некорректным, поэтому рекомендуется

A/min > knd ,

где d — диаметр нити, kn е (3 ■ 5) — коэффициент, учитывающий гибкость нити.

Интерфейсная часть для класса нить представляет собой входные (начальные) характеристики T0, а0, ф0, x0, y0, z0 и выходные T1, aF фр x1, y1, z1.

К одномерным объектам можно отнести узловые соединения. Для узловых соединений интерфейсной частью являются параметры входных (T[i], a[i], фШ, x[i], y[i], z[i]) и выходных (T0[i], a0[i], ф0[г], x0[i], y0[i], z0[i]) объектов, где i — их количество. Основой внутренней структуры узловых соединений будут математические модели равновесия. Из анализа рыболовных систем можно выделить два типа узловых соединений (Осипов, 2003а):

0 sin a, sin ф, +... + Tn sin an sin фп

1. tgф10 = —-1-—-n-n-—; (4)

T sin a, cos ф, +... + Tn sin an cos фп

tgao = T sin aicos Ф1 + .. + Tnsin ancos Фп ;

tg 1 _ / \ o ;

(T cos a, +... + Tn cos an)cos ф°

o Ti cos a, +... + Tn cos an ( 0 ч

T =-1-oVn- (рис. 2, а);

cos a°

„ rT,0 T cos a, + T20cos a2 +... + Tn cos an 0 0 0 0 /r\

2. T,0 = ^-1-2-2--n-n-; a0, ф0, a2, ф0 — задаются (5)

cos a°

0 T (cos a,tga0 sin ф0 - sin a, sin ф,) +... + Tn (cos antga0sin ф0 - sin an sinфп) T =_b_L_i__ (рис. 2 б).

2 (sin a2sin ф2 - cos a0tga0sin ф0)

Сетные пластины относятся к двухмерным объектам. Рассмотрим сетную пластину с ромбической ячеей, которая ограничена по периметру за счет посадки на пожилины: 001 — нижняя, АА1 — верхняя, OA и 01А1 — боковые, — что позволяет легко находить расстояния между узлами ячеи: 11 — расстояние по горизонтали; 12 — расстояние по вертикали (рис. 3).

Сетную пластину представим в виде нитей, соединенных между собой. Начальные углы a0[i] и ф0Ы, задающие ориентацию нитей сетной пластины в потоке на отрезке 001, находим из соотношений

sine = — ;sinв = sina^ cos£;

2a

со8а0[/] = со8£со8в ;а0[/]е (0,2п); (6)

. , 81па,г С08£ п 81пф =-^-;фо[г] = -■

81па 2

где г — г-тая нить сетной пластины, соединяющаяся с пожилиной 001; а— шаг ячеи.

ф + Г;ф0[г]е(0,2п),

Рис. 2. Типы узловых соединений: а — n входных канатов и один выходной; б — n входных канатов и два выходных

Fig. 2. Types of nodal bonds: а — n entrance chain cables and one day off; б — n entrance chain cables and two days off

а

б

тх, а1, Ф1

T а ф Ti, а1, Ф1

т^0 -,0 „0

T ' а1, Ф1

т^0 -,0 „0

T ' Ц' Ф0

T0 а0 ф0

T2 ' а2' ф2

1)

T а 'Фп

D

Рис. 3. Схема определения характеристик сетной пластины: а — посадки на пожи-лины; б — угла е раскрытия ячеи; в — угла атаки ам и крена у г — угла атаки а и крена нити ф

Fig. 3. Definition of characteristics net plates: a — lightings to ropes; б — an angle

е of disclosing mesh; в strand ф

an incidence а„ and heel у г — an incidence а and heel of a

Граничные условия в узловых соединениях нитей находятся по формулам (5).

В практике промышленного рыболовства принято рассматривать сетные конструкции в виде оболочек 3D объектов. В этом случае интерфейсной частью являются параметры входных (7°[г], а°[г], ф°[г], х°[г], у°[г], г°[г]) и выходных (Т[С], а'Ш, ф'[г], х'[С], у'[г], г<[С]) объектов, где I — количество узловых соединений, / — количество уровней.

На рис. 4 предложена схема расчета а°[г], ф°[г] для оболочки с ромбовидной ячеей. Угол а°[г] находится из условия, показанного на рис. 4 (а), а в зависимости от нахождения каната в четверти угол а°[г] может быть положительным или отрицательным (рис. 4, б):

£ = arcsin

J_

2a

, a0[i] = ±,

(7)

где I — расстояние между узлами ячеи; а — шаг ячеи.

Угол ф°[г] находится из условия, показанного на рис. 4 (в):

в = arccos

'hЛ I

(8)

где к — высота, опущенная на ось у; I — расстояние между узлами ячеи.

a

и

б

Xj[i], yj [i I Zj [i],aj [i],Vj [i]

> <1 V

h j>

1

В z

r [i]

Xo[i], Уо[i ], z0[i ],ao[i ],%[i]

Рис. 4. Схема расчета для оболочки с ромбовидной ячеей: а — нахождение угла раскрытия ячеи £; б — определение угла атаки нити ячеи а; в — нахождение угла ф0[г]; г — интерфейсные параметры оболочки

Fig. 4. Definition of performances of an envelope with rhomb mesh: а — a determination of an angle of disclosing mesh £; б — definitions of an angle of attack of a strand mesh а; в — the circuit design of definition for a determination of an angle ф0[г]; г — the interface parameters of an envelope

Для расчета оболочки с трапецеидальной и квадратной ячеей предложена другая схема (рис. 5). При расчете такой оболочки углами а0[г] задаемся, а ф0[г] находим

/ L \

ф0 = ± arccos

, ф0 е (0,2п); а0 е (0,2п),

(9)

где к — высота, опущенная из точки соединения поперечной нити оболочки на диаметр эллипса, параллельного земле, I — расстояние между точкой соединения поперечной нити и центром эллипса.

Р ис. 5. Схема определения характеристик оболочки с трапецеидальной ячеей: а — нахождение угла атаки нити ячеи а; б — нахождение

угла (0UJ; в — интерфейсные параметры оболочки

Fig. 5. Definition of performances of an envelope with trape-roid mesh: a — a determination of an angle of attack of a strand mesh а; б — the circuit design of definition for a determination of an angle

а

б

x , [iL J, [iL z,- И

к 1 1 W 1 У

(o[i]

— the inter-

face parameters of an envelope

Для оболочек, состоящих из шестиугольных ячей, определение начальных параметров зависит от расположения начальных нитей (рис. 6): для схемы с одной точкой соединения определение а0[г] и ф0[г] аналогично таковому для ромбической ячеи; для схемы с двумя точками соединения определение а0[г] и ф0[г] аналогично таковому для квадратной или трапецеидальной ячеи.

Рис. 6. Расположение начальных нитей шестиугольной ячеи: а — одна точка соединения; б — две точки соединения

Fig. 6. Locating of initial strands six-coal mesh: a — one point of bond; б — two points of bond

Методика расчета оболочки с квадратной или трапецеидальной ячеей:

1) ввод в систему параметров среды и, р;

2) определение начальных параметров a0[i] и (0[i] по формулам (9);

3) расчет параметров нитей оболочки по формулам (3);

4) расчет начальных значений T.[i], a..[i], (..[i] для уровня j по формулам (4);

повторение с п. 3 до конца оболочки.

ад

ад

>

а

Методика расчета оболочки с ромбической ячеей:

1) ввод в систему параметров среды и, р;

2) определение начальных параметров а0[г] и ф0[г] по формулам (7, 8);

3) расчет параметров нитей оболочки по формулам (3);

4) расчет начальных значений Т.[г], а..[г], ф.[г] для уровня . по формулам (5);

5) расчет параметров нитей оболочки по формулам (3);

6) проверка сходимости нитей ячеи, если сходимости нет, изменение а.[г],

ф.[г] и переход к п. 4;

(4);

(5);

повторение с п. 3 до конца оболочки.

Методика расчета оболочки с шестиугольной ячеей (вариант а, рис. 6, а):

1) ввод в систему параметров среды и, р;

2) определение начальных параметров а0[г] и ф0[г] по формулам (7, 8);

3) расчет параметров нитей оболочки по формулам (3);

4) расчет начальных значений Т.[г], а..[г], ф.[г] для уровня . по формулам

5) расчет параметров нитей оболочки по формулам (3);

6) расчет начальных значений Т.[г], а..[г], ф.[г] для уровня . по формулам

7) расчет параметров нитей оболочки по формулам (3);

8) проверка сходимости нитей ячеи, если сходимости нет, изменение а.[г],

ф.[г] и переход к п. 6;

(5);

повторяем с п. 3 до конца оболочки.

Методика расчета оболочки с шестиугольной ячеей (вариант б, рис. 6, б):

1) ввод в систему параметров среды и, р;

2) определение начальных параметров а0[г] и ф0[г] по формулам (9);

3) расчет параметров нитей оболочки по формулам (3);

4) расчет начальных значений Т.[г], а..[г], ф.[г] для уровня . по формулам

5) расчет параметров нитей оболочки по формулам (3);

6) проверка сходимости нитей ячеи, если сходимости нет, изменение а.[г],

ф.[г] и переход к п. 4;

7) расчет начальных значений Т.[г], а.[г], ф.[г] для уровня . по формулам (4); повторение с п. 3 до конца оболочки.

К простым трехмерным объектам относятся буй, наживка, груз и др. Для этих объектов математическая модель имеет вид (рис. 7):

2

а = кМ; я*и= Си^Т 5, (Хи, Уи, (10)

ф0 =- яуи / (6, - Яи); *ё а0 = (&- / (СОБ фо);

где Q — вес в воде; Яуь, — проекции гидродинамической силы, действующей на объект на оси х, у, г земной системы координат (, g); к,ш — коэффициент веса в воде; Схи, Суи, Сгь— коэффициенты гидроаэродинамических сил; 5 — характерная площадь объекта; ( х^ , уъ, — символ круговой перестановки индексов; М — масса. Математическую модель "мертвого" якоря дополним следующим уравнением:

0я + ЯЯХ соэу >> Т0Я совая0, где у — угол между проекцией силы Т0Я на ось х и гидродинамической

силой Яя

R

Рис. 7. Простые трехмерные объекты: а — буй; б — наживка типа А и В; в — груз; г — мертвый якорь

Fig. 7. Simples three-dimensional plants: а — buoy; б — bait type A and B; в — load; г — mooring anchor

Получив основные математические модели элементов орудий лова, рассмотрим математические модели рыболовных систем. К простым рыболовным системам можно отнести крючковые. На рис. 8 показан донный ярус с поводца-ми, оснащенными буйками. Основной задачей моделирования такой конструкции является обеспечение отрыва наживки от грунта.

Рис. 8. Поводец с буйковой оснасткой: 1 — наживка с крючком; 2 — буек; 3 — поводец; 4 — хребтина; 5 — грунт

Fig. 8. Hookline with the buoy equipment: 1 — bait with a hook; 2 — an anchor buoy; 3 — hookline; 4 — mainline; 5 — soil

С учетом разработанных математических моделей элементов рыболовных систем, которые описаны выше, схема расчета поводца с буйковой оснасткой примет вид:

1-4 — см. выше;

5 — вводим в систему параметры среды и, р;

6 — из условия равновесия системы "крючок—наживка" находим начальные параметры в А (Т0(1), а0(1), ф0(1)), используя уравнения (10);

7 — находим значения Т(1), а(1), ф(1) в точке В' путем численного решения дифференциальных уравнений равновесия гибкой нити в потоке (3);

8 — из условия равновесия буйка находим параметры в В (Т6л, а6^, ф6^), используя уравнения (10);

9 — из условия равновесия узла В находим Т0(2), а0(2), ф0(2) по формулам (4);

10 — находим значения Т*2), а(2), ф(2) в точке С путем численного решения дифференциальных уравнений равновесия гибкой нити в потоке (3);

11 — определяем расстояния от грунта до наживки Нн как сумму аппликат точек В и С, т.е. Нн = г(1) + г(2).

Рассмотрим схему близнецовой траловой системы (рис. 9).

Г'Р.

воздуха

Рис. 9. Близнецовая траловая система Fig. 9. Two-boats trawl system

Схему расчета близнецовой траловой системы представим в виде диаграммы объектов (рис. 10).

Рис. 10. Диаграмма объектов близнецовой траловой системы Fig. 10. The diagram of plants two-boats trawl system

В рассматриваемом случае такие объекты, как "Кабель верхний", "Кабель нижний" и "Ваер", реализуют математическую модель гибкой нити (3), объект "Соединение" — математическую модель (4), "Груз" — математическую модель (10). К объектам, состоящим из большого количества элементов, относится " Трал", который реализует математическую модель сетной оболочки (в зависимости от структуры ячеи) и систему оснастки верхней и нижней подборы.

Как можно заметить (см. рис. 9), ваер близнецовой траловой системы находится в двух средах, для расчета его характеристик используется одна математическая модель. Ранее (Габрюк, 1988; 1995) для расчета ваера в воздухе использовалась модель цепной линии, что приводило к введению в библиотеку программных компонентов дополнительных модулей, а также к изменению алгоритма всего расчета ваера. В предлагаемом случае, с использованием одной математической модели, расчет ваера производится сначала на участке в воде, а на границе сред меняются параметры среды (р) и продолжается расчет на втором участке.

Имея базовые математические модели различных элементов рыболовных конструкций, рассмотрим схему расчета ставного невода (рис. 11, 12).

В связи с разными функциями крыло ставного невода и ловушку можно рассчитывать независимо друг от друга (параллельно), это позволяет в целом увеличить скорость расчета ставного невода.

К крылу ставного невода для его удержания через определенное расстояние подсоединяются оттяжки и буи, которые имеют запас плавучести k = 2 ■ 3. При расчете крыла в этих узловых соединениях (рис. 13) определяются граничные условия по формулам:

Tl sin al sin ф1 + TN sin aN

N

tg a

tN _ T0 _

ÍT' I tN „,N\ '

(T cos a + T cos a )

(11)

Tl cos al + TN cos aN

cos a;

Tl, a', ф

Рис. 13. Схема узлового соединения крыла и оттяжки в точке А: 1 — оттяжка; 2 — крыло до точки А; 3 — крыло после точки А

Fig. 13. The circuit of central connection of a wing and a delay in points A: 1 — pull-off wire; 2 — wing up to a point A; 3 — wing after a point A

Как можно заметить, система (11) аналогична системе (4), поэтому при моделировании можно использовать общий программный компонент.

Алгоритм расчета крыла ставного невода:

1 — рассчитывается центральный трос по формулам (3) до соединения с сетной частью крыла;

2 — рассчитывается сетная часть крыла по формулам (3, 6) до соединения с оттяжками;

3 — рассчитываются оттяжки по формулам (3);

4 — рассчитывается узловое соединение по формуле (11);

5 — рассчитывается центральный трос по формулам (3) до соединения с оттяжками;

6 — рассчитываются оттяжки по формулам (3).

Модель расчета параметров ловушки:

1 — находим начальное натяжение оттяжек (10) в месте крепления якорей Тя ;

max

2 — рассчитываем характеристики оттяжек по формулам (3);

3 — рассчитываем открылок на участке А^2 по формулам (3, 6);

4 — рассчитываем стенки ловушки на участках А3А2, А3А4, А4А5, А5А6, А6А7 и А7А8 по формулам (3, 6);

5 — проверяем совпадение стенок ловушки в точках их соединения с заданной погрешностью (если погрешность больше допустимой, то, варьируя углом для каждой стенки, добиваемся совпадения их в точках соединений).

Для учета течения при моделировании конструкции ставного невода угол потока течения у задается поворотом ставного невода в плоскости ху (см. рис. 12), при этом координаты каждого элемента находятся по формулам:

хп = гп созу; уп = гп зту, (11)

где г — расстояние от точки О до п-ного элемента ставного невода.

После расчета конструкции ставного невода с учетом течения координаты каждого элемента ставного невода пересчитываются по формулам (11), при у = 0.

Предложенный подход позволяет с единых позиций моделировать различные рыболовные системы. Основными положениями этого подхода является разделение любой конструкции на основные элементы, построение схемы расчета на основе базовых математических моделей этих элементов, реализованных в виде программных классов, изложенных в работах Е.В.Осипова (1996; 2003) и В.И.Габрюка, Е.В.Осипова (2001).

Литература

Габрюк В.И. Параметры разноглубинных тралов. — М.: Агропромиздат, 1988. — 212 с.

Габрюк В.И. Компьютерные технологии в промышленном рыболовстве. — М.: Колос, 1995. — 544 с.

Габрюк В.И., Габрюк A.B., Осипов Е.В. Моделирование крючковых рыболовных систем. — Владивосток: ТИНРО-центр, 2003. — 105 с.

Габрюк В.И., Осипов Е.В. Математическое, программное и информационное обеспечения ярусного промысла. — Владивосток: Дальрыбвтуз, 2001. — 77 с.

Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Высш. шк., 1967. — 564 с.

Осипов Е.В. Методика моделирования сетных оболочек и конструкций // Тр. ДВГТУ. — 2003а. — Вып. 113. — С. 76-79.

Осипов Е.В. Математическая модель ставного невода // Проектирование и расчеты конструкций из мягких оболочек: Вест. Морского государственного университета. — Владивосток: МГУ им. адм. Г.И.Невельского, 2003б. — С. 42-45.

Осипов Е.В. Объектно-ориентированные технологии в промышленном рыболовстве. — Владивосток: Дальрыбвтуз, 1996. — С. 90-96.

Чернавский Д.С. Синергетика и информация (динамическая теория информации). 2-е изд., испр. и доп. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — 288 с.

Поступила в редакцию 1.10.04 г.