МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЕТРОТУРБИНЫ МАЛОЙ МОЩНОСТИ В ПРОГРАММНОМ КОМПЛЕКСЕ СOMSOL

Хамдамов Музаффар Мухиддинович; Тоиров Олимжон Зувурович; Хужаев Исматулла Кушаевич; Павлов Павел Павлович; Хуснутдинов Азат Назипович; Мухамедзянов Эмиль Алмазович

ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИЕ КОМПЛЕКСЫ И СИСТЕМЫ

УДК 685.011.56:677(075.8)

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЕТРОТУРБИНЫ МАЛОЙ МОЩНОСТИ В ПРОГРАММНОМ КОМПЛЕКСЕ ^MSOL

Хамдамов М.М.1, Тоиров О.З.2, Хужаев И.К.1, Павлов П.П.3, Хуснутдинов А.Н.3,

Мухамедзянов Э.А.3

1Институт механики и сейсмостойкости сооружений им. М.Т. Уразбаева, г. Ташкент,

Узбекистан

2Ташкентский государственный технический университет, г. Ташкент, Узбекистан 3Казанский государственный энергетический университет, г. Казань, Россия

mmhamdamov@mail.ru, olimjon. t@mail.ru, khusnutdinov. an.kgeu@mail.ru

Резюме: АКТУАЛЬНОСТЬ. Математическое и численное моделирование ветротурбины малой мощности в программном комплексе COMSOL имеет высокую актуальность в современном мире. Ветроэнергетика становится все более важной отраслью из-за увеличивающегося спроса на чистую и возобновляемую энергию. Использование программного комплекса COMSOL для моделирования ветротурбин малой мощности позволяет инженерам и ученым проводить более точные расчеты и анализы работы устройства. Это помогает оптимизировать конструкцию ветротурбины, увеличивая ее эффективность и надежность. ЦЕЛЬ. Провести численный эксперимент по моделированию турбулентного течения воздуха при обтекании ветровой турбины вертикальной осью вращения с четырьмя лопастями. Выделить модели турбулентности, позволяющие адекватно описывать аэродинамики обтекания устройства в терминах вектора скорости, поле давления, передаточного числа наконечников TSR, коэффициента мощности лопасти и коэффициента давления. МЕТОДЫ. Моделирование проводилось с помощью комплекса COMSOL. Уравнение давления решено по подходу Патанкара. Для решения уравнений переноса субстанций принята схема против потока второго порядка точности. Для контроля сходимости вычислительного процесса рассматривались отчеты о моменте и тяге на несущем винте. РЕЗУЛЬТАТЫ. Представлены результаты моделирования течения воздуха при турбулентном режиме обтекания ветрового устройства в виде профилей и полей давления и скорости. Полученные профиль осевой скорости, коэффициент давления вокруг лопасти и мгновенного коэффициента мощности одной лопасти при использовании модели переходной SST хорошо согласуются с экспериментальными данными. Приведены значения коэффициента мощности Cp устройства, полученные с привлечение различных моделей турбулентности. ЗАКЛЮЧЕНИЕ. При математическом моделировании обтекания ветряной турбины с вертикальной осью можно использовать переходную SST модель турбулентности, которая позволяет получить удовлетворительные результаты.

Ключевые слова: ветряная турбина с вертикальной осью (VAWT); модели турбулентности; численное моделирование; вычислительный и стендовый эксперимент; поле субстанций; коэффициенты давления и мощности.

Для цитирования: Хамдамов М.М., Тоиров О.З., Хужаев И.К., Павлов П.П., Хуснутдинов А.Н., Мухамедзянов Э.А. Математическое и численное моделирование ветротурбины малой мощности в программном комплексе СOMSOL // Вестник Казанского государственного энергетического университета. 2024. Т. 16. № 2 (62). С. 3453.

MATHEMATICAL AND NUMERICAL SIMULATION OF LOW POWER WIND TURBINES IN THE COMSOL SOFTWARE COMPLEX

Hamdamov М.М.1, Toirov O.Z.2, Khujaev I.K.1, Pavlov P.P.3, Khusnutdinov A.N.3,

Mukhametzyanov E.A.3

institute of Mechanics and Seismic Stability of Structures named after. M.T. Urazbaeva,

Tashkent, Uzbekistan 2Tashkent State Technical University, Tashkent, Uzbekistan 3Kazan State Power Engineering University, Kazan, Russia

mmhamdamov@mail.ru, olimjon. t@mail.ru, khusnutdinov. an.kgeu@mail.ru

Abstract: RELEVANCE. Mathematical and numerical modeling of low-power wind turbines in the COMSOL software package is highly relevant in the modern world. Wind energy is becoming an increasingly important industry due to the increasing demand for clean and renewable energy. Using the COMSOL software package to simulate low-power wind turbines allows engineers and scientists to conduct more accurate calculations and analyzes of the device's operation. This helps optimize the wind turbine design, increasing its efficiency and reliability. THE PURPOSE. Conduct a numerical experiment to simulate turbulent air flow when a vertical axis of rotation with four blades flows around a wind turbine. Identify turbulence models that make it possible to adequately describe the aerodynamics of the flow around a device in terms of the velocity vector, pressure field, tip ratio TSR, blade power coefficient and pressure coefficient. METHODS. The simulation was carried out using the COMSOL complex. The pressure equation was solved using Patankar's approach. To solve the equations of substance transfer, a counterflow scheme of second order accuracy is adopted. To control the convergence of the computational process, reports on the moment and thrust on the main rotor were considered. RESULTS. The results of modeling air flow in a turbulent flow regime around a wind device in the form of profiles and fields of pressure and velocity are presented. The obtained axial velocity profile, pressure coefficient around the blade and instantaneous power coefficient of one blade using the transient SST model are in good agreement with the experimental data. The values of the power factor Cp of the device obtained using various turbulence models are presented. CONCLUSION. When mathematically modeling the flow around a vertical axis wind turbine, the transient SST turbulence model can be used, which provides satisfactory results.

Keywords: vertical axis wind turbine (VAWT); turbulence models; numerical modeling; computational and bench experiment; substance field; pressure and power coefficients.

For citation: Hamdamov М.М., Toirov О.2., Khujaev I.K., Pavlov P.P., Khusnutdinov A.N., Mukhametzyanov E.A. Mathematical and numerical simulation of low power wind turbines in the COMSOL software complex. KAZAN STATE POWER ENGINEERING UNIVERSITY BULLETIN. 2024. T. 16. No. 2 (62). P. 34-53.

Введение (Introduction)

С течением времени, когда ископаемое топливо исчерпывается, возобновляемые источники энергии привлекают все больше внимания из-за их многообещающего воздействия на окружающую среду, а также ее способности к восполнению и устойчивости. Ветроэнергетика является одним из важнейших возобновляемых источников энергии. Исследование показывает, что установленная ветровая мощность увеличивается более чем на 30% каждый год. Улучшение конструкции ветряных турбин включает в себя множество параметров, которые необходимо учитывать при оптимизации. Экспериментальный анализ сложен и не всегда осуществим. Но численное моделирование позволяет анализировать различные параметры с меньшей сложностью. В этой работе выполнено 3D CFD-моделирование ветряной турбины с вертикальной осью. Перед моделированием было проведено независимое от сетки и времени исследование не только для проверки результата, но и для снижения трудозатрат на его вычисление. Для моделирования использовался подход модели скользящей сетки, который учитывает вихри, генерируемые лопастями, проходящими против ветра на лопастях вниз по потоку, в отличие от чрезмерно упрощенной модели движущейся системы отсчета (MRF). Модель переходного SST использовалась в качестве модели турбулентности, которая использует преимущества

моделей к — s и к — О, обеспечивая лучшие результаты моделирования. По результатам моделирования была получена кривая зависимости коэффициента мощности (Cp) от

соотношения скоростей наконечника X, которая была проверена на соответствие существующим экспериментальным данным, доступным в литературе. Знания, в конечном итоге, могут привести к разработке улучшенных 3D-технологий симуляции.

Это также можно использовать для оптимизации конструкции и изучения производительности ветряных турбин. Стационарное CFD-моделирование, основанное на подходе среднего Рейнольдса Навье-Стокса (RANS), было проведено для модели ветряной турбины с вертикальной осью (VAWT) и сравнено с экспериментальными данными, чтобы оценить точность этих моделей при моделировании следящего потока ветряной турбины с вертикальной осью. Модели можно разделить на две категории: полностью разработанные модели (стандартная реализуемая модель к — S и модель SST к — о ) и переходные модели (модель перехода к — kl — о и модель перехода SST).

Цель исследования заключается в проведении численного эксперимента по моделированию турбулентного течения воздуха при обтекании ветровой турбины вертикальной осью вращения с четырьмя лопастями; выделении модели турбулентности, позволяющие адекватно описывать аэродинамику обтекания устройства в терминах вектора скорости, поле давления, передаточного числа наконечников TSR, коэффициента мощности лопасти и коэффициента давления.

Научная значимость исследования математического и численного моделирования ветротурбины малой мощности в программном комплексе COMSOL заключается в развитии теории турбулентности, повышении точности результатов, анализе параметров работы и поддержке экспериментальных исследований в области ветровой энергетики.

Практическая значимость исследования заключается в математическом и численном моделировании ветротурбины малой мощности в программном комплексе COMSOL, и может быть выражена в следующих аспектах:

1. Использование математического моделирования позволяет проводить детальный анализ работы ветротурбины и оптимизировать её конструкцию для повышения эффективности и экономичности.

2. Численное моделирование позволяет предсказывать работу ветротурбины в различных климатических условиях и оптимизировать её работу для максимальной выработки энергии.

3. Использование программного комплекса COMSOL для моделирования позволяет сократить время и затраты на проведение физических экспериментов и испытаний, что делает процесс разработки более эффективным.

4. Моделирование позволяет выявить потенциальные проблемы в работе ветротурбины и предпринять меры для улучшения её стабильности и надежности.

Таким образом, исследование математического и численного моделирования ветротурбины малой мощности в программном комплексе COMSOL имеет значительное практическое значение для разработки более эффективных и надежных систем генерации ветровой энергии.

Литературный обзор (Literature Review)

Глобальный спрос на энергию, который постоянно растет, в последние годы резко возрос. Спрос развивающихся стран возглавляет этот список. Развивающиеся страны, такие как Узбекистан, сейчас ищут более чистые способы удовлетворения этого спроса. В настоящее время на долю Узбекистана приходится лишь 3% возобновляемой энергии от общего энергетического баланса [1]. Правительство приняло генеральные планы развития сектора возобновляемой энергетики. В настоящее время треть производства электроэнергии зависит от импортного ископаемого топлива, которое стоит дорого. Около 65% выработки электроэнергии зависит от запасов природного газа страны, который находится на грани истощения. В этих обстоятельствах внедрение возобновляемых источников энергии для удовлетворения настоящего и будущего спроса неизбежно.

Исследования и промышленность работают над оптимизацией конструкции ротора VAWT (ветрогенератора с вертикальной осью), чтобы улучшить его характеристики. VAWT имеет некоторые преимущества по сравнению с HAWT (ветрогенератора с горизонтальной осью). Лю, Линь и Чжан [2] рассмотрели коммерческую жизнеспособность VAWT. Макфи и Бейен [3] сосредоточились на роторах Дарье и Савониуса и до 2012 года работали над обширными исследованиями по проектированию роторов и их испытаниям. Их работа также отражает преимущество VAWT в автономных и маломощных ветротурбин. Но при работе по оптимизации конструкции необходимо учитывать

множество параметров, и экспериментирование не всегда осуществимо. В результате моделирование приобретает все большее значение, и многие исследователи работают над улучшением моделирования VAWT. Гасемиан, Ашрафи и Седагат [4] рассмотрели различные методы моделирования CFD для Dameus VAWT.

Однако очень важно провести дополнительную проверку, прежде чем результатам моделирования можно будет доверять. Бедон и др. [5] рассмотрели множество баз данных аэродинамических коэффициентов, которые используются для моделирования VAWT. Сравнение с результатами моделирования показало значительное расхождение, поэтому разработчикам рекомендуется принять общие практические соображения, прежде чем принимать решение о надежности моделирования. Таким образом, тщательная проверка остается важным шагом для моделирования VAWT.

Другой подход - это аналитический подход, который может быть достаточно сложным. Мохаммед и др. [6] суммировали и рассмотрели различные модели импульса. Модели импульса включают модель с двойным потоком (DMST), модель с несколькими потоками (MST) и модель с одним потоком (SST). Модели, отличные от моделей импульса, включают вихревую модель и каскадную модель [7].

Многие модели турбулентности разработаны и до сих пор изучаются с целью усовершенствования, позволяющего отразить сложное и неуправляемое поведение турбулентности. Резаиха, Монтазери и Блокен [8] сравнили семь широко используемых моделей турбулентности вихревой вязкости для моделирования VAWT в CFD. Модели включают от одного до четырех уравнений, а именно: реализуемые k — s, Spalart-Allmaras, RNG k — s, SST k-œ, SST k — m с дополнительной перемежающейся переходной моделью (SSTI), переходные SST (TSST) k — m модели и k — kl — m модели. Кроме того, сравнение включает в себя невязкое моделирование. При этом изучаются аэродинамика лопаток, мощность турбины и турбулентный след. Были использованы модели несжимаемых нестабильных URANS с высокой точностью. Анализ показывает, что результаты моделирования очень чувствительны к модели турбулентности, что особенно справедливо для коэффициента мощности турбины .

Материалы и методы (Materials and methods)

Моделирование проводилось с помощью комплекса COMSOL. Уравнение давления решено по подходу Патанкара. Для решения уравнений переноса субстанций принята схема против потока второго порядка точности. Для контроля сходимости вычислительного процесса рассматривались отчеты о моменте и тяге на несущем винте.

Результаты (Results)

Согласно полученным результатам, модели k — kl — m, SA, RNG k — s и реализуемые k — s не могут воспроизвести аэродинамические характеристики VAWT. Только модели типа SST (TSST, SSTI и SST k — m) демонстрируют рациональный компромисс со всеми экспериментальными данными, с рекомендуемыми переходными типами SST k — m (SSTI и TSST), особенно в переходном режиме течения. В этом исследовании модель переходного SST использовалась для 3D-моделирования VAWT.

Результаты показывают, что большинство моделей прогнозировали значение мощности турбины с небольшими отклонениями. Для ближней области за турбиной все модели показывают завышение дефицита скорости. Полностью турбулентные модели показывают точное предсказание профиля скорости в дальней области. Переходные модели недооценивали дефицит скорости. Недостаток моделей проявляется явно при оценке интенсивности турбулентности и турбулентной кинетической энергии. Понимание недостатков этих моделей может помочь переформулировать их условия для повышения эффективности.

Обсуждение (Discussions)

Далее рассмотрены широко используемые модели турбулентности, позволяющие отразить сложное и неуправляемое поведение турбулентности. Приведены основные характеристики моделей турбулентности вихревой вязкости для моделирования VAWT в CFD и их сравнения.

Физико-математическая постановка задачи. Рассмотрено трехмерное турбулентное обтекание ветрового генератора с вертикальной осью с четырьмя лопастями (крилями). Физическая картина исследуемого течения и конфигурация расчетных полей показаны на рисунке 1. Геометрия обтекаемого профиля (рис. 2).

Рис. 1. Схема расчетных областей: обтекание Fig. 1. Schematic of computational areas: four-профиля с четырьмя лопастями bladedprofile streamline

*Источник: Составлено авторами Source: compiled by the author.

Рис. 2. Геометрия обтекаемого профиля Fig. 2. Geometry of the streamlined profile

*Источник: Составлено авторами Source: compiled by the author.

Управляющие уравнения. В настоящем исследовании для моделирования потока выбраны усредненные уравнения Навье-Стокса (ЯЛ^). Усредненные уравнения формулируются путем замены мгновенной скорости в точных уравнениях Навье-Стокса на сумму средней скорости и и пульсирующей скорости, что дает (1) и (2) в обозначениях Эйнштейна [9] с учетом стационарного предположения.

Все задачи гидродинамики основаны на трех фундаментальных физических принципах:

уравнение непрерывности (сохранения) массы; уравнение сохранения и переноса импульса; уравнение сохранения и переноса энергии.

Закон сохранения массы. Принцип сохранения массы гласит, что скорость поступления массы в жидкий элемент (объем) равна скорости увеличения массы жидкого элемента (объема) [10], поэтому для сжимаемой жидкости можно записать:

+ (рй ) = 0, (1)

где р - плотность жидкости, а й - вектор скорости в декартовых координатах.

Несжимаемая жидкость, например, имеет постоянную плотность: -= О , так что

д?

= 0. (2)

или

ди ду ды п ...

— + — + — = 0 (3)

дх ду дг

где компоненты скорости и - это u, v и w.

Уравнение сохранения и переноса импульса. Второй закон Ньютона гласит, что сумма сил, действующих на частицы жидкости, равна скорости изменения импульса. Поверхностные силы можно разделить на независимые составляющие, а объемные силы можно разделить как исходные составляющие [10]. Уравнения количества движения в трех

направлениях можно получить, выразив напряжения как давления на контрольный объем. В результате x-, у- и г-компоненты уравнения количества движения составляют:

^ . ш, р ).а<-" "'-> ■"'■■Я*

д, >=^т" * "

•р..к,,

где Бмх, §му и Бмг - это объемные силы (исходные составляющие), например, значение массовых сил, вызванных гравитацией, будет равно объемным силам (исходный член), [10] = 0, £ = 0, = -р£. Уравнения Навье-Стокса используются для расчета, в т. ч.

составляющих напряжений.

Уравнение сохранения и переноса энергии

Уравнение энергии выведено из первого закона термодинамики, который гласит, что скорость изменения энергии частицы жидкости равна сумме скорости подвода тепла и скорости работы, совершаемой частицей [10]. Таким образом, уравнение энергии можно записать:

д( Л

—-—- + Жу ( рги ) = -" Жу и + Жу ( kgradT ) +

д1

„•и „ди „ди „д, „ д, „д,

г--,к--,к--,к--.к--.к —

дх ду дг дх ду дг

дw ,, дм с№ +к — + к — + к —, дх ду дг

где Т — температура, I — внутренняя энергия, к — теплопроводность, £ — новый

исходный термин £ = — , который — источник энергии, а — источник

механической (кинетической) энергии.

Следовательно, уравнение сохранения и переноса энергии для сжимаемой жидкости можно записать в виде:

0) + (р\и) = (kgradT) + др +

, д(икх) | д(икух) | д(икх) | д(к) , д(к) , д(к) , (8)

дх ду дг дх ду дг

+дМА, д( ). ^.

дх ду дг

Здесь £ — источник энтальпийной энергии; й0 — удельная полная энтальпия.

Уравнения Навье-Стокса. В предыдущих уравнениях компоненты вязкого напряжения (^) являются некоторыми неизвестными переменными. Для большинства

потоков жидкости эти значения могут быть сформулированы путем предоставления соответствующей модели, которая выражается как функция локальной скорости деформации. В трехмерных течениях локальная скорость деформации складывается из линейной и объемной скоростей деформации [10]. В случае сжимаемых течений закон вязкости Ньютона состоит из двух постоянных вязкостей: динамической вязкости, связанной с линейными деформациями, и объемной вязкости, связанной с объемными деформациями.

В результате три из шести компонентов вязкого напряжения являются постоянными, а три - переменными. Эти элементы описываются следующим образом:

39

£ = 2]— + ЛШуи,

ОХ

ду

£ = 2]— + ЛШгуи, ду

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

д!

£ху £ ух ]

£Х2 £2Х ]

^ ди ду л ду дх

^ ди

£у2 £2у ]

д! дх

Оу

д! ду

(9) (10)

(11) (12)

(13)

(14)

V ^ У

Подставив выражения (12) - (14) в уравнения (4) - (6), получится уравнение Навье-Стокса:

(р ) + й\у(рии) = ~др + (]ёгаШи) + Бш, д( тЛ д

——- + Шу (руи) = -— + Шу (]grad у) + БМу,

ду

(Р ) + Шгу(рлуи) = -— + Шгуw) + . д? д!

(15)

(16)

(17)

Моделирование турбулентности. Турбулентный поток - это очень неустойчивый поток жидкости (газа или жидкости), в котором различные свойства, такие как скорость, постоянно колеблются в разных направлениях. Уравнения, описывающие такой поток, очень сложные, нелинейные и зависят от времени. Очень сложно использовать уравнения Навье-Стокса для этих течений, поскольку уравнения трехмерные. Таким образом для расчета турбулентных потоков чаще всего используют усредненный подход Рейнольдса к уравнениям Навье-Стокса.

Часто используются уравнения (ЯЛ№). Уравнения RANS получаются путем взятия среднего значения различных свойств, таких как среднее давление, средние скорости, средние напряжения и т. д., и включения их в уравнения Навье-Стокса. Следовательно, уравнения с (15) по (17) примут вид:

д(р) + ш\у (рии ) = -— + Ш\у (] grad и) + д t дх

+

д(ри'2) д(ри'у') д(рuW,)

дх

ду

д!

+ Б

(23)

Мх'

д(р¥) дР

—^—'- + Ш1у (урУи ) = -^ + (] gradV ) -

+

) д(^ру'2) о( ру W')

дх

ду

д!

Б

(24)

Му

+ а™ (рЖи) = -др + а™ (иgradW) -

+

д[ри'м') д(ру^) д(рм'2)

дх

ду

д2

Б,

где:

и = и - и', V = V - V ', Ж = м - м', Р = р - р',

иVЖ - осредненные компоненты вектора скорости; и', V', М' - пульсирующие

компоненты вектора скорости и р' - колеблющаяся составляющая давления.

Турбулентные напряжения, также известные как напряжения Рейнольдса, добавляются в уравнение для компонентов средней скорости и, V.

О. Рейнольдс подчеркивает, что и и представляет влияние турбулентности на

* ]

средний поток. Для моделирования рейнольдсовых напряжений были разработаны два подхода: модели вихревой вязкости и модели рейнольдсовых напряжений (RSM) [11]. В

нашем исследовании мы использовали стандартные модели к - —, реализуемые к - —, 88Т к - Ю, к - к1 -ю перехода и переходные модели SST, которые все основаны на первом подходе. Модели вихревой вязкости основаны на гипотезе Буссинеска, предполагающей, что турбулентность приводит к дополнительному эффекту вязкости, напоминающему эффект молекулярной вязкости, т.е. напряжения Рейнольдса коррелируют со средней скоростью деформации в потоке как в выражениях:

Г,

ри'и ' = р,

Гди ди;Л

- I-1

\ дху

дх.

У

2 рк8И 3 4

(26)

где и - турбулентная вязкость, которую можно рассчитать многими методами.

Стандартная модель к-г. Дополнительные два уравнения сформулированы для моделирования турбулентной вязкости, идентифицированной Буссинеском. Эти два уравнения представляют производство и разрушение турбулентной кинетической энергии:

к 2

Л, = РС и-,

(27)

—

дх,

(Ркиг )

д

дх

с

\

и

и+—

\ Зк у

дк

дх

+ + Оь-р—-Ум + Бк, (28)

д ( \ д -(р£иг ) =-

дх дх,.

с

\

Vй ¿—У

д£

дх

£ £ + С--к(Ок + СЪЕОь)-С-р— + Бе, (29)

где ¡Л - молекулярная вязкость, ^ - интенсивность генерации кинетической энергии турбулентности из-за градиентов средней скорости; ^ - генерация кинетической энергии турбулентности из-за плавучести; Ум - вклад флуктуирующей дилатации в сжимаемой турбулентности в общую скорость диссипации; С1г, С2г, С3г и С - константы; дк и 8— - турбулентные числа Прандтля для М и N соответственно; Б к и - исходные термины, определяемые пользователем. И С1г = 1.44, С2е = 1.92, С^ = 009, 5к = 1, 8е= 1.3 .

Для случаев малого значения числа Рейнольдса, таких как пристеночная граница, уравнения (27), (28) и (29) умножаются на функции демпфирования, которые гарантируют, что вязкие напряжения преобладают над напряжениями Рейнольдса.

Дароци и др. [12] исследовали различные модели турбулентности для моделирования турбины Х-Дарье. Сравнивая с экспериментальными результатами, было обнаружено, что модели SST к - - и к - Ю показали лучшие результаты для 2D-моделирования. Хауэлл и др. [13] применили к - — как для 2D, так и для 3D-моделирования, и было замечено, что,

41

хотя лучшие результаты были получены при 3D-моделировании, модель к — Б переоценила коэффициент производительности при 2D-моделировании. Унтаройу и др. [14] использовали стандартную к — Б модель для изучения самозапускающегося поведения турбины Дарье как в 2D, так и в 3D-моделировании, но оба не смогли оценить поведение, особенно 3D-моделирование. Поэтому было рекомендовано не использовать эту модель для оценки самозапускающегося поведения VAWT и, главным образом, для 3D-моделирования.

Реализуемая к — Б модель. Чтобы преодолеть недостатки стандартной модели, было получено улучшенное уравнение для скорости диссипации, более того, С

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

сформулировано как переменное, а не постоянное значение, чтобы избежать математической нереализуемости для случаев высокой средней скорости диссипации [19] предложили модель, которая делает С разумным для скорости диссипации, образования

турбулентности (к) и диссипации турбулентности (б) . Для получения более подробных уравнений рекомендуется ознакомиться с [17] и [19].

Стандартная к — О модель. В (стандартной) модели к — О Уилкокса скорость диссипации в модели к — Б заменяется частотой турбулентности, в результате чего вихревая вязкость принимает форму уравнения (30). Рейнольдсовые напряжения рассчитываются аналогично модели к — Б, где к и (О моделируются по (31) и (32).

* к

ц, = ра

дх. дх

(рки)

(роиг)

д

дх д

(ц + 8кц)

О дк дх

+ Ок + Ук + ^,

дх

(М + ^оМ,)

до дх

+а—г„+5

(О

(30)

(31)

(32)

где С, У, 5 - это производственные, диссипационные и исходные условия соответственно. Вихревая вязкость Ц умножается на коэффициент а*, чтобы скорректировать ее значение при низких числах Рейнольдса.

Модель Уилкокса к — О хорошо работает для течений в пограничном слое с неблагоприятными градиентами давления, но имеет трудности в случае внешнего течения из-за ее зависимости от значения частоты турбулентности набегающего потока О на входной границе [15].

Эта модель представляет собой комбинацию двух моделей - моделей турбулентности к — б и к — О. [16]. Макнотон, Биллард и Ревелл [17] провели сравнение различных моделей турбулентности, чтобы оценить структуру турбулентного потока. Они заметили, что при малых числах Рейнольдса правильно можно сделать прогноз относительно передних вихревых образований. Эдвардс, Анджело Данао и Хауэлл [18] изучали коэффициент подъемной силы лопасти, используя различные модели, и эта модель дала наилучший результат. Альмохаммади и др. [19] изучили поведение динамического срыва лопасти, используя две разные модели, и заметили, что срыв в этой модели происходит позже, чем в модели переходного SST.

Модель SST к — (О. Плавный переход между стандартной моделью к — Б и моделью к — о Уилкокса достигается за счет функций смешивания, которые активируют модель к — О вблизи пристеночной области и модель к — Б в дальней зоне для повышения производительности.

В работе [20] Ментер разработал и предложил модель SST к — О, сохраняющую напряжения Рейнольдса и уравнение переноса к , такую же, как модель к — О Уилкокса, но модифицированное Б -уравнение:

д / ч д (Рои]) =

дх

(м + ^оМ,)

ч до

дх

+а—^+д+я,. (33)

О О О О

Здесь 5 - это производство, диссипация, перекрестная диффузия и исходные

условия соответственно. Подробная формулировка всех терминов представлена в [17]. Выше было упомянуто, что скорость деформации содержит важную функцию, называемую функцией смешивания £1. Его значение определяет, включен ли к — а или модель к — £. Вихревая вязкость определяется по (34), чтобы предотвратить возникновение чрезмерной турбулентности в условиях застоя с помощью ограничителя ¥2:

к 1 (34)

ßt=P-

о ~ 1 SF2"

* а a о

s = f (Fl).

(35)

Араб и др. [21] изучили характеристики самозапуска турбины и заметили, что на аэродинамические характеристики турбины может влиять форма поля потока. Было также замечено, что инерция ротора может влиять на характеристики самозапуска турбин. Бальдуцци и др. [22] исследовали эффекты трехмерного течения с использованием этой модели. Было замечено, что эффекты трехмерного потока влияют на крутящий момент лопасти на 8,6%, что в конечном итоге определяет энергоэффективность. Лам и Пенг [23] сосредоточились на характеристиках следа турбины как на 2D, так и на 3D моделях. Было замечено, что 2D-модели не могут удовлетворительно оценить характеристики. В целом, полностью турбулентная модель RANS демонстрирует тенденцию к переоценке мощности из-за прогнозирования напряженных явлений. Следовательно, в этом исследовании использовалась модель переходного SST с целью получения лучших результатов.

Модель перехода SST. Для перехода к модели SST к — о были применены модификации, расширяющие ее применимость к ламинарным, переходным и полностью турбулентным потокам. Переходная модель SST представляет собой модель четырех уравнений переноса (к ,о,у, Reet). к и О) (36) и (37) имеют ту же формулу, что и

модель SST к — О, но три члена изменяются в зависимости от режима течения. Этими членами являются производство, диссипация и функция смешивания Fi:

^(рки )=i}

д i \ д

—(рои;) =-

дхК '' дХ

М + ^М,

дк

дх,

М

с до öoMtt~

öxj j

J J

Y

+ rGk

Y + Sk,

G — Y * + D + S„

(36)

(37)

Здесь у выражает перемежаемость турбулентности. Для ламинарного течения у = 0 ; следовательно, время переноса равно нулю. Для у = 1 производственный термин такой же, как и в модели SST к — о, т. е. полностью турбулентная модель. Наконец, если 0 < у < 1, то оно переходное. Yk* - это модифицированный термин рассеивания, в котором ограничитель используется для демпфирования и рассеивания любых колебаний набегающего потока. Функция смешивания F1 модифицирована для правильного

переключения между моделями к — о и к — S .

Два дополнительных уравнения переноса у и Ree,t имеют эмпирические и экспериментальные постоянные, которые необходимо определять, где Ree t - критерии Рейнольдса, определяющий начало перехода и толщину импульса.

Модель перехода K — к1 — о. Модель с тремя уравнениями переноса была представлена Уолтерсом и Чоклятом [24]. Модель основана на модели к — о , модифицируя два уравнения переноса к и о. Третье уравнение переноса представляет собой уравнение ламинарной кинетической энергии (kL), которое было сформулировано для прогнозирования небольших флуктуаций в области потока с низким числом Рейнольдса перед переходным пограничным слоем. Авторы продемонстрировали, что уравнения основаны на физическом подходе, что снижает потребность в эмпирических уравнениях.

V о Л

дх,

(рки )

д

дх

v + -

¿г

дк

к J

дх

+ РкТ + R + Rnat

<окт — DT, (38)

_д_

дхг

_д_ дх1

с

(PkLU: ) = {pcoui ) =

д Ökr у—L

дх ßXj

д

v + —

dXj .V

+ PkL R RNAT

Dr

да

а У dxj

+ Cal а Pt +

krp

+

C

aR

f

J w

V J w

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

У

f( R + Rnat ) + c0jmajl^t-.

krp d

(40)

Расчетные сетки. В настоящей работе использовалось утолщение сетки вблизи поверхности турбины (рис. 3). Асимметрии сетки (рис. 4).

Рис. 3. Расчетная сетка Fig. 3. Calculation grid

*Источник: Составлено авторами Source: compiled by the author.

Рис. 4. Асимметрия сетки Fig. 4. Mesh asymmetry

*Источник: Составлено авторами Source: compiled by the author.

Для обтекания профиля использовалась расчетная сетка размером 745389. Для системы уравнений (1) задаются очевидные граничные условия прилипания на твердых стенках. На выходе принимаются условия экстраполяции для всех параметров. На входе применены равномерные профили продольной составляющей скорости с F = U0,

поперечная составляющая скорости и давление принимались равными нулю: V = P = 0. Также на вход программы подаются значения относительных скоростей (возмущений): Зх = 0.005, &у= 0 . Входные условия, введённые в программу (рис. 5).

Рис. 5. Входные условия, введённые в Fig. 5. Input conditions entered into the program программу

*Источник: Составлено авторами Source: compiled by the author.

Числовая настройка. Моделирование проводилось с помощью COMSOL. Решатель на основе давления использовался со связанной схемой связи давления и скорости. Для импульса, кинетической энергии турбулентности и скорости диссипации турбулентности была принята схема противопотока второго порядка точности. Критерии сходимости были установлены как 10-4 для уравнения неразрывности и 10-5 для остальных уравнений. Для контроля схождения были установлены отсечки по моменту и тяге на несущем винте.

Переходные модели дают более точные оценки по сравнению с полностью разработанными моделями благодаря их способности обнаруживать явления разделения, особенно в диапазоне умеренных числах Рейнольдса, как в исследуемом случае (Re = 105). Этот вывод согласуется с [25], в котором переходная SST сравнивалась с полностью турбулентной моделью для прогнозирования характеристик VAWT. Сравнение экспериментального и численного мгновенного коэффициента мощности одной лопасти за пятый цикл представлены на рисунке 6, характеристические графики турбулентности ветротурбины при разных скоростях на рисунке 7, интервалы изменения модуля вектора скорости в разных срезах на рисунке 8.

Рис. 6. Сравнение экспериментального и Fig. 6. Comparison of experimental and численного мгновенного коэффициента numerical instantaneous power factor of one мощности одной лопасти за пятый цикл blade for the fifth cycle

*Источник: Составлено авторами Source: compiled by the author.

а)

б)

Д)

Рис.7. Характеристические графики турбулентности ветротурбины при разных скоростях:

а) профиль осевой скорости по вертикали сзади турбины и снизу при x/d = 6; б) линейный график поля скорости x-компоненты при U0=4 м/с; в) продольная составляющая скорости в середине крыла U0=4 м/с; г) распределение давления в середине крыла при U0=4 м/с; д) распределение кинетической энергии турбулентности в середине крыла при U0=4 м/с;

е) распределение кинетической энергии турбулентности в середине крыла при U0=8 м/с.

*Источник: Составлено авторами Source: compiled by the author.

3

Fig. 7. Characteristic plots of wind turbine turbulence at different speeds: a) vertical axial velocity profile at the back of the turbine and at the bottom at x/d = 6; b) line plot of the x-component velocity field at U0=4 m/s; c) longitudinal velocity component in the middle of the wing at U0=4 m/s; d) pressure distribution in the middle of the wing at U0=4 m/s; e) turbulence kinetic energy distribution in the middle of the wing at U0=4 m/s; f) distribution of turbulence kinetic energy in the middle of the wing at U0=8 m/s.

Рис. 8. Интервалы изменения модуля вектора Fig. 8. Intervals of variation of the velocity vector скорости в разных срезах при U0=5 м/с modulus in different slices at U0=5 m/s

*Источник: Составлено авторами Source: compiled by the author.

Результаты моделирования течения воздуха при турбулентном режиме обтекания ветрового устройства в виде профилей и полей давления и скорости показаны на рисунке 9.

а)

Е-

—J 1

в)

д)

Рис. 9. Результаты моделирования течения воздуха при турбулентном режиме обтекания ветрового устройства в виде профилей и полей давления и скорости: а) горизонтальный срез поля x-компоненты (м/с) (U0=4 м/с); б) срез: поле скорости y-компоненты V (м/с) (U0=4 м/с); в) поверхность: величина скорости по к — б модели при U0=4 м/с; г) поверхность: величина скорости по к — £ модели при и0=4м/с; д) давление при U0=4 м/с; е) турбулентная кинетическая энергия при U0=4 м/с

*Источник: Составлено авторами Source: compiled by the author.

3

Fig. 9. Results of air flow modeling at turbulent flow regime of the wind device in the form of profiles and pressure and velocity fields: a) horizontal slice of the x-component field (m/s) (U0=4 m/s); b) slice: velocity field of the y-component V (m/s) (U0=4 m/s); c) surface: velocity value according to k — ffl the model at U0=4 m/s; d) surface: velocity value according to k — S the model at U0=4 m/s; e) pressure at U0=4 m/s; f) turbulent kinetic energy at U0=4 m/sec.

В зависимости от характера изучаемого случая COMSOL позволяет использовать различные модели турбулентности. В данном случае использовался перенос сдвигового напряжения (SST), как и в большинстве публикаций, посвященных VAWT. Модель турбулентности SST представляет собой модель с четырьмя уравнениями, которая объединяет модели с двумя уравнениями к — S и к — О. [26] показывает, что SST дает лучшие значения для типа потока, ожидаемого при VAWT. Значения по умолчанию для COMSOL не были изменены [27].

Условия для ветровых турбин. При проектировании ветряных турбин TSR передаточное число наконечников является одним из наиболее важных факторов, которые следует учитывать. Это отношение скорости кончиков лопастей ветряной турбины к скорости ветра. Передаточное отношение законцовки зависит от ряда факторов, таких как количество лопастей турбины, тип ветряной турбины и профиль аэродинамического профиля лопасти.

cor

TSR = —, (41)

&

где С — скорость вращения турбины в рад/сек, Г — радиус ротора, & — скорость ветра.

Коэффициент мощности и его расчет. Коэффициент мощности Cp - важный фактор, который очень часто используется для оценки производительности ветряных турбин. Это часть энергии ветра, которая производится в виде электрической продукции (зависит от параметров ветра и скорости ротора) [28-33]:

с _Р1 _ Мс (42)

р Ра 0.5р А&3'

Общий момент M рассчитывается в COMSOL с использованием коэффициента момента Cm, который задается как:

М (43)

С =-

0.5pA3 L

Cp можно рассчитать по Cm:

С. =

0.5р&2АЬюСт _с сОЬ (44)

0.5рА&3 ~ т & '

В процессе моделирования значение A соответствует диаметру турбины, а значение L соответствует радиусу турбины. Применение этих изменений к этому равенству дает:

с =с ССЕ (45)

р т & '

Используя определение передаточного числа наконечников (TSR), находим:

C =C А.

(46)

Выходная мощность. Значения коэффициентов мощности и тяги приведены в таблице 1, (рис. 10). Уравнения (47) и (48) показывают, что коэффициент мощности представляет собой отношение мощности, извлекаемой турбиной к располагаемой мощности в набегающем воздухе, а коэффициент тяги представляет собой отношение осевой силы, действующей на ротор, к динамической силе ветра:

(47)

(48)

С = P " 0.5pU3,A'

T

nf A•

Здесь P

0.5 pUref

мощность, извлекаемая турбиной; T

сила, действующая на ротор в направлении вниз по потоку; A — омываемая площадь ротора (A = nD2/4); р — плотность атмосферы воздуха; U , — скорость набегающего потока.

ref

Умеренное занижение коэффициента мощности по большинству моделей отмечается с наименьшей погрешностью для модели перехода K — kl — а (табл. 1). Стандартная модель k — s показывает высокое отклонение погрешности (недопустимое), что подтверждает необходимость её модификации, расширяющую применимость.

Таблица 1 Table 1

Коэффициенты мощности и тяги в сравнении с экспериментальными данными Power and thrust coefficients in comparison with experimental data

Модель Cp Погрешность, %

Standart k ~S 0.295 30.76

Realizable k — S 0.376 -11.74

SST k — o 0.382 -10.33

K — kl — o 0.391 -8.22

Transition SST 0.384 -9.86

Эксперимент 0.426

*Источник: Составлено авторами Source: compiled by the author.

В другом исследовании, которое проводилось на момент написания этой работы, процент ошибок снизился примерно до 7% по сравнению с 13,2%, учитывая нестационарное поведение модели SST k — а .

-30 -25

1 -15 1-10 U ;

о -5

0

Ï о

1 5 =- 10

15

» Experiment (Li et al.)

—SST transition

—K-to SST

•f

30

25

i-f 20

u !5

10

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

E

8 -5

и

0

3

I 5

10

15

■ Experiment (Li et al.) —SST transition —К-ш SST

0.4 Oft 0.S

Chordwise position, х,!с

0,4 0.6 0.8

Chordwise position, х/с

0=90'

G=0"

Рис. 10. Коэффициент давления вокруг Fig. 10. Pressure coefficient around the blade at лопасти при различных азимутальных углах different azimuthal angles (at the inlet part of the (на входной части цикла) cycle)

*Источник: Составлено авторами Source: compiled by the author.

Результаты исследования подтверждают влияние устойчивого показателя коэффициента мощности на прогноз мощности. Моделирование показывает разумный прогноз коэффициентов тяги.

Заключение (Conclusions)

Процесс математического моделирования ветроэнергетических установок с вертикальной осью является одним из наиболее сложных вопросов. Поскольку движение ветра очень быстро меняется, выбор турбулентных моделей, изображающих этот процесс, важен для моделирования его аэродинамики. Поэтому данная работа сосредоточена на выборе модели, отражающей аэродинамику ветряных турбин. Был использован программный комплекс COMSOL - один из современных практичных программных средств, предназначенных для выполнения подобных инженерных расчетов. Были использованы пять турбулентных моделей и для каждого случая были получены результаты параметров ветра. Эти результаты были сопоставлены с экспериментальными работами и выбрана модель, отображающая этот процесс.

При математическом моделировании обтекания ветряной турбины с вертикальной осью можно использовать переходную SST модель турбулентности, которая позволяет получить удовлетворительные результаты. На основе этой модели получены результаты для случаев, когда скорость ветра на входе составляет 4 м/с, 5 м/с, 8 м/с. Целью придания этих скоростей является исследование аэродинамических процессов ветрогенераторов, работающих даже при малых скоростях ветра. При каждой скорости ветра представлены результаты скоростей по осям OX, OY, OZ.

Литература

1. M. N. Uddin, M. A. Rahman, M. Mofijur, J. Taweekun, K. Techato, and M. G. Rasul, "Renewable energy in Bangladesh: Status and prospects," Energy Procedia, vol. 160, pp. 655-661, 2019, doi: 10.1016/j.egypro.2019.02.218.

2. J. Liu, H. Lin, and J. Zhang, "Review on the technical perspectives and commercial viability of vertical axis wind turbines," Ocean Eng., vol. 182, no. October 2018, pp. 608-626, 2019, doi: 10.1016/j.oceaneng.2019.04.086.

3. D. MacPhee and A. Beyene, "Recent advances in rotor design of vertical axis wind turbines," Wind Eng., vol. 36, no. 6, pp. 647-666, 2012, doi: 10.1260/0309-524X.36.6.647.

4. M. Ghasemian, Z. N. Ashrafi, and A. Sedaghat, "A review on computational fluid dynamic simulation techniques for Darrieus vertical axis wind turbines," Energy Convers. Manag., vol. 149, pp. 87100, 2017, doi: 10.1016/j.enconman.2017.07.016

5. G. Bedon, E. G. A. Antonini, S. De Betta, M. Raciti Castelli, and E. Benini, "Evaluation of the different aerodynamic databases for vertical axis wind turbine simulations," Renew. Sustain. Energy Rev., vol. 40, pp. 386-399, 2014, doi: 10.1016/j.rser.2014.07.126

6. A. A. Mohammed, H. M. Ouakad, A. Z. Sahin, and H. M. S. Bahaidarah, "Vertical axis wind turbine aerodynamics: Summary and review of momentum models," J. Energy Resour. Technol. Trans. ASME, vol. 141, no. 5, pp. 1-10, 2019, doi: 10.1115/1.4042643.

7. L. Du, G. Ingram, and R. G. Dominy, "A review of H-Darrieus wind turbine aerodynamic research," Proc. Inst. Mech. Eng. Part C J. Mech. Eng. Sci., vol. 233, no. 23-24, pp. 7590- 7616, 2019, doi: 10.1177/0954406219885962.

8. A. Rezaeiha, H. Montazeri, and B. Blocken, "On the accuracy of turbulence models for CFD simulations of vertical axis wind turbines," Energy, vol. 180, pp. 838-857, 2019, doi: 10.1016/j.energy.2019.05.053

9. ANSYS Inc, ANSYS Fluent Theory Guide. 2013.

10. S. W. Levy, Use of Madribon in Dermatological Conditions, With Special Reference To Acne / Annals of the New York Academy of Sciences. vol. 82, no. 1. 1959.

11. Versteeg, H.K. and W. Malalasekera, An introduction to computational fluid dynamics: the finite volume method. 2007: Pearson education.

12. L. Daroczy, G. Janiga, K. Petrasch, M. Webner, and D. Thevenin, "Comparative analysis of turbulence models for the aerodynamic simulation of H-Darrieus rotors," Energy, vol. 90, pp. 680-690, 2015.

13. R. Howell, N. Qin, J. Edwards, and N. Durrani, "Wind tunnel and numerical study of a small vertical axis wind turbine," Renew. energy, vol. 35, no. 2, pp. 412-422, 2010.

14. A. Untaroiu, H. G. Wood, P. E. Allaire, and R. J. Ribando, "Investigation of self-starting capability of vertical axis wind turbines using a computational fluid dynamics approach," J. Sol. Energy Eng., vol. 133, no. 4, 2011.

15. Menter, F.R., Influence of freestream values on k-omega turbulence model predictions. AIAA Journal, 1992. 30(6): p. 1657-1659.

16. I. H. Hirsch and A. C. Mandal, "A cascade theory for the aerodynamic performance of Darrieus wind turbines," Wind Eng., pp. 164-175, 1987.

17. J. M. Naughton, F. Billard, and A. Revell, "Turbulence modelling of low Reynolds number flow effects around a vertical axis turbine at a range of tip-speed ratios," J. Fluids Struct., vol. 47, pp. 124-138, 2014.

18. J. M. Edwards, L. Angelo Danao, and R. J. Howell, "Novel experimental power curve determination and computational methods for the performance analysis of vertical axis wind turbines," J. Sol. Energy Eng., vol. 134, no. 3, 2012

19. K. M. Almohammadi, D. B. Ingham, L. Ma, and M. Pourkashanian, "Modeling dynamic stall of a straight blade vertical axis wind turbine," J. Fluids Struct., vol. 57, pp. 144-158, 2015.

20. Menter, F.R., M. Kuntz, and R. Langtry, Ten years of industrial experience with the SST turbulence model. Turbulence, heat and mass transfer, 2003. 4(1): p. 625-632.

21. A. Arab, M. Javadi, M. Anbarsooz, and M. Moghiman, "A numerical study on the aerodynamic performance and the self-starting characteristics of a Darrieus wind turbine considering its moment of inertia," Renew. Energy, vol. 107, pp. 298-311, 2017.

22. F. Balduzzi, J. Drofelnik, A. Bianchini, G. Ferrara, L. Ferrari, and M. S. Campobasso, "Darrieus wind turbine blade unsteady aerodynamics: a three-dimensional Navier-Stokes CFD assessment," Energy, vol. 128, pp. 550-563, 2017.

23. H. F. Lam and H. Y. Peng, "Study of wake characteristics of a vertical axis wind turbine by two-and three-dimensional computational fluid dynamics simulations," Renew. Energy, vol. 90, pp. 386-398, 2016.

24. Литвиненко, Р. С. Аухадеев, А. Э., Сафиуллин, Б. И., Черепенькин, И. В. и Ферапонтова, М. В. Методика определения интегрального показателя надежности разрабатываемой электротехнической системы // Электротехнические системы и комплексы. - 2021. - №. 1 (50). - С. 50-57.

25. Lanzafame, R., S. Mauro, and M. Messina, 2D CFD Modeling of H-Darrieus Wind Turbines Using a Transition Turbulence Model. Energy Procedia, 2014. 45: p. 131-140.

26. S. Lain and C. Osorio, "Simulation and evaluation of a straight-bladed darrieus-type cross flow marine turbine," J. Sci. Ind. Res. (India)., vol. 69, no. 12, pp. 906-912, 2010.

27. Li, L., Meng, H. and Wang, Y.M. (2013) The Applicability of Two-Equation Turbulence Models in Wind Velocity Prediction. Applied Mechanics and Materials, 291-294, 518-521. https://doi.org/10.4028/www.scientific.net/AMM.291-294.518

28. Малёв, Н. А., Погодицкий, О. В., Любарчук, Ф. Н. Анализ вариаций параметров асинхронного электромеханического преобразователя по линейному интегральному критерию с применением эталонной модели //Вестник Казанского государственного энергетического университета. - 2019. - Т. 11. - №. 1 (41). - С. 60-67.

29. Семёнов, А. С. и др. Оценка электромагнитной совместимости высоковольтных преобразователей частоты в электротехнических комплексах //Вестник Казанского государственного энергетического университета. - 2019. - Т. 11. - №. 4 (44). - С. 64-75.

30. Мульята, М. У., Корнилов, В. Ю. Практическое применение частотно-регулируемых приводов и устройств плавного пуска в автоматизированных системах управления //Вестник Казанского государственного энергетического университета. - 2011. - Т. 8. - №. 1. - С. 20-25.

31. Антонов В. С. Разработка структуры формализованной модели управления всеобщим ресурсосбережением //Вестник Казанского государственного энергетического университета. - 2023. -Т. 15. - №. 1 (57). - С. 173-188.

32. Малёв, Н. А., Погодицкий, О. В., Хуснутдинов, А. Н. Беспоисковая градиентная идентификация коэффициента передачи системы управления электропривода постоянного тока

//Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Электротехника, информационные технологии, системы управления. - 2022. - №. 42. - С. 42-64.

33. Литвиненко Р. С. и др. Подход к определению интегрального показателя надежности технических систем на этапе разработки //Вопросы электротехнологии. - 2021. - №. 1. - С. 52.

Авторы публикации

Хамдамов Музаффар Мухиддинович - канд.техн.наук, ^н.с., Институт механики и сейсмостойкости сооружений им. М.Т. Уразбаева, г. Ташкент. ORCID: https://orcid.org/0000-0001-9038-5407. Email: mmhamdamov@mail.ru.

Тоиров Олимжон Зувурович - д-р. техн. наук, профессор, зав. кафедрой «Электрические машины», Ташкентского государственного технического университета имени И.А.Каримова, г. Ташкент. ORCID: https://orcid.org/0009-0000-3414-3315. Email: olimjon.t@mail.ru.

Хужаев Исматулла Кушаевич - д-р. техн. наук, профессор, Институт механики и сейсмостойкости сооружений им. М.Т. Уразбаева, г. Ташкент. ORCID: https://orcid.org/0000-0002-4911-504X. Email: i khujayev@mail.ru.

Павлов Павел Павлович - канд. техн. наук, доцент, зав. кафедрой «Электротехнические комплексы и системы», ФГБОУ ВО Казанский государственный энергетический университет, г. Казань, ORCID: https://orcid.org/0000-0002-3655-6604. Email: pavlov2510@mail.ru.

Хуснутдинов Азат Назипович - канд. техн. наук, доцент, ФГБОУ ВО Казанский государственный энергетический университет, г. Казань, ORCID: https://orcid.org/0000-0002-9226-9028. Email: khusnutdinov.an.kgeu@mail.ru.

Мухамедзянов Эмиль Алмазович - студент ФГБОУ ВО Казанский государственный энергетический университет, г. Казань, ORCID: https://orcid.org/0009-0009-4111-8527. Email: emil20.03.012@gmail. com

References