CC BY
9
В1СНИК ПРИАЗОВСЬКОГО ДЕРЖАВНОГО ТЕХН1ЧНОГО УН1ВЕРСИТЕТУ 2004 р. Вип.№ 14
УДК 313.333
Днепровский В.В.1, Киселев Д.В.2
МАТЕМАТИЧЕСКИРЙ АППАРАТ ИССЛЕДОВАНИЯ ДОПУСКОВ ТЕХНИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК АСИНХРОННЫХ ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЕЙ К ОТКЛОНЕНИЯМ ВХОДНЫХ ПАРАМЕТРОВ
Для расчета допусков на технические характеристики асинхронных рольганговых электродвигателей предлагаются использовать зависимость отклонений выходных параметров от отклонений входных параметров. Для рольганговых электродвигателей вводятся понятия: входные и выходные параметры и их обозначения
Основные обозначения
1 .Выходные параметры:
ух = Мп - пусковой момент;
у , = М - максимальный момент;
У I м '
у3 = 1к - пусковой ток;
у4 = Г] - коэффициент полезного действия;
у5 = со5 (р - коэффициент мощности; у6 = Д - динамическая постоянная;
у7 = 5 - скольжение.
2.Параметры схемы замещения:
гх = гг - активное сопротивление обмотки статора;
г2 = г2' - приведенное активное сопротивление обмотки ротора;
г3 = хк - индуктивное сопротивление короткого замыкания;
24 = Хт ~ индуктивное сопротивление взаимоиндукции.
3.Входные параметры:
хх =Щ - число витков фазы обмотки статора;
х2 = <р - диаметр неизолированного провода обмотки статора;
х3 = 1т - средняя длина витка обмотки статора;
х4 = Рспп ' (Р. и) ~ удельное сопротивление материала беличьей клетки ротора, соответственно, для двигателей основного исполнения и модификации;
- величина воздушного зазора;
- длина сердечника статора;
- длина сердечника ротора;
- количество стержней беличьей клетки ротора; х9 = Рст + Рщех ~ сУмма потерь в стали и механических;
х10 =ос - условный коэффициент теплоотдачи.
При разработке электрических машин необходимо решать не только вопросы электромагнитного, теплового и вентиляционного расчета, но и проблему установления
х5 = 5
= А
х7
х8 = г2
1ПГТУ, канд.техн.наук, доц.
2 ГТГТУ, аспирант
допусков на технические характеристики: моменты, ток, коэффициент полезного действия, коэффициент мощности и т.д. В настоящее время этот вопрос на стадии проектирования асинхронных рольганговых электродвигателей не решается. Зависимость между отклонениями на технические характеристики и технологическими погрешностями была получена академиком Бруевичем Н.Г. [1] для расчета допусков в машиностроении. Использование этой зависимости для расчета допусков на технические характеристики асинхронных электродвигателей общепромышленного применения рассмотрено в работе [2].
Целью данной статьи является выбор входных и выходных параметров для асинхронных рольганговых электродвигателей и установление зависимостей между их допусками на основании математического аппарата взятого из теории точности принятого в машиностроении.
Качество асинхронных рольганговых двигателей с короткозамкнутым ротором характеризуется точностью соблюдения следующих технических характеристик: пусковой и максимальный моменты, пусковой ток, коэффициент полезного действия, коэффициент мощности, динамическая постоянная и скольжение, которые в дальнейшем будем называть выходными параметрами.
В качестве конструктивно-технологических параметров, которые в дальнейшем будем называть входными параметрами, выбраны основные размеры и характеристики применяемых материалов (воздушный зазор, удельное сопротивление материала клетки ротора, средняя длина витка обмотки статора и т.д.). Расчет точности технических характеристик асинхронных электродвигателей основывается на следующем математическом аппарате.
Любой выходной параметр двигателя у/ можно рассматривать как функцию ряда
входных параметров х , :
У, ;Х};.. .,Х„) (/ = 1,2,...,/; у = 1,2,...,да) (1)
Для расчета погрешностей выходных параметров необходимо знать зависимость этих отклонений от технологических погрешностей. Для этого используется зависимость
. д(рг д(рг д(рг
дх, дх}. дхт
Это уравнение является исходным для расчета точности не только приборов и механизмов, но также электродвигателей всевозможных типов.
Учитывая большое количество переменных и необходимость оценки их погрешностей, в относительных величинах, перейдем от уравнения для абсолютной погрешности (2) к уравнению в относительных величинах. Для этого в выражении (2) левую и правую части разделим на у 1:
Ау. =^дд>Хх„...,хр...,хт) Ах;.
У, 1=1 <Р,(х1г...,Х ...,Хт) X
1
Выражения 2 и 3 функционально связывают полное отклонение выходного параметра с частными отклонениями входных параметров.
Коэффициенты выражения (3), стоящие перед погрешностями входных параметров и определяющие степень влияния этих погрешностей на погрешность выходного параметра, называются относительными коэффициентами влияния:
д(р£хх,...,х ...,хт) х
Су =-^---7--л (4)
Таким образом, чтобы найти отклонение выходного параметра от номинального значения по (3), необходимо получить аналитические зависимости для относительных коэффициентов влияния ] -того входного параметра на / -тый выходной по (4) и, подставляя в них расчетные
номинальные значения параметров, определить численные значения коэффициентов Су . Кроме
того, необходимо знать относительные величины отклонений входных параметров от номинальных значений.
Для асинхронных рольганговых двигателей аналитические выражения, связывающие выходные параметры у, с входными х;, представляют сложные функции. Кроме того, в
методиках расчета используются, в основном, аналитические уравнения, связывающие выходные параметры с параметрами схемы замещения с входными параметрами.
Для / выходных параметров имеем систему / уравнений типа (3), которая в матричной форме записи имеет вид:
Ау = С Ах, (5)
где Ау - /-мерный вектор отклонений выходных параметров; Ах - т -мерный вектор отклонений входных параметров; С - матрица коэффициентов влияния.
В нашем случае, когда выходные параметры _у1,...,_уг.,у1 являются функциями
параметров схемы замещения гх,...,гк,...,гп, а последние, в свою очередь, являются
функциями входных параметров х1,..., х ■,..., хт, определение коэффициентов влияния матрицы
С целесообразно находить используя матричную форму записи [3]. для этого дополнительно
находим п -мерный вектор отклонений Аг параметров уточненной Г -образной схемы замещения.
Взаимосвязь векторов А у , Аг и Ах устанавливается состношениями:
Ау = ААг, (6)
Аг = ВАх,
тогда коэффициенты матрицы С в выражении (5) определяются операцией перемножением матриц А и В
С = АВ (8)
Условием умножения двух матриц является следующее: произведение двух матриц имеет смысл тогда и только тогда, когда число столбцов матрицы " А " равно числу строчек матрицы "5". При этом в произведении получается матрица "С ", число строчек которой равно числу строчек матрицы " А ", а число столбцов равно числу столбцов матрицы " [3].
Формула, выражающая элементы Су матрицы " С " через элементы матриц " А " и " В " в общем виде записывается
СУ = апьи + аг2Ъ2] + • • • + + • • • + атЪщ , (9)
где элемент аы матрицы А есть коэффициент влияния к -того параметра схемы замещения на / -тый выходной параметр; элемент Ък- матрицы В есть коэффициент влияния ] -того входного параметра на / -тый параметр схемы замещения.
Элемент / -й строчки ] -го столбца матрицы " С " равен сумме произведений элементов /-й строчки матрицы "" А " на соответствующий элемент / -го столбца матрицы "5". Таким образом для асинхронных электрических машин определение коэффициентов матрицы С решается в три этапа.
1. Вычисляют матрицу А коэффициентов влияния параметров схемы замещения на выходные параметры по (4).
2. Вычисляют матрицу В коэффициентов влияния входных параметров на параметры схемы замещения по (4).
3. Определяют искомые коэффициенты матрицы С перемножением численных значений коэффициентов влияния матриц А и В .
Уравнения (2) и (3) являются исходными для расчета точности. По этим уравнениям можно производить расчет отклонений выходных параметров двигателя при заданных предельных отклонениях на входные параметры .Так как допустимые отклонения на технические характеристики по стандартам на электрические машины обычно задаются в относительных величинах, поэтому необходимо перейти от погрешностей к допускам, используя выражение (3).
8 =^ö<pi(xl,...,xj,...,xm) _>
У' ÖX, о (x.....
Vi
X j->---->Xm,
где öyj и SXJ - половины полей допусков выходного и входного параметров в относительных единицах.
Уравнение (10) используется для расчета допусков по методу "максимума-минимума". Работами H.A. Бородачева [4] доказано, что в условиях серийного производства отклонение параметра в пределах поля допуска нужно рассматривать как случайную величину. Рассеивание отклонений в партии характеризуется такими вероятностными величинами, как
дисперсия ст2 или среднее квадратическое отклонение ст и математическое ожидание М, называемое также центром группирования или среднестатистической величиной погрешности. Учитывая законы теории вероятностей или среднеквадратического отклонения, погрешность выходной величины на основании уравнения (10) можно записать:
I
у=1
дх.
1
ст
_j_
•>••••> Хj •>••••> Хт )
_ *2
= SLci°"
v щ '
(П)
j=1
где ст ■ = ^^ • 100% и ст ■ = ^^ • 100% - относительные стандартные погрешности
У, х,
выходного и входного параметров.
В общем случае для связи ст и 8 введены коэффициенты относительного среднеквадратического отклонения для входных и выходных параметров [2].
О"
Т У.7 .
5УГ *
Я,
] Ö
X]
°уг = hßyi
ст = Я 5
ц } ц
(12)
Поставив величины ст и ст из (12) в уравнение (11), получим
1 т
д =_L у с..л2s
у. Äi -JZj * J
(13)
На практике целесообразно при расчетах оперировать коэффициентом относительного рассеивания к , определяемом отношением величины Л данного распределения к величине Лн некоторого эталонного распределения случайных величин. Согласно определению
Я
к = —, (14)
Ям
ст* 1
где Ям = —- = — - относительное рассеивание при нормальном распределении. В качестве 8Н 3
эталонного принятого нормальное распределение случайных величин. Разделив Лi и Я в выражении (13) на Ям, получим
(15)
1 т
5 =— у с к252
у „ V 1 Щ
Кг V 7=1
Физический смысл коэффициентов к ■ и к/ заключается в том, что они показывают,
насколько рассеивание отклонений данного параметра отличается от нормального распределения случайных величин.
Ввиду того, что погрешности выходных и входных параметров асинхронных рольганговых двигателей распределяется по нормальному закону, для которого обычно приняты шести сигмовые поля допуска, поэтому кi = к ■ = 1 и записывается
Тогда выражение (15) будет иметь вид:
Система уравнений для расчета допусков на параметры по методу - "максимума-минимума" и вероятностному методу может быть представлена следующим образом. Метод "максимума-минимума" В общем виде:
т
(18)
1=1
В развернутом виде для 8 .:
дуг = Сп3х1 +... + сг]5Х] +... + с1т8хт (19)
Вероятностный метод
В общем виде:
(20)
1=1
В развернутом виде для öyi:
S2yl=cfö1+... + cfä+... + clS2xm (21)
Формулы позволяют рассчитывать допуски входных и выходных параметров.
Выводы
1. Используя разработанный метод «максимума-минимума» можно решить ряд задач:
- провести проверочный расчет на точность выходных параметров для заданного конструктивного решения и существующих точносных показателей технологии;
- по заданным допускам на выходные параметры и коэффициентам влияния определить допустимые отклонения на входные параметры, которые должны обеспечиваться технологией, и организовывать текущий контроль их выполнения;
- разработать конкретные требования к проектированию технологических процессов, учитывая возможности технологического оборудования.
2. Для решения указанных задач необходимо знать коэффициенты влияния cj}-,
характеризующие чувствительность выходных параметров к технологическим отклонениям. Поэтому следующим этапом работы предполагается их определение.
Перечень ссылок
1. Бруевич Н.Г. Основы теории точности механизмов: Учебник для вузов / Н.П. Бруевич, Е.А. Праеотор, В.И.Сергеев. -М.: Наука, 1988. -238с.
2. Муравлев О. П. Обеспечение необходимой точности при производстве асинхронных двигателей / О.П.Муравлев, Э.К. Стрелъбицкий II Электротехника. - 1966. - №7. - С.6-8.
3. Боревич З.И. Определители и матрицы: Учеб. пособие для вузов. - 2-е изд.перераб. и доп./ З.И. Боревич - М.: Наука, 1970,- 199с.
4. Бородачев H.A. Основные вопросы теории точности производства: Учебник для вузов / H.A. Бородачев. - М-Л.: Изд. АН СССР, 1950. - 416с.
Статья поступила 02.12.2003
