CC BY
29
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 004.942
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВОЗНИКНОВЕНИЯ «НЕГАУССОВСКИХ» РЕЖИМОВ ПРИ ЧИСЛЕННОМ ИНТЕГРИРОВАНИИ ЗАДАЧИ ИЗОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ФОКУСИРОВАНИЯ
Л.В. САХАРОВА
(Филиал Морской государственной академии имени адмирала Ф.Ф. Ушакова в г. Ростове-на-Дону)
Проведен математический анализ проблемы возникновения так называемых «негауссовских» режимов при численном решении интегро-дифференциальной задачи изоэлектрического фокусирования. В результате аналитического преобразования задачи, составления оптимизационных алгоритмов и численного асимптотического тестирования установлено, что «негауссовские» режимы являются свойством исходной математической задачи, а не результатом накопления вычислительной погрешности.
Ключевые слова: математическое моделирование, краевая задача, «негауссовские» режимы, гауссовское распределение, оптимизационный алгоритм.
Введение. Гауссовское (нормальное) распределение является одним из важнейших и наиболее часто встречающихся распределений в естественных науках. Теория гауссовского распределения лежит в основе математической теории изоэлектрического фокусирования (ИЭФ) - эффективного и универсального метода фракционирования и анализа белков [1]. Практика подтверждает, что гауссовское распределение применимо к широкому классу так называемых амфолитов-носителей, т. е. амфотерных кислот с высокой буферной емкостью. Распределение концентраций компонент смеси имеет гауссовский вид:
С = С0 ехр {-рЕх1 /21)),
где С - концентрация; К - напряженность поля; О - коэффициент диффузии; р - градиент
электрофоретической подвижности амфолита, р--
<3и с!х
Гауссовское распределение концентраций амфолитов многими зарубежными авторами было получено при компьютерном моделировании ИЭФ [2 - 4], а также искажение гауссовского распределения (рис. 1) [5 - 7].
120
с; о £
£ 60 =г
ш 40
12 мин
5000 мин
- 5
тттгтттттттт
12 мин
120
100
80
60
40
20
0
5000 мин
5000 мин
шошжш
_ 12 мин -
11111
5
3,0
2,2
2,2 2,4 2,6 2,8 Длина колонки, см
а)
Рис. 1. Негауссовские (а) и классические гауссовские режимы (б) [6]
2,4 2,6 2,8 Длина колонки, см б)
3,0
При высоких плотностях электрического тока распределение концентраций на графиках приобретает «платообразную форму», которая существенно отличается от классического гауссов-ского (а также распределений Хи-квадрат, Стьюдента, Коши, Вигнера и пр.). При высоких плотностях тока соответствующая начально-краевая задача приобретает ряд особенностей, затрудняющих решение и приводящих к неконтролируемому накоплению вычислительной погрешности. Поэтому возникает закономерный математический вопрос (оставшийся за рамками работ [5 - 7], являющихся прикладными электрохимическими исследованиями): не обусловлены ли наблюдаемые «гипергауссовские» режимы результатом систематического накопления погрешности? Корректен ли математически вывод о существовании «негауссовских» режимов ИЭФ? Ответить на этот вопрос помогло представленное в работе исследование математической модели ИЭФ аналитическим и численным методами.
1. Физическая и математическая постановка задачи. Дано: водный раствор N амфолитов помещается в электрофоретическую камеру (ЭК), представляющую собой цилиндр длиной / и радиусом г . Для каждого амфолита известны его коэффициенты миграции \1к, константы диссоциации реакций К\к) и К'2к 1, а также общие количества тк, к=1,...,Ы. Температура Т внутри ЭК
считается постоянной. Под действием постоянного тока плотности 7 в ЭК формируется распределение концентраций амфолитов, ведущее к стационарному распределению концентрации ионов водорода рН . В данной модели рассматривается продольное осевое сечение ЭК, представляющее собой прямоугольный цилиндр длиной / и шириной 2г (рис. 2).
б)
Рис. 2. Распределение концентрации трех амфолитов при ИЭФ: а) профили концентраций и графики рн и внутренней проводимости ЭК; б) продольное (осевое) сечение ЭК со стационарным распределением
Предполагается, что в водном растворе диссоциация к - го амфолита протекает по схемам: ш^ясоон о шдсоон + н+, Ш2ЯСООН <=> Ш2ЯСОО + н+, где МНзЯСООН , ТЧН^СОО", ]МН2ЯСООН - положительный, отрицательный и нейтральный ионы амфолита, молярные концентрации которого обозначены , ^ , ^ .
Общая или так называемая аналитическая концентрация амфолита определяется формулой Ъ,к = ^ + ^ + . Помимо приведенных реакций диссоциации амфолитов в водном растворе
следует учитывать реакцию автопротолиза воды: Н20 ОН + Н, отсюда следует, что:
к2
ОН-—, где Н - концентрация ионов водорода, ОН - концентрация гидроксил-ионов и к^ -
Н
константа автодиссоциации воды, к1 = 10 14. В сделанных предположениях (при отсутствии пото-
д1
ка вещества через границы ЭК) основное уравнение теории переноса + =0 приобретает
дt
упрощенную форму: тк-0. Поэтому стационарное распределение концентраций ^(х) и распределение рН(х) описывается следующей одномерной интегро-дифференциальной задачей (искомые функции не зависят от ординаты, и картина неизменна в любом осевом сечении ЭК):
+ -<**!)£' = 0, к = 1,2,...,Ж; (1)
ах
- «-1) ^) + И* + <)
ах
+Вон^Е1+[1онОНЕ) (2)
ах
N
= 0; (3)
к= 1
1
%г2
(\к(ху!х = тк, к = 1,2,...,Ж. (4)
Здесь в - стандартный электрохимический параметр, & = КГ1Р, где величины Я, Т и ^'-универсальная газовая постоянная, температура и число Фарадея соответственно; \х,н, \хон - подвижности ионов водорода и гидроксил ионов; Вк, Бн, Вон - коэффициенты диффузии ионов, Ок = в\1к, а - степень диссоциации амфолита.
Уравнение массопереноса получено на основании уравнения потока амфолита (1). Соотношение (2) представляет собой обобщенный с учетом диффузии закон Ома (плотность тока является суммой плотностей токов всех ионов, включая ион водорода и ион гидроксила), (3) есть уравнение электронейтральности. Наконец, интегральное условие (4) соответствует закону сохранения массы вещества, в соответствии с которым суммарное количество всех трех форм амфолита неизменно и равно тк.
Основная математическая трудность численного интегрирования системы (1) - (4) заключается в том,что:
а) при решении системы дифференциальных уравнений (1) относительно концентраций необходимо определять величину Н из алгебраического уравнения (3);
б) вместо обычных краевых условий приходится использовать интегральные условия (4).
Тем не менее, для низких и средних значений ./ задача решается стандартными асимптотическими и численными методами и дает классические гауссовские распределения концентраций [8] - [Ю].
Для больших значений ./, как следует из (1), перед функциями Е,к появляется большой параметр .//в (б « 0,0257). Это приводит к дополнительным трудностям:
в) слабые изменения Е,к вызывают существенные изменения производных ¿/^/¿/х, что может привести к неконтролируемому накоплению вычислительной погрешности;
г) в «гипергауссовских» режимах (рис. 3, д,е) в области «плато» (а также за пределами области фокусирования амфолита) производные расчетных функций близки к нулю и вероятно «зацикливание» метода Рунге-Кутта, сопровождаемое выходом на неверное решение-константу;
д) в остальных точках производные расчетных функций, наоборот, стремятся к бесконечности, что может вызвать резкий скачок решения вплоть до выхода его на отрицательные (лишенные физического смысла) решения;
е) за пределами области фокусирования амфолита его концентрация стремится к нулю, что может привести к обнулению искомых функций при недостаточной точности вычислений.
Таким образом, предварительный анализ задачи и имеющихся результатов численного решения задачи математического моделирования ИЭФ в «негауссовских» режимах позволяет сделать вывод: для задачи в стандартной формулировке достаточно велик риск неконтролируемого накопления погрешности. Как следствие возникает вопрос: существуют ли, с математической точки зрения, «негауссовские» решения задачи (1) - (4) или они являются результатом систематического накопления погрешности? Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо объемное аналитическое исследование.
2. Преобразование системы. Теорема 1. Интегро-дифференциальная задача (1) - (4) относительно N + 2 неизвестных функций Н , Е , ^(х), к = 1,2,...,Ж может быть сведена к краевой задаче относительно 2Ы неизвестных функций ак(х), пк{х), к = 1,2,...,Ж :
1 _ Ф/:0) ■> ск ак ф/;(ч') с.
¿пк(х) ск
= ак(рк(ц>)г
а = ¿1как (Ф;'(у) - ММ!) + _ Уо),
*=1 Ф*(у)
1 ( " ^ 1 ( п у = -1п 1 + ехр(\|/к) - -1п 1 + ^ак ехр(-\|/к)
2 I к=\ ) 2 I к=х
пк{1)= 2
7Г Г
пк{ 0) = 0, т1
к = 1,2,..„Ж.
(5)
(6)
(7)
(8) (9)
(Ю) (П)
При этом
Ых) = 2каЛх) фДуЬ (12)
Н = кк ехр(у) . (13)
Доказательство. На первом этапе доказательства в рассмотрение вводится новая функция у (определена уравнением (13)), а для упрощения уравнений - новые параметры:
цгк = -1п к 2
(К<*)К<*Л
(14)
5,=
1 К,
<к)
¥о = ~1п
2 V К™
= ■
В новых обозначениях функции, входящие в (1) - (3), приобретают форму:
ОС 1 ОС 1 б-»
5 к+ск(\\г-\\гк)
к к а1 + а_1 = <з,г =
ск(ц>-ц>к)
5 к+ск(\\г-\\гк)
Кроме того, используются новые функции и новая плотность тока:
//си
к '
7 = 2 к Г
(15)
(16) (17)
В результате, опуская символ new, систему (1) - (3) можно переписать в форме, обладающей существенным преимуществом: более компактный вид плюс отсутствие малого параметра kw, дающего разброс слагаемых по степеням малости:
-s^ + ^kekE = 0, (18)
ах
N ( d Л
J = IXI "s+ ^kE I + ("s+ E)-), (19)
N
Yjek^k + shW = 0. (20)
k=1
На втором этапе доказательства для упрощения системы вводятся новые функции (определены как(8)):
вк--' аАг--1
Ф,0) Ф,0)
d\^r d\^l
фКУ) <
ек = —-Т ' = -
Ф*0) <
Важно, что функции ^(х) могут быть найдены в следующей форме: Ъ1к{х) = аксрДу), где ак(х) - новая неизвестная функция. В новых переменных система (18) - (21) будет иметь вид:
В= -, а = ¿1 как (ф» - М)1) + цсМу " Уо), ах ак (рк а к=1 ук
(определены как (5) и (7))
п
^акч>'к + э}1\у = 0. (22).
к=1
Система из (5), (7), (22) значительно проще, чем (18), (19), (20) , так как из нее исключена неизвестная функция Е. По сути, уравнения (5) и (7) могут быть записаны одним дифференциальным уравнением.
На третьем этапе (22) получает дополнительное преимущество: оно разрешается относительно функции у . Предположим, что
п
чО = & эк^-у^ + экц! , (23)
к=1
тогда Е(\у) = Е"(\у). Решением последнего уравнения, очевидно, является функция /) = Аяку + 5 ¿72\|/. Из (23) следует
Р(0) = А = -^ак , Гф) = В = -¿а, сИцгк + 1.
к=1 к=1 (22) эквивалентно уравнению Е(ц>) = 0 . Следовательно, = -А/В, а значит,
Ч' = + ¿а* ехр(у,)^ -+ ¿а, ехр(-у,) ^ ,
(обозначено как (9)).
На четвертом этапе интегральные условия (4) трансформируются в обычные краевые условия посредством введения новых функций, при этом ликвидируется главная вычислительная трудность задачи
пЛх)=\1ак^Л^х' (24)
удовлетворяющие следующей краевой задаче ( обозначена как (6), (10), (11)):
~ЛГ^=акЧ>кМг пк(0) = 0, пк(/) — . с!х % г
Теорема доказана. В результате избавляемся от трудностей численного интегрирования задачи
(а) и (б), указанных в п. 1.
3. Алгоритмы численного решения задачи. Чтобы избежать указанных в п. 1, в-е проблем, производим дополнительную замену переменной, составление оптимизационных алгоритмов с контролем выхода на неверные решения.
Неизвестная функция ск может быть представлена в виде экспоненты
ск = Ьк ехР{УеК(х)) г к = 1,2,...,Ы , (25)
где Ьк - постоянный параметр. Экспоненциальная форма решения «отсекает» выход на лишенные физического смысла отрицательные решения. Сомножитель Не обеспечивает «сглаживание» расчетной функции: малым изменениям функции ^(х) соответствуют существенные изменения функции ск. Для неизвестных функций ^(х), к = 1,2,...,Ж может быть получена краевая задача с условиями (10), (11):
<-И'к _ 9^4')
с1х фДу) (у
(26)
^(Х) = Ф,№ехр^(х)|, (27)
° = 2Х (Ф"(У) - + цсй^-у0), (28)
*=1 Фа (V) )
1 ( П ^ 1 ( (I ^
2
к=1
2
где параметры \ук, |а,0, ц>к, у0 определяются формулами (14) - (17), а функции ^(х) и Н - из уравнений (8), (12), (13), (25).
Для решения задачи (26) - (29), (10), (11) разрабатываются два оптимизационных алгоритма, обеспечивающих необходимую точность решения.
Первый оптимизационный алгоритм основан на модифицированных методах Рунге-Кутта и Ньютона и обеспечивает эффективное решение начально-краевой задачи при заданной плотности тока ./ . Он состоит из трех этапов. На первом этапе задаются начальные приближения:
^(0) = х,, к = 1,2,...,Ж, (30)
а также решаются задачи (26) - (29), (10), (30) на отрезке [0,/] методом Рунге-Кутта (но полученные при этом значения пк(1) не удовлетворяют условиям (11)). На втором этапе модифицированным методом Ньютона осуществляется поиск точных значений хк. На третьем этапе выполняется решение задачи (26) - (29), (10), (30) для точных значений хк, полученных на предыдущем этапе; одновременно вычисляется рН=-\%Н и а, а также строятся графики соответствующих функций.
Сложность работы по первому оптимизационному алгоритму состоит в выборе начальных значений Рк(0)-хк, достаточно близких к точным. Численный эксперимент показал, что произвольный выбор этих значений (для больших значений ./) часто приводит к расхождению итераций метода Ньютона либо получению неверных решений. В то же время для малых величин ./ начальные приближения Рк(0)-хк легко определяются из асимптотических формул и всегда приводят к верному результату. Поэтому для исследования задачи во всем диапазоне ./ используется так называемый метод движения по параметру, когда величина ./ возрастает с переменными контролируемыми шагами, а за начальные приближения принимаются точные значения, полученные на предыдущем шаге Рк(0)-хк.
Второй оптимизационный алгоритм, реализующий метод движения по параметру, позволяет выполнять расчеты в широком диапазоне плотностей тока, выбирать оптимальный шаг движения по плотности тока, а также контролировать процесс накопления вычислительной погрешности, отсекая при этом возможные выходы на неверные решения (возникающие в случае выбора слишком большого шага). Он также состоит из трех этапов. На первом этапе задаются параметры ячейки и характеристики амфолитов, на основании заданных величин рассчитываются постоян-
ные значения cpt, 5k, фо, ц и определяются начальные приближения хк на основе асимптотических формул.
На втором этапе к начальной плотности тока JH применяется Алгоритм 1, строятся графики Е,к, рН и ст. Наконец, на третьем этапе выполняется циклическое движение по плотности тока J = J + AJ с применением на каждом шаге Алгоритма 1. При вычислениях осуществляется постоянный контроль условия: max ^(х) к = \,2,...,N, невыполнение которого означает выход на неверное решение, а также необходимость уменьшить шаг по плотности тока и, вернувшись на шаг назад, выполнить повторный расчет.
Алгоритмы реализуются на языке программирования Turbo Pascal с использованием стандартного модуля Graph.
4. Тестирование модели асимптотическими методами. Модель обнаруживает качественное соответствие с общепринятыми математическими моделями ИЭФ при низких и средних плотностях тока. Получаемые посредством нее профили концентраций амфолитов имеют вид стандартных гауссовских распределений (рис. 3). При высоких плотностях тока, как и в [6; 7], систематически наблюдаются «негауссовские» «платообразные» режимы. Вначале максимумы на профилях трансформируются в «плато», а затем сами профили приобретают вид прямоугольников, вплотную примыкающих друг к другу.
Рис. 3. ИЭФ системы из пяти стандартных амфолитов с pH > 7 :
His - His, His - Gly , His , ß - Ala - His , Туг - Arg
Однако все принятые меры к минимизации вычислительной погрешности еще не дают основания с полной уверенностью говорить, что в данном случае удалось избежать систематических ошибок и наблюдаемые «негауссовские» режимы существуют в действительности.
Поэтому для проверки адекватности построенной расчетной модели был использован асимптотический метод тестирования. Он базируется на очевидном утверждении.
Утверждение. Если при рассматриваемой плотности тока J система (26) - (29) имеет
«платообразное» («негауссовское») решение, то на отрезке [xk_1,хк\, соответствующем области фокусирования к-то амфолита, его концентрация Е,к и функция постоянны (рис. 3):
с [С* 6 [**-!>**] г 1
[Ъ,х£[хх_х,хк\
Доказана теорема 2. Если при рассматриваемой плотности тока J система (26) - (29) имеет «платообразное» («негауссовское») решение, то значения функций Fk(x) при х=0 определяются асимптотической формулой:
Fk( 0) = sin а°к -JYht<bk{vt,a°t), (33)
¿=1
где
Фк(ъа) = Щ±, (34)
(35)
М, т.
—к---Мк =-к- 7
/2,(5, +1) Iknr1
\ = . (36)
5. Результаты расчетов и их интерпретация. Расчеты проводились в предположениях: длина ЭК 1 = 2 дм; радиус ЭК г = 0,2 дм; Г = 298 К. Плотность тока измеряется в А/дм2. Рассмотрим систему из пяти стандартных амфолитов с pH > 7 : His - His , His-Gly, His, ß- Ala -His, Туг-Arg (табл. 1) [1]. Исходные количества амфолитов одинаковы, Мк =0,1 моль. Имеет место существенная неравномерность распределения амфолитов по константам диссоциации К\k 1, K'k 1
„gW _i_ vK(k)
и изоэлектрическим точкам: pl = —-—^ (табл. 1).
Таблица 1
Характеристики амфолитов
№ п/п Амфолит РкГ РК?> pi АрК Подвижность, v-104
1 His - His 6,80 7,80 7,30 1,00 1,49
2 His - Gly 6,27 8,57 7,42 2,30 2,40
3 His 6,00 9,17 7,59 3,17 2,85
4 ß - Ala- His 6,83 9,51 8,17 2,68 2,30
5 Туг - Arg 7,55 9,80 8,68 2,25 1,58
При плотности тока J =0,0005 расслоение незначительно, и ни один из амфолитов не достиг еще своего изоэлектрического состояния (рис. 3, а). При плотности тока J = 0,002 на профиле р - Ala - His отчетливо проявляется максимум, указывающий на достижение амфолитом изоэлектрической точки (рис. 3, б), прослеживается появление максимума на профиле His. При
/=0,007 (рис. 3, в) изоэлектрического состояния достигают все пять амфолитов, причем профиль ß - Ala - His имеет вид стандартного гауссовского распределения, в то время как профили His - Giy и His асимметричны; график pH монотонно возрастает. При J - 0,027 (рис. 3, г) на профиле Туг - Arg появляется «плато», он утрачивает сходство с гауссовским распределением, а значит, система входит в «негауссовский» режим, характеризующийся «негауссовскими» распределениями концентраций. При J - 0,235 (рис. 3, д) такие «плато» видны уже на всех профилях; амфолиты расслаиваются на полосы одинаковой ширины; профили имеют вид правильных прямоугольников для His, ß - Ala - His, Туг - Arg. Наконец, при J =1,323 (рис. 3, é) профили всех амфолитов имеют вид прямоугольников, внутри которых pH и ст постоянны.
Для данной системы проводилось асимптотическое тестирование по формуле (20) (табл. 2), сравнивались расчетные значения Fk{x), k = l,2,...,N (т. е. полученные в результате работы основной программы) и асимптотические, рассчитанные в предположении, что имеет место «платообразный» («негауссовский») режим.
Для J = 1,307 расчетные и асимптотические значения имеют расхождение в пятом знаке после запятой (табл. 2). Это указывает на высокую точность вычислений в «негауссовских» режимах. Поскольку вычисление расчетных величин Fk(0) не зависит от вычисления
асимптотических величин Fk(0), то можно сделать основной вывод: феномен «негауссовских» режимов является свойством математической (и соответствующей физической) задачи, а не результатом накопления вычислительной погрешности.
Таблица 2
Расчетные и асимптотические значения Fk(x)
Величины ^Í(O) F2(0) F3(P)
J = 0,075
Расчетные -0,0066864 -0,0091958 -0,2125067 -2,9209963 -10,3920329
Асимптотические -0,0072057 -0,1321356 -0,2679040 -3,3555129 -11,864537
J = 0,347
Расчетные -0,0066864 -0,2951293 -0,7671985 -13,3475905 -47,9548238
Асимптотические -0,0067035 -0,3243769 -0,7910892 -13,187091 -47,272132
J = 1,307
Расчетные -0,0067712 -1,0472041 -2,7635703 -50,2134548 -180,505632
Асимптотические -0,0067679 -1,0471994 -2,7635745 -50,213453 -180,505631
Заключение. 1. Система дифференциальных уравнений с интегральными условиями (1) - (4) может быть преобразована к обычной краевой задаче, преимуществами которой являются:
- замена интегральных условий краевыми посредством введения дополнительных неизвестных функций;
- исключение из рассмотрения сложного алгебраического уравнения;
- исключение из рассмотрения слагаемых с малым параметром к^.
Указанные преимущества помогают свести к минимуму факторы, приводящие к накоплению погрешности при численном решении задачи. Оптимизирует поиск решения представление его в экспоненциальной форме, исключающей выход на неверные отрицательные решения, а также оптимизационные алгоритмы, основанные на методах Рунге-Кутта, модифицированном методе Ньютона, методе движения по параметру.
2. Расчетная модель обнаруживает качественное соответствие с классическими гауссовскими моделями ИЭФ при низких и средних плотностях тока 3 . Вычисления показывают, что при достижении некоторого критического значения ./ профили концентраций теряют сходство с гауссовским распределением. Вначале вершины кривых трансформируются в «плато»; затем профили превращаются в прямоугольники, примыкающие друг к другу. Графики рН и ст
имеют ступенчатую форму, это «платообразные», «гипергауссовские» распределения, представляющие серьезный научный интерес.
3. Тестирование расчетной модели на основе асимптотического метода показало высокую степень соответствия расчетных и асимптотических значений контрольной функции.
Таким образом, можно констатировать существование у задачи математического моделирования ИЭФ «гипергауссовских» решений, в которые трансформируется классическое гауссовское распределение при достижении некоторой критической плотности тока.
Библиографический список
1. Righetti P.G. Isoelectric focusing: Theory, Methodology and Application.
- Elsevier Biomedical Press. - New York-Oxford: Elsevier, 1983. - 386 p.
2. Mosher R.A., Thorman W. The condensation of ampholytes in steady state moving boundaries. Analysis by computer simulation // Electrophoresis. - 1985. - № 7. - P. 595-400.
3. Mosher R.A., Bier M., Righetti P.G. Computer simulation of immobilized pH gradients at acid and alkaline extremes: A quest for extended pH intervals // Electrophoresis. - 1985. - № 7. - P. 59-66.
4. Zilberstein G.V., Baskin E.M., Bukshpan Sh. Parallel processing in the isoelectric focusing chip // Electrophoresis. - 2003. - № 24. - P. 3735-3744.
5. Thormann W., Huang Т., Pawliszyn J., Mosher R.A. High-resolution computer simulation of the dynamics of isoelectric focusing of proteins // Electrophoresis. - 2004. - № 25. - P. 324-337.
6. Thormann W., Mosher R A. High-resolution computer simulation of the dynamics of isoelectric focusing using carrier ampholytes: The post-separation stabilizing phase revisited // Electrophoresis.
- 2002. - № 23. - P. 1803-1814.
7. Thormann W., Mosher R A. High-resolution computer simulation of the dynamics of isoelectric focusing using carrier ampholytes: Focusing with concurrent electrophoretic mobilization is an isota-chophoretic process. Research Article // Electrophoresis. - 2006. - № 27. - P. 968-983.
8. Бабский В.Г. Математическая теория электрофореза: Применение к методам фракционирования биополимеров / В.Г. Бабский, М.Ю. Жуков, В.И. Юдович. - Киев: Наукова думка, 1983.
- 202 с.
9. Жуков М.Ю. Массоперенос электрическим полем / М.Ю. Жуков. - Ростов н/Д: Изд-во Рост. гос. ун-та, 2005. - 216 с.
10. Sakharova L.V., Vladimirov V.A., Zhukov M.Yu. Anomalous pH-gradient in Ampholyte Solution [Электронный ресурс]. - Режим доступа: arXiv: 0902.3758vl [physics.chem-ph] 21 Feb 2009.
Материал поступил в редакцию 17.11.2011.
References
1. Righetti P.G. Isoelectric focusing: Theory, Methodology and Application. - Elsevier Biomedical Press. - New York-Oxford: Elsevier, 1983. - 386 p.
2. Mosher R.A., Thorman W. The condensation of ampholytes in steady state moving boundaries. Analysis by computer simulation // Electrophoresis. - 1985. - № 7. - P. 595-400.
3. Mosher R.A., Bier M., Righetti P.G. Computer simulation of immobilized pH gradients at acid and alkaline extremes: A quest for extended pH intervals // Electrophoresis. - 1985. - № 7. - P. 59-66.
4. Zilberstein G.V., Baskin E.M., Bukshpan Sh. Parallel processing in the isoelectric focusing chip // Electrophoresis. - 2003. - № 24. - P. 3735-3744.
5. Thormann W., Huang T., Pawliszyn J., Mosher R.A. High-resolution computer simulation of the dynamics of isoelectric focusing of proteins // Electrophoresis. - 2004. - № 25. - P. 324-337.
6. Thormann W., Mosher R. A. High-resolution computer simulation of the dynamics of isoelectric focusing using carrier ampholytes: The post-separation stabilizing phase revisited // Electrophoresis. - 2002. - № 23. - P. 1803-1814.
7. Thormann W., Mosher R. A. High-resolution computer simulation of the dynamics of isoelectric focusing using carrier ampholytes: Focusing with concurrent electrophoretic mobilization is an isota-chophoretic process. Research Article // Electrophoresis. - 2006. - № 27. - P. 968-983.
8. Babskij V.G. Matematicheskaya teoriya e'lektroforeza: Primenenie k metodam frakcionirova-niya biopolimerov / V.G. Babskij, M.Yu. Zhukov, V.l. Yudovich. - Kiev: Naukova dumka, 1983. - 202 s. -In Russian.
9. Zhukov M.Yu. Massoperenos e lektricheskim polem / M.Yu. Zhukov. - Rostov n/D: Izd-vo Rost. gos. un-ta, 2005. - 216 s. - In Russian.
10. Sakharova L.V., Vladimirov V.A., Zhukov M.Yu. Anomalous pH-gradient in Ampholyte Solution [Electronic resource]. ArXiv:0902.3758vl [phys\cs.chem-ph] 21 Feb 2009.
MATHEMATICAL ANALYSIS OF NON-GAUSSIAN REGIME ORIGINATION IN NUMERICAL INTEGRATION OF ISOELECTROFOCUSING PROBLEM
L. V. SAKHAROVA
(Admiral Ushakov Maritime State Academy, Rostov-on-Don branch)
The mathematical analysis of the problem of so-called "non-Gaussian" regimes in the computational solution of the integro-differential isoelectric focusing (IEF) problem is done. Due to the problem analytic transformation, the development of the optimization algorithms and the numerical asymptotic testing, it is found that non-Gaussian regimes are the property of the original mathematical problem, and not the computational error accumulation consequence.
Keywords: mathematical simulation, boundary-value problem, non-Gaussian regimes, Gaussian distribution, optimization algorithm.
