Математический анализ уравнений сохранения двухфазных смесей Текст научной статьи по специальности «Физика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 532.525 Б01: 10.1152!) шшр! 10202

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ УРАВНЕНИЙ СОХРАНЕНИЯ ДВУХФАЗНЫХ СМЕСЕЙ

Ю.М. Ковалев, Е.А. Ковалева

Проведен анализ инвариантности относительно преобразования Галилея математической модели М. Байера, Дж. Нунциато, полученной на основе гипотезы взаимопроникающих взаимодействующих континуумов и описывающей процесс перехода горения во взрыв в двухфазных смесях. Показано, что математическая модель, представленная в оригинальной статье М. Байера, Дж. Нунциато является инвариантной относительно преобразования Галилея. Дополнительно в настоящей работе был проведен анализ инвариантности относительно преобразования Галилея уравнений кинетической и полной энергии отдельных компонентов и смеси. Было показано, что данные уравнения также являются инвариантными относительно преобразования Галилея. Однако, сравнительный анализ уравнений сохранения полной энергии смеси математической модели М. Байера, Дж. Нунциато и математической модели Р.И. I Ни ми гу. ниш с сотрудниками показал их различие. Поэтому для выбора математической модели, адекватно описывающей процесс перехода горения во взрыв в двухфазных смесях, требуется дополнительный анализ.

Ключевые слова: математическая модель; инвариантность; многокомпонентная смесь.

Развитие современной вычислительной техники позволило значительно усложнить математические модели физических процессов, используемых в науке и технике. В связи с этим повысился статус математического моделирования как источника получения информации о процессах. Более того, есть такие проблемы, когда математическое моделирование является единственным средством предварительного изучения явлений [1, 2]. Поэтому с особой остротой встает проблема адекватности математических моделей тем физическим процессам, которые они пытаются описывать [3]. Отсутствие в природе чистых веществ привело к активному развитию теории математических моделей многокомпонентных сред [4, 5], основанных на гипотезе взаимопроникающих взаимодействующих континуумов [6].

Для верификации расчетов, с одной стороны, используют известные экспериментальные данные, а с другой стороны, при анализе проведенных измерений используют математические модели. Очень важно, чтобы условия проведения расчетов и экспериментов совпадали, а математическая модель была адекватна изучаемому физическому процессу. В работах Ю.М. Ковалева, В.Ф. Куропатенко [7, 8] проведен анализ математической модели «замороженной» газовзвеси, которая активно используется при анализе затухания ударных волн в гетерогенных средах, и была показана не инвариантность относительно преобразования Галилея уравнения полной энергии газовой фазы. Оказалось, что не инвариантность относительно преобразования Галилея уравнения полной энергии газа приводит к появлению дополнительного источника энергии, связанного с движением системы координат. Этот источник энергии не имеет физической природы и приводит к нарушению второго закона термодинамики.

В настоящей статье проведен анализ инвариантности относительно преобразования Галилея математической модели М. Байера, Дж. Нунциато [9], описывающей процесс перехода горения во взрыв в двухфазных смесях. Данная модель была также получена на основе гипотезы взаимопроникающих взаимодействующих континуумов.

1. Постановка задачи

Рассмотрим двухфазную химически реагирующую смесь, состоящую из твердой фазы (з) и газа (д). В математической модели, разработанной М. Бэром и Дж. Нунциато [9], уравнения массы, импульса и энергии для каждой фазы имеют следующий вид

Все обозначения совпадают с обозначениями, приведенными в оригинальной статье М. Бэра и Дж. Нунциато [9]. Здесь индексы (д) и (з) относятся к параметрам газа и твер-

температура, удельная внутренняя энергия, объемная доля, энтропия, энтальпия, коэффициент теплопроводности г-й фазы (г = з, д) соответственно, 5 - коэффициент сопро-

Уравнения (1), (2) - уравнения неразрывности частиц и газа; (3), (4) - уравнения сохранения импульса частиц и газа; (5), (6) - уравнения сохранения удельной внутренней энергии частиц и газа; (7) - уравнение сохранения объемной доли твердой фазы.

Запишем исходную систему уравнений в новой системе координат, движущейся с постоянной скоростью О. Скорости в новой системе координат будут равны:

(6)

в ■

(7)

ДЫХ частиц; рг, У г, Рг, Т^ а, фг, Г/г, Ы, фг, кг - истинная плотность, скорость, давление,

тивления, Ь - коэффициент теплопередачи, Сз - интенсивность химического превращения. вг = фгрг^щ^ ^ 1 ~ коэффициент ВЯЗКОСТ И газа, Г = ф3фв [рз — Рв — вз]/^с-

Ут = Уз + О,

(8)

Уда = Уд + О.

(9)

Координата будет определяться из уравнения:

хн = х + Бі.

Производные:

(10)

д = _д_ дх дхи

(И)

(!) = (!) + &

(12)

Для анализа инвариантности относительно преобразования Галилея уравнения неразрывности конденсированной фазы (1) перейдем в новую систему координат в соответствии с формулами (8) - (12). Уравнение неразрывности конденсированной фазы (1) в новой системе координат принимает следующий ВИДІ

дрз . 9р.3 др.

-Ж + ах:0 + ("“ - В) дХ

■8 _ д(ут - Б) р3

= -р8-------я-----------~Г Р

дхи ф3

или

др8 . др8 др.

+ я— 0 + ^8н тт~ ді дхн дх

8 _ Р± к

дхи 8 дхи ф8

В результате получаем:

дрз др8 душ р8 _

~^г + у8к^~ = -р8 я---— Р.

ді дхи дхи ф 8

(13)

Аналогично, уравнение неразрывности газовой фазы (2) с учетом (8) - (12) принимает

ВИДІ

рд

д"т - рд(«•„ - V)дф8 + рдр - (і - ^.

дхв

фд

дх фд

р 8 фд

(14)

Для анализа инвариантности относительно преобразования Галилея уравнения сохранения импульса конденсированной фазы (3) перейдем в новую систему координат в соответствии с формулами (8) - (12). Уравнение сохранения импульса конденсированной фазы (3) в новой системе координат принимает следующий вид:

ф8р8

др8

д"8Ъ І ді

+ О

д"8

д"8

д + " 8Н д

дх дх

дф

-О-

.д"8

дх

др, дф^( СІ\

-ф8 дх: +(рд - р8) дх:- V + т) ("№ - "д*)

или

ф8рв

д"

ді

8Н . д" 8Н

+ "

дх

= ф8 дх + (Рд - - ^ + -2^ ("ш - "т).

С

2

(15)

Аналогично, уравнение сохранения импульса газовой фазы (4) в новой системе коорди-нэлг имеет следующий ВИД1

фд рд

д"ди . д" дл

+ "ди^-

ді

дх

фд дх + (5 + т) ("ш - "т ]-

(16)

Рассмотрим уравнение сохранения удельной внутренней энергии конденсированной фазы (5). Переходя в новую систему координат в соответствии с равенствами (8) - (12), получим:

ф8р8

ді

дх

де8 о де,8

дх дх

=-ф р тё + дхО- к(Т•- Тд) - (Р - в,)Р

д / дТ

к 8

ИЛИ

ф8р8

де8

ді

де8

+ "8и^~

дх„.

= -ф8Р8 дх~ + (к8 дх8) +- Тд ) - (Р8 - в8)К (17)

д

дТ

Аналогично, уравнение сохранения удельной внутренней энергии газовой фазы (6) в новой системе координат имеет следующий вид:

фд рд

ді дх

»+ Iе» -одед

дх„

дхщ

М д"да

= -фдРд

+

д

к ё)

дхн дх

-Н(Т8 - Тд) + (р8 - в8)Р - ("ш - "дн)рд дф + 5("8Ъ - "дн)2 - (е8 - ед)С|

ИЛИ

фд рд

дед

І ді

+ ".

де„

___д

дн о

дхч.

д

дТ„

+ (р8 - @8)Р - ("ш - "т )рд —-+ 5("ш - "ди )2 - (е8 - ед )Сз-

дх

(18)

И, наконец, рассмотрим уравнение сохранения объемной доли конденсированной фазы (7). В результате перехода в новую систему координат по формулам (8) - (12) получим следующее уравнение:

дф8 , пдф8 , дф8 п

~ТГТ + -----+ "8н^---------В

ді дхн дхн дх

которое после простых преобразований записывается в виде:

дф8 с8

дф±

ді

+ "8Н7Г

дх

С1

8 = Р + —. р 8

(19)

Таким образом, после преобразований, связанных с переходом в новую систему координат, уравнения неразрывности частиц и газа имеют вид (13) и (14) соответственно, уравнения сохранения импульса частиц и газа - (15) и (16) соответственно, уравнения сохранения удельной внутренней энергии частиц и газа - (17) и (18) соответственно, а уравнение сохранения объемной доли твердого вещества - (19). В уравнениях (13) - (19) не появляются дополнительные слагаемые, связанные с переходом в новую систему координат, следовательно, система уравнений (1) - (7) является инвариантной относительно преобразований Галилея.

Получим уравнения сохранения кинетической энергии частиц и газа. Для этого умножим левые и правые части уравнений сохранения импульса частиц и газа (3) и (4) на скорости ь3 и у9 соответственно. Получим

ф 8 р 8" 8

д"8 д"8

- ді + "8 дх .

,др8 ( ,дф8 ( С \, ,

- ф8~дх +(Рд - Р8)дх - Г + ~2)("8 - "д)

дф8

дх

р

"

фд рд Уд

ОУд

ді

, 9уя

+ уд я дх

дрд

О]

- Фядх + V - Уя)

После простых преобразований уравнения сохранения кинетической энергии частиц и гэзэ. принимают следующий вид

Ф 8 р8

д (у! ) + У°. (У1

І_ді V 2) 8дх\ 2

, дрв , ,дф] ( о] \

- ф+ (Рд - р8]дх - Iй + ~2)(у8 - Уд)

дф ] дх

фя ря

2

д ( Уд ) , д ( Уд

дА 2 У Уд дх\ 2

2,

дрд

о]

- фд дх + V +^'(у]- уд )

(20)

(21)

Получим уравнения сохранения полной энергии частиц и газа. Для этого суммируем левые и правые части уравнений (5), (6) и (20), (21) соответственно. В результате имеем

У

д

У

У

д

ф 8р8

д(

д(

— в8 ^ — + у 8— [в8 + —

дЛ 8 2) 8дЛ 8 2

- (й+°)(У] - Уд}]- ф]Р]Гдх + дЪ {к]дх:)- к(Т - Тд ) +(Р] - в )р

= -у]ф]ір: + у] (Рд - Р]) -

дх

дх

фд рд

їді (вд + !) + Уд ^x (вд + *

+Уд(й + °)(У] - Уд) - фдРдIя + Цх) + н(Т] -Тд) +

дУ

д

2

дТд

< дРд

= -Уд фд дх +

+ (Рз - вз)Е - (У з - Уд)Рд дх + §(Ьз - Уд)2 - (е.3 - вд)С.

После простых преобразований получим уравнения сохранения полной энергии частиц и газа в следующем виде

ф 8 р 8

дЕ] дЕ]

- ді + У 8 дх .

= - дх(ф ]У 8 Р 8) + У ]\ря - (5 + °т)(У 8 - Уя)

дф8 дх

+

д дТ

+д^і^дІ) - нт - Тд) - (Р8 -в)Е

(22)

фд рд

дЕ,

д дЕд

+ Уя -Ш1

д ( 08)

= -дх (фдУдРд) + УЧй + ~2) У - Уя) +

2

+дох^д дх) + ^(Т - Тд) - (р8 - в 8)р - У 8Рд дх +й(у 8- уд)2 - (в 8- вд )о ]

дф

(23)

У 2 Уд

Ез — вз + Ед — вд + — .

Проведя анализ инвариантности относительно преобразования Галилея уравнений сохранения кинетической энергии частиц (20) и газа (21) соответственно, видим, что в новой системе координат не появляются дополнительные члены, зависящие от скорости движения системы координат. Следовательно, уравнение сохранения кинетической энергии частиц и уравнение сохранения кинетической энергии газа являются инвариантными относительно преобразования Галилея.

Анализ инвариантности относительно преобразования Галилея уравнений сохранения полной частиц (22) и газа (23) соответственно показывает, что эти уравнения являются инвариантными относительно преобразования Галилея.

2

2

Получим уравнение сохранения полной энергии смеси конденсированной и газовой фаз. С этой целью просуммируем левые и правые части уравнений сохранения полной энергии конденсированной (22) и газовой фаз (23) соответственно. В результате получаем уравнение сохранения полной энергии смеси конденсированной и газовой фаз в виде

ф8р8

дЕ8 дЕ8

+ У 8

ді

дх

+ фя рд

1 /, дТ8\ д л д1'„\ ж г, . 1. .

+аХГ8 Их) + 1ХУкд 1ХП - 0] (в8 - вд) + 2(У8 - Удд

дЕд

ді

д

+ У я

дЕд

дх

= - Їх (ф8У8Р8 + фд Уд Рд ) +

(24)

дТд

Очевидно, что уравнение сохранения полной энергии смеси (конденсированной и газовой фаз) (24) инвариантно относительно преобразования Галилея в силу инвариантности относительно преобразования Галилея всех элементов, входящих в уравнение (24): уравнений сохранения внутренней энергии и уравнений сохранения кинетической энергии конденсированной и газовой фаз.

Вопросы, связанные с изучением процессов перехода горения унитарного топлива во взрыв, подробно исследовались Р.И. Нигматулиным с сотрудниками [10]. В этой работе приведена достаточно обширная библиография, посвященная данному вопросу. Сравним полученное уравнение сохранения полной энергии смеси (24) с уравнением сохранения полной энергии смеси, приведенным в работе [10], которое в принятых здесь обозначениях имеет следующий вид

2

1)8р8Е8 + Иф8р8У8 Е8 1 + Г 1фд р.зЕ.д + 1фд рд Уд Ед

д

= - ах (ф8У8Р8 + фд Уд Рд )• (25)

ді дх ді дх

Для этого приведем уравнение (24) к дивергентному виду. В результате получим следующее уравнение

дф8р8Е8 - їі

+

8 р8 У8 Е8

дх

+

дфд р8Ед + дфд рд Уд Ед

ді

дх

дТ8

= -1 (ф Ур + фд уд рд) +

Следуя работе [10], полагаем равенство давленией конденсированной и газовой фаз, а также пренебрегая переносом тепла в фазах за счет молекулярной теплопроводности, получим

1ф 8 р 8 Е 8 - їі

+

+

дфд р8Ед + 1фд Рд Уд Ед

ді

дх

Ц8р8 У8Е8 дх д

= - 1Х (ф8у8Р8 + фяУяРд) - о](у2д - у8уд)

(26)

Полученное уравнение отличается от уравнения сохранения полной энергии смеси работы [10] тем, что в уравнении (26) появился дополнительный член -ОЗУ - УзУд)■

Заключение

1. Проведенный в работе анализ инвариантности законов сохранения (1) - (7) относительно преобразования Галилея показал, что уравнения неразрывности частиц и газа (1) и (2), уравнения сохранения импульса частиц и газа (3) и (4), уравнения сохранения удельной внутренней энергии частиц и газа - (5) и (6), уравнение сохранения объемной доли конденсированной фазы - (7) являются инвариантными относительно преобразования Галилея.

2. Анализ инвариантности относительно преобразования Галилея уравнений сохранения кинетической и полной энергии частиц и газа показал, что данные уравнения также являются инвариантными относительно преобразования Галилея.

3. Различие между уравнениями сохранения полной энергии смеси, приведенными в работах [9, 10], требует дополнительного анализа процессов взаимодействия между фазами при изучении процессов, связанных с течениями газовзвесей, претерпевающих химические и фазовые превращения.

Авторы выражают свою благодарность профессору В.Ф. Куропатенко за полезные обсуждения и интерес к работе.

Работа выполнена при поддержке РФФИ грант, №>13 - 01 - 00072.

Литература

1. Гришин, А.М. Экспериментальное исследование воздействия взрыва конденсированных ВВ на фронт верхового лесного пожара / А.М. Гришин, Ю.М. Ковалев // Доклады Академии наук. - 1989. - Т. 308, № 5. - С. 1074-1078.

2. Гришин, А.М. Экспериментальное и теоретическое исследование взаимодействия взрыва на фронт верхового лесного пожара / А.М. Гришин, Ю.М. Ковалев // Физика горения и взрыва. - 1989. - Т. 25, № 6. - С. 72-79.

3. Ковалев, Ю.М. Ослабление воздушных ударных волн системой решеток/ Ю.М Ковалев, А.Ю Черемохов // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Математическое моделирование физических процессов. - 1997. - Вып. 3. - С. 39-43.

4. Нигматулин, Р.И. Основы механики гетерогенных сред /Р.И. Нигматулин. - М.: Наука, 1978. - 336 с.

5. Куропатенко, В.Ф. Новые модели механики сплошных сред / В.Ф. Куропатенко // Инженерно-физический журнал. - 2011. - Т. 84, № 1. - С. 74-92.

6. Рахматулин Х.А. Основы газодинамики взаимопроникающих движений сжимаемых сред / Х.А. Рахматулин // Прикладная математика и механика. - 1956. - Т. 20, вып. 27.

- С. 184-195.

7. Ковалев, Ю.М. Анализ инвариантности некоторыхматематических моделей многокомпонентных сред / Ю.М. Ковалев, В.Ф. Куропатенко // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математика. Механика. Физика. - 2012. - Вып. 6, № 11 (270). - С. 4-7.

8. Ковалев, Ю.М. Анализ инвариантности относительно преобразования Галилея некоторых моделей математических многокомпонентных сред / Ю.М. Ковалев, В.Ф. Куропатенко // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование.

- 2012. - № 27 (286), вып. 12. - С. 69-73.

9. Baer, М. F Two-Phase Mixture Theory for the Deflagration-to-Detonation Transition (DDT) in Reactive Granular Materials / M. F. Baer, J. Nunziato// Int. J. Multiphase Flow. - 1986.

- V. 12. - P. 861-889.

10. Нестационарные задачи горения аэровзвесей унитарного топлива / П.Б. Вайнштейн, Р.И. Нигматулин, В.В. Попов, Х.А. Рахматулин // Известия АН СССР, сер. механика жидкости и газа - 1981. - Вып. 3. - С. 39-43.

Юрий Михайлович Ковалев, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Вычислительная механика сплошных сред», Южно-Уральский государственный университет (г. Челябинск, Российская Федерация), yum_kov@mail.ru.

Елена Адамовна Ковалева, кандидат педагогических наук, доцент, кафедра «Математические методы в экономике:», Челябинский государственный университет (г. Челябинск, Российская Федерация), ea_kov@mail.ru.

Поступила в редакцию 25 декабря 2013 г.

Bulletin of the South Ural State University. Series "Mathematical Modelling, Programming & Computer Software",

2014, vol. 7, no. 2, pp. 29-37.

MSC 76N15 DOI: 10.1152!) mmpl 10202

A Mathematical Study of the Conservation Equation for Two-Phase Mixtures

Yu..M. Kovalev, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation, yum_kov@mail.ru,

E.A. Kovaleva, Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russian Federation, ea_kov@mail.ru

We study the invariance under the Galilean transformations of the Baer - Nunziato equations for interpenetrating interacting flows which describe the transition from combustion to explosion in two-phase mixtures. We show that the original Baer - Nunziato model is invariant. In addition, we establish the invariance of the kinetic and total energy equations for the components and mixture. But the conservation equations for the total energy of the mixture in the Baer - Nunziato model and in the model of Nigmatulin’s group have different behavior. Thus, additional study is required to choose the model describing more adequately the transition from combustion to explosion in two-phase mixtures.

Keywords: mathematical model; invariance; multicomponent mixture.

References

1. Grishin A.M., Kovalev Yu.M. [Experimental Study on the Impact of the Explosion of Condensed Explosives on the Front Crown Forest FireJ. Doklady Akademii Nauk, 1989, vol. 308, no. 5, pp. 1074-1078. (in Russian)

2. Grishin A.M., Kovalev Yu.M. [Experimental and Theoretical Study of the Interaction of the Explosion on the Front Crown Forest FireJ. Combustion, Explosion, and Shock Waves, 1989, vol. 25, issue 6, pp. 724-730. DOI: 10.1007/BF00758739

3. Kovalev Yu.M., Cheremokhov A.Yu. [The Weakening of the System of Air Shock Wave

Gratings]. Voprosy atomnoy nauki i tekhniki. Seriya: Matematicheskoe modelirovanie

fizicheskikh protzessov [Problems of Atomic Science and Technology. Series: Mathematical Modelling of Physical Processes], 1997, no. 3, pp. 39-43. (in Russian)

4. Nigmatulin R.I. Osnovy mekhaniki geterogennykh sred [Fundamentals of Mechanics of Heterogeneous Media]. Moscow, Nauka, 1978. 336 p.

5. Kuropatenko V.F. [New Models of Continuum Mechanics]. [Novie modeli mechanici sploshnikhsred]. Journal Engineering Physics and Thermophysics , 2011, vol. 84, no. 1, pp. 74-92. (in Russian) DOI: 10.1007/sl0891-011-0457-0

6. Rakhmatulin K.A. [Fundamentals of gas dynamics of interpenetrating motions of compressible media]. Prikladnaya matematika i mekhanika [Journal of Applied Mathematics and Mechanics], 1956, vol. 20, no. 27, pp. 184-195. (in Russian)

7. Kovalev Yu.M., Kuropatenko V.F. Analysis of the Invariance of Some Mathematical Models of Multi-Media. Bulletin of the South Ural State University. Series "Mathematics, Mechanics, Physics", 2012, no. 11 (270), pp. 4-7. (in Russian)

8. Kovalev Yu.M., Kuropatenko V.F. Analysis of the Invariance Under the Galilean Transformation of Some Mathematical Models of Multi-Media. Bulletin of the South Ural State University. Series "Mathematical Modelling, Programming & Computer Software", 2012, no. 27 (286), issue 12, pp. 69-73. (in Russian)

9. Baer M.F, Nunziato J. Two-Phase Mixture Theory for the Deflagration-to-Detonation Transition (DDT) in Reactive Granular Materials. Int. ,J. Multiphase Flow, 1986, vol. 12, pp. 861-889. DOI: 10.1016/0301-9322(86)90033-9

10. Vaynshteyn P.B., Nigmatulin R.I., Popov V.V., Rakhmatulin H.A. Nonstationary Problems of the Combustion of Aerosuspensions in Fuel that Contains the Oxidant. Fluid Dynamics, 1981, vol. 16, no. 1, pp. 14-19. DOI: 10.1007/BF01094807

Received December 25, 2013