CC BY
32
УДК 533.6.011.51 + 533.6.011.72 + 532.529.5
АНАЛИЗ ВОЗМОЖНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ СРЕД*
Ю.М. Ковалев, Е.А. Ковалева
Рассмотрена возможность применения методов вычислений, использующих уравнение полной энергии, для численного исследования распространения ударных волн в гетерогенных двухфазных средах. С этой целью был проведен анализ инвариантности относительно преобразования Галилея уравнений сохранения, описывающих течения в аэровзвесях. Показано, что уравнение полной энергии смеси не является инвариантным относительно преобразования Галилея. Это значит, что численные методы, опирающиеся на решение уравнения сохранения полной энергии (например, «метод крупных частиц»), не могут быть применены в настоящее время при решении задач, связанных расчетами течений аэровзвесей. Результаты расчетов течений аэровзвесей, проведенные данными методами, не могут быть признаны достоверными.
Ключевые слова: численный метод, математическая модель, гетерогенная среда, законы сохранения, инвариантность.
Введение
В связи с развитием современной вычислительной техники резко возросла роль математического моделирования физических процессов, используемых в науке и технике. Более того, есть такие проблемы, когда математическое моделирование является единственным средством предварительного изучения явлений. Поэтому с особой остротой встает проблема адекватности математических моделей тем физическим процессам, которые они пытаются описывать. В природе практически нет чистых веществ, поэтому активно развиваются математические модели многокомпонентных сред [1]. Для верификации расчетов, с одной стороны, используют известные экспериментальные данные, а с другой стороны, при анализе проведенных измерений используют математические модели. Очень важно, чтобы условия проведения расчетов и экспериментов совпадали, а математическая модель была адекватна изучаемому физическому процессу.
Перспективное использование взрывных процессов в ряде отраслей современной техники тесно связано с решением вопросов обеспечения мер безопасности, защиты инженерных сооружений и технологического оборудования от действия ударных волн (УВ). В связи с этим важное прикладное значение представляет изучение проблемы локализации механических эффектов взрыва и ослабление УВ.
В настоящее время на практике ослабление УВ в газе осуществляется путем применения различных экранирующих систем в виде сплошных, перфорированных и разрушающихся перемычек. Один из основных недостатков сплошных и перфорированных перемычек состоит в их весьма большой материалоемкости и соответственно большой величине объемного содержания а твердого конденсированного вещества (а ~ 1^0,1). Указанный недостаток в меньшей степени относится к перемычкам, разрушающимся при взаимодействии с УВ и образующим экранирующие слои или завесы из пены или аэровзвесей.
В последних работах, посвященных исследованию закономерностей ослабления УВ слоями аэровзвесей, для снижения давлений и импульсов УВ предлагается и обсуждается использование «каркасных систем», представляющих собой систему мелкоячеистых решеток.
В настоящей статье на примере анализа математической модели аэровзвеси [2] на инвариантность относительно преобразования Галилея [3] оценим правомерность применения метода крупных частиц при решении данных задач.
Работа выполнена при поддержке РФФИ грант № 13-01-00072.
1. Постановка задачи и математическая модель
Рассмотрим математическую модель течения газа с твердыми частицами (аэровзвесь), которая описывается системой уравнений [2], и оценим адекватность результатов, полученных в эксперименте и в расчетах, проведенных методом крупных частиц.
Система уравнений движения аэровзвеси [2] имеет следующий вид:
^ + J ; (1)
дх
; (2)
дх
^ + ^2 = 0; (3)
дх
^РЛ+М + а, * = -/ + Jv2; (4)
дх дх 1 дх 2
ФЛ+Фй[+3 Ф =
дх дх 2 2 дх 2
дР2е2 + дР2е2У2 = | Ц Т2 <Тз . (6)
дх дх 1- *^^2, т2 ^ Т ’
5(р,Е, +р2 Е2) дг д{ +дх[р1У1Е1 +Р2у2 Е2 + (а1У1 + а2У2 ) Р ] = 0; (7)
е1 = Ср (Т1 - То ) - ~Рг; Р1 (8)
е2 = С2 (Т2 - Т0 ) + Q -~Р ; Р2 (9)
р = Р1К1Т1 • Г о ? 1-РР1 (10)
Р1 = Р1а1; (11)
Р2 = Р2а2; (12)
1 Р2 = const; (13)
ц = пжй А^и (Т1 - Т2 ); (14)
/ = п%й2Р1Сй (у - У2) у - у^8 ; (15)
V2 Е, = е + -^-. г г 2 (16)
Здесь индексы 1, 2 относятся соответственно к газу и частицам; рг- , а, (, = 1, 2) - истинные плотности и объемные содержания фаз; Р,, V,, Т, е1, Е, - средние плотности, скорости, температуры, внутренние и полные энергии фаз; Q - теплота химической реакции при Т = Т0), р = Ро. р - давление; п - число частиц в единице объема смеси; р - ковольюм; Ср и С2 - теплоемкости
фаз; Я1 - теплопроводность газовой фазы; R1 - газовая постоянная; С и № - коэффициент трения и число Нуссельта, определяемые числами Рейнольдса ^е) и Прандтля (Рг) относительного движения; й - диаметр частиц; и5 и ф - эмпирические константы, характеризующие скорость горения топлива. Уравнения (1)-(3) - уравнения неразрывности газа и частиц и уравнение сохранения числа частиц в единице объема смеси; (4)-(5) - уравнения импульса газа и частиц; (6)-(9) - уравнения энергии частиц и смеси в целом; (10)-(14) - уравнения состояния; (15) -уравнения, определяющие члены массового (^), теплового (ц) и силового / взаимодействия между фазами.
2. Анализ инвариантности относительно преобразования Галилея уравнений движения аэровзвесей
Запишем исходную систему уравнений в новой системе координат, движущейся с постоянной скоростью D. Скорости в новой системе координат будут равны:
у1н = V + D; (17)
У2н = У2 + В . (18)
Координата будет определяться из уравнения
хн = х + Бі. (19)
Производные:
_^=_^ дх дх„
(20)
н
-1 = 1-1 + ді і І ді
дхн /
Б. (21)
Таким образом, уравнение (1) с учетом (16)-(20) принимает вид:
дР1 + дР1 Б + дР1 (У1н - Б) = J
ді дхн дхн ?
или
дР1 + дР1 Б + дРЛн дР1Б = J ді дхн дхн дхн
Получаем
+дР!^!н-J. (22)
ді дхн
Аналогично, уравнения (2) и (3) с учетом (16)-(20) принимают вид:
Фі+ФЛн ^ (23)
ді дхн
^^^V!L- 0. (24)
ді дхн
Запишем уравнение (4) в новой системе координат:
дР1(^1н -Б) , дР1(^1н -Б)Б , дР1(^1н -Б)2 +а др_ = -
ді дхн дхн 1 дхн ’
или
дРЛн дР1Б + дР^1нБ дР1Б2 + дР1Ун -2 дР^1нБ + дР1Б +а _др = - / ді ді дхн дхн дхн дхн дхн 1 дхн
Г1 Г1 Г1 Г1 Г1 Г1
Используя (22), получаем
£- = -/ + ■*„. (25)
ді дхн дхн
Аналогично получается уравнение (5) с учетом (21):
З^ + ЗШЦа, £■ = /-Л*,. (26)
ді дхн 2 дхн
Рассмотрим уравнение (6):
дР2Є2 + ^2^2 Б , дР2Є2 (У>н - Б) =| Я, Т2 < Тз
ді дхн дхн I-^ Т2 > Тз ’
или
дР2Є2 , дР2Є2 Б , дР2Є2У2н дР2Є2Б ={ Я, Т2 < Т
ді дх„ дх„ дх„ [- Je2, Т2 > Т
н н н
Откуда получаем
дР2е2 + _дР2е2^н _ [ Я Т2 <Т
і
х
(27)
Рассмотрим уравнение энергии (7), учитывая (16),
( ( Р1
V V
е1 +
( у1н - Б )
2 Л
+ Р2
( I П\2 11
(^2н - Б)
е2 + ~
2
/у
д +— дх
Р1 (У1н - Б)
ді
Г (у1н - Б)2 1
е1 +■
2
+ Р2 (у2н - Б)
+ -
е2 +
(
Р1
V V
е1 +
К - Б)
2
+ Р2
( , пч2 11
(^2н - Б)
е2 +'
2
/У
дх„
(У2н - Б)
2
+ (а1 (^1н - Б) + а2 (^2н - Б)) Р
Б +
= 0.
Раскрывая скобки, получаем
дРе + дР1 (У1н - Б)2 + дР2Є2 + дР2 (^2н - Б)2 +др1Є1Б + дР1Б (У1н - Б)2 +
ді
2ді
ді
2ді
дх„
дх„
+ дР2Є2Б + дР2Б (У>н - Б)2 + Ф^н + (ун - Б)2 _ д^Б
дх„
дх„
дх„
2дх„
дх„
дР1Б (^1н - Б)2 , Ф2Є2У2н , дР2^2н (^2н - Б)2 Ф2Є2Б
+ .-'^^2н + ^І_2
2дх„ дх„ 2дх„
2 2 дх„
дР2Б (^2н - Б) + да1Р (У1н - Б) + да 2Р (^2н - Б) = 0
2дх„
дх„
дх„
После алгебраических преобразований получаем
дР1
е1 +
дР2
е2 +
ді
+
ді
+
- Б
2
^ФЛн . дРЛн . а дР 1 Б (дР2^2н . дР2^2н . 3 а дРЛ
---------1---------г ОС1----------------------- —Б-1-------------------1-ОС9-
V ді дхн дхн ) I ді дхн 2 дхн у
Б2 ( дР1 , дР1У1н ^ + Б2 ( дР2 , дР2^2н^
• +
ді дх,
н
2
• +
ді дх,
н
+
(
Б дР
дРЛ
1н
е1 +
(
дР 2 ^2н
е2 +
2 1 *2н
2 дх„
+
дх„
+
дх„
+
дУ1н дУ2н
а—— + а 2н
дх„
дх„
Р +
, дР1Б (У1н - Б) , дР2Б (^2н - Б) = 0
2дхн 2дхн
Согласно (22) и (23) сумма третьего и четвертого слагаемых обращается в ноль, а пятое и шестое слагаемые согласно (25) и (26) будут равны (Б/ - DJv2н) и (-Б/ + Б/у2н). В результате получим
(Р1 ^д/1 Р2 2н ) + дх 1-Р1У1н Е1н +Р2у2н Е2н +(а1у1 +а2У2 ) Р ] +
Б дР дР1Б (^ - Б)2 дР2Б (У2н - Б)
2 дх„
+
2дх„
+
2дх„
=0.
(28)
Заключение
1. Анализ инвариантности законов сохранения аэровзвесей [2] относительно преобразования Галилея при переходе в подвижную систему координат уравнения неразрывности газа и частиц
д
д
2
2
2
2
2
2
2
2
(22) и (23), уравнение сохранения числа частиц в единице объема смеси - (24) и уравнения движения аэровзвесей (25) и (26) являются инвариантными относительно преобразования Галилея.
2. Уравнение полной энергии смеси в новой системе координат принимает вид (28), в нем появляются дополнительные слагаемые, что говорит о нарушении инвариантности относительно преобразований Галилея.
3. Применение метода «крупных частиц» является не правомерным для расчета течений аэровзвесей [2], так как использует неинвариантное относительно преобразований Галилея уравнение полной энергии смеси, а результаты расчетов не могут быть признаны достоверными.
Авторы выражают свою благодарность профессору В.Ф. Куропатенко за полезные обсуждения и интерес к работе.
Литература
1. Куропатенко, В.Ф. Новые модели механики сплошных сред /В.Ф. Куропатенко //ИФЖ. -2011.- Т. 84, № 1.- С. 74-92.
2. Нестационарные задачи горения аэровзвесей унитарного топлива / П.Б. Вайнштейн, Р.И. Нигматулин, В.В. Попов, Х.А. Рахматулин //Известия АН СССР, сер. «Механика жидкости и газа». - 1981. - Вып. 3. - С. 39-43.
3. Ковалев, Ю.М. Анализ инвариантности относительно преобразования Галилея некоторых моделей математических многокомпонентных сред /Ю.М. Ковалев, В.Ф. Куропатенко //Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер. «Математическое моделирование и программирование». - 2012. -Вып. 13, № 27 (286). - С. 69-73.
Ковалев Юрий Михайлович, д-р физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой вычислительной механики сплошных сред, Южно-Уральский государственный университет (г. Челябинск); yum_kov@mai1.ru.
Ковалева Елена Адамовна, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры математических методов в экономике, Челябинский государственный университет (г. Челябинск); ea_kov@mai1.ru.
Bulletin of the South Ural State University Series “Computer Technologies, Automatic Control, Radio Electronics”
2014, vol. 14, no. 1, pp. 57-62
THE ANALYSIS OF SOME NUMERICAL METHODS APPLICATION FOR THE SOLUTION OF MULTICOMPONENT MEDIA MECHANICS TASKS
Yu.M. Kovalev, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation, yum_kov@mail. ru,
E.A. Kovaleva, Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russian Federation, ea_kov@mail.ru
This paper analyzes the possibility of using computational methods using the total energy equation, a numerical study of shock wave propagation in heterogeneous two-phase media. To this end, an analysis of invariance under a Galilean transformation of the conservation equations describing flow in aerosuspension was held. This means that the numerical methods based on the solution of the equation of conservation of total energy (for example, “the method of large particles”) can not be applied at present in solving problems related to flow computations for Air-Suspensions. The results of calculations of Air-Suspensions conducted by these methods can not be considered reliable.
Keywords: numerical method, mathematical model, heterogeneous medium, conservation laws, invariance.
References
1. Kuropatenko V.F. New Models of Continuum Mechanics [Novie modeli mechaniki sploshnykh sred]. Inzhenerno-fizicheskii Zhurnal [Engineering and Physical Magazine], 2011, vol. 84, no 1, pp.74-92.
2. Vaynshteyn P.B., Nigmatulin R.I., Popov V.V., Rakhmatulin H.A. Unsteady Problems of the Monopropellant Combustion in Air [Nestatsionarnyi zadachi gorenia gazovzvesi unitarnogo topliva] Izvestiya academii nauk SSSR, seriya mekhanica zhidkosti i gaza [News of Sciences Academy of the USSR, Series mechanics of liquid and gas], 1981, no. 3, pp. 39-43.
3. Kovalev Yu.M., Kuropatenko V.F. Analysis of the Invariance under the Galilean Transformation of some Mathematical Models of Multi-media [Analiz invariantnosti otnositel'no preobrazovaniya Gali-leya nekotorykh modeley matematicheskikh mnogokomponentnykh sred] Bulletin of the South-Ural State University. Series “Mathematical Modeling and Programming”, 2012, iss. 13, no. 27 (286), pp. 69-73. (in Russian)
Поступила в редакцию 9 декабря 2013 г.
