CC BY
51РАДИОЛОКАЦИЯ
DOI: 10.17725/rensit.2021.13.245
Математические основы фрактально-скейлингового метода
в статистической радиофизике и приложениях
Потапов А. А.
Институт радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова Российской академии наук, http://cplire.ru/ Москва, 125009, Российская Федерация
Джинанский университет, Совместная китайско-российская лаборатория информационных технологий и фрактальной обработки сигналов, https://english.jnu.edu.cn/ Гуанчжоу 510632, Китай E-mail: potapov@cplire.ru
Поступила 04.05.2021,рецензирована 24.05.2021, принята 31.05.2021
Аннотация: Изложена система основных математических понятий и построений, лежащих в основе разработанного автором современного глобального фрактально-скейлингового метода. Представлен обзор основных результатов по созданию новых информационных технологий на основе текстур, фракталов (мультифракталов), дробных операторов, эффектов скейлинга и методов нелинейной динамики, полученных автором с учениками за более чем 40 лет (с 1979 года по настоящее время) в ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН. Показано, что впервые в мире были предложены, а затем и эффективно применены для задач радиофизики и радиоэлектроники новые размерностные и топологические (а не энергетические!) признаки или инварианты, которые объединены под обобщенным понятием «топология выборки» ~ «фрактальная сигнатура». Автором открыт, предложен и обоснован новый вид и новый метод современной радиолокации, а именно, фрактально-скейлинговая или масштабно-инвариантная радиолокация. Необходимо отметить, что фрактальные радары являются по сути необходимым промежуточным этапом на пути перехода к когнитивному радару и квантовому радару.
Ключевые слова: фрактал, скейлинг, дробный оператор, текстура, немарковский случайный процесс, сигнатура, нелинейная динамика, радиофизика, радиолокация
УДК 510.22: 517.2: 519.24: 537.86 + 621.396.96
Для цитирования: Потапов А.А. Математические основы фрактально-скейлингового метода в статистической радиофизике и приложениях. РЭНСИТ, 2021, 13(3)245-296. DOI: 10.17725/rensit.2021.13.245.
Mathematical Foundations of the Fractal Scaling Method in Statistical Radiophysics and Applications
Alexander A. Potapov
Kotelnikov Institute of Radioengineering and Electronics of Russian Academy of Sciences, http://cplire.ru/ Moscow 125009, Russian Federation
Jinan University, Sino-Russian Laboratory of Information Technologies and fractal signal processing,
https://english.jnu.edu.cn/
Guangzhou 510632, China
E-mail: potapov@cplire.ru
Received May 04, 2021, peer-reviewed May 24, 2021, accepted May 31, 2021
Abstract: The system of basic mathematical concepts and constructions underlying the modern global fractal-scaling method developed by the author is presented. An overview of the main results on the creation of new information technologies based on textures, fractals (multifractals), fractional operators, scaling effects and nonlinear dynamics methods obtained by the author and his students for more than 40 years (from 1979 to the present) at the Kotelnikov IRE of RAS. It is shown that, for the first time in the world, new dimensional and topological (and not energy!)
246 ПОТАПОВ А.А.
РАДИОЛОКАЦИЯ
features or invariants were proposed and then effectively applied for problems in radio physics and radio electronics, which are combined under the generalized concept of "sample topology" ~ "fractal signature". The author discovered, proposed and substantiated a new type and new method of modern radar, namely, fractal-scaling or scale-invariant radar. It should be noted that fractal radars are, in fact, a necessary intermediate stage on the path of transition to cognitive radar and quantum radar.
Keywords: fractal, scaling, fractional operator, texture, non-Markov random process, signature, nonlinear dynamics, radiophysics, radar UDC 510.22: 517.2: 519.24: 537.86 + 621.396.96
For citation: Alexander A. Potapov. Mathematical Foundations of the Fractal Scaling Method in Statistical Radiophysics and Applications. RENSIT, 2021, 13(3):245-296. DOI: 10.17725/rensit.2021.13.245._
содержание
1. Введение (246)
2. теоретические аспекты метода (247)
2.1. Основы теории дробной меры и нецелой размерности (247)
2.2. Однородные функции и скейлинг (250)
2.3. Вероятностные степенные законы и негауссовская статистика (251)
2.4. Дробные интегропроизводные (252)
2.5. функция Оокса (256)
2.6. Исторический обзор о недифференцируемых функциях (257)
2.7. теорема Дини о функциях, не имеющих производных, и продолжение обзора (258)
2.8. множество недифференцируемых функций (259)
2.9. Стационарность и недифференцируемые функции (261)
2.10. примеры построения некоторых недифференцируемых функций (261)
2.11. Недифференцируемые функции и функциональные уравнения (264)
2.12. Недифференцируемые функции и хаотические отображения (265)
2.13. теоремы о построении фрактальных множеств (267)
2.14. Классические фрактальные кривые и множества (268)
2.15. методы синтеза фракталов и фрактальные множества на комплексной плоскости (272)
2.16. показатель херста случайных процессов (274)
2.17. функции фоКСА и процессы во фрактальных средах (275)
2.18. Волновое уравнение и фрактальные среды (277)
3. прикладные аспекты метода (277)
3.1. Современная физическая концепция на основе теории фракталов и дробных операторов (277)
3.2. фрактальные меры и сигнатуры (279)
3.3. текстурная и фрактальная обработка малоконтрастных изображений и сверхслабых сигналов в интенсивных негауссовских помехах и шума (280)
3.4. формальные фрактальные грамматики (281)
3.5. фрактальные обнаружители радиолокационных сигналов (282)
3.6. Адаптация фрактальных обнаружителей (283)
3.7. фрактально-скейлинговая или масштабно-инвариантная радиолокация (283)
3.8. Основные результаты (284)
4. заключение (289) Литература (290)
1. ВВЕДЕНИЕ
Термин «фрактал» в конце прошлого века воспринимался как экзотика. Несколько утрируя, можно сказать, что фракталы составляли тонкую амальгаму на мощном остове науки конца XX века. Положение коренным образом изменилось с применением фрактальных конструкций в технических приложениях к обработке стохастических сигналов и изображений, искусственном интеллекте, распространении и рассеянии радиоволн, электродинамике, конструировании антенных устройств, других электродинамических и радиотехнических структур, радиоэлементов с фрактальным импедансом и т.д. [17,42,45,57,58,62,73,79,82,83].
РАДИОЛОКАЦИЯ
В настоящее время можно уверенно говорить о проектировании полностью фрактальных радиосистем. При этом физики включили в свой арсенал новый математический аппарат, а математики обогатились новыми эвристическими соображениями и совместными постановками задач.
Цель данной работы — дать по возможности замкнутое изложение основных понятий и математической теории для проблем и приложений статистической радиофизики, использующей разработанные автором разнообразные подходы к синтезу глобального фрактально-скейлингового метода.
Проблема, вынесенная в название работы, начала изучаться впервые в мире автором более 40 лет назад в ИРЭ АН СССР в связи с выполнением цикла фундаментальных исследований, посвященных созданию новых прорывных радиофизических технологий для радиолокации. Основное, это обнаружение по одномерной (вероятностный статистический сигнал) и многомерной (стохастические оптические и радиолокационные изображения) выборке разнообразных малоконтрастных объектов на фоне интенсивных помех от поверхности Земли. Исследование проводится в рамках фундаментального научного направления «Фрактальная радиофизика и фрактальная радиоэлектроника: проектирование фрактальных радиосистем», инициированного и разрабатываемого автором в ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН с 1979 года по настоящее время [82,83].
Актуальность проведения данных
исследований связана с необходимостью более точного описания реальных процессов, происходящих в радиофизических и радиотехнических системах. Это прежде всего учет эредитарности, негауссовости и скейлинга (самоподобия, автомодельности) физических сигналов и полей. Все эти понятия входят в описание фрактальных множеств или фракталов, впервые предложенных в 1975 г. Б. Мандельбротом [115].
Текст, естественно, не претендует на полноту; подробные доказательства отсутствуют. Все используемые понятия вводятся по ходу изложения. Основное назначение
данной работы — познакомить читателя с созданными текстурными и фрактальными (мультифрактальными) методами, а также их применением в целом. Более подробные сведения и необходимые доказательства читатель найдет в авторских книгах и оригинальных работах по этой теме, указанных в конце данной работы. Хотя на подборе материала для обзора не могли не сказаться математические вкусы и интересы автора, он надеется, что наиболее фундаментальные понятия, имеющие принципиальный характер, отражены здесь достаточно полно.
2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ МЕТОДА
2.1. Основы ТЕОРИИ ДРОБНОЙ МЕРЫ и НЕЦЕЛОЙ РАЗМЕРНОСТИ
Основным свойством фракталов является нецелое значение их размерности. Развитие теории размерности началось с работ Пуанкаре, Лебега, Брауэра, Урысона и Менгера. В различных областях математики возникают множества в том или ином смысле пренебрежимо малые и неразличимые в смысле меры Лебега. Для различения таких множеств с патологически сложной топологической структурой необходимо привлекать нетрадиционные характеристики малости, например, емкость, потенциал, меры и размерность Хаусдорфа и т.п. Наиболее плодотворным оказалось применение дробной размерности Хаусдорфа, тесно связанной с понятиями энтропии, фракталами и странными аттракторами в теории динамических систем [2, 3,8,18,21,24,33,62,77,90,94,95,134].
Дробная размерность Хаусдорфа
определяется ^-мерной мерой с произвольным вещественным положительным числом р, которую ввел Хаусдорф в 1919 г. В общем случае понятие меры не связано ни с метрикой, ни с топологией. Однако мера Хаусдорфа может быть построена в произвольном метрическом пространстве на основе его метрики, а сама размерность Хаусдорфа связана с топологической размерностью. Понятия, введенные Хаусдорфом, основываются на конструкции Каратеодори (1914 г.) [77,105]. Пусть (М,р) - метрическое пространство, ¥ — семейство подмножеств пространства М и у— такая функция на ¥, что
248 ПОТАПОВ А.А.
РАДИОЛОКАЦИЯ
0 < fG) < ^ при Се F и f0) = 0. Построим
z
вспомогательные меры mf, а затем основную меру Л^ следующим образом. При E с M и в > 0 значение mf определяется как точная нижняя грань множества чисел
mf=inf Z f (G) (i)
i
по всевозможным счётным в-покрытиям {G }, G е F.
Из неравенства mZf (E) > mf (E) для в2 > в1 следует существование предела
Л(E) = lim msf (E) = sup msf (E). (2)
f—0+ J J
Ясно, что mf и Л(Е) — внешние меры на M. Пусть p(a,B) > f > 0. Рассмотрим произвольное в-покрытие {G } множества A U B, состоящее из некоторого числа множеств. Тогда семейство {A П G^} и {BП G^} не пересекаются и покрывают множества A и B соответственно, поэтому
mzf (A U B) > m2 (A) + mf (B) (3)
или
Лг (A U B) = ЛГ (A) + ЛГ (B). (4)
Класс Л^-измеримых множеств пространства M образуют о-кольцо, на котором внешняя мера Л^ регулярна. Меру Л^ также называют результатом применения конструкции Каратеодори к функции f а внешнюю меру mf — приближающей мерой порядка в. Мера Л довольно тонко отражает свойства функции f и семейства F, хотя обычно и не является продолжением f.
Укажем два простых утверждения, которые описывают поведение приближающих мер на убывающей последовательности С з С2 з ... компактных подмножеств пространства M. Если элементы семейства F являются открытыми подмножествами M, то
ад
lim mf (Gi) = mf (П C). (5)
i —>ад J
i =1
Если 0 < в0 < в иf(S) = inf{fT)}:T е F, S с IntT, d(T) < в для всех таких S е F, что d(S) < в
ад
lim mf (Gi) < mf (П C ), (6)
i—ад J
i =1
где d — диаметр множеств, Int — множество всех внутренних точек множества T.
Пусть X — ограниченное компактное метрическое пространство, F — семейство всех непустых компактных множеств из X, функция f F ^ [0, +®] непрерывных относительно
метрики Хаусдорфа и f(C) > 0 для всех таких C е F, что d(C) > 0. Если Лх с Л2 с Л3 с ... образуют возрастающую последовательность подмножеств пространства X, то
ад
lim m; (A) < m; (П Л). (7)
k=1
Определим ¿-меру Хаусдорфа. Пусть h(r) — непрерывная монотонно возрастающая функция от r (r > 0), для которой h(0) = 0. Класс таких функций обозначим через H. Применив конструкцию Каратеодори к функции fE) = h[d(E)] при E ф 0 иf(0) = 0 (здесь d(E) - диаметр множества E), получим Л^-меру Каратеодори, которую называют h-мерой Хаусдорфа. Если при этом h(r) = у(а)т®, где а — фиксированное положительное необязательно целое число, а у(а) — положительная константа, зависящая только от а, то h-меру Хаусдорфа называют а-мерной мерой или а-мерой Хаусдорфа H которая является борелевской регулярной мерой.
Конструкцию h-меры Хаусдорфа можно представить себе следующим образом. Покроем а произвольной последовательностью кругов Cv радиусом rv < в (в >0; v = 1,2,...) и обозначим через meh(a,h) > 0 нижнюю грань соответствующих
сумм X h(rv). Это число возрастает при убывании в. По определению
Лh (E) = lim m£h (a, h), (8)
следовательно
0 <Л„ (E) < +ад. (9)
Предел (8) является внешней h-мерой Хаусдорфа, которая на о-кольце Ah измеримых множеств пространства M является борелевской регулярной мерой. Выбирая в качестве h(r) различные функции, мы получаем: линейную меру h(r) = 2nr, плоскую меру h(r) = nr и логарифмическую меру h(r) = 1/lnr.
Из условия E с E2 следует jAh(E1) < Ah(E2), т.е. h-мера Хаусдорфа — монотонно возрастающая функция множества. С использованием h-меры размерность множества определяется следующим образом. Если 0 < Ah (Л) < да, то (fy называется метрической размерностью (размерностью Хаусдорфа) множества Л. Если h(r) = cf и 0 = Ah(A) < да, то размерность множества Л обозначается через (а^, здесь c — константа. Множества определенной размерности имеет для каждой внешней размерности h-меру, равную 0, для каждой низшей h-меру, равную да.
РАДИОЛОКАЦИЯ
Дальнейшим обобщением понятия размерности является размерность Хаусдорфа-Безиковича, которая вводится через неотрицательные числа а0 = а (E) в виде равенства а0(E) = sup{a : Ha(E) * 0} = inf{a : Ha (E) = 0} (10) для множества E. Размерность множества Хаусдорфа-Безиковича определяется поведением H (E) не как функции от E, а как функции от а.
Корректность определения (10) подтверждает следующее свойство H^-меры. Если H (E) < то H (E) = 0 для любого а2 >аг Если мера H (E) отлична от нуля, то H (E) = ® для любого положительного а < а2. Отсюда следует, что для множества E ^ M или H (E) = 0 для любого а > 0, тогда а0(Е) = 0 по определению или существует точка «перескока» а0, такая, что H (E) = для а < а0 и H E) = 0 для а > а0. Данное число а0 и есть размерность Хаусдорфа-Безиковича.
Если при определении H^-меры Хаусдорфа покрытия осуществляют шарами одинакового диаметра, то такую меру называют энтропийной. Тогда размерность (10) называют энтропийной или размерностью Колмогорова.
Для множеств положительной k-мерной меры Лебега обе размерности совпадают, и равны K. Размерность Хаусдорфа-Безиковича характеризует внешнее свойство множества. Поэтому целесообразно ввести понятие Хаусдорфа-Безиковича множества в точке, которая характеризовала бы его внутреннюю структуру.
В этом случае число
aE (x0) = Hma0(E П On (x0)) (11)
называют локальной размерностью Хаусдорфа-Безиковича множества E в точке x0. Здесь {On(x0)} — произвольная последовательность стягивающих окрестностей точки x0 е M.
Каждое ограниченное замкнутое множество E ж-мерного евклидова пространства содержит точку x0 е E, такую, что
aE (x0) = a(E). (12)
Функцию аЕ(х) называют функцией локальной размерности Хаусдорфа-Безиковича, если
0 <aE (x) < a0(E) for any x е M,
aE (x) = 0 if the set E is closed and x £ E, (13)
aE (x) = 0 for all isolated points of the set E.
Размерность Хаусдорфа-Безиковича
является метрическим понятием, но существует ее фундаментальная связь с топологической размерностью dimE, которую установили Л.С. Понтрягин и Л.Г. Шнирельман [18, с. 210], введя в 1932 г. понятие метрического порядка, а именно: нижняя грань размерности Хаусдорфа-Безиковича для всех метрик компакта E равна его топологической размерности: dimE < a(E). Один из широко используемых методов для оценки хаусдорфовой размерности множеств, известный как принцип распределения масс, предложил Фростман в 1935 г. [58,80].
Множества, размерность Хаусдорфа-Безиковича которых является дробным числом, называют фрактальными множествами или фракталами. Более строго, множество E называется фрактальным (фракталом) в широком смысле (в смысле Б. Мандельброта), если его топологическая размерность не совпадает с размерностью Хаусдорфа-Безиковича, а именно a (E) > dimE. Например, множество E всех иррациональных точек [0; 1] является фрактальным в широком смысле, так как a (E) = 1, dimE = 0. Множество E называется фрактальным (фракталом) в узком смысле, если a (E) не является целым. Фрактальное множество в узком смысле является таким и в широком смысле.
Как впервые было показано A.C. Безиковичем в 1929 г., существуют глубокие различия между лебеговскими множествами и фракталами. В первую очередь, эти особенности касаются плотностей. Геометрические свойства фрактального множества E определяются поведением функции
Ha( E П O( x,e))
D(x,e) =
(14)
Da( E, x) = limD( E, x),
e<0
для малых в, где x — произвольная точка множества E. Верхней а-плотностью множества E в точке x называется
~ (15)
соответственно нижняя а-плотность множества E в точке x записывается в виде Da( E, x) = lim D( x,e). (16)
e<0
Когда Da(E,x) = Da(E,x), то их общее значение называют а-плотностью множества E в точке x и обозначают D (E, x). Если в ^ 0+, то
ПОТАПОВ А.А.
РАДИОЛОКАЦИЯ
Ва{Е, х) и Оа(Е, х) называют правосторонней, при в —► 0— — левосторонней, при в — 0 — двусторонней верхней и нижней а-плотностью соответственно.
Можно отметить, что для почти всех (в смысле На-Хаусдорфа) точек а множества на прямой односторонняя верхняя (правая и левая) а-плотность равна единице, односторонняя нижняя а-плотность равна 0 (0 < а < 1). Для двухсторонних плотностей почти во всех точках а-множества на прямой двухсторонняя а-плотность не существует, т.е. верхняя а-плотность отличается от нижней. 2.2. Однородные функции и скейлинг Четыре последних десятилетия оказались периодом существенного прогресса в физике фракталов и их прикладных аспектов. Экспериментаторы и теоретики успешно используют понятие фрактальности в исследовании многочисленных физических явлений. При этом большое развитие получила также теория масштабных преобразований (теория самоподобия, скейлинг-теория). Наиболее полно это нашло отражение в проблеме фазовых переходов (см., например, [96,97]).
Фактически во всех естественных и искусственных динамических системах необходимо учитывать эффекты скейлинга, т.е. наличие множества различных пространственных и/или временных масштабов и всевозможные взаимодействия между ними. К обсуждению идей скейлинга полезно подходить с точки зрения однородных функций.
Как следует из [13], функция одного или нескольких переменных, удовлетворяющая условию, что при одновременном умножении всех аргументов функции ф(х, у, ..., и) на один и тот же произвольный множитель Х значение функции умножается на некоторую степень а этого множителя, называется однородной'. А(Хх, Ху, ..., Хи) = ХаА(х, у, ..., и), (17)
где а - порядок однородности, или измерение однородной функции.
Например, степенная функция у(/) = Ь? удовлетворяет соотношению однородности (17) или скейлингу.
№ = ад (18)
при всех положительных значениях масштабного множителя Х. Естественно, что степенная функция, как и многие другие функции, удовлетворяющие скейлинговому соотношению (18), не являются фрактальными кривыми. Однако многие виды фракталов (масштабно-инвариантные фракталы) обладают скейлинговой симметрией. Однородные функции обладают многими свойствами, делающими их весьма привлекательными для приближенного описания реальных процессов и объектов.
Различают: (1) — положительно однородные функции, для которых равенство (17) выполняется только для положительных Х (X > 0), и (2) — абсолютно однородные функции, для которых выполняется равенство:
/Хх) = |Х|"/Х) _ (19)
Из дифференциальных свойств однородных функций отметим лемму Эйлера:
"Однородные функции пропорциональны скалярному произведению своего градиента на вектор своих переменных с коэффициентом равным порядку однородности: х -V/(х) = а/(х)." (20)
В [13] введена специально нормированная степенная функция
Л(*) =-1-t > 0, (21)
^ ' Щ +1)
которая называется стандартной степенной функцией.
Эти функции самоподобные (у них нет характерного масштаба, что естественно приводит к концепции фракталов); они обладают полугрупповым свойством; в нулях гаммы-функции Г(Х + 1) они определены как обобщенные функции, выражающиеся через 8-функцию и ее производные 8(Х)(/); их трансформанты Лапласа также принадлежат семейству степенных функций с точностью до постоянного множителя; в отличие от экспоненциальных функций, обладающих свойством инвариантности с точностью до постоянного множителя, степенные функции таким свойством не обладают (отсюда, свойство памяти); к ним применимы тауберовы теоремы, позволяющие по поведению преобразования Лапласа в области нуля однозначно определить асимптотическое поведение таких функций при t — да (эти теоремы верны и при условии, когда нуль и бесконечность меняются местами).
РАДИОЛОКАЦИЯ
Однородные функции играют очень важную роль в описании термодинамики фазовых переходов, в описании статистических свойств перколяции [58,89], в турбулентности [56,93], в современной ренормгрупповой теории критических явлений и т.п.
Очень часто, из единственной посылки универсальности флуктуирующих систем с помощью скейлинговых оценок можно сделать далеко идущие выводы. 2.3. Вероятностные степенные законы и негауссовская статистика
Среди объектов материального мира самоподобие, как сказано выше, очень широко представлено [6, 49,57,58,73,77,89,92,96,100,115]. Математическим выражением самоподобия являются степенные законы. Данным законам подчиняются как увеличивающиеся в размерах объекты, например, города, так и объекты, распадающиеся на отдельные фрагменты, например, камни. Единственное непременное условие выполнения степенного самоподобного закона: отсутствие у данного вида объектов внутреннего масштаба. Действительно, не бывает реальных городов с числом жителей меньше 1 или больше 109. Точно также размер камня не может быть меньше молекулы, или больше континента. Таким образом, если самоподобие и беспредельно, то только в ограниченных областях. Тот факт, что однородные степенные законы не имеют естественных внутренних масштабов обуславливает еще один феномен — скейлинг или масштабную инвариантность.
Можно сказать, что степенные законы с целочисленными или дробными показателями являются генераторами самоподобия. Как отмечено в [96, стр. 165]: "Самоподобию, в конце концов, все равно, целочисленный у нас показатель или нет. Нередко дробный показатель содержит важный ключ к решению запутанной головоломки".
В математике на основе степенных функций, как мы только что рассмотрели, построено дробное исчисление, введено понятие полюсов и создана теория вычетов, построена теория асимптотических разложений, введены устойчивые распределения. Проникновение дробного исчисления в физику резко ускорилось после установления его тесной связи с устойчивыми распределениями теории вероятностей.
Познавательная ценность теории
вероятностей раскрывается только предельными теоремами [14]. Интерес классических исследований сводился к выяснению условий сходимости функций распределений сумм независимых случайных величин к гауссовскому закону. Поэтому классическая теория вероятностей изучала лишь один предельный закон распределения — гауссовский. В теории вероятностей параллельно с завершением классической проблематики возник вопрос о том, какие законы, помимо гауссовских, могут быть предельными для сумм независимых случайных величин. Оказалось, что класс предельных законов далеко не исчерпывается гауссовским законом [14,20,88,91].
В основе современной теории вероятностей лежат предельные теоремы о сходимости распределений сумм независимых случайных величин к так называемым устойчивым распределениям: гауссовским или негауссовским. Первые опираются на центральную предельную теорему, а вторые (негауссовские) — на предельную теорему, доказанную Б.В. Гнеденко (1939 г.) и В. Дёблин (1940 г.) [6,14,20,91].
В этом случае предельная теорема накладывает ограничения на форму негауссовских распределений. А именно: для того, чтобы закон распределения Р(х) принадлежал области притяжения устойчивого закона с характеристическим показателем а (0 < а < 2), отличного от гауссовского, необходимо и достаточно, чтобы F (-х) е
^ — при X ^
да
1 - F (х) _ е2
для каждой постоянной к > 0 1 - F ( х) + F (-х)
^ ка при х ^ да,
(22)
(23)
1 - F (кх) + F (-кх)
где ^ > 0, с2 > 0, ^ + с2 > 0, 0 < а < 2.
Для доказательства (22) и (23) необходимо и достаточно, чтобы при некотором подборе постоянных В , выполнялись следующие условия [14, с. 189]: "
nF(Бпх)
(х < 0),
п[1 - F(BnX)] (х> 0),
ха
(24)
ИшИшп^ [ х2dF(Бпх) -
£^0 П^да | У
| хdF (Бпх)
= 0.
ПОТАПОВ А.А.
РАДИОЛОКАЦИЯ
Чем меньше величина а, тем длиннее хвост распределения и тем более оно отличается от гауссовского. При 1 < а < 2 устойчивые законы имеют математическое ожидание; при 0 < а < 1 устойчивые законы не имеют ни дисперсий, ни математических ожиданий. Условиями (22)-(24) определяется так называемая негауссовская статистика.
Общая теория устойчивых распределений сравнительно мало известна специалистам-прикладникам в силу ее сложности и, как считалось ранее, ее чисто математическим характером. По определению распределение считается устойчивым, если композиция двух таких распределений приводит к распределению того же типа. Это свойство может быть рассмотрено как своего рода самоподобие. Сложность их использования состоит также в том, что они, как правило, выражаются не в явном виде, а лишь через характеристические функции.
Механизм формирования негауссовских законов не имеет пока однозначного решения. Наиболее распространены следующие гипотезы [58,73]: "принцип наименьших усилий" — для закона Ципфа, "компромиссные" структуры — для закона Брэдфорда, взаимодействие двух противодействующих процессов (нарастание и ограничение) и "термодинамический" или вариационный подход — для закона Ципфа- — Парето. (Отметим, что первые работы по связи закона Ципфа-Парето в лингвистике и экономике с устойчивыми негауссовскими распределениями принадлежат Б. Мандельброту).
Устойчивые законы играют ту же роль в суммировании независимых случайных величин с бесконечными дисперсиями, что и обычный гауссовский закон при конечных дисперсиях. Общесистемный универсальный характер таких негауссовских законов был установлен, прежде всего, в социальных и информационных сложных системах и связан с человеческим поведением. Так как сложные системы облают структурой, то анализ таких систем должен учитывать оба аспекта: случайность разброса переменных и детерминизм структур соответствующих образований.
2.4. Дробные интегропроизводные
Дробный математический анализ имеет давнюю историю и чрезвычайно богатое
содержание [40,86]. Идея об обобщении понятия дифференцирования йАХ)/
йХ на нецелые значения п возникла с самого зарождения дифференциального исчисления. В настоящее время фактически нет ни одной области классического анализа, которой не коснулся бы дробный анализ. Математический язык операторов дробного интегродифференцирования незаменим
для описания и исследования физических фрактальных систем, процессов стохастического переноса (разнообразные релаксационные и диффузионные процессы). Предпринимаются активные попытки объяснить степенные зависимости с дробным показателем (т.е. фрактального вида) решениями уравнений в дробных производных. Работы в этом направлении сдерживаются, по-видимому, только экзотичностью и отсутствием ясной физической трактовки дробных производных и дробных интегралов. Аппарат дробных производных и интегралов используется в физике, механике, химии, гидрологии, теории гравитации и т.д. (см. например [4,9,10,19,30,31,35,38,40,57,58,79,80,83,86,88,100103,111,114,117-122,135,136]). Данная многочисленная ссылка сделана автором специально, чтобы показать, что приложения данного математического аппарата слишком многочисленны, чтобы все их перечислить.
Настало время применить аппарат дробных производных и интегралов к проблемам фрактальной радиофизики и фрактальной радиолокации [52,57,58,62,82,83]. Для этого сначала рассмотрим некоторые основополагающие вопросы дробного исчисления, необходимые для дальнейшего использования.
Краткие исторические сведения. Интерес к дробному математическому анализу возник почти одновременно с появлением классического анализа (еще Г.Лейбниц упоминал об этом в письмах к Г. Лопиталю в 1695 г. при рассмотрении дифференциалов и производных порядка Уг). Вероятно, самое раннее более или менее систематическое исследование этого вопроса относится к 19 в. и принадлежит Н. Абелю (1823 г.), Ж. Лиувиллю (1832 г.), Б. Риману (1847 г.) и
РАДИОЛОКАЦИЯ
Х. Хольмгрену (1864 г.), хотя ранее вклад внесли Л. Эйлер (1730 г.) и Ж. Лагранж (1772 г.).
Именно в своём цикле работ Ж. Лиувилль (1832-35 гг.), применяя разложение функций в степенные ряды, определял "^"-ю производную путем почленного дифференцирования. Он же, в частности, дал первые практические приложения созданной им теории к решению задач математической физики. Затем Б. Риман (1847 г.) предложил иное решение на основе определённого интеграла, пригодное к степенным рядам с нецелыми показателями. Данная работа, выполненная Риманом в студенческие годы, была опубликована лишь в 1876 г. (спустя 10 лет после его смерти). Конструкции Лиувилля и Римана являются основными формами дробного интегрирования. Развивая идею Лиувилля, А. Грюнвальд (1867 г.) ввел понятие дробной производной как предела разностных отношений.
Параллельно с теоретическими начинаниями разрабатывались приложения дробного анализа к решению различных задач. Одним из первых таких приложений явилось открытие Н. Абеля (1823 г.), показавшего, что решение задачи о таутохроне может быть получено путём интегрального преобразования, которое записывается как производная полуцелого порядка. Существует историческое заблуждение, что Абель решил задачу только при значении индекса, равном Уг. На самом деле, как отмечено в [86,136], Абель рассмотрел решение в общем случае, и его работы сыграли огромную роль в развитии идей дробного интегродифференцирования. Заслугой
Хольмгрена является рассмотрение дробного дифференцирования как операции, обратной интегрированию и приложение данных понятий к решению обыкновенных дифференциальных уравнений.
Следует особо выделить цикл работ чл.-корр. Петербургской Академии наук (1884 г.) А.В. Летникова (1837-88 гг.), который за время своей 20-летней научной деятельности разработал полную теорию дифференцирования с произвольным указателем (в настоящее время его работы преданы почти полному забвению) [25]. Работы А.В. Летникова остались почти неизвестными за рубежом. В рассматриваемый
период в России за работами А.В. Летникова последовали работы Н.Я. Сонина и П.А. Некрасова. С именами этих русских ученых также связано распространение формулы Коши для аналитических функций в комплексной плоскости на нецелые значения индекса интегродифференцирования.
Признавая важность работ упомянутых выше ученых, необходимо, однако отметить, что дробное исчисление стало строгой математической теорией, только начиная с работ А.В. Летникова [80].
В конце XIX в. вышла содержательная работа Ж.Адамара (1892 г.), в которой на основе разложения в ряд Тейлора было рассмотрено дробное дифференцирование аналитической в круге функции по радиусу, которое носит название подхода Адамара.
В первой половине XX в. заметный вклад, как в теорию, так и в практику дробного анализа внесли Г. Харди, Г. Вейль, М. Рисс, П. Монтель, А. Маршо, Д. Литтвуд, Я. Тамаркин, Э. Пост, С.Л. Соболев, А. Зигмунд, Б. Надь, А. Эрдейи, Х. Кобер, Ж. Коссар, и ряд других учёных. В 1915 г. Г. Харди и М. Рисс использовали дробное интегрирование для суммирования расходящихся рядов. В 1917 г. Г. Вейль определил дробное интегрирование для периодических функций в виде свертки с некоторой специальной функцией. Аналог неравенства С.Н. Бернштейна для дробных производных алгебраических многочленов на конечном отрезке дал в 1918 г. П. Монтень. В работе А. Маршо (1927 г.) была введена новая форма дробного дифференцирования, которая применима в случае функций с "плохим" поведением на бесконечности. Были введены в обиход дробные производные Маршо. В работах М. Рисса (1936, 1938, 1949 гг.) были получены операторы типа потенциала (потенциалы Рисса), позволившие определить дробное интегрирование функций многих переменных. Для некоторых интегральных операторов и интегральных уравнений очень полезными оказались дробные интегралы Эрдейи и Кобера (1940 г.) и т.д.
Специально для радиофизиков и радиоинженеров отметим тот факт, что операционное исчисление, разработанное О. Хевисайдом (1892, 1893, 1920 гг.), оказалось
ПОТАПОВ А.А.
РАДИОЛОКАЦИЯ
важным этапом в применении обобщенных производных. Именно О. Хевисайд (1920 г.) применил дробное дифференцирование в теории линий передач. После этого другие теоретики признали преимущества такого подхода и стали развивать его в соответствии с принятыми математическими концепциями (Н. Винер, Дж. Карсон (1926 г.)).
Уравнение Абеля. Понятие дробного интегрирования тесно связано с интегральным уравнением Абеля
1 х Г
/^л лI
ф(г)
— йг = /(х), х > а,
(25)
Г (а) { (х - О1
где 0 < а < 1; Г(а) — гамма-функция. Решение уравнения (25) имеет вид
1 й } /(г)
р( х) =
йг.
Г(1 -а) йх{ (х-г)а
Для уравнения Абеля вида
1 ь
-МЛ I
р(г)
, -—йг = /(х), х < к, Г(а) х (х - г) ^ л
имеется формула обращения
1 йЬ /(г)
р( х) =
й .
(26)
(27)
(28)
('<х)=га 1 р(г)
Г (а) а (х - г)1-а <( )
йг, х > а,
(30)
}р(х)('»(х) = ]>( х)(1ьа-р)( х)йх. (32)
а а
Дробное интегрирование обладает полугрупповым свойством:
с =С++, с=1ъ+рр, «> о,в > о. (33)
Дробное дифференцирование вводится, естественно, как операция, обратная дробному интегрированию. Поэтому дробная производная устанавливается с помощью дробного интегрирования и далее — обычного дифференцирования. Поэтому дробные производные Римана-Лиувилля порядка а при 0 < а < 1 имеют вид
(Ваа+/)( х) =
1
й } /(г)йг
Г(1 - а ) йх{ (х - г)а
(34)
1
й Ь /(г)йг
(35)
Г(1 - а ) йх{ (х - г)а
Методом математической индукции доказывается формула для ж-кратного интеграла вида
х х х 1 х
, йх, йх...,р( х)йх =-, (х - г)и-1р(/)йг. (29)
а а а (П - 1)! а
Заметив, что (ж — 1)! = Г(ж), правой части (29) можно придать смысл и при нецелых значениях п.
Дробные операторы Римана-Лиувилля и Маршо. Дробными интегралами Римана-Лиувилля дробного порядка (а > 0) являются
(Ва /)(х) = - ,
ь Г(1 - а) йх{ (г - х)а
С помощью этого определения видно,
что дробное дифференцирование является
нелокальным. Если дробные интегралы
определены для любого порядка (а > 0), то
дробные производные пока только для порядка
(0 < а < 1). Для больших порядков (а > 1) при их
целой - [а] и дробной - {а} (0 < {а} < 1) частях
числа а = [а] + {а} имеем
1 ( й ]"} /(г)йг
Ва / = -
a+J
Г(и - а) ^ йх ) а (х - г)
ва- /=-
(-1)и
й
/ ( г) йг
п = [а] +1, (36)
-, и = [а] + 1. (37)
('Ь+р)(х) = , р(г) йг, X < к, (31)
Г( а) х (х - г)1- а
Первый из них называют иногда левосторонним, а второй — правосторонним. Чаще всего имеют дело с левосторонним дробным интегрированием. Оператор 10+ в англоязычной литературе обозначается в виде аВх при замене в (30) знака а на противоположный, т.е. при а < 0.
Формула дробного интегрирования по частям имеет вид
Г (и - а ) ^ йх ) х (г - х) а
Если а — целое число, то под дробной производной порядка а понимается обычное дифференцирование
Ва+=(й1 , Ва-=(-, а = 1,2,3,... (38) ^ йх) ^ йх)
Иногда пользуются также обозначениями
Ва+/ = / = (С ), а > 0 понимая
под каждым из них производную (34) и (36).
Аналогично понимают и символы В^ / = 'ъа /.
В качестве примера рассмотрим степенные
функции ф(х) = (х — а)в-1 и ф(х) = (к — х)в-1,
Re|3 > 0. Для них дробные интегралы равны
соответственно
'<гатв "-')'(Ь - х*
Дробные интегралы (30) и (31) легко распространяются с конечного отрезка [а, к] на
РАДИОЛОКАЦИЯ
полуоси (а, да) или (-да, Ь). Для общего случая, когда — да < х < да, дробные интегралы по всей прямой имеют вид
Обобщенное правило Лейбница.
Сформулируем обобщенное правило Лейбница:
(I++»(x) = — f -Щ- dt; (I"ф)(x) = — f Щ dt. (40) y+*AJ Г(а) jf ( x -1 f-* г(а) X (t - xf-a ^
Подобно (34) и (35) вводятся лиувиллевы производные
1 d } f (l)dl
i f »(t)
D+ (fg) = Z , (D^f)g(kVe (49)
k=n \ k i
Daa+ (fg ) = Z
k=-f
a
k + в
(D:+-e-kf)(De;kg), (50)
k,
D f )( x) =
Г(1 - а ) dx -f (x -1) 1 d f f (t)dt
(41)
где (a
Г(а +1)
(Ба/)(х) = - —--—I , (42)
Г(1 -а) dхJх (х-г)а
где 0 < а < 1 и — да < х < да. Для а > 1 при п = [а] + 1 имеем
(В°/ )(х) = (±1) — Г(п-а) dхn 0
Дробные производные Лиувилля на оси
можно привести к более удобному виду, чем (41)
и (42). Получаемые конструкции называются
дробными производными Маршо:
f ln-a-1f (x + t)dt. (43) D+ (uv) = Z
0 k=0
= 8т[(в-а)п] Г(а +1)Г(в-а) в) Г(в + 1)Г(а - в +1) = П Г(в+1)
— обобщенный биномиальный коэффициент; а, в е Я1, Я1 = (-да, да) при нецелом р.
Наряду с последними формулами имеет место формула Лейбница с остаточным членом
и а
(51)
а
vk J
DfruVk ) + Rn,
(D+V )( x) =
a f f ( x) - f ( x -1 )
Г(1 -a)'
Л+а
dl =
a x f (x) - f (l)
dl,
Г(1 -a) -f ( x -1 )l+a
( Daf )( x) = f(x)-
i „ l
a f f ( x) - f ( x +1 ) Г(1 -а)о
(-^/2f = F-
является све
(Cf )( x) =
f ( x):
Re a > 0,
R
(-1)n
(44)
Г(-а)(п -1)! [ (х - "(И (х "^)п-1 ^^^ (52)
которая не требует от функции у(х) бесконечной дифференцируемости.
Итоги. Оператор интегро-
дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля дробного порядка а е R с началом в точке а определим следующим образом [83]:
M (l ) = -
sig
ign (l - a ) j. f (T)
dl, (45)
ii
где 0 < а < 1 и - да < х < да.
В теории дробного интегродифферен-
цирования функций многих переменных, которое
является дробной степенью (-Д)а/2 оператора
Лапласа, широко используется дробное риссово
интегродифференцирование. В образах Фурье
I^ данная операция записывается в виде
-а ^ \Iа/,Яеа > 0, I/ = 1 (46)
[ Б-а / ,Reа< 0.
Подробное изложение теории
дифференцирования Рисса приведено в [131]. Как следует из теоремы о свертке функций, интеграл дробного порядка (10а+ /)(х), Re а > 0 рткой Лапласа вида
A (-а) l\l -T
rD = f (l ) = f (l ), a = о,
-dT, a<0, (53) (54)
dn
RLDaat= signn ( l - a ) ~Daa;nf (l ) =
1
dn
A (n - a) dl'
l
i( l -T)n-a-1 f (T)dT,
(55)
(47)
Г(а )_
следствием чего имеет место свойство совместного действия преобразования Лапласа и оператора дробного интегрирования (Lia+ )( p) = p - а ( Lf )( p). (48)
п -1 < а < п, п е N.
Для дифференцируемых на отрезке [а, Ь] функций определения дробных производных по Риману-Лиувиллю и А.В. Летникову эквивалентны [86,136].
В настоящее время достаточно широко используется формулировкаКапуто [12,103,104]:
с К/ V) = (г - а) К1п:-п/(п) (г),
(56)
п -1 < а < п, п е N.
Производные Римана-Лиувилля и Капуто связаны соотношением:
Df (t )=rlD«j (t ) -z
1 f(k )(t)
A ( k - a +1)
T-1
(57)
n -1 < a < n, n e N.
В случае a = n получаем:
k=0
ПОТАПОВ А.А.
РАДИОЛОКАЦИЯ
МГ%/(t) = CD"J(t) = sign" (t - a)d^f (t), " e N. (58)
Производная Капуто имеет ту же самую физическую интерпретацию, что и производная Римана-Лиувилля. В частности при f0) = 0 и 0 < а <1 имеем точное равенство:
cD0f (t) = RLD0tf (t). (59)
При сравнении этих производных необходимо обратить внимание на то, что для расчета производной Римана-Лиувилля необходимо знание значений функции, а для производной Капуто — ее производных, что намного сложнее. Некоторое достоинство производной Капуто состоит в том, что она равна нулю для постоянной функции, что более привычно для исследователя.
Отметим, что в [32] изложена биография и представлены сохранившиеся работы советского механика Алексея Никифоровича Герасимова (24.03.1897-14.03.1968 гг.), на 20 лет раньше Капуто предложившего использование дробной производной для задач вязкоупругости (т.е., производная Герасимова-Капуто).
В работе [112] вводится новый дробный оператор, определяющий локальную дробную производную Колванкара с помощью следующего предела:
Dqf (y) = lim
dq (f (x) - f (y))
(60)
функции Фокса состоит в том, что она включает в себя почти все специальные функции, входящие в прикладную математику и статистику, как ее особые случаи. Даже такие функции, как обобщение Райта функции Бесселя, б-функция Мейера или обобщенная гипергеометрическая функция Мейтленда охватываются классом функций Фокса. Кроме того, установлена связь между устойчивыми законами и функциями Фокса: аналитический вид устойчивого закона дается через функцию Фокса [118].
Функция Фокса определяется как
(
нт
a a1),...,(ap, ар) ^ b A),..,(bq , Д^ ) ,
1 Г
-J h(s)zsds, (61)
г*
Пг( ъ} -Pf) П (i - a + as)
h( s) =
j=1
П r(i - b3 +pjS) Пг(a. - as)
j=m+1 i=n+1
(62)
у й (х - у)
если этот предел существует.
Применение данного оператора
позволяет вернуть производной свойство локальности, которое теряется при переходе от целых к дробным значениям порядков дифференцирования. Таким образом, устанавливается непосредственная связь между свойствами локальной дробной дифференцируемостью и фрактальной размерностью недифференцируемых функций, что иллюстрируется в [112] на примере классической недифференцируемой функции Вейерштрасса и полетов/движений Леви. 2.5. функция фоксл
При интегральных преобразованиях в диффузионных процессах во фрактальном пространстве и использовании дробных операторов широко применяется Н-функция Фокса И'т'И, где 0 < т < q, 0 < ж <р [116]. Важность
где Г(^) — гамма-функция; параметры а. (г = 0, 1, ...,р) и р. (/ = 0, 1, ..., q) — положительные числа; а и к — комплексные числа, удовлетворяющие условию а(Ьъ + 8) ф Рь(а. — 1 — Х); 8 и Х = 0, 1, ...; Ь = 1, ..., т; г = 1, ..., ж.
Контур интегрирования С в комплексной ^-плоскости проходит так, что полюсы Г(к — Р^ (/ = 0, 1, ..., т) находятся справа, а полюсы (1 — а. + а;5) (г = 1, ..., ж) — слева от контура.
Преобразование Лапласа функции Фокса представляет собой также функцию Фокса, но с другими индексами:
н (p)=1
p
i
p
n+1
H ( p) — Hp+1, q
P
(1 - bj, в) (1,1),(1 - аг, a)
(0,1),( a., a) (b,, p,)
1
p
0 <m< 1, (63)
, M^ 1. (64)
Для обратного преобразования Лапласа имеем
1
(
H (t) = - H
W t '
H (t) =1 н
n ,т q, p+1
(1 - b,, в)
л
(1 - а, а )(1,1)) 1( а, а,. )(1,1) ^
^ (Ь, в) ]
Функция Н(%) является аналитической функцией ^ при выполнения условий: ^ Ф 0 при ^ > 0 и | ^ | < в-1 при ^ = 0, где
m,n
p+1,q
, 0 <M< 1, (65) , M ^ 1. (66)
M = Ze-z a, в = П aa Пв.
(67)
,=1
,=1
РАДИОЛОКАЦИЯ
Асимптотическое разложение функций Фокса дается выражением
н7: (*)-Е ], (68)
справедливым для ^ > 0 и п ф 0 для | да на каждом замкнутом секторе < пХ,/2. При
этом вычеты должны определяться в точках s = (а. — 1 — у)/а; г = 1, ..., п; V = 0, 1, ... 2.6. исторический обзор о недифференцируемых функциях В своем письме от 15 января 1898 г. к Ф. Клейну Л. Больцман специально отмечал, что «в Природе существуют такие физические проблемы (статистическая механика), для решения которых недифференцируемые функции абсолютно необходимы, и если бы К Вейерштрасс не придумал такие функции, то физикам просто не осталось бы ничего другого, как самим их изобрести». В настоящее время такие недифференцируемые кривые принято называть фрактальными или просто фракталами. Приведем здесь краткий исторический обзор таких математических объектов, основываясь на источниках [26,27,58,106,110].
Примечательно также то, что концепция самоподобия вошла в математику с двух независимых направлений (через канторовские множества и функции Вейерштрасса) примерно в одно и тоже время для опорных понятий математики: числа и функции. Напомним, что еще Г.В. Лейбниц в своем трактате "Монадология", написанном в 1714 г., использовал понятие самоподобия ("миры внутри миров"), а также применял его в определении прямой.
После открытия дифференциального исчисления интуитивно сложилось мнение, что каждую функцию можно дифференцировать любое число раз. В 1806 г. Ампер сделал попытку теоретически оправдать это убеждение на чисто аналитической основе в рамках математических концепций Лагранжа. Позже одни математики утверждения Ампера автоматически переносили на функции, непрерывные в теперешнем смысле, другие, считая его фундаментом всего дифференциального исчисления, приводили свои доказательства этого утверждения и пользовались им при установлении других результатов. Среди них Лакруа (1810 г.), Галуа (1831 г.), Раабе (1839 г.), Дюамель (1847 г.),
Ламарле (1855 г.), Фрейсине (1860 г.), Бертран (1864 г.), Серре и Рубини (1868 г.).
Однако время веры математиков о неразрывной связи непрерывности функций и ее дифференцируемости истекало. В 1830 г. Б. Больцано в рукописи "Учение о функции" строит первый пример непрерывной нигде недифференцируемой функции. Данная рукопись Больцано была обнаружена лишь после первой мировой войны около 1920 г. в Венской государственной библиотеке. Только через сто лет его работа появилась в печати. В 1834-35 гг. понятия дифференцируемости и непрерывности четко разграничивает Н.И. Лобачевский. В 1854 г. Дирихле отмечает, что в общем случае нельзя доказать существование производной у произвольной непрерывной функции, и высказывает убеждение в существовании непрерывной функции без производной.
В 1861 г. Риман указал пример функции
/ (х )=Е
Б1П п х
2
(69)
п=1 п-
относительно которой Дюбуа Реймон утверждал, что она недифференцируема на всюду плотном множестве.
Насколько трудным оказался анализ примера (69), свидетельствует не только отказ Вейерштрасса провести его, но и то, что до 1916 г. не появилось ни доказательства, ни опровержения примера Римана. Только в 1916 г. Харди, опираясь на некоторые тонкие результаты диофантова анализа, сумел показать, что (69) не имеет конечной производной ни в какой точке £п, где £ — иррациональное или рациональное число вида 2т/(4п + 1) или (2т + 1)/2(2п + 1), а т и п — целые; затем он несколько обобщил пример Римана.
Этот результат в 1969 г. расширил Гервер, показав отсутствие конечной производной у этой функции в точках £п, где £ — рациональное число вида (2т + 1)/2п, а т, п — целые и п > 1. Он установил наличие производной, равной —1/2 в точках £п, когда £ является рациональным числом с нечетным знаменателем и числителем, так что функция Римана дифференцируема на бесконечном множестве точек. В следующей работе Гервер показал, что других точек
ПОТАПОВ А.А.
РАДИОЛОКАЦИЯ
дифференцируемости, кроме указанных выше, у функции Римана нет.
До 1870 г., не считая указанной выше функции Римана, не было опубликовано ни одного примера непрерывной функции, не имеющей производной на бесконечном множестве точек. По словам Гюэля, который реферировал мемуар Ганкеля о таких функциях, "сегодня нет ни одного математика, который поверил бы в существование непрерывных функций без производныХ'. В 1870 г. Ганкель предложил метод сгущения особенностей, состоящий в построении функции при помощи абсолютно сходящегося ряда, каждый член которого имеет особую точку. Именно так он получил примеры непрерывных функций, не имеющих производной на всюду плотном множестве рациональных точек. Одним из таких примеров является функция вида
» 1 í . \ f ( X ) = sin (nnx) sin
n=1 n
где n - натуральное число, s > 1.
В 1873 г. Шварц построил другой пример монотонной непрерывной функции, не имеющей производной на всюду плотном множестве точек:
1
v sin (nnx)у
(70)
f (x) = Z
<p(2nx)
(71)
4и
и=1 ^
где р(х) = [х] -^х - [х], х > 0, [х] - целая часть х.
Эту функцию Шварц считал недифференцируемой, но, как оказалось позже, она почти всюду имеет конечную производную.
Позже Вейерштрасс построил, как принято считать в 1861 г., свою знаменитую функцию
f (x) = W(x) = Z an cos(bnnx).
(72)
n=1
рассматривались почти как распространение хаоса и анархии там, где предшествующие поколения искали порядка и гармоний [85]. Ш. Эрмит писал Т.Стилтьесу в 1893 г.: «Я с ужасом и отвращением отворачиваюсь от этой разрастающейся язвы функций, не имеющих производной». Даже в начале XX в. Дж. Буссенеск был не одинок в мнении, что «весь интерес функции заключается в обладании ею производной», имея в виду обычную производную.
Независимо от Вейерштрасса к той же идее пришел Дарбу, который обобщил примеры Ганкеля и Шварца и построил функцию
f ( x ) = Z sin Кn +1)!x ],
Здесь 0 < а < 1, к > 1 — нечетное целое число, ак > 1+3п/2. Вейерштрасс доложил Берлинской академии наук 18 июля 1872 г., а сам пример был опубликован только в 1875 г. Дюбуа-Реймоном. Поэтому, как отмечено в [115], "год 1875является не более чем удобной символической датой для обозначения начала Великого кризиса математики".
В предисловии к своей книге С. Сакс писал: "Исследования, имеющие дело с неаналитическими функциями и функциями, нарушающими те законы, которые предполагались всеобщими, эти исследования
(73)
n=1 n!
не имеющую производную при любом x. Свои результаты Дарбу доложил на заседании Французского математического общества 19 марта 1873 г. и 28 января 1874 г., т.е. до выхода в свет публикации Дюбуа-Реймона. Некоторые подробности приоритетной пикировки между Вейерштрассом и Дарбу были опубликованы в 1973 г. (Dugac P. Elements d' analyse de Karl Weierstrass. Archive for Hist. Exact. Sci., 1973. V. 10. P. 41-176).
2.7. Теорема Дини о Функциях, не имеющих производных, и продолжение обзора
Приведенные выше исследования
послужили основой для построения классов недифференцируемых функций и поиска общих условий дифференцируемости непрерывных функций. Наибольший вклад в это направление внес итальянский математик У. Дини, вплотную приблизившийся к теореме Лебега о производной непрерывной монотонной функции. Именно он в 1877 г. сформулировал, а в 1878 г. доказал достаточно общую теорему существования непрерывных функций, не имеющих производных (формулировка теоремы Дини нами дается по [26]).
Теорема 1. (Дини, 1877). Пусть на 0 < x < 1 заданы функции f (x), удовлетворяющие следующим условиям:
1) все функции f(x) непррывны и имеют ограниченные производные;
2) ряд Xfn (х) сходится на [0, 1] к непрфывной
3) каждая из/(x) имеет конечное число экстремумов, причём число их неограниченно возрастает вместе с n
РАДИОЛОКАЦИЯ
и притом так, что для всякого в > 0 можно найти такое n , что при n > n0 расстояния между точками экстремумов будут меньше в;
4) если Sn — наибольшее расстояние между двумя последовательными экстремумами, а Dn — наибольшая по абсолютной величинеразность двух последовательных экстремальных значений, то lim(£n / Dn ) = 0;
5) если через hn обозначить для каждого x те два приращения (одно из которых положительно, а другое отрицательно), для которых x + hn даёт первый правый (соответственно левый) экстремум, для
которого | fn(x ± hn)- fn (x)|>1 Dn, то можно задать такие положительные числа r, что для всех x е 0,1] и соответствующих каждому x таких hn имеем Rn ( x + hn )- Rn ( x)| < 2rn, где Rn(x) - остаток ряда
вд
Z f ( x ) из п. 2;
" 6) если c - последовательность таких положительных
n
чисел, что \и'„(x) <cn для всех xе[0,1], то начиная с 4S " 4 r
некоторого индекса DT Z С ± D < 0 < ^ <L' n V=1 / n \ / \ 7) знак разности fn (x + hn)- fn (x), начиная с
некоторого n , не зависит от hn для всех x и n > n .
Тогда функция fx), определённая рядом Z fn (x) из п.2, ни в одной точке x е [0,1] не будет иметь конечной производной. Бесконечную производную она может иметь на бесконечном множестве точек.
Затем Дини показал, что при некоторых дополнительных предположениях такая функция не будет иметь и бесконечной производной ни в одной точке. Можно отметить, что класс функций, удовлетворяющих теореме Дини, бесконечен, в частности, в нем содержится функция Вейерштрасса.
В 1879 г. Дарбу предложил достаточно общий метод построения недифференцируемых функций. Он изучал функции ф(х), определенные рядом
f (anbnx)
Р( x) = ZJ
(74)
n=1
a
1- an л ab lim—^ = 0, hm-^
a2b2
' an-kbn-k = 0
a
a
(75)
ограничениях на выбор {ап}, {Ьп}, к и Д(х) можно получить непрерывные функции, не имеющие производной ни в одной точке. Так, если Ь = 1, к = 1, то на числа а достаточно наложить условие .. а, + а2 + ... + а , _
пт——2-— = 0, которому удовлетворяют,
например" числа а' = п!, чтобы можно было указать бесконечное множество функцийХх), для которых (74) была бы именно такой функцией.
Пусть X) = со$.х, тогда ф(х) нигде не дифференцируема. При выборе Ьп = п + 1, к = 3 и Х(х) = sinx получается функция ф(х) из предыдущей работы Дарбу. В 1918 г. метод построения непрерывных недифференцируемых функций был указан К. Кноппом. Можно сказать, что после упомянутых работ была создана целая индустрия по производству и отдельных функций и целых их классов.
Отметим, что пример функции Вейерштрасса опирается на свойства лакунарного ряда, т.е. такого ряда, в котором члены, отличные от нуля, "очень редки и разбросаны". Понятие лакунарного тригонометрического ряда было введено Ж. Адамаром в 1892 г. при изучении функций, не продолжаемых аналитически за границу круга сходимости. Лакунарным (в смысле Адамара) тригонометрическим рядом называют ряд вида
у + Е ак С08 пкх + К ^ пкх, (76)
k=1
T±l
где ап и Ьп — некоторые последовательности действительных чисел, Х(х) — непрерывная ограниченная функция с ограниченной второй производной.
Если последовательности {а } и {Ь } выбраны так, что при фиксировании к имеем
п+1
то ряд (74) сходится всюду к некоторой непрерывной функции ф(х). При дальнейших
при > ? > 1. Таким образом, номера пк лакунарного ряда (76) при всех к растут не медленнее геометрической прогрессии со знаменателем, большим единицы. В 1916 г. Дж. Харди было также доказано, что функция Вейерштрасса И^(х) не имеет конечной производной ни в какой точке, при условии а < 1, Ь > 1 и аЬ > 1.
2.8. множество недифференцируемых функций
Кратко рассмотрим вопрос о месте, занимаемом дифференцируемыми функциями в множестве всех непрерывных функций. Множество X топологического пространства М является множеством первой категории на М, если оно является объединением счетного семейства множеств, нигде не плотных на М. Множества второй категории определяют как множества, не являющиеся множествами первой категории. Эти определения были сформулированы в 1899 г. Бэром [11].
Л/'Л
260 ПОТАПОВ А.А.
РАДИОЛОКАЦИЯ
По теореме Бэра дополнение любого множества первой категории на прямой является плотным. Никакой интервал на множестве действительных чисел № не является множеством первой категории. Каждое счетное множество будет множеством первой категории и множеством меры нуль. В множестве действительных чисел рациональные числа образуют множество первой категории. Простейшим примером несчетного множества, принадлежащего к множеству первой категории и множеству меры нуль, является канторовское множество, имеющее мощность континуума. Можно доказать, что прямую можно разбить на два дополняющих друг друга множества А и В так, что А есть множество первой категории, а В имеет меру нуль. Во многих проблемах топологии и теории функций множества первой категории играют роль, аналогичную роли множеств меры нуль в теории меры (множества, которыми можно "пренебречь").
В настоящее время множества второй категории определяются по Бэру, а дополнение к множеству первой категории называют остаточным множеством. При доказательстве теорем существования в теории множеств часто пользуются методом категорий, который основан на теореме Бэра, по которой всякое полное метрическое пространство является множеством второй категории на самом себе. На основе этого доказана
Теорема 2 (Банах, С. Мазуркевич; 1931). Пусть С — пространство непрерывных функций х с периодом 1, наделенное нормой ||x|| = max|x(t)|, 0 < t < 1. Пусть Т—множество функций из С, которые не имеют конечной правой производной ни в какой точке t е [0,1]. Тогда Т является множеством второй категории Бэра на С, а его дополнение есть множество первой категории.
Следовательно, множество функций, имеющих конечную одностороннюю производную хотя бы в одной точке t е [0,1], является пренебрежимо малым в смысле категории Бэра по сравнению с множеством всех непрерывных функций. Тем более это справедливо для функций с конечной обычной производной.
Классы непрерывных функций без производных, рассмотренные в XIX в. и в первые два десятилетия XX в., не давали примера такой сингулярной непрерывной функции, у которой
ни в одной точке не существовала конечная или бесконечная односторонняя (левая или правая) производная (у функции Вейерштрасса (72), например, односторонняя производная имеется на всюду плотном множестве). Первый пример такой в сильном смысле недифференцируемой функции построил в 1922 г. (опубликовал в 1924 г.) А.С. Безикович.
В связи с этим, Банах и Штейнгауз поставили вопрос о распространении с помощью метода категорий результата С. Мазуркевича и Банаха на функции типа Безиковича: можно ли показать, что дополнение множества всех непрерывных функций, не имеющих ни в одной точке ни конечной, ни бесконечной производной, является множеством первой категории?
В 1932 г. Сакс дал отрицательный ответ на этот вопрос. Он показал, что множество непрерывных на [0, 1] функций, у которых или существует конечная правая производная, или эта производная равна на множестве мощности континуум, есть множество второй категории в пространстве всех непрерывных функций. Таким образом, класс функций, односторонне дифференцируемых хотя бы в одной точке, в смысле категорий существенно шире класса функций, имеющих обычную производную хотя бы в одной точке.
Соответственно, класс функций, не имеющих ни конечной, ни бесконечной односторонней производной в каждой точке области, уже в том же смысле класса функций, нигде не имеющих двусторонней производной. По словам Сакса "Это, быть может, объясняет трудности с нахождением первого примера функции, не имеющей конечной или бесконечной односторонней производной в каждой точке". Одновременно результат Сакса указывал на существенное различие между операторами одностороннего и двустороннего дифференцирования.
С целью расширения известных классов недифференцируемых функций В. Орлич в 1947 г. нашел достаточно общие условия, при которых непрерывные функции, являющиеся суммами равномерно ходящихсярядов, нигде не дифференцируемы. Однако общность полученных результатов была достигнута за счет того, что коэффициенты этих рядов задавались неэффективно, с использованием метода категорий. Такой подход сам Орлич охарактеризовал как "в некотором
РАДИОЛОКАЦИЯ
смысле промежуточный" между "эффективными" способами задания недифференцируемых функций в виде рядов и "неэффективным" методом С. Мазуркевича-Банаха. 2.9. Стационарность и недифференцируемые функции
Таким образом, класс непрерывных функций, не имеющих производной ни в одной точке неизмеримо богаче класса функций с производными. Как метко замечено в [27, с. 222], «Создалась любопытная ситуация, когда оказалось, что те непрфывные функции, которые изучались математиками на протяжении веков, те, которыми пользовались для описания явлений внешнего мира, - эти функции принадлежат лишь пренебрежимо малому класу всехнепрфывныхфункций»». Постепенно математики привыкли к тому, что нигде не дифференцируемые функции действительно существуют, но физики долго не соглашались с этим и воспринимали такие функции как уродливые порождения математической фантазии, не имеющие отношения к реальному миру (исходили из принципа "в физике все функции дифференцируемы").
С позиций современной науки функция без производной вовсе не абстрактное понятие, а траектория броуновской частицы. Как отмечал в 20-е гг. XX в. Н. Винер: «В рамках этой теории мне удалось подтвердить замечание Перрена, показав, что за исключением множества случаев, имеющих суммарную вероятность нуль, все траектории броуновского движения являются непрерывными нигде не дифференцируемыми кривыми».
Существенно то, что в спектральной теории стационарных случайных процессов недифференцируемые функции возникают совершенно естественным образом и избежать их возможно лишь при отказе от имеющего ясный физический смысл условия стационарности, только и делающего данную теорию простой и наглядной [98]. Кратко поясним этот факт.
При спектральном разложении
стационарного процесса использование
интеграла Стилтьеса оказывается неизбежным, т.к. случайная функция не является
дифференцируемой ни в каком смысле и поэтому никак нельзя перейти от интеграла Фурье-Стилтьеса
к обычному интегралу Фурье. В случае существования спектральной плотности _Ды) всегда
= / (о)йо.
X(?) = | е10Ч1(о)
(77)
(78)
В силу (78) во всех реальных физических случаях, когда процессу Х(/) соответствует положительная спектральная плотность А(ы), средний квадрат приращения ДZ(ы) функции Z(ы) на малом отрезке Ды оси частот будет близок к у(ы)Ды, т.е. имеет тот же порядок малости, что и Ды. В таком случае само значение ДZ(ы) имеет, как правило, порядок (Ды)1/2, что несовместимо с допущением о дифференцируемости функции ДZ(ы), т.е. о существовании предела отношения ДZ(ы)/Ды при Ды ^ 0.
Как отмечено в [98, с. 113], «мы сталкиваемся здесь с довольно редким случаем, когда в задаче, имеющей реальный физический смысл, возникает нигде не дифференцируемые функции, которые еще совсем недавно многим прикладникам представлялись заумной математической абстракцией, которая не может иметь никаких приложений».
В арсенале математики нашелся и аналитический аппарат для описания таких объектов и процессов. Место обычной размерности заняларазмфность Хаусдорфа, а место производных - дробная производная или показатель Гельдера.
2.10. примеры построения некоторых недифференцируемых функций
Здесь приводятся некоторые примеры построения недифференцируемых функций [57,58,106,110,115].
Графики функций Римана, Вейерштрасса и Такаги. Возвращаясь к историческим примерам открытия функций без производных, заметим, что конкретные примеры таких функций иногда приводят к интересным выводам. В 1903 г. японский математик Такаги открыл простой пример нигде не дифференцируемой функции
Т (X) = Х 2->(2Й-1 X). (79)
П>1
Здесь р(х) = 2| X -[ X + (1/2) ]|, где [х] операция выделения целой части х. Функция Т(х) — типичный пример «сгущения сингулярностей», поскольку это суперпозиция так называемых пилообразных функций. Функции Римана (69), Вейерштрасса (72) и Такаги (79) имеют пики в
ПОТАПОВ А.А..
РАДИОЛОКАЦИЯ
•У В,«) )л у V V X
\\ Л V В,«>
Рис. 1. Трафики недиффренцируемых функций: а — функция Вейршпрасса (1 — \¥(х))12 — при значениях Ь = а~1 — 2; б — функция Такаги; в — функция Рилгана. счетном числе точек (рис. 1). Следует сказать, что графики таких недифференцируемых функций описываются бесконечным числом бесконечно малых извилин ("волны с рябью"), но почти невозможно дать о них наглядное представление, не исказив их существенных черт.
Е. Гобсон также изучал ряд
^апффпх), 0<а<\, (80)
п> 1
п показал на основе метода Кноппа, что условия аЬ > 4 (когда Ь целое четное число), или аЬ > 1 (когда Ь нечетное целое чпсло) запрещают существование конечной или бесконечной производной. Для Ь = сгх - 10 — это пример, который был дан Ван-дер-Варденом в 1930 г. (см. ниже). Де Рам также указал, что если мы возьмем Ь — ОТ1, считая Ь целым четным числом, то ряд (80) не будет иметь конечной производной.
Построение функции Больцано. Теперь рассмотрим построение функции Больцано В(х). Определим вспомогательную функцию В (л). Рассмотрим построение, приведенное на рис. 2а п заключающееся в том, что отрезок ЛВ заменяется ломаной АСИЕВ со следующими координатами точек: А\р,<^\, С\р + (8/4, q— (А/2)], Щ + (28/%)], Е\р + (38/4), Ч + (А/% В[р + 8, Я + А]. Пусть графиком функции В (л) является отрезок Ли(0,0) иЛ5(1,1); пусть АпР = а,Л25Р = Ь (рис. 2Ь).
Заменим ЛиЛ25 ломаной АЛЛЛЛз по правилу, указанному выше. Координаты характерных точек равны: =^4 (0,0), ^4^(1/4 — 1/2)И23(1/2,0),Л4(3/4,1/2)И;5(1,1),чтоопре"деляет функцию В^л) и ее график А^^^А^А^. На рис. 2Ь представлены графики функций В (л) и В (л) соответственно. По функции В (л), как показано на рис. 2с, строим функцию В,(л). На
Рис. 2. Построение недиффренщруемой функции Больцано: а) - первое построение, б) - функции В (х) и В (х), в) - функции В (х) иВ (х), г) - функции Вг(х) и В (х) .
рис. 2(1 указаны графики функций В,(л) и В (л), соответственно. Повторив эту операцию п раз, мы придем к функции В (л). Колебание функции В (л) в каждом из промежутков
-^а, 5 = 0,1, 2,..., 4"-1, п = 0,1, 2,3,... (81)
будет = ® промежутке (0, а) для
колебания В (л) можно получить со (0, а) = Ь(2 -2"п).
Определим теперь функцию Больцано В (л) в точках л' = ка/4П при коэффициентах 0 < к < 4П, к — целое, п — 0,1,2, 3,..., полагая В(х) = В (л). Тогда колебаниеВ(\)намножествевсехрассматрпваемых точек л' = ка/4П, принадлежащих одному пз
( 5 5 +1 ^
промежутков (81), будет т\—а, Для значений л; отличных от I — ка/Ап, функция Больцано определяется предельным переходом В(х) = Колебание В (л) в
любом промежутке длины а/4П удовлетворяет
неравенству со\ х, х + > /? / 2". Таким образом, функция Больцано В(х) определена на всем промежутке (0, а) п является непрерывной на нем.
Рассмотрим еще два иных алгоритма синтеза функции Больцано. Пусть каждому значению
X С, Сп с,
— = — + + + +
а 4 42 4
на интервале (0, а) соответствует В(х) = (1Х | И 2 22
с/,
+ ... + -Т- + ...
(82)
(83)
Числа (1 определяются по числам с согласно
правилу
11213
ЙМ 0 I +11 0 I ±11
РАДИОЛОКАЦИЯ
Рис. 3. Третий алгоритм построения функции Ъояьцано.
Здесь необходимо брать нижние знаки, если среди чисел ск р <гко, ..., с{ имеется нечетное число их, равных нулю, например: вГ(1/4 + 2/42 +1/44)Йг1 = (-1/2 + 1/24)/?,
в[(1/42 +1/44)а] = (1/22 +1/24)/7.
Соотношениями (82)-(85) задается функция Больцано.
Рассмотрим третий алгоритм построения функции Больцано, основанный на свойствах некоторого ряда. Зададим на отрезке А.у С длины а с координатами концов 0 (точка А.^) и а (точка С) функции Ь (х), Ь^х), Ь0(х) отрезком п
ломаными линиями, изображенными на рис. 3.
Функции Ьу{х) соответствует ломаная со звеньями, образованными боковыми сторонами треугольника с основанием а и высотой 3/6/4, функции Ь^(х) - ломаная, образованная боковыми сторонами четырех треугольников с основанием а/4 п высотой 3/6/8. При продолжении этого процесса придем к функции
(86)
7=1
Полученный ряд при п —> со сходится равномерно, а его сумма, равная В(х), дает нам функцию, непрерывную на (0, а) и нигде не имеющую производной в данном промежутке. Экстремумы функции Больцано В(х) наблюдаются в точках с абсциссами а{$ + 0.25)/411"1 при 8 = 0, 1, 2, ..., 411"1 - 1, п = 1, 2, 3, ..., которые (абсциссы) образуют всюду плотное множество на промежутке (0, а).
Построение функции Безиковича. Приведем этапы построения функции Ъезиковича. Для этого необходимо построить ступенчатый треугольник. На рис. 4 показан отрезок ЛВ — 2а п точки С(а,В) п D(¿?,0). На отрезке УЮ строим отрезок 1у — а/4 = а/22, помещая его центрально. Тогда отрезок АО разделится отрезком 1Х на два
Рис. 4. Построение
равных отрезка; на каждом из них помещаем центрально отрезки /0 — L — а/24.
Отрезки /р /0, /, разделяют отрезок AD на четыре равных отрезка; на каждом из них помещаем центрально отрезки (считая слева направо) /4 = /5 = /6 = /у = а/2б п т.д. Таким образом, на отрезке AD будет построено бесконечное множество отрезков /р /0, /,, ..., объединение которых -L является всюду плотным множеством с суммарной длиной а/2. Подобную же систему отрезков строим и на отрезке DB. Те и другие отрезки вместе будем называть первой серией отрезков.
Обозначим через т(х) меру Лебега множества точек интервала (0, х), не принадлежащих L, т.е. меру множества Lin(0,x). На отрезке AD определим функцию ф(лг), полагая 2 b
(р{ х) = —т(х). (87)
а
Из (87) следует, что функция ф(лг) на любом отрезке / имеет постоянное значение. Таким образом, тонкий и Сбудут соединены некоторой ступенчатой кривой; точки С и В соединим такой же ступенчатой кривой. Полученную после этого фигуру п называют ступенчатым треугольником с основанием 2а и высотой Ь.
На все отрезках первой серии, как на основаниях, строим ступенчатые треугольники, обращенные вершинами вниз, — равные на равных основаниях, выбирая при этом высоты так, чтобы вершина самого нижнего из равных треугольников оказалась на стороне ЛВ. Построение всех этих треугольников названо А.С. Безпковпчем операцией зазубривания треугольника ЛВС внутри. Проделав ту же операцию внутреннего зазубривания, над полученной бесконечной серией треугольников (первой серией), получим вторую серию треугольников.
^^ ПОТАПОВ А.А.
РАДИОЛОКАЦИЯ
Их также подвергаем внутреннему зазубриванию и т.д.
Теперь определим на отрезке Л В функцию У(л): 1) в точках отрезка Л В, не принадлежащих первой серии отрезков, — ординатами сторон ступенчатого треугольника Л ВС; 2) в точках отрезков первой серии, не принадлежащих отрезкам второй серии, — ординатами сторон треугольников первой серии; 3) в точках отрезков второй серии, не принадлежащих отрезкам третьей серии, — ординатами сторон треугольников второй серии и т.д.; 4) в точках, принадлежащих отрезкам всех серий (они составляют ансамбль меры нуль), — по принципу непрерывности.
Определенная таким образом функция Безпковпча является сингулярной непрерывной функцией, которая ни в одной точке не имеет ни правой, ни левой производной.
Построение функции Ван-дер-Вардена. Рассмотрим теперь функцию Ван-дер-Вардена. Идея данного примера основана на том, что последовательность, состоящая из целых чисел, сходится только тогда, когда все ее члены, начиная с некоторого, совпадают. Пусть /(х) — функция, равная расстоянию от точки л' до ближайшей целочисленной точки:
Гх, 0 < х < 1/2,
/,(Х) = 1 , (88)
[1-х, 1/2 < х < 1, ^ 7
где^(л'+ 1) =/0(х) для любого действительного л\
Функция^(л) — непрерывная на всей числовой
оси, периодическая с пе 5-1 S
каждом отрезке
на каждом отрезке
отрезке равен ±1. Наконец, введем функцию
эподом 1, линейная на
где s — целое число,
причем угловой коэффициент графика/(х) на каждом таком отрезке равен ±1. Далее вводим последовательность функций^ (// = 0, 1, 2, ...):
/о(4"х)
(89)
(90)
Рис. 5. Первые при частные суммы в случае построения недиффренцируемой функции Ван-дер-Вардена. Так как 0 < f0(x) < 4~п, то по признаку Вейерштрасса ряд, определяющий f[x), равномерно сходится, и из непрерывности всех f (x) следует непрерывность функции f[x). На рис. 5 представлены графики функций^(\),^(\) + f,(x), + Л(х) + 7з(л)- По мере увеличения числа слагаемых количество вершин, в которых функция J[x) не имеет производной, неограниченно возрастает.
2.11. Недифференцируемые функции и
функциональные уравнения
Кратко рассмотрим следуя [58,77,110] следующее функциональное уравнение:
f(x) - af (bx) = g(x). (91)
Именно де Рам в 1957 г. заметил, что функция Вейерштрасса (72) и ряд (80) удовлетворяют (91) в случае g(x) = acos(bnx) и g(x) = a$(bx) соответственно. Функция ф(л) определена выше в выражении (80). Если положить ¿(л) = ¿?cos(/?7L\), то уравнение (91) будет иметь решение на интервале (-со, +00), зависящее от произвольной функции, п единственное непрерывное решение — это функция Вейерштрасса.
Г. Фабер, рассматривая функцию
Il0->(2"!i),
п> 1
(92)
Для всякого натурального п функция /п(х) — непрерывная, периодическая с периодом 4~п, максимальным значением 4~п/2, линейная
5-1 5
II угловой
2-4" 2• 4"_,
коэффициент ее графика на каждом таком
п=0
п=0
показал в 1907 г., что (92) не соответствует условию Липшица любого порядка. Затем Ф. Катер в 1983 г. исследовал функцию
Х2-"!сов(2(2")!Х) (93)
п> 1
п доказал, что она не имеет точек возврата и обладает интересными экстремальными свойствами.
Рассмотрим следующее функциональное уравнение:
-{/(-)+/(—)+-• •+/(-Х±£А)1 = ¿/(/яг). (94) р{ Р Р Р )
РАДИОЛОКАЦИЯ
Это уравнение исследовал Э. Артин в 1964 г., характеризуя гамма-функцией Эйлера его единственное гладкое решение. Японский математик Хата в 1985 г. на основе (94) решил задачу о нахождении собственного значения X для некоторого оператора Пэррона-Фробениуса и исследовал различные решения (94) относительно собственного значения. Им было также отмечено, что если Ь > 2 - целое, то функция Вейерштрасса 1Р(2х) + ео8(2лх) удовлетворяет (94) прир = Ь, ^ = 1 и X = а; функция Такаги Т(х) — 1/2 также удовлетворяет (94) при р = 2, ^ = 1 и X = 1/2; а функция Римана удовлетворяет (94) при р = 2, ^ = 2 и X = 1/4.
Используя понятие лакунарного ряда (см. выше), в 1984 г. (Каплан и др.) был изучен ряд /(х) = 2а"г(Ь"х), 0<а<1, (95)
n>1
n>1
(97)
последовательности (80). Считают, что в обоих случаях
log a
D = 2 + -
log b
(98)
где аЬ > 1 и г(х) - квазипериодическая функция.
При определенных ограничениях на г(х), ряд (95) либо непрерывно дифференцируем, либо, более того, нигде не дифференцируем. В последнем случае размерность графика функции (95) удовлетворяет равенству Б = 2 + [(1св а)/(1ов Ь) ]. (96)
График функции £ будет иметь фрактальную размерность Б больше единицы, когда £ сингулярна. В 1937 г. А.С. Безикович показал, что, если £(х) принадлежит классу Lip(S), 0< 8 <1, то функция имеет конечную к-размерную меру к = 2 — 8; также была построена функция £, для которой к-размерная мера действительно положительна при 1 < к < 2 — 8. Тогда же более обобщенно было показано, что если х(Ъ) принадлежит классу Lip(8), а у(£) — классу Lip(8'), где 8 + 8' > 1, 0 < 8' < 8 < 1, то кривая (х(/), у() имеет конечную к-размерную меру к = 2 — (8 + 8' — 1)/8. В 1945 г. Клейном была построена такая кривая (х(/),^(/)), для которой размерность к = 2 — (8 + 8' — 1)/8 действительно достигнута.
Если Е ( х ) = 2 Л XV),
Эта величина, кажется довольно разумной, поскольку Харди в 1916 г. показал, что, если £ = - (loga) /(logb) <1, то W(x + h) — W(x) = O(|x|*) и W(x + h) — W(X Ф о(|х|^), при любом значении x. 2.12. недиффереицируемые функции и хаотические отображения Приведем на основе [58,77,110] некоторые сведения о хаотических отображениях. Рассмотрим одномерную динамическую систему, описываемую логистическим одномерным отображением (отображение Ферхюльста): y (x) = 4x(1 - x) (99)
на единичном интервале I. Хорошо известно, что ж-кратная итерация уП может быть выражена как
yn (x) = sin2 (2n arcsin Vx ). (100)
Здесь j°(x) означает ж-ю итерацию функции y(X), а не ж-ю степень y(x). В 1983 г. японскими математиками (Ямагути и Хата) было впервые предложено объединить y с функцией Вейерштрасса (72). В этом случае получается конечная зависимость F (a, x) = 2 anyn ( x) =
n>1
1 (101) - ^ 2 an cos ( 2n+1 arcsin Vx ),
1
где 0 < т < 1 и {X } — последовательность положительных чисел, удовлетворяющих условиям Xn+1/Xn ^ да и log(X )/log(Xn) при п ^ да, то Б = 2 - т.
Однако сложно точно определить величину Б для функции Вейерштрасса (72) и
2(1 - а) 2 ->о
и производящая функция Р(а,х) нигде не дифференцируема при 1/2 < а < 1. Аналогично находим
^ (а, х) = 2 «V (х) = 2 ар" (2 -1 х) для х е I. (102)
">0 ">0
При рассмотрении (101) и (102) возникает вопрос относительно того, какие типы функций ы: I ^ I вызывают недифференцируемость своей производящей функции
р (а х) = 2 а"°(х) (103)
">0
с учетом х. Ответ на этот вопрос дается теоремами, приведенными в [110].
Функция Вейерштрасса (72) при Ь = 2 может быть также представлена в виде
2 а" еов(2"пх) = 2 а" со$,(жр" (х)). (104)
">0 ">0
Следовательно, функция Вейерштрасса и ряд (80) при значении Ь = 2 есть частные случаи ряда
ОС с
200 ПОТАПОВ А.А.
РАДИОЛОКАЦИЯ
F (a, x) = 2 (q" (x)),
(105)
где Р(0,х) = ¿(х) — гладкая функция на единичном интервале I.
Ряд (105) является единственным непрерывным решением функционального уравнения
F (а, х) - aF (а, ?( х)) = g (х). (106)
Для рядов типа (105) был введен замещающий оператор S в виде
ЯЛ/)(х) = / (©( х)), (107)
для х е I. В этом случае ряд (105) записывается как
F (а, х) = ^ а"Я; (g) = Щ - а^)(Ш)
п>0
где оператор (И — л^)-1 известен как резольвента оператора Sф.
Поэтому оператор (М — л^)-1 отображает ¿0(х) = cosпx на функцию Вейерштрасса, а — на ряд (80) при Ь = 2, т.е. он отображает некоторую гладкую функцию на недифференцируемую нигде функцию. Дальнейший математический формализм замещающего оператора выходит за рамки нашего описания и подробно представлен в работе [110].
Функция Такаги (79) и ряд (102) являются частными случаями функции вида
/ (х) = 2 с"?" (х). (109)
п>0
Хотя не существует простых функциональных уравнений, которым должен удовлетворять ряд (109) в целом, можно получить семейство дифференцируемых уравнений, единственными решениями которых является данный ряд. Уместно обозначить множество узлов решетки {(п, т); 0 < п < 2т-1 — 1, т > 1} как О. Тогда искомые уравнения суть
f 1 2iï J 2 Г l 2m-1 J + f l 2m-1
=
непрерывное решение (111) удовлетворяет следующему функциональному уравнению:
f (x) =
a f (2x),
0 < x <
1
1
(112)
(1 - a ) f (2 x-1)+a, 2< x < 1.
Выражение (112) есть частный случай функционального уравнения де Рама, которым доказана следующая
Теорема 6 (де Рам, 1957). Предположим, что Р0 и Р1 являются сжимающими отображениями в Яп. Тогда функциональное уравнение
f ( x) =
1
Fo(f(2x)), 0 < x <
2
Fx(f (2 x-1)), 1 < x < 1
(113)
обладает единственным непрерывным тогда и только тогда, когда F0(p1) = F(p), где p0 и Д — единственные неподвижные точки для F0 и F1 соответственно.
Более того, де Рам показал, что решение L(a, x) вида (112) строго монотонно возрастающее, и его производная обращается в нуль почти всюду, если a ф 1/2.
Такого рода функции известны как сингулярные функции Лебега f(x). Из (112) при значениях a = в = a и g(x) = cosnx получается функция Вейерштрасса; при a = в = 1/2 и g(x) = |x — [x + 1/2]| — функция Такаги; при в = 1 — a, g(x) = a6(x — 1/2) — сингулярная функция Лебега fjx?), когда 6 — ступенчатая функция.
Для решения L(a, x) было также получено следующее выражение:
L(a, x) = x + l a -1 ^Z a"-m(p)(1 - a)m(p)Sp jl (x), (114)
n>0 p=0
(110)
где
m(p) = p-2 >\P/2" ] и
при всех (п,т) е О и граничных условиях_Д0) =
0 и /1) = с,
Заметим, что левая часть (110) представляет, по существу, центральную разностную схему для /. Можно рассмотреть модифицированное уравнение (110) в виде
/ ()=(1 - а ) / ( ^ )+а / ( "+1) (111)
с граничными условиями ^0) = 0 и у(1) = 1, где 0 < а < 1 — константа. Тогда единственное
= Sp " ( x) = 2"
x--
x -
p +1
2 x -
2 p +1
(115)
Из формулы (114) можно получить точную взаимозависимость между функцией Такаги (79) и решением уравнения (112) в виде:
МЙ=Щх)' (11б)
Выражение (114) также применимо для комплексного параметра а е{г^< 1,11 - < 1} и дает непрерывное решение для (112). В частности
РАДИОЛОКАЦИЯ
L |1 + —, х | = х + 12 2
— (п + 2 - 2m( p))
(117)
+Х 2-("/2)-1 X (х)ехр
и>о р=0 .
определяет фрактальную кривую, которую исследовал П. Леви в 1938 г.
Де Рам в 1957 г. показал, что решением уравнения, сопряженного (112), т.е.
f ( х) =
I « f (2х)
(118)
[(1 - а) / (2 х -1) + а 1/2 < х < 1.
является кривая Коха, если = 1/2 + (>/3/6)7 и плотноупакованная кривая Пойа (Ро1уа), если а = 1/2 + г/2. Соответствующие разностные уравнения для (118) являются частным случаем системы, записываемой в виде:
Rl4^ 1= (1 -Am ) « Îi W Î 2. + 1
Rl -.......+1
4n + 3
= ^mR|2m-T 1 + (1 ~Mm )R l 2m-1
(119)
если 0 < inf An < sup /ип < 1.
n>1
Понятно
n>1
что
|lm « | П (1 -An-Vn)
/2.
(120)
что результат применения итеративных функций (аттрактор) не всегда является фракталом. В общем случае это может быть любой компакт.
Как отмечено выше, отображение F: Яр ^ Яр , будет сжимающим, если существует константа Х е (0, 1), для которой || ¥ (х) - ¥ (у) || <Л\\х - у || для всех х,у е Яр. Наименьшее Х есть константа Липшица ¥ и обозначается Lip(F). Единственная неподвижная точка ¥ обозначается здесь символом Fix(F).
Тогда справедливо следующее
Определение 1.1 (Хатчинсон). Непустое подмножество X из Кр инвариантно относительно множества т сжимающих отображений F1, F,
если
для всех (n, m) eQ и граничных условиях R(0) — 0 и R(1) — 1, R(1/2) — а, где 0 < Xm < < 1 и m > 1 — константы. Действительно, при условии X — | а|2 и — 1 — |1 — а|2 непрерывное решение (119) также удовлетворяет (118). Уравнения (119) имеют единственное непрерывное решение,
кривая Щ(!) лежит в треугольнике с вершинами 0, 1 и а. В случае Х < ^ при ж > 1 кривая Щ(1) становится кривой Жордана, а при Хп = и ж > 1 — кривой Пеано. Двумерная размерность Лебега кривой Щ(!) дается выражением
Таким образом, при соответствующем выборе {Хп} и можно считать положительную
область кривой Жордана единственным решением (119).
2.13. Теоремы о построении фрлктлльных
МНОЖЕСТВ
Для построения самоподобных фрактальных множеств в пространстве Щр широко применяются два метода [58,77,110]. Первый, принятый Деккингом в 1982 г., использует эндоморфизмы символов в свободных группах, а второй, метод Хатчинсона, основан на использовании системы итеративных функций, т.е. на множестве сжимающих отображений. Следует иметь в виду,
X = ¥1( X) и ¥2( X) и ...и ¥т (X). (121)
Для множества сжимающих отображений ¥1, ..., ¥ , можно определить отображение
Ф(Х) = ¥^) и ¥2(X) и...и ¥т (X) (122)
для произвольного подмножества X из Кр. Очевидно, последовательность (122) сходится к неподвижной точке Ф. Необходимо также обратить внимание на следующий результат.
Теорема 7 (Вильямс, Хатчинсон). Для множества сжимающих изображений F1, ..., Fm существует единственное непустое компактное инвариантное множество К. Для произвольного непустого компактного подмножества Х из К? система Ф((X) сходится в метрике Хаусдорфа к К при п ^ ж.
Также изучалась модификация (121) неоднородного вида
X = Ф(X) и V = ¥(X) и... и ¥т (X) и V, (123) где V - заданное компактное подмножество из Кр. При этом было показано существование единственного непустого компактного решения Х, удовлетворяющего (123). Получен следующий результат.
Теорема 8 (Хата). Предположим, что F1, ..., Fm являются непрерывными отображениями, такими, что множество у ф" (X) — предкомпакт для любого компакта X. "Тогда следующие утверждения (а) и (б) эквивалентны:
(а) — уществует единственное решение (123) для любого компакта V;
(б) — Ф имеет единственную неподвижную точку.
Из определения хаусдорфовой размерности инвариантного множества мы имеем следующую теорему.
ПОТАПОВ А.А.
РАДИОЛОКАЦИЯ
Теорема 9 (Марион, Хатчинсон).
Предположим, что каждое сжимающее отобра-жение F), 1 < / < т является композицией операций растяжения, поворота, сдвига и отражения. Предположим далее, что существует открытое множество Ц удовлетворяющее Ф(1]) с UuFt(U) п Fj(U) = 0, npuiij. Тогда s-размерная хаусдорфова мера инвариантного множества К конечна и положительна, dimH(K) — s, где s определена с помощью UpfFJ* +... + Lip(FJs = 1.
Для связных инвариантных множеств имеем следующие теоремы.
Теорема 10 (Вильяме). Пусть Up(Fx)+ ... +Lip(FJ < 1, и каждое F. инъективно. Тогда К полностью несвязно и совершенно.
Напомним, что инъективным отображением (инъекцией) множества /1 в множество В называется взаимно однозначное отображение f: Л —► В.
Для изучения связности инвариантных множеств можно ввести структурную матрицу Мк = (т.) множества К в виде:
1 if FI(K)C\Fj(K)=0 0 in all other cases.
Тогда имеет место
Теорема 11 (Хата). Инвариантное множество К связно тогда и только тогда, когда его структурная матрицаМ[< неприводима. Более того, если К является связным, оно также является локально связным континуумом и линейно связно.
Если два сжимающих отображения и F2 удовлетворяют равенству F1(Fix(F2)) = F2(Fix(Fa)), то можно ввести параметризацию инвариантного множества К, применяя теорему 6. Действительно, пусть fix) будет непрерывным решением (113). Тогда
т..
и
(124)
ДЛ=/
f л f И1!
и/
V 2_ ) V _2 J
(125)
Поэтому У(1), является компактным инвариантным множеством для ^ и Р2, так что — /0), как и требуется. С учетом этого доказано следующее утверждение.
Теорема 12 (Хата). Пусть/(х) будет непрерывным решением (113). Тогда,
— Ыр(Р{) -Ыр(Т2) < \/то производная Фреше / обращается в нуль почти везде; (б) — если каждая ¥ является гомеоморфизмом и Ыр(Р11)-Ыр(Р?Л) <4, то / не является
дифференцируемой по Фреше почти нигде; более того, если ир(Р.1) < 2, для ] — 1,2, то / нигде не дифференцируема.
Заметим, что приведенные выше результаты, обобщают теорему Аэкса [110]. При такой параметризации легко получить хорошо известную классическую кривую Пеано, построенную им в 1890 г., Гильбертом в 1891 г. и Пойа в 1913 г., использовавшими определенные аффинные преобразования в пространстве К2.
Отметим, в заключение, что, несмотря на значительное число работ по недифференцируемым (фрактальным)
функциям и соответствующим множествам и отображениям, говорить о создании их современной целостной теории еще рано. Более того, интерес к ним в настоящее время значительно возрастает.
2.14. Классические фрактальные кривые и множества
Начнем наше рассмотрение с канторового множества ("канторова пыль"), названного по имени Г. Кантора, открывшего его в 1883 г. Построение классической пыли Кантора (рис. 6) начинается с удаления средней части отрезка, т.е. открытого интервала (1/3, 2/3). Это первый шаг итерационной процедуры. На следующем и всех остальных шагах мы удаляем среднюю треть всех отрезков текущего уровня. Предельное множество С, которое представляет пересечение всех множеств С, I — 0, 1, 2, ... , называется классической пылью Кантора.
Канторова пыль представляет собой фрактал размерности И = 1п2/1пЗ — 0.6309. Сумма всех длин интервалов, удаленных при построении множества С, в точности равна 1. Общая «длина», или мера, оставшегося множества равна нулю. Однако, оставшаяся "пыль" все же содержит несчетно много точек. Формально
1 0 з 2 3 1
111 111
0 9 9 3 3 9 9 1
Н—1 ь—н 1—| 1—1
0 1
н и нн н н нн
Рис. 6. Построение канторова множества.
РАДИОЛОКАЦИЯ
канторово множество определяется, как вполне разрывное, замкнутое и совершенное. Его можно использовать для построения непрерывной фрактальной функции, интегрируя заданную на канторов ом множестве подходящую функцию распределения. Тогда мы получаем фрактальную функцию, называемую "чертовой лестницей". В частности, такие функции играют весьма заметную роль в теории колебаний при описании синхронизации частот, когда возникают так называемые "языки Арнольда".
Еще одно совершенно не интуитивное следствие канторовых множеств заключается в эквивалентности двумерных областей и одномерных линий. Два множества эквивалентны, если между ними существует взаимно однозначное соответствие. Например, единичный квадрат и единичный отрезок прямой эквивалентны: каждой точки единичного квадрата соответствует одна точка единичного отрезка и наоборот. В связи с этим Кантор писал: "Вижу, но не верю".
Кто бы мог подумать, что такие, противоречащие здравому смыслу,
математические конструкции, изобретенные лишь для того, чтобы убедить скептиков в возможности существования несчетных множеств нулевой меры, станут одним из центральных понятий и найдут практическое применение? Между тем, канторовы множества впоследствии превратились в почти идеальные модели для многих разделов современного естествознания — от странных аттракторов до распределения галактик во Вселенной. Уместно в связи с этим привести высказывание У. Гильберта: "Никто не может изгнать нас из рая, который создал нам Кантор".
Фрактальные функции — это
недифференцируемые функции. Они возникли более ста лет назад. Научная общественность прошлого назвала их "монстрами" (нередко добавляя эпитет "патологические"), представляющими интерес только для тех специалистов, которым свойственны математические причуды, но не для профессиональных ученых. Это воспринималось как разрушение математики: Ш. Эрмит писал Т. Стилтьесу в 1893 г.: «Я с ужасом и отвращением отворачиваюсь от этой разрастающейся язвы функций, не имеющих производной».
Однако время веры математиков в неразрывность связи непрерывных функций
Рис. 7. Построение кривой Коха. с их л и ф ф ер е 11 ц и ру ел 1 о сты о истекло (см. пп. 6 — 10). С позиций современной науки функция без производной вовсе не абстрактное понятие, а траектория броуновской частицы. В арсенале математики нашелся и аналитический аппарат для описания таких объектов. Место обычной размерности заняла размерность Хаусдорфа, а место производных — дробная производная, (см. п. 4). В 1906 г. Ж. Перрен заявил, что «кривые, не имеющие касательных являются общим правилом, а гладкие кривые, такие, как окружность, — интересным, но весьма частным случаем».
Кривая на рис. 7 первоначально была описана Хельге фон Кохом в 1904 г. Каждая треть кривой строится итеративно, начиная с отрезка прямой (инициатор). Уберем среднюю треть и добавим два новых отрезка. Результат этого построения называется генератором. Длина генератора составляет 4/3 от длины инициатора. Повторим данную процедуру многократно, на каждом шаге заменяя среднюю треть двумя новыми отрезками. В предельном случае нигде недифференцируемая кривая Коха есть линия бесконечной длины с фрактальной размерностью D = 1п4/1пЗ — 1.2618.
Применив генератор фон Коха к равностороннему треугольнику, путем бесконечного числа итераций приходим к снежинке фон Коха (рис. 8). В пределе эта кривая также имеет бесконечную длину, ограничивая площадь равную 8/5 площади исходного треугольника. Снежинка фон Коха нигде себя не пересекает. Если треугольники строятся внутрь, а не наружу, то получается кривая — антиснежинка, периметр ее бесконечен, а ограничивает она бесконечное множество несвязных областей, с
^^ ПОТАПОВ А.А.
РАДИОЛОКАЦИЯ
Рис. 8. Построение снежинки Коха.
общей площадью 2/5 от площади исходного треугольника.
Детерминированные фракталы, называемые салфеткой и ковром Серпинского или кривые Серпинского (1915 г.), получаются последовательным вырезанием треугольников (рис. 9а) или квадратов (рис. 96).
В пределе у салфетки Серпинского черные участки исчезают, а полный периметр дыр стремится к бесконечности. Таким образом, в процессе построения салфетки будет исключаться площадь, в точности равная площади исходного треугольника. Фрактальная размерность салфетки Серпинского равна И = 1пЗ/1п2 — 1.5849. Можно отметить еще одно свойство салфетки Серпинского. Для евклидовых тел в п—мерном пространстве объем V пропорционален Ип, где Л — некоторый характерный размер тела. Площадь поверхности Я изменяется пропорционально К11"1, поэтому Я ос ]Ап'4)/п. Однако для салфетки Серпинского площадь и длина краев пропорциональны друг другу: 5 ос И
В салфетке Серпинского самоподобие сочетается с симметрией поворота. Форма салфетки Серпинского не изменяется при повороте ее на угол, кратный 120°. Данные симметрии (бесконечный скейлинг и поворот на конечный угол) наблюдаются в хорошо известных картинах Мориса Эшера. Двумерные и трехмерные аналоги салфетки Серпинского моделируют многие природные и рукотворные сооружения (например, Эйфелева башня в
Париже). Для ковра Серпинского О = 1п8/1пЗ — 1.8928, т.е. он в каком-то смысле является менее дырявым. Ковер Серпинского — аналог канторова множества на квадрате. Кривая Серпинского состоит сплошь из одних лишь точек ветвления.
Снежинку Коха и другие фрактальные кривые на плоскости объединяет то, что их размерность лежит в диапазоне 1 < И < 2. Возникает вопрос, существует ли кривая размерности 2? Этот вопрос был разрешен Д. Пеано в 1890 г. Кривая Пиано в пределе настолько плотно заполняет квадрат, что ее И — 2. Вместе с тем кривая Пеано — график непрерывной функции. Тем не менее, ни в одной точке к ней нельзя провести касательную, так как в любой момент времени нам неизвестно направление, в котором движется точка. Понятие кривой Пеано не является интуитивным, а изначально появилось из чисто аналитических рассуждений.
У. Гильберт в 1891 г. предложил простой способ построения кривой Пеано с двумя концевыми точками. На рис. 10 показаны первые четыре этапа его рекурсивной процедуры. В пределе кривая начинается и заканчивается в верхних вершинах квадрата.
Вариант построения замкнутой кривой Пеано принадлежит Серпинскому и приведен на рис. 11. В каждом из вариантов предельная кривая имеет бесконечную длину и полностью заполняет квадрат. Приближенные кривые ограничивают площади, которые в пределе стремятся к 5/12, но для графика предельной функции различие между внутренней и внешней относительно нее частями квадрата утрачивает смысл.
Кривые Пеано легко обобщаются на более высокие топологические размерности и могут заполнять кубы и гиперкубы. Построения Гильберта нашли интересные применения в
Рис. 9. Построение салфетки (а) и ковра (6) Серпинского.
Рис. 10. Кривая Пеано, построенная по алгоритму Тилъберта (слева) и первые четыре итерации (справа).
РАДИОЛОКАЦИЯ
Рис. 11. Замкнутая кривая Пеаноу построенная Серпинским.
теории информации в кодах Грея. Некоторые способы сканирования изображения в телевидении используют алгоритм Гильберта. Дело в том, что точки, соседние во времени вдоль "гильбертовой развертки", оказываются соседними в пространстве и на сканируемом изображении, что упрощает его обработку.
Ковер Серпинского удовлетворяет
урысоновскому определению линии. Поэтому всякая канторова кривая, будучи гомеоморфна подмножеству ковра Серпинского, также одномерна и является линией в смысле П.С. Урысона. Обратно, если плоский континуум одномерен, то он будет канторовой кривой.
Существуют линии, которые не гомеоморфны никакому подмножеству плоскости. В то же время по теореме Менгера всякая линия гомеоморфна некоторому подмножеству трехмерного евклидова пространства. Более общей являются теорема Нёбелинга-Понтрягина. В 1926 г. Менгер построил лежащий в 3 одномерный континуум М3, который топологически содержит в себе всякую линию. Этот континуум называется универсальной кривой Менгера.
Построение универсальной кривой Менгера М3 производится следующим образом. Куб с единичным ребром делится плоскостями, параллельными его граням, на 27 равных кубов с ребром 1/3. Затем удаляется внутренний куб и 6 прилегающих к нему кубов (кубов первого ранга). Оставшееся множество Кг состоит из 20 кубов первого ранга. Поступая также с каждым из кубов первого ранга, получаем континуум К2, состоящий из 400 кубов второго ранга. В процессе бесконечного построения мы имеем
Рис. 12. Построение универсальной кривой Менгера.
убывающую последовательность континуумов I3 = К{) и и К2..., пересечение которых и есть одномерный континуум /, . Первые шаги построения кривой Менгера приведены на рис. 12.
Можно сказать, что абстрактные конструкции Кантора и Пеано снабдили нас моделями реальности гораздо более реалистичными, чем вся евклидова геометрия целочисленных показателей и гладких форм.
Существуют кривые, в которых в отличие от первоначального построения Пеано, отсутствуют точки самоконтакта. Одним из примеров такого рода является кривая Госпера. Инициатором для нее является отрезок единичной длины, а генератор показан справа вверху на рис. 13. Он состоит из 7 отрезков длиной 1 / л/7 каждый. Пунктиром обозначена треугольная решетка, служащая своеобразной образующей для данного генератора. Следующие три шага процесса построения показаны на рис. 13 внизу.
Размерность кривой Госпера И — 2. Отличительной особенностью данной кривой явля-ется то, что граница области, называемой "островом Госпера", которую она заполняет в пре-деле, сама фрактальна с О — 1.1291. Эти
Рис. 13. Генератор кривой Тоспера и ее итерации.
ПОТАПОВ А.А..
РАДИОЛОКАЦИЯ
острова можно использовать для непрерывного покрытия плоскости, так как они идеально стыкуются друг с другом. Более того, семь таких островов, состыкованных так, чтобы один был в центре, а шесть вокруг него, снова образуют остров Госпера в три раза большего размера. Таким свойством из правильных многоугольников обладает только квадрат.
Приведем еще один пример кривой Пеано — фрактал под названием "дракон Хартера -Хэйтуэя". Первые четыре шага его построения изображены вверху рис. 14. Каждый из отрезков на следующем шаге сгибается под прямым углом. Направление сгиба чередуется. После каждого шага число отрезков удваивается, а длина каждого отрезка уменьшается в л. Поэтому в пределе D — 2. Форма образующейся необычной фигуры представлена внизу рис. 14 для 12-го и 16-го поколений дракона. Кривая дракона самоподобна.
Последовательные центральные складки точно ложатся на логарифмическую спираль, которая и сама представляет собой один из основных гладких самоподобных объектов, и имеет практическое применение при проектировании широкополосных антенн для разнообразных радиосистем [57,58,62,65]. Природа также использует самоподобие логарифмической спирали, например, самоподобная раковина многокамерного моллюска Nautilus.
Изумляет, что достаточно простой алгоритм приводит к столь необычной фигуре, как дракон. Биологический подтекст, заложенный в названии кривой, заставляет задуматься: а не закодирована ли в генах схожим образом информация о
Рис. 14. Первые четыре этапа построения «дракона Хартера—Хэйтуэя» (а) и последующие его очертания.
формах и размерах существующих живых организмов?
2.15. Методы синтезафракталов и фрактальные
множества на комплексной плоскости
При моделировании детерминированных фракталов используются специальные методы, такие, как системы L-фупкций и системы итерированных функций (1RS) [28, 29, 57, 58, 62, 115].
Понятие L-систем появилось в 1968 г. благодаря А. Линденмайеру. Сначала L-системы были введены при изучении формальных языков, а также использовались в биологических моделях селекции. Для графической реализации L-систем в качестве подсистемы вывода используется тертл -графика (turtle — черепаха). Детерминированная L-система формально состоит из алфавита, слова инициализации, называемого аксиомой или инициатором, и набора порождающих правил (генератора).
Одно из глубоких и замечательных достижений в построении фракталов — системы итерированных функций. Математические основы были разработаны Дж. Хатчинсом (1981 г.), а сам метод стал широко известен благодаря М. Баркли (1988 г.). Система итерированных функций
- это совокупность аффинных преобразований. Как известно, аффинные преобразования включают в себя масштабирование, поворот и параллельный перенос. Существуют два подхода к реализации IF S: детерминированный и рандомизированный. Детерминированный алгоритм позволяет получить привлекательные изображения, но требуют обработки больших массивов нулей и единиц. В рандомизированном алгоритме начальное множество содержит всего одну точку. На каждом шаге используется только одно аффинное преобразование из всей совокупности преобразований, задающих IFS. Это преобразование выбирается случайным образом.
Нелинейные алгоритмы построения
фракталов используют итерации на
2
комплексной плоскости вида zn+l = zn + с, где с
— некоторая комплексная константа, являющаяся управляющим параметром. Кажущаяся простота этого процесса никак не сопоставима с потрясающей красотой и разнообразием тех фрактальных структур, которые при этом
РАДИОЛОКАЦИЯ
Рис. 15. Множество Жюлиа. возникают. В 1879 г. сэр Артур Кэли поставил задачу итерирования комплексных функций. Теория итераций на комплексной плоскости была описана в 1918 г. Г. Жюлиа (1893-1978), который тогда находился в госпитале после ранений, полученных на фронте во время первой мировой войны. Как его работа, так и работа (1919 г.) его современника и соперника П. Фату (1878-1929), вскоре были преданы забвению. Как отмечается в [28], наиболее весомый и внушительный вклад сделал сам Фату, однако Жюлиа составлял ему сильную конкуренцию и имел некоторые преимущества, связанные с его статусом раненого героя войны. В 1918 г. Жюлиа получил «Гран—при Математических Наук» Парижской Академии наук за свою работу.
Исследования П. Монтеля, Д. Сулливана, Б. Мандельброта, Дж. Милнора и др. вновь привлекли внимание к их теории. Интеллектуальные достижения Г. Жюлиа и П. Фату примечательны еще тем, что им всецело приходилось полагаться на воображение. Компьютеры сделали видимым то, что не могло быть изображено в годы создания этой теории. Визуальные компьютерные результаты превзошли все ожидания.
Множества Жюлиа — это фрактальные границы, возникающие в процессе итерирования квадратичного комплексного преобразования, сохраняющего углы, т.е. конформного преобразования.
Рис. 16. Множество Фату.
Рис. 17. Множество Мандельброта.
Разнообразие форм границ зависят только от управляющего параметра с. При некоторых значениях с множества Жюлиа связны (рис. 15), а при других значениях — вполне несвязны и представляют пылевидные канторовы множества (пыль Фату — рис. 16).
Оказалось, что абсолютно все значения параметра с, при которых множество Жюлиа связно, принадлежат множеству Мандельброта ('М-множеству), открытому в 1980 г. Множество Мандельброта показано на рис. 17, как закрашенная черным цветом часть комплексной С- плоскости.
Из произвольной точки множества М можно попасть в любую другую, не покидая множества М, т.е. множество Мандельброта является связным (Дуади и Хаббард, 1982 г.). Это не просто причудливая форма, которая кому-то кажется прекрасной, а кому-то безобразной; она воплощает в себе более общий, чем универсальность Фейгенбаума, принцип перехода от порядка к хаосу. Тончайшая математическая паутина множества Мандельброта продолжает внушать благоговейный трепет даже закаленным профессионалам. Сложность М-множества, это напоминание о том, что сложность во многих явлениях природы, может быть следствием простых законов.
Рис. 18. Множество Фату.
ПОТАПОВ А.А.
РАДИОЛОКАЦИЯ
Если брать значения константы с снаружи М, то единственным аттрактором будет бесконечность, т.е. точка, изображающая процесс итераций, уходит на бесконечность. Тогда множество Жюлиа распадается на пыль Фату. Эта пыль становится все мельче и мельче по мере удаления с от М. Если точка с находится вблизи границы М, то пыль образует завораживающие фигуры, примеры которых приведены на рис. 17 и рис. 18. Эти фигуры всегда фрактальны, самоподобны и несут в себе хаотическую динамику.
Наиболее замечательная особенность множества Мандельброта заключается в том, что оно служит бесконечно эффективным хранилищем изображений (Тан Лей, 1984 г.). При увеличении множества Мандельброта в окрестности его пограничной точки с появляются формы, которые являются множествами Жюлиа.
Все рассмотренные выше фракталы были детерминированными. Построение случайных фракталов не сводится к случайным возмущениям детерминированных фракталов. Наоборот, случайный характер присущ им изначально, что связано со случайными процессами. Основной моделью при построении случайных фракталов является фрактальное броуновское движение. Существование фрактального броуновского движения доказано Б. Мандельбротом и Ван Нессом в 1968 г. Этот процесс в неявном виде рассматривался еще А.Н. Колмогоровым в 1940 г.
Иногда применяют метод случайных возмущений. Для рандомизированной снежинки Коха добавляют равносторонние треугольники, обращенные по случайному закону как внутрь, так и наружу. В рандомизированной салфетке Серпинского при построении случайным образом удаляется любой из треугольников. Иногда применяют рандомизацию длин интервалов, удаляемых при построении множества Кантора. Обобщая сказанное, можно отметить, что случайные фракталы представляют собой комбинации порождающих правил, выбранных наугад в различных масштабах. При этом в итерационной процедуре можно слу-чайным образом менять ее параметры. 2.16. Показатель Херста случайных процессов При фрактальной обработке выборок случайного процесса и временных рядов в настоящее время часто используется метод
нормированного размаха или метод Херста [57,58,62,89,115]. В этом случае такие процессы характеризуются показателем Херста или коразмерностью H. Для расчета показателя Херста H одномерной выборки необходимо рассчитать ее нормированный размах R/S. Для всевозможных случайных процессов данная величина подчиняется следующему эмпирическому соотношению: R / S = (т / 2)H. (126)
В формуле (126) выражение R(tT = max X(t, т) - min X(t, т), (197)
1<t<r 1<t<T
максимальный размах амплитуд случайного процесса в рассматриваемой выборке,
X (t ,т) = £{£(u)-(ф
u=1
отклонение от среднего значения,
<4=Тtw) т t=i
среднее значение на интервале т,
s Ч! t\ß(f)-{Z\
[L t=1
, 1/2
(128)
(129)
(130)
среднеквадратичное отклонение, I - дискретное время с целочисленными значениями, т -длительность рассматриваемого промежутка времени.
Необходимо отметить, что метод Херста — это исключительно устойчивый метод. В его основе нет изначального предположения о гауссовских
Из соотношения (126) логарифмированием определяется величина показателя Херста Н. Для одномерного отраженного сигнала фрактальная размерность D, характеризующая его структурные свойства, при условии 0 < Н < 1 связана следующим соотношением с показателем Херста: В = 2 - Н. (131)
В случае двумерного процесса (изображения) с параметром Н соотношение (131), определяющее фрактальную размерность В, необходимо записывать в виде: В = 3 - Н. (132)
Хорошо известно [57,58,62,89,115], что случай
1/2 < Н < 1 (133)
соответствует персистентному процессу (процессу, сохраняющему наблюдаемую тенденцию роста или уменьшения мгновенных амплитуд
РАДИОЛОКАЦИЯ
в выборке, т.е. процессу с памятью). При этом очевидны тренды в исследуемом процессе. Это справедливо в среднем и для произвольно больших временных интервалов /, когда временной ряд становится менее зашумленным.
Случай
0 < Н < 1/2 (134)
соответствует антиперсистентному процессу (при этом рост амплитуд огибающей сигнала в "прошлом" означает уменьшение в "будущем", и наоборот). Антиперсистентное значение Н характеризует систему, более подверженную переменам. Данный тип систем часто называют "Возврат к среднему".
Значение Н = % соответствует классическому броуновскому движению, являющимся марковским процессом. Для оценки параметра Херста также используют и структурные функции случайного процесса. На практике считают, что показатель Херста можно достаточно точно оценить, используя выборки, состоящие примерно из 2500 измерений [57,58].
При фрактальном анализе сигналов в общем случае необходимо построить в двойном логарифмическом масштабе графики зависимости дисперсии сигнала или его структурной функции. Если полученная зависимость достаточно хорошо аппроксимируется некоторой «прямой» на большом числе временных масштабов, то по тангенсу угла ее наклона можно найти величину 2Н (при анализе временного хода дисперсии сигнала) или величину Н (когда анализу подвергается структурная функция). Линейный участок полученной экспериментальной «прямой» будет определять нам область скейлинга исследуемого процесса.
Для фрактальных процессов, описывающих одномерное обобщенное броуновское движение с коразмерностью 0 < Н < 1, спектральная плотность мощности G(f) имеет фрактальный вид [57,58]:
0(Л = -уа, « =2Н+1. (135)
Применение показателя Н в радиофизических задачах кратко представлено в п. 2. Данные вопросы примыкают к кругу общих вопросов эволюции открытых радиофизических систем при изменении внешних параметров и появления режима хаоса и точек бифуркаций, т.е., к
решению актуальных задач об адаптивной схеме фрактального обнаружителя радиолокационных сигналов, что также показано в п. 2. 2.17. функции фокСА и процессы во фрактальных средах
Применение аппарата функций Фокса [116] при рассмотрении процессов релаксации и диффузии в средах с фрактальной размерностью, характеризуемых уравнением типа диффузии с дробными производными по координатам и времени, продемонстрируем на основе результатов, полученных в [22]. Из-за фрактальности - в отличие от стандартного уравнения диффузии, когда поток частиц ] ~ др / д и j ~ д2р / дх2 - нарушается вследствие самоподобия локальность таких связей. Величина потока начинает зависеть от предыстории процесса - значений концентрации в более ранние моменты времени:
j() «д | р(т)К(V,т)йт,
(136)
т.е. процессы диффузии и релаксации становятся недебаевскими.
В формуле (136) ядро К(£ т) включает фрактальную размерность В среды и в стационарном режиме зависит от разности аргументов. Одновременно К(£ т) при замене фрактальной среды на обычную должно удовлетворять стандартному уравнению диффузии. Простейшим таким ядром является степенная функция К(р — т) = ( — т)-т<0) с показателем степени, зависящим от фрактальной размерности пространства диффузии В. В этом случае правая часть (136) совпадет по структуре с определением дробной производной Римана-Лиувилля (36) порядка 0 < V < 1, т.е. j(х, V) ~ д' р(х, V) / дtv. Одновременно вследствие сложности и запутанности траекторий движения частиц производная по координате (градиент) становится фрактальной и ~ д2"р / дt2". Уравнения недебаевской диффузии и релаксации примут соответственно следующий вид:
д' л д" д" 1 д"р=ва^р а^р = -Тр
(137)
где 0 < V < 1, 1 < 2у < 2 [57,58].
Диффузионно-релаксационные процессы, исследуемые в [22], описываются в одномерном случае уравнением
one
7 ПОТАПОВ А.А.
РАДИОЛОКАЦИЯ
dv ~ d2r 1 — Р = D —р--р,
dtv ex27 И Tv
(138)
виде
0 D;vg = Îdt'^)-, 0 t * rfvH (t -1Tv
r(v) 'o
получаем P( x, t ) -po( x) = o D-
(t -1')
д2r
ôx2r D tv
P( x, t )
(139)
(140)
o d; {р( x, t ) -Po( x )} =
d - _1
dx2y t;
р( x, t ). (141)
p(k, P) =
ро(к ).
(143)
P (k, p) =
T(k)p0(k) Hu
-H ,
T (k ) p
1-1/v,1/v 1-1/v,1/v
л
, (144)
Представим функцию И\'\ в виде ряда и получим решение уравнения (140) в виде
и для их решения используется вышеприведенный математический аппарат функций Фокса.
Действуя на правую и левую части уравнения (138) дробным интегральным оператором (30) в
1 м
р(x, t) = | dk exp(ikx)
x
xÂ(k )Z
[D(ikfrtv - tvr~v
(147)
п=о Г(1 + :п)
Интеграл (146) в ряде случаев вычисляется в явном виде. При 1/т = 0 формула (146) приводится к виду
при начальных условиях р(х,г) |г=0 = р0(х). Дробное дифференцирование (140) с помощью оператора 0Б при условии 0Б 0V. = 1 дает
1 M
р( x,( ) = -Idk exp(ikx,)Po(k У
xH
-ik )
2у
(o,1)
(Dtv )
-1/2/
(148)
Далее необходимо использовать
преобразование Фурье по отношению к пространственной координате и преобразование
да
Р(к,р) = |р(к,0схр(-р^Л Лапласа по времени. Для амплитуды Фурье р (к, р) справедливо уравнение
0 ц {р(к, г) - р0( х)}=
" ~ 1 1 1 (142)
Б(1кГ-- р(к,I) = - — р(к,I). _ т J 1
Действие дробной производной по времени
на не зависящую от времени функцию р0( х) не равно нулю: 0р0 = р0Г/ Г(1 - :).. Для образа р(к, р) получим уравнение
(0,1), (0, v\
Для функций Фокса удобнее использовать синус (F) и косинус (F) преобразования Фурье. Рассмотрим частный случай Po(k) = Ро =const, р0(x) = р08(x), и пусть у = 1 — s, 0 < s < 0.5. После ряда преобразований [22] получаем точное решение уравнения (140) с 1/т = 0 и начальным условием р0( x,t )|t=0 = p0S( x), при 0.5 < у < 1:
р( x, t ) =
ро
4y( Dt; )1/2r ( -1)!2r
И£\ (-1) rx
(1, 1/ 2 y), (1, v /2y),(1,1/2)
+O^ н32з ! (-1)-e,2Y-x ,
( -1)-!2r+U2 x1
( - 1)!/2y+1/2
x
(149)
И£1 (-1)!2rx
'x,
1 + (Tp)-
Далее представим p (k, t ) через функцию Фокса:
(1,1), (1,1/2/), (1,1/2) (1, 1/2/), (1, V /2/), (1, 1/2Я
(1, 1), (1, 1/2/), (1, 1/2) У
(1, 1/2/), (1, V /2/), (1/2, 1/2)^ (1, 1), (1, 1/2/), (1/2, 1/2) ) (1 , 1/2/) , (1, V /2/), (1/2,1/2)^1 (1,1), (1,1/2/), (1/2,1/2) )
Для у = V = 1 после ряда преобразований решение уравнения (149) совпадает с хорошо известным решением обычного уравнения диффузии.
Асимптотическое разложение для функции
и проведем обратное преобразование Лапласа р(х,г) при / ^ да позволяет записать:
p(k, t ) = ИЦ
(0,1/v) ^ (0,1/ v),(0,1)
(145)
1
р( x, t )
M
xi
Решение уравнения (140) имеет вид
1 M
р(x, t) = ~\ dk exp(ikx) Д, (k) x
2n tO Г[1 - v(n +1)] Д (k ) exp(ikx)
x
(150)
-in+1
, t
xH
1
(ik Yr D--
Tv
(o,1)
(0,1), (0, v)
(146)
[ k )2r-1/ Tv J
Для конкретных p0(k) можно получить явные выражения (150). Пусть p0(k) = p0S(k), D = 0. Тогда
v
РАДИОЛОКАЦИЯ
-V (n + 1)
t
• <Х>,
(151)
Р( xt) = P(t) =
= _!_ р у (-1) n+1 f t
2п ¿0 Г[1 -v(n +1)]fr
и p(t) - 1/ tV.
Для р0 (к) = р0 = const и 1/хт имеем дело с чистой диффузией. Решение дается выражением (149) и диффузионное смещение частицы — со временем x ~ iv/2y. При v = у = 1 получаем известное соотношение x2 ~ t. Приближенное суммирование ряда по ж в (147) для больших t, которое осуществляется сохранением небольшого числа слагаемых в ряде по ж и замене функции Г(1 + vn) на функцию (1 + ж) при v ^ 1, позволяет получить асимптотику по t и для у ф 1. 2.18. Волновое уравнение и фрактальные среды Результаты исследования нелинейного уравнения типа обобщенного волнового уравнения во фрактальном пространстве, частным случаем которого являются как волновое уравнение для нелинейной среды, так и нелинейное уравнение диффузии, приведены в [23]. Это уравнение описывает процессы с сохранением временной и пространственной памяти в виде
D+,t Р( x, t) =
= DоD+x [р° (x, t)DXx, t)], v > 0, Y > 0, (152)
где DVt и DY x — дробные производные Римана-Лиувилля соответственно по времени и координате, х > 0; D0 = const.
Данное уравнение отличается от уравнения нелинейной диффузии [57,58] вида
д . ч д
—P(t ,x) = — dt dx
D0pa(t ,x)^p(t, x) dx
с автоволновым решением , -|1/ct
V (vt - x)
р = р
0 < x < vt
(153)
(154)
заменой временных и пространственных производных на дробные производные, рассматриваемые как обобщенные функции. При этом граничные и начальные условия уравнения (153) сохраняются для (152), а р( x,t) рассматривается как обобщенная функция.
Уравнение (152) описывает распространение электромагнитных волн в нелинейных фрактальных или слабофрактальных (V ~ 2, у ~ 1) средах при соответствующем выборе значений V, у, о. При добавлении нелинейных по р( x,t)
слагаемых уравнение (152) будет описывать как нелинейную диффузию, так и процессы самоорганизации [57,58].
3. ПРИКЛАДНЫЕ АСПЕКТЫ МЕТОДА 3.1. Современная физическая концепция на основе теории фракталов и дробных операторов
В настоящее время заметно возрос интерес к осмыслению таких понятий, как простота и сложность, осознанию разнообразных уникальных особенностей сложных систем живой и неживой природы, включая диссипативность, самоорганизацию, фрактальность, скейлинг, эредитарность (немарковость), негауссовость, линейные и нелинейные отклики на внешние возмущения. Одна из главных проблем анализа сигналов, продуцируемых сложными системами, состоит в адекватной параметризации вкладов, характеризующих составляющие исследуемых сигналов. Обычно особенности сложных систем проявляются на разных пространственно-временных масштабах. Как хорошо известно, стационарные режимы и периодические движения долгое время считались единственно возможными состояниями. Однако открытия второй половины XX века кардинально изменили наше представление о характере динамических процессов. Сейчас мы осознаем, что наш мир не только нелинеен, но и фрактален. В настоящее время явно ощущается недостаточность традиционных физических моделей.
Отметим, что к главнейшим проблемам радиофизики относятся вопросы
радиолокационного обнаружения
высокоскоростных, малозаметных и
малогабаритных объектов вблизи поверхности земли и моря, а также в метеорологических осадках, что представляет крайне трудную задачу при высокоскоростных целях и непредсказуемых траекториях [1,17,39,65]. Кроме того, помехи от морской поверхности и растительности имеют нестационарный и многомасштабный характер, особенно при малых углах скольжения 3. В последнее время появляется все больше различных видов беспилотных летательных аппаратов (БПЛА). Благодаря их малым габаритам, а также использованию в их конструкциях пластмасс, стекловолокна, пенопласта,
ПОТАПОВ А.А.
РАДИОЛОКАЦИЯ
даже картона и других слабоотражающих электромагннтные волны материалов, БПЛА имеют небольшую эффективную отражающую способность. Отношение сигнал/помеха с]^ для перечисленных выше задач почтп всегда
заполняет область отрицательных (в децибелах)
2
значений, т.е. Ц{) < 0 ... 1 дБ.
Как хорошо известно, при экспериментах по рассеянию метровых, дециметровых, сантиметровых и миллиметровых волн перед исследователями возникли вопросы правомерности и применимости гауссовских моделей. Вскоре начались многочисленные искусственные попытки создания моделей рассеяния с целью повышения уровня «хвостов» вероятностных распределений амплитуд отраженных сигналов.
Все это делает трудно применимым классические радиолокационные методы и алгоритмы обнаружения, т.е. использование энергетических обнаружителей (когда отношение правдоподобия определяется исключительно п только энергией принимаемого сигнала) становится принципиально невозможным. Обнаружение малоконтрастных объектов на фоне указанных выше естественных интенсивных помех неизбежно требует введения п вычисления некоторой принципиально новой характеристики, которая отличается от классических функционалов, связанных с энергией помех и сигнала, а определяется исключительно топологией и размерностью принятой смеси сигнала с помехами и шумами.
Применение идей масштабной
инвариантности — «скейлинга» — совместно с теорией множеств, теорией дробной размерности, дробным исчислением, общей топологией, геометрической теорией меры и теорией динамических систем открывает большие потенциальные возможности и новые перспективы в обработке многомерных сигналов п в родственных научных и технических областях. Другими словами, полное описание процессов современной обработки сигналов п полей невозможно с помощью подходов и формул только классической математики.
При фрактально-скейлпнговом подходе, предложенном и последовательно развиваемом автором более 40 лет в ИРЭ им. В. А. Котельникова РАН, описание и обработка
сигналов и полей проводится исключительно в пространстве дробной меры с применением гипотез скейлинга, негауссовских устойчивых распределений с тяжелыми хвостами и, по возможности, с применением аппарата дробных пнтегропропзводных [1,5,7,16,17,34-84,99,100,107-109,113,123-133].
Эволюция взглядов автора и развитие на данный момент в ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН «фрактальной идеологии» исследований показана на рис. 19 и 20, где также приведены сведения о моменте их интенсивного развертывания и открытых публикаций. Все исследования проводятся автором исключите и.по в рамках нового фундаментального междисциплинарного научного направления, кратко обозначенного как "Фрактальная радиофизика и фрактальная радиоэлектроника: Проектирование фрактальных радиосистем". На рис. 19 введены аббревиатуры: ФНОРС — фрактальный непараметрический обнаружитель радиолокационных сигналов, ФОС фрактальный обнаружитель сигналов.
Условно в данных исследованиях можно проследить три этапа. На первом этапе акцент
ФРАКТАЛЫ В СОВРЕМЕННОЙ РАДИОФИЗИКЕ, РАДИОЭЛЕКТРОНИКЕ И ДРУГИХ НАУЧНЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ
Фрактальные и текстурные сигнатуры, 1987
Обнаружение малоконтрастных целей (Текстуры + Фракталы), 1987 + 1997
Распознавание контуров
целей (Текстуры + Фракталы), 1987+ 1997
Синтез изображений местности, 1996
Кластеризация изображений, 1997
Фрактальные лабиринты, 2008
Фрактальные системы MIMO, 2013
ФНОРС (2005) + новые динамические ФОС, 2011
Фрактальные и текстурные
обнаружители малоконтрастных целей.-главная тема автора с 1985
Фрактальная структура отражённого радиолокационного сигнала, 2000 + 2016
Уравнение радиолокации при зондировании фрактальных целей 2002 + 2018
Фрактальная модуляция и сигналы,1988
Фрактальные антенны и их конструирование, 1992
Рассеяние волн фрактальной поверхностью, 1997
Динамические модели рассеяния радиоволн на основе детерминированного хаоса, 1997
Фрактальные флуктуации
волн: тропосфера + ионосфера, 1992+2010
Фракталы в машиноведении и нанотехнологиях, 2003
Радоновская фрактальная радиолокация, 1999
Фракталы и скейлинг в радиометрии, 1984 + 2009
Фрактал ьно-скейлинговая или масштабно-инвариантная радиолокация, 2015
Волны в больших неупорядоченных фрактальных системах, 2017
Фрактальные импедансы и радиоэлементы, 2003
Фрактальные селективные и поглощающие материалы, 2003
Фракталы в медицине и биологии, 2005
Фрактальная электродинамика, 2007
Фрактальная космология, 2008
Теория игр + теория управления{дробные уравнения), 2012
Фракталы в логистике, 2009 Инварианты и Хаос, 2010
Фрактальная динамика, 2013
Фрактальные характеристики молний в ионосфере: эльфы, джеты. спрайты,2013
Многократное рассеяние волн на фрактальном ансамбле частиц, 2002 + 2018
Рис. 19. Эскиз развития прорывных технологий на основе фракталов, дробных операторов и эффектов скейлинга для нелинейной физики и радиоэлектроники.
РАДИОЛОКАЦИЯ
Рис. 20. Авторская концепция фрактальных радиосистем, датчиков,устройств и радиоэлементов.
был сделан на экспериментальной проверке фрактальности различных природных и искусственных образований, что позволило применить к ним понятия дробной размерности и масштабной инвариантности, и начать разработки методов фрактальной фильтрации объектов в различных интенсивных помехах. Второй этап был целиком посвящен усовершенствованию созданных оригинальных алгоришюв фрактальной цифровой обработки сигналов и изображений, фрактальным методам обнаружения, распознавания, повышения контрастности, т.е. фрактальной обобщенной фильтрации. Третий этап характеризуется переходом к проектированию фрактальной элементной базы и некоторых фрактальных узлов, а в перспективе фрактальных радиосистем в целом.
Большое значение приобретает аналогия между современными задачами радиофизики и радиоэлектроники и теорией фазовых переходов и критических явлений. Как известно, в основе современной ренормгрупповой теории фазовых переходов лежит подход, базирующийся на гипотезе скейлинга, или масштабной инвариантности. На основе глубокой проработки данного научного направления удалось сформировать аналогичный подход для решения большого класса радиофизических и радиотехнических проблем.
Заметим, что наличие в уравнениях дробной производной по времени интерпретируется как наличие памяти или, в случае стохастического процесса, — немарковости. 3.2. Фрактальные меры и сигнатуры Фракталы относятся к множествам с крайне нерегулярной разветвленной или изрезанной структурой. Теория фракталов рассматривает вместо целочисленных мер — дробные и базируется
на новых количественных показателях в виде дробных размерностей И и соответствующих фрактальных сигнатур. Фрактальные дробные размерности И характеризуют не только топологию объектов, но и отражают процессы эволюции динамических систем и связаны с их свойствами.
Разработанная автором классификация фракталов была в декабре 2005 г. в США одобрена и принята Б. Мандельбротом [43,58,62]; она приведена на рис. 21, где описаны свойства фракталов при условии, что И — топологическая размерность пространства, в котором рассматривается фрактал с дробной размерностью П.
Исходя из данных рис. 21, можно дать математическое определение фрактала:
"Фрактал—это функциональное отображение или множество, получаемое бесконечным рекурсивным процессом, и имеющее следующие свойства: 1) само подобие или масштабную инвариантность (бесконечный скейлинг), т.е. фракталы на малых масштабах выглядят в среднем так же, как и на больших; 2) дробную размерность (называемую размерностью Хаусдорфа) строго большую, чем топологическая размерность;
Рис. 21. Авторская классификация фрактальных множеств и сигнатур, одобренная Б. Мандельбротом.
ПОТАПОВ А.А.
РАДИОЛОКАЦИЯ
3) недифференцируемость и оперирование дробными производными и интегралами".
Физическое определение фрактала следующее:
"Фракталы — это геометрические объекты (линии, поверхности, тела), имеющие сильно изрезанную структуру и обладающие свойством самоподобия в ограниченном масштабе".
Весьма плодотворным оказалось введение автором в практику измерений понятий фрактальных сигнатур и фрактальных кептров [44,45,48,49,52-64,66-79,82,84,124-133]. Понятие "кепстр" исторически происходит от перестановки букв в слове "спектр". Понятие "фрактальный кепстр" определяется тем, что при вычислении фрактальной размерности О принятого многомерного сигнала необходимо производить логарифмирование амплитуд усредненных на разных масштабах принятых временных/ пространственных отсчетов. Фрактальные сигнатуры и фрактальные кепстры отражают свойство самоподобия реальных сигналов и электромагнитных полей. Таким образом, в методах фрактальной обработки всегда необходим учет скейлинговых эффектов реальных радиосигналов и электромагнитных полей. 3.3. Текстурная и фрактальная обработка малоконтрастных изображений и сверхслабых сигналов в интенсивных негауссовских помехах и шумах На рис. 22 приведена полная структура авторских исследований в ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН текстурных и фрактальных методов обработки малоконтрастных изображений и сверхслабых сигналов в интенсивных негауссовских помехах. Разрабатываемые автором
текстурные и фрактальные цифровые методы позволяют частично преодолеть априорную неопределенность в радиофизических и радиолокационных задачах с помощью геометрии или топологии выборки — одномерной или многомерной [17,57,58,62,82,84].
При этом большое значение приобретают топологические особенности выборки, а не усредненные реализации, имеющие зачастую другой характер. Для того чтобы акцентировать внимание на учете этих особенностей, был специально введен термин размерностный склероз физических сигналов, полей и их фрактальных сигнатур [57,58,82]. При описании
ТЕКСТУРЫ И ФРАКТАЛЫ В ОБРАБОТКЕ СИГНАЛОВ И ИЗОБРАЖЕНИЙ
Выделение текстурных и фрактальных
признаков, 1987
Текстурные и фрактальные сигнатуры, 1987
Анализ изображений и сигналов, 1987
Морфологическая обработка, 1987 + 1997
Распознавание образов, 1987 + 1997
Фильтрация изображений, 1987
Топология выборки, 2000
Видоизменение гистограмм, 1987
Словари текстурных
и фрактальных признаков, 1987 + 2003
Переход от гауссовых статистик к степенным законам, 1980
Тонкая структура радиосигналов, 1983
Авторегрессионный синтез текстурных изображений, 1987
Выделение контуров, 1987+ 1997
Фрактальный синтез изображений, 1996
Сегментация изображений, 1987
Кластеризация изображений, 1987+1997
Совмещение изображений, 1988
Синтез эталонов местности, 1988+2006
Рис. 22. Классификация текстурных и фрактальных методов обработки малоконтрастных изображений и
сверхслабых сигналов. немарковских процессов, как известно [88], для раскрытия физического смысла дробных производных широко используется термин асимптотический склероз.
Текстура - это матрица или фрагмент пространственных свойств участков
изображений с однородными статистическими характеристиками [57,58]. Текстурные признаки (ТП) основаны на статистических характеристиках уровней интенсивности элементов изображения и относятся к вероятностным признакам, случайные значения которых распределены по всем классам природных объектов. Решение о принадлежности текстуры к тому или иному классу может приниматься только на основании конкретных значений признаков данной текстуры. В таком случае принято говорить о сигнатуре текстуры.
Классические радиолокационные сигнатуры включают в себя временные, спектральные и поляризационные особенности (признаки) отраженного сигнала. Понятие «сигнатура» описывает распределение генеральной совокупности измерений для данной текстуры в сценах такого же типа, как и данная [53]. В наших
РАДИОЛОКАЦИЯ
экспериментах были также оптимизированы оценки влияния размера окон на точность определения текстурных признаков для изображений различных типов земных покровов. Продолжительное время первые работы автора в области исследования совместных радиолокационных (РЛИ) и оптических изображений (в том числе и радиолокаторами с синтезированной апертурой — РСА) земных покровов с использованием текстурной и фрактальной информации, фактически были единственными в СССР и России, и сегодня они также не потеряли актуальность.
На основе полученных автором результатов были впервые предложены и реализованы следующие нетрадиционные и достаточно эффективные методы обнаружения сигналов при малых отношениях сигнал/фон ц^ : дисперсионный метод, метод обнаружения с помощью линейно моделированных эталонов и метод с прямым использованием ансамбля текстурных признаков [44].
Особо отметим, что разрабатываемые фрактальные (топологические) методы составляют самостоятельную область
исследований и не связаны напрямую ни с классическими вероятностными распределениями математической статистики, ни с классической теорией выбросов, ни с вопросами статистической топографии случайных процессов и полей.
Если при синтаксическом или структурном распознавании исследуют структуру объектов, ее иерархию и связи между ними, то при фрактальном распознавании исследуют топологию объекта и фона, отображенных в одномерных и многомерных принятых радиолокационных сигналах. При фрактальном подходе необходимо искать, реализовывать и использовать правила, которым подчиняется дробная (сложная) топология рассматриваемых образов. Тогда процедура фрактального распознавания — это сопоставление со словарем фрактальных признаков [57,58,62,77,82].
В этом случае мы будем выделять "фрактальные примитивы" — элементы "фрактального языка". Неизбежно возникает вопрос о составе фрактальных примитивов — фрактальных символах, являющихся наименьшими элементами фрактального языка. Множество используемых
фрактальных символов мы назовем "фрактальным алфавитом" или "фрактальным словарем", обозначаемым символом Ф. На основе последнего можно составлять "фрактальные строки' — конечные последовательности символов, входящих в алфавит. Длина строки может быть любой. Все возможные строки фрактального алфавита образуют универсальное множество строк или замыкание Ф. Если ввести множество пустых строк, то конечное или счетное бесконечное подмножество замыкания фрактального алфавита Ф и есть более точное определение понятия "фрактальный язык". Отдельные фрактальные строки, составленные из его фрактальных символов, мы назовем "фрактальными словами".
Далее, выполняя некоторые логические операции над фрактальным языком, можно создать новый язык. Правила создания, преобразования и взаимодействия фрактальных слов будут определяться "фрактальной грамматикой'. Для ее построения возможно использование идей формальной грамматики, разрабатываемой в математической лингвистике. 3.4. ФОРМАЛЬНЫЕ ФРАКТАЛЬНЫЕ ГРАММАТИКИ Для методов формальной грамматики характерны две особенности [15]. Во-первых, они описывают только совокупность возможных результатов и не дают прямых указаний, как получить результат для определенной задачи. Во-вторых, в них все утверждения формулируются исключительно в терминах небольшого числа четко определенных и элементарных символов и операций. Поэтому формальные грамматики просты с точки зрения их логического построения.
Формальная грамматика может быть определена порождающей грамматикой — системой
G = C, Cn, P, A, (155)
состоящей из четырех частей: терминальный (основной) словарь C, нетерминальный (вспомогательный) словарь C, множество правил подстановки P, начальный символ или начальная аксиома A(A G Cn)..
Терминальный (основной) словарь C — набор непроизводных терминальных элементов или признаков, из которых строят цепочки, порождаемые грамматикой. Выбор
ПОТАПОВ А.А..
РАДИОЛОКАЦИЯ
непроизводных элементов относится к проблеме определения информативных и устойчивых признаков для распознавания. Нетерминальный (вспомогательный) словарь С — набор символов, которыми обозначаются классы исходных элементов или цепочек исходных элементов, а также некоторые специальные нетерминальные или вспомогательные элементы. Начальный символ А — выделенный нетерминальный символ, обозначающий совокупность или класс все тех языковых объектов, для описания которых предназначена данная грамматика (например, в грамматике, порождающей предложения, начальный символ - символ, означающий предложение, и т.п.). Множество правил подстановки Р—конечное множество правил вида ф — у, где ф и у — слова в словаре (алфавите) Cn и Ct и «—»> — символ, не принадлежащий Cn и Ct. Порождающая грамматика не является алгоритмом, потому что правила подстановки представляют собой совокупность решений, а не последовательность предписаний.
Для формальной грамматики характерны соотношения:
C = ^ и ^, ^ п Сх = О, (156)
где С — словарь.
Процесс создания языка начинается с аксиомы А, к которой применяются одно за другим правила подстановок. В качестве операций над высказываниями используют конъюнкцию, дизъюнкцию, отрицание.
Рассмотримпример формированиянекоторых фрактальных примитивов. На практике для получения фрактальной грамматики необходим ее вывод по заданному ансамблю обучающих объектов. Эта процедура аналогична проблеме обучения в различных методах распознавания. Алгоритмы фрактального распознавания образов основаны на использовании парадигмы "топология цели - ее фрактальная размерность'. Априорное пространство детерминированных или вероятностных признаков определяется с помощью динамического теста.
Выбор и подготовка тестового материала для экспериментальной проверки фрактальных методов распознавания и проверка принципов построения алгоритмов существенно влияют на достоверность результатов исследования. В значительном большинстве возникающих на
практике задач классические методы теории статистических решений малопригодны для распознавания радиолокационных целей. Это происходит из-за того, что имеются: жесткие ограничения времени анализа, пропускной способности каналов передачи информации; высокий уровень априорной неопределенности; воздействие разного рода помех, большое разнообразие характеристик целей, объединенных в один класс, неизвестная ориентация целей; одновременное наличие нескольких целей, отличающихся ориентацией и размерами.
Формализация рассматриваемой задачи классически предполагает следующие этапы: ® — первоначальная априорная классификация целей или их классов, т.е. составление алфавита классов целей; (и) — определение необходимого перечня признаков, характеризующих цели (в данном случае, речь идет только о фрактальных признаках); (ш) — разработка эталонного словаря фрактальных признаков целей или классов целей; (гу) — описание алфавита классов целей на языке ансамбля фрактальных признаков эталонного словаря или их сочетаний; (у) — разбиение пространства фрактальных признаков на области, соответствующие исходным классам алфавита; (У) — выбор метрики (решающего правила) или алгоритмов распознавания, обеспечивающего отнесение распознаваемой цели к тому или иному классу целей. При разработке первого эталонного словаря фрактальных признаков, в качестве последних были выбраны: 1) — значение фрактальной (дробной) размерности В; 2) — вид фрактальных сигнатур или фрактальных кепстров; 3) — вид пространственного спектра и значения пространственных частот, характеризующие текстуру изображений [57,58,62,77,82].
Доказано, что фрактальный кепстр является с одной стороны удобным топологическим инвариантом — не требует предварительного ориентирования/масштабирования, а с другой стороны он нечувствителен к контрасту изображения. Так, положения характерных точек на фрактальных кепстрах позволяют определить класс цели (по какому-либо правилу), ее размеры, а также и количество целей. Относительное изменение положения характерных точек дает
РАДИОЛОКАЦИЯ
возможность решить задачу обнаружения детерминированной цели даже при очень низком контрасте.
3.5. Фрактальные обнаружители
радиолокационных сигналов
Создание первого эталонного словаря фрактальных признаков классов целей п постоянное усовершенствование
алгоритмического обеспечения явились основными этапами при разработке и макетировании нами первого фрактального непараметрического обнаружителя
радиолокационных сигналов (ФНОРС) в виде спецпроцессора [16,17,47,57,58,62,77,82-84]. Основные виды предложенных топологических обнаружителей сигналов приведены на рис. 23.
3.6. Адаптация фрактальных обнаружителей Большой интерес представляет создание адаптивных методов применительно к фрактальной обработке информации. Как известно [87], для адаптивной задачи характерно изменение параметров и/или структуры системы в соответствии с внешними условиями. Ниже показаны некоторые пути получения теоретических и технических решений задачи синтеза адаптивных фрактальных обнаружителей [42,46,57,58].
Работая с выборкой сигнала на фоне помех и шума в пространстве дробной меры, неизбежно приходим к алгоритмам (критериям) адаптивной фрактальной фильтрации. Адаптация такой нелинейной фрактальной фильтрации в условиях априорной неопределенности обеспечивается, в
Рис. 23. Основные виды предложенных фрактсыъно-скешшнговых или топологических обнаружителей сигнсиюв.
частности, текущей оценкой показателя Херста Н. Как отмечено выше, показатель Херста в зависимости от своего значения относительно величины Н = 'Л характеризует или персистентность ('Л ) или антиперсистентность (О < Н < 'Л) выборки.
В первом случае, когда 1/2 < Н < 1, мы наблюдаем процесс, сохраняющий тенденцию роста или уменьшения мгновенных амплитуд в выборке, т.е. процесс с памятью. Во втором случае, когда 0 < Н < 1/2, рост амплитуд огибающей сигнала в "прошлом" означает уменьшение в "будущем", п наоборот, т.е. процесс, более подверженный переменам, который часто обозначают как "возврат к среднему".
Фиксация значения Нв терминах [87] является встречной гипотезой, способствующей улучшению качества адаптации к реальным условиям. В общем случае устройство представляет следящую систему, адаптирующуюся по значениям показателя Херста Н к помеховой ситуации или, наоборот, к полезному сигналу. Примером адаптивной процедуры служит автоматическая регулировка усиления приемника в зависимости от текущей оценки Н =_/(/). В другой адаптивной процедуре происходит автоматическая регулировка порога обнаружения П по значениям Н =У(/)- Прп этом обеспечивается стабилизация вероятности ложной тревоги.
3.7. фрактально-скейлинговая или масштабно-инвариантная радиолокация
Обнаружение малоконтрастных объектов на фоне естественных интенсивных помех неизбежно требует вычисления принципиально новой характеристики, которая отличается от функционалов, связанных с помехами п энергией сигнала, а определяется лишь топологией п размерностью принятого сигнала. Введение в научный обиход радиолокации понятий «детерминированный хаос», «текстура», «фрактал» п «фрактальная размерность О» [17,36,57,58,62,77,82-84] позволило нам впервые в мире предложить, а затем и применить новые размерностные и топологические (а не энергетические!) признаки или инварианты (рис. 24), которые объединены под обобщенным понятием «топология выборки» ~ «фрактальная сигнатура».
^^ ПОТАПОВ А.А.
РАДИОЛОКАЦИЯ
Рис. 24. Новые топологические признаки и методы обнаружения маюконтрастных объектов на фоне помех (ТП - текстурные признаки, ЧФК - частотная функция когерентности).
Фрактально-скейлинговая или масштабно-инвариантная радиолокация [17,47,52,54,55,61,6668,82-84,125,127,130,131] базируется на трех постулатах: 1 - интеллектуальная обработка сигнала/изображения, основанная на теории дробной меры и скейлинговых эффектов, для расчета поля фрактальных размерностей; 2 - выборка принимаемого сигнала в шумах относится к классу устойчивых негауссовых распределений вероятностей И сигнала; 3 -максимум топологии при минимуме энергии входного случайного сигнала. Данные постулаты открывают принципиально новые возможности для обеспечения устойчивой работы при малых дг или увеличения дальности действия радаров. Алгоритмы обнаружения протяженных объектов п целей на оптических и радиолокационных изображениях с использованием текстурной
обработки были созданы нами еще в 80-е годы XX века (см. левый столбец на рис. 24).
3.8. Основные результаты
В итоге проведения совместных многолетних натурных экспериментов с ведущими отраслевыми НИИ и конструкторскими бюро СССР п России выполнен статистический анализ больших массивов новых данных по пространственно-временным характеристикам рассеяния земных покровов в диапазонах ММВ и СМВ с учетом их сезонных и угловых вариаций в разнообразных метеоусловиях с целью оценки границ радиолокационных контрастов, законов распределения удельных ЭПР, ширины спектра, времени и интервала корреляции флуктуации интенсивности отраженных простых и сложных фазоманппулпрованных сигналов в диапазоне ММВ п структуры отраженных импульсных сигналов, что позволяет учитывать особенности местности при проектировании разнообразных систем формирования изображений.
Создана теория рассеяния миллиметровых радиоволн хаотическими покровами,
использующая впервые введенные функционалы стохастических полей обратного рассеяния и частотные функции когерентности (ЧФК) с учетом диаграммы направленности антенны и корреляции наклонов неровностей. Результаты данной теории позволяют определять полосы когерентности пространственно-временных радиоканалов с переменными параметрами для оптимального выбора ширины спектра зондирующего сигнала, разнесения частот в многочастотных системах и величины базы сложных зондирующих сигналов, характеристики отраженных сигналов, обобщенные функции неопределенности, потенциальную точность оценок высоты полета летательного аппарата п характерных размеров неровностей. Теоретические и экспериментальные результаты были использованы при синтезе эталонных цифровых радиолокационных карт местности.
Впервые предложен новый класс информативных признаков, основанный на тонкой структуре отраженных радиолокационных сигналов миллиметрового диапазона радиоволн, п позволяющий улучшать идентификацию земных покровов.
РАДИОЛОКАЦИЯ
Впервые исследованы полные
ансамбли текстурных и пространственных корреляционно-спектральных признаков
оптических и радиолокационных изображений реальных земных покровов с последующим выделением кластеров и определением наиболее информативных признаков для определенных классов текстур. Доказано, что область существования текстурных признаков радиолокационных изображений полностью определяется соответствующими областями признаков оптических
изображений. Проведенные эксперименты продемонстрировали эффективность и общность предложенного подхода в задачах классификации земных покровов при комплексировании изображений на оптических и миллиметровых волнах. Комплексирование изображений повышает эффективность обнаружения, распознавания и классификации на основе расширенного вектора информативных и устойчивых признаков. Результатом обработки изображений являются детальные цифровые радиолокационные карты местности. Такие карты позволяют представить радиолокационную информацию в виде, удобном для дальнейшего пользования в радионавигации летательных аппаратов и распознавании различных типов наземных объектов. [Заметим, что эти исследования не имели аналогов, как в СССР, так и в России, и не потеряли своей актуальности в настоящее время].
Впервые разработан ряд текстурных методов (рис. 22, рис. 24) обнаружения различных объектов и их контуров на реальных оптических и радиолокационных изображениях земной поверхности при малых отношениях сигнал/ фон. Установлена связь размеров объекта и анализируемого фрагмента оптических и радиолокационных изображений широкого класса земных покровов в случае оптимального обнаружения.
Теоретически обоснована и
экспериментально подтверждена возможность стохастического авторегрессионного синтеза оптических и радиолокационных изображений земных покровов с операцией преобразования гистограмм яркости. Определены оптимальные размеры яркостного пространства и порядок
авторегрессионных рядов, участвующих в прогнозировании, для адекватного синтеза изображений. С увеличением порядка корреляции, области определения текстурных признаков синтезированных изображений сужаются. При сравнении участков исходного оптического или радиолокационного
изображения с синтезированным эталоном показано, что итоговое двумерное бинарное поле коэффициентов взаимной корреляции непосредственно фиксирует местоположение объекта в исходном изображении. Это позволяет сформировать карту движения и динамику обнаруживаемого объекта. Установлено с помощью различных алгоритмов совмещения (классический корреляционный, метод парных функций, метод абсолютной разности), что физическая достоверность стохастического авторегрессионного синтеза достигает величины 90%.
Разработан и реализован на основе вышеприведенных радиофизических
исследований системный поход к формированию информационно-
аксиоматической модели радиолокационных карт неоднородной местности. Создана обобщенная радиофизическая модель формирования радиолокационных карт неоднородной местности, включающая в себя как методы стохастического авторегрессионного синтеза изображений, так и информацию о поле удельных ЭПР земных покровов. Установлено характерное число градаций удельных ЭПР земной поверхности. На основе анализа архитектуры системы для получения эталона реализован алгоритм синтеза в радиодиапазоне контурных и полутоновых радиолокационных карт неоднородной местности. Показано, что разрушение корреляционного максимума происходит для контурной радиолокационной карты местности на длине волны 8.6 мм при угле взаимного поворота 5° ... 7°, а для полутоновой радиолокационной карты—при угле в пределах 14°. 17°. Затем в обобщенную радиофизическую модель формирования радиолокационных карт неоднородной местности были впервые введены фрактальные параметры, что повысило информативность синтеза.
Предсказано наличие странного аттрактора, контролирующего радиолокационное рассеяние
ПОТАПОВ А.А.
РАДИОЛОКАЦИЯ
от растительных покровов. Впоследствии эффект был обнаружен экспериментально на длине волны 2.2 мм (2002). Полученные результаты подтвердили теоретические представления о существовании режима хаоса в динамической системе, описывающей характер рассеяния электромагнитных волн растительными покровами [81].
Реконструкция аттрактора позволила определить его фрактальную размерность D, максимальный показатель Ляпунова, размерность вложения, интервал (время) предсказания. Экспериментальные характеристики странного аттрактора легли в основу принципиально новой негауссовской модели радиолокационного рассеяния ММВ растительными покровами на основе теории динамических систем и устойчивых распределений. Показано, что интервал (время) предсказания интенсивности отраженного радиолокационного сигнала примерно на порядок превышает классическое время корреляции. Это позволило ввести в теорию радиолокации новую существенную характеристику, а именно, интервал (время) предсказания, что расширяет методы и схемотехнику радиолокаторов.
Дано надежное физическое обоснование практического применения фрактальных методов (рис. 19 - рис. 24) в современных областях радиофизики, радиоэлектроники и информационно-управляющих систем.
В середине 80-х гг. XX в. создан совместно с ЦКБ «Алмаз» действующий макет когерентного малогабаритного цифрового твердотельного радиолокатора (ЦТР) на параметронах с длиной зондирующей волны 8.6 мм со сложным сигналом базой >106 и с обработкой входного подшумового сигнала на несущей частоте. При оптимальной обработке энергетический потенциал ЦТР возрастал на 50 дБ. Затем был создан ЦТР на двух зондирующих частотах в диапазонах ММВ и СМВ с фрактальной щелевой антенной (первой в СССР); для синтеза изображений использовано преобразование Радона. В 1997 г. впервые разработаны методы фрактальной модуляции и фрактальные сигналы, включая впервые введенные автором Н-сигналы.
Совместно с представителями ЦКБ «Алмаз» А.А. Потапов являлся одним из соруководителей
международного проекта № 0847.2 по линии МНТЦ (2000—2005 гг.) по созданию многофункциональной автоматизированной радиоизмерительной системы со сложным сигналом на сантиметровых и миллиметровых волнах, использующей принципиально новые запатентованные технологии схемотехники и цифровой обработки информации на основе фрактальных и радоновских алгоритмов в режиме реального времени. Чтение лекций по разработанным им в ИРЭ РАН фрактальным и текстурным технологиям и доклады по проекту МНТЦ в 2000 г. и 2005 г. в США (Вашингтон, Нью-Йорк, Хантсвилл, Атланта, Франклин), в Китае (2011 г. и по настоящее время) и на многочисленных Международных конференциях (Англия, США, Канада, Голландия, Австрия, Германия, Франция, Испания, Италия, Венгрия, Греция, Турция, Шотландия, Швейцария, Швеция, Мексика, Китай, Сербия, Черногория, Болгария, Казахстан, Белоруссия, Украина) принесли ему широкую известность в кругах международной научной общественности.
В декабре 2005 г. американскими специалистами (из Алабамского университета и Центра космической плазмы и Аэроисследований США) в официальном письме на имя директора ИРЭ РАН академика Ю.В. Гуляева было отмечено, что «.. .Семинары были крайне интересны и подтвердили высокую научную квалификацию доктора А. Потапова. Радиолокационные технологии, представленные доктором А. Потаповым, основаны на теории фракталов и являются новыми. Важность этих исследований для международного сообщества специалистов и ученых неоспорима» — (рис. 25).
Тогда же состоялась знаменательная и продолжительная научная встреча А.А. Потапова с основателем фрактальной геометрии Б. Мандельбротом у него дома в США, когда он принял и одобрил определение фракталов, введенное А.А. Потаповым в своих книгах и статьях, и его работы (Рис. 26).
Впервые обнаружена и доказана эффективность и перспективность применения теории дробной меры и скейлинговых соотношений (для текстуры и фракталов) в случае обнаружения и распознавания (обобщенной фильтрации) одномерных и многомерных радиолокационных сигналов от
РАДИОЛОКАЦИЯ
UAH
Afftaled Aead«fiMC Units Phone: (256| i?4-«860
Dopanmom el Computer SM»*» Fax: (256| 82M&7S
and CmvuUr Enflidiwlnj
Degaitment ol Mwnanicai and December 14. 2005
Aerospace Engineering
Academician Yu.V.Gulyacv DearDr.Gulyswv;
ll is my pleasure 10 inform you that Dr. A.Potapov has successfully presented several semi liars in the Center for Space Plasma and Aeronom ic Research (CSPAR) Center for Spacc Plasma and Acronomic Research (CSPAR) al ihc Univcrsily of Alabama in
credentials of Dr. A.Potapov. RADAR technologies presented by Dr. Potapov arc novel and based on the fractal theory. Their importance for the international community of specialists and scientists is undeniable.
Рис. 25. Письмо Центра космической плазмы США.
малоконтрастных целей на фоне интенсивных негауссовскпх помех разного рода. Таким образом, это принципиально новая радиотехника.
Доказано, что при сборе, преобразовании и хранении информации в современных сложных системах мониторинга удаленных и мобильных объектов в условиях интенсивных помех большое значение приобретают новейшие методы обработки информационных потоков и многомерных сигналов, предложенные автором. Обычно особенности таких сложных систем проявляются на разных пространственно-временных масштабах. Наиболее адекватные оценки состояний исследуемой системы и динамики изменения состояния ее подсистем реализуются при использовании теории фракталов и обработке многомерных сигналов в пространстве дробной размерности с непременным учетом эффектов скейлпнга, что
Рис. 26. Б. Манде,пфот и АЛ. Потапов. Нъю Парк, США, 2CXJ5 г.
впервые предложено и развито автором в НРЭ им. В.А. Котельнпкова РАН.
Предложен и обоснован новый, названный авторами «локально-дисперсионный», метод измерения фрактальной размерности и соответствующих фрактальных сигнатур сигналов, изображений и волновых полей. Данный метод, а также его эффективность, подтверждены на практике многочисленными примерами соответствующей цифровой обработки оптических и радиолокационных природных и синтезированных изображений, в том числе и с малоконтрастными объектами. Текстурные и фрактальные цифровые методы (рис. 19 и рис. 22) позволяют частично преодолевать априорную неопределенность в радиолокационных задачах с помощью геометрии или топологии выборки - одномерной или многомерной. При этом большое значение приобретают топологические особенности выборки, а не усредненные реализации, имеющие зачастую другой характер.
Впервые исследованы на больших массивах экспериментальных данных в виде оптических и радиолокационных изображений реальных земных покровов с поверхностными и подповерхностными объектами методы фрактальной классификации, кластеризации и распознавания многих типов природных и искусственных объектов. Число областей, вокруг которых группируются значения фрактальной размерности, зависит от параметров алгоритма и метода измерения. Например, при малом размере измерительного окна имеем большое число групп; увеличивая размер, получаем фиксированное число групп или кластеров; и, наконец, при очень большом размере окна остаются 2 — 3 группы (фрактальные объекты — нефрактальные объекты — объекты исключения).
Изучение вида пли топологии выборки одномерного (многомерного) сигнала для задач, например, искусственного интеллекта, впервые позволило создать словари фрактальных признаков на основе фрактальных примитивов, являющихся элементами фрактального языка с фрактальной грамматикой. Полученные данные были заложены в синтез эталонных и текущих радиолокационных карт неоднородной
ПОТАПОВ А.А..
РАДИОЛОКАЦИЯ
местности, а также, в неэнергетические радиолокационные обнаружители.
Результаты (БПЛА, РСА, медицина и т.д.) показывают, что фрактальные методы обработки дают повышение качества и детализации объектов и целей в пассивном и активном режиме в несколько раз. Эти методы могут быть успешно применены для обработки информации с космических, авиационных комплексов, малозаметных высотных псевдоспутников (HAPS) или обнаружения кластеров HAPS и БПЛА, синтезированных кластеров космических антенн и космического мусора.
Исследованы фрактальные характеристики эльфов, джетов и спрайтов — наиболее интересных типов недавно открытых высотных разрядов в ионосфере.
Синтезированы с соавторами алгоритмы выделения движущегося удаленного объекта неизвестной формы (фрактального или не фрактального) на малоконтрастном изображении, формируемом в оптико-электронных
системах. Экспериментальные результаты на изображениях, полученных в натурных условиях, подтверждают эффективность предлагаемых методов обработки.
Впервые доказана принципиальная возможность синтеза новых фрактальных функций и фрактальных функционалов на основе теории нечетких множеств. Формализовано построение новых классов фрактальных и мультифрактальных подмножеств на нечетких множествах. В качестве пробных функций можно использовать любые классические недифференцируемые функции.
Впервые показано, что физическое содержание теории дифракции, содержащей многомасштабные поверхности, становится более четким при фрактальном подходе и выделении фрактальной размерности D или фрактальной сигнатуры как параметра. Учет фрактальности значительно сближает теоретические и экспериментальные
характеристики индикатрис рассеяния земных покровов, что важно для задач радиолокации и дистанционного зондирования. Исследован и представлен впервые в мире обширный каталог характерных видов более 70 фрактальных поверхностей на основе функций Вейерштрасса,
а также более 70 трехмерных индикатрис рассеяния и их сечений, рассчитанных для длин волн X = 2.2 мм, X = 8.6 мм и X = 3 см при разных значениях фрактальной размерности В и изменяющейся геометрии рассеяния.
Получены аналоги уравнений Максвелла с дробными производными Капуто. Рассмотрена калибровочная инвариантность и выведено диффузионно-волновое уравнение для скалярного и векторного потенциалов. Найдено и проанализировано частное решение диффузионно-волнового уравнения [9,10].
Проведен строгий электродинамический расчет многочисленных типов фрактальных антенн, принципы конструирования которых лежат в основе фрактальных частотно-избирательных поверхностей и объемов (фрактальные "сэндвичи").
Синтезировано на основе топологии фрактальных лабиринтов семейство
широкополосных миниатюрных фрактальных антенн. Автором предложено синтезировать большие стохастические робастные антенные решетки с использованием свойств фрактальных лабиринтов. Объединение нескольких фрактальных лабиринтных кластеров с различной фрактальной размерностью позволяет создавать адаптивные широкополосные фрактальные антенны. Впервые предложена и реализована модель "фрактального" конденсатора как фрактального импеданса.
Созданы, обоснованы и применены фрактально-скейлинговые методы для задач радиолокации и формирования основ фрактальной элементной базы, фрактальных датчиков и фрактальных радиосистем. Разработан физический подход к моделированию фрактального конденсатора и фрактальных импедансов. Перспективными элементами фрактальной радиоэлектроники являются функциональные элементы,
фрактальные импедансы которых реализуются на основе фрактальной геометрии проводников на поверхности (фрактальные наноструктуры) и в пространстве (фрактальные антенны), фрактальной геометрии поверхностного микрорельефа материалов и т.д. Развитые подходы могут быть распространены на широкий класс электродинамических задач
РАДИОЛОКАЦИЯ
при исследовании фрактальных магнонных кристаллов, фрактальных резонаторов, фрактальных экранов и заграждений, а также других фрактальных частотно-избирательных поверхностей и объемов.
Открыт, предложен и обоснован новый вид и новый метод современной радиолокации, а именно, фрактально-скейлинговая или масштабно-инвариантная радиолокация.
Доказана эффективность функционалов, которые определяется топологией, дробной размерностью и текстурой принятого многомерного сигнала, для синтеза принципиально новых неэнергетических обнаружителей малоконтрастных объектов на фоне помех (рис. 19, рис. 20, рис. 23). Подтверждено повышение чувствительности радиосистемы (что эквивалентно увеличению дальности действия) при использовании фрактальных и текстурных признаков в топологических обнаружителях. Это влечет за собой коренные изменения в самой структуре теоретической радиолокации, а также в ее математическом аппарате.
Фрактальная радиолокация способна адекватно описать и объяснить значительно более широкий класс радиолокационных явлений. В основе созданного впервые в России и в мире научного направления лежат концепция фрактальных радиосистем и фрактальных радиоэлементов, топология выборки и глобальный фрактально-скейлинговый метод, предложенные и созданные автором в ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН. Проведенные исследования в области теоретической радиолокации позволяют эффективно решать проблемы обнаружения сигналов в условиях интенсивных помех и создавать новые фрактальные многочастотные М1МО-системы.
Разработаны постулаты фрактально-скейлинговой радиолокации: 1 - интеллектуальная обработка сигнала/изображения, основанная на теории дробной меры и скейлинговых эффектов, для расчета поля фрактальных размерностей; 2 - выборка принимаемого сигнала в шумах относится к классу устойчивых негауссовых распределений вероятностей В сигнала; 3 -максимум топологии при минимуме энергии
входного случайного сигнала (т.е. максимальный «уход» от энергии принимаемого сигнала).
Данные постулаты открывают новые возможности для обеспечения устойчивой работы при малых отношениях сигнал/(шум + помеха) или увеличения дальности действия радиолокаторов.
Существенно развиты совместно с коллегами из России (Москва, ВНИИОФИ) и Израиля (Хайфа, «Технион») теоретические вопросы фрактальной неинерциальной релятивистской радиолокации и квантовой космологии в искривленном пространстве-времени отрицательной фрактальной размерности. Пример: на основе уравнения Шредингера с оператором дробного исчисления по пространственным координатам вычислен фейнмановский интеграл по траекториям для обобщенного лагранжиана с оператором дробного дифференцирования по времени. Отметим, что в настоящее время в США данное фундаментальное научное направление получило яркое название "Фрактальная космология - Fractal Cosmology" [34,35,82,99,108,123].
4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Полученные автором с учениками результаты экспериментальных и теоретических
исследований были внедрены ведущими отраслевыми НИИ и конструкторскими бюро СССР и России и использованы при проектировании радиосистем различного назначения, при интерпретации данных дистанционных радиофизических исследований окружающей среды и в других прикладных задачах, в которых информационными материалами служат оптические и радиолокационные изображения земной поверхности.
На основе проведенных многолетних исследований сформулированы и развиты новые теоретические направления в теории статистических решений, статистической радиотехнике и статистической радиофизике, например, - «Фрактальный анализ и его применение в теории статистических решений и статистической радиотехнике», «Статистическая теория фрактальной радиолокации»,
«Статистическая фрактальная радиотехника»,
290 ПОТАПОВ А.А.
РАДИОЛОКАЦИЯ
основы
фрактальной
«Теоретические радиолокации» и т.п.
Перечисленные выше результаты легли в основу фрактальной парадигмы и единой глобальной идеи фрактального естествознания [73,82].
Выполненные исследования являются приоритетными в мире и служат базой для дальнейшего развития и обоснования практического применения созданных автором фрактально-скейлинговых и текстурных методов в современной радиофизике и радиолокации, а также в создании принципиально новых и более точных топологических фрактально-текстурных методов обнаружения и измерения параметров радиосигналов в пространственно-временном радиолокационном канале распространения электромагнитных волн с рассеянием.
Радиотехническая "фрактальная геометрия" приемо-передающего устройства или любых информационных радиотехнических,
оптоэлектронных и акустоэлектронных систем наряду с фрактальными методами модуляции/демодуляции и криптостойкости (фрактальные сверхширокополосные сигналы, фрактальное сжатие информации [57,58]) являются чрезвычайно перспективными мерами для решения насущных задач традиционной радиоэлектроники, которая с момента своего зарождения полностью основана на целочисленной мере.
Данные вопросы актуальны в решении проблем построения и оптимизации характеристик современных и перспективных радиофизических интеллектуальных систем зондирования для обнаружения и распознавания различных объектов в сложных условиях с использованием топологических фрактальных и текстурных методов на основе ранее предложенных общих принципов фрактально-скейлинговой или масштабно-инвариантной радиолокации [57,58,82,84,125-132,137,138]. Необходимо отметить, что фрактальные радары являются по сути необходимым промежуточным этапом на пути перехода к когнитивному радару и квантовому радару. Заметим, что наши недавно полученные результаты с китайскими коллегами по эффектам микромасштабной оптоэлектроники и фотоники [107,139-145]
помогут открыть пути для управления рассеянием света с помощью магнитоэлектрических связей и ранее не известные волновые явления в целях конструирования новых устройств обработки многомерных сигналов в таких интеллектуальных системах.
По монографиям автора поставлены курсы лекций по фракталам в радиофизике и радиоэлектронике в различных университетах России и стран ближнего зарубежья, а также в Китае. Авторский приоритет в изложенных выше научных областях закреплен в мире более чем 1150 научными работами, включающими 45 отечественных и зарубежных монографий и отдельные главы в них на русском и английском языках и 2 патента (см., например [82,83,139]).
ЛИТЕРАТУРА
1. Акиншин РН, Потапов АА, Румянцев ВЛ и др. Физические основы устройства ракетно-артиллерийского вооружения. Алгоритмы иустройства функционирования бортовых радиотехнических средств воздушной разведки артиллерии. Пенза: Филиал ВА МТО, Пенз. арт. инж. ин-т, 2018, 400 с.
2. Александров ПС. Введение в теорию множеств и общую топологию. М., Наука, 1977, 368 с.
3. Александров ПС, Пасынков ВА. Введение в теорию размерности. М., Наука, 1973, 576 с.
4. Бабенко ЮИ. Метод дробного дифференцирования в прикладных задачах теории тепломассообмена. СПб., НПО "Профессионал", 2009, 584 с.
5. Багманов ВХ, Потапов АА, Султанов АХ, Вей Жанг. Фрактальные фильтры для обнаружения сигналов при обработке данных дистанционного зондирования. Радиотехника и электроника, 2018, 63(10):1062-1068.
6. Барду Ф, Бущо Ж-Ф, Аспе А, Коэн—Таннуджи К. Статистика Леви и лазерное охлаждение. Как редкие события останавливают атомы. Пер. с англ. п/р ВП Яковлева. М.,Физматлит, 2006, 216 с.
7. Бекмачев ДА, Потапов АА, Ушаков ПА. Проектирование фрактальных пропорционально-интегрально-дифференциальных регуляторов дробного порядка. Успехи современной радиоэлектроники, 2011, № 5:13-20.
8. Богачев ВИ. Основы теории меры. Москва—Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2006, Т. 1-544 с.; Т. 2-576 с.
9. Боголюбов АН, Потапов АА, Рехвиашвили СШ. Интерпретация решения диффузионно-волнового уравнения с использованием дробного
РАДИОЛОКАЦИЯ
интегродифференцирования. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физика. Астрономия, 2010, № 3:54-55.
10. Боголюбов АН, Потапов АА, Рехвиашвили СШ. Способ введения дробного интегро-дифференцирования в классической электродинамике. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физика. Астрономия, 2009, № 4:9-12.
11. Бэр Р. Теория разрывных функций. Пер. с франц.; под ред. АЯ. Хинчина. М.-Л., ОНТИ, 1932, 136 с.
12. Ворошилов АА, Килбас АА. Задача Коши для диффузионно-волнового уравнения с частными производными Капуто. Дифференциальные уравнения, 2006, 42(5):595-609.
13. Гельфанд ИМ, Шилов ГЕ. Обобщенные функции и действия над ними. М., Физматлит, 1958, 440 с.
14. Гнеденко БВ, Колмогоров АН. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. М.- Л., ГИТТЛ, 1949, 264 с.
15. Горелик АП, Скрипкин ВА. Методы распознавания. М., Высшая школа, 1989, 232 с.
16. Гуляев ЮВ, Никитов СА, Потапов АА, Герман ВА. Идеи скейлинга и дробной размерности в схеме фрактального обнаружителя радиосигналов. Радиотехника и электроника, 2006, 51(8):968—975.
17. Гуляев ЮВ, Потапов АА. Применение теории фракталов, дробных операторов, текстур, эффектов скейлинга и методов нелинейной динамики в синтезе новых информационных технологий для задач радиоэлектроники (в частности, радиолокации). Радиотехника и электроника, 2019, 64(9):839—854.
18. Гуревич В, Волмэн Г. Теория размерности. Под ред. и с предисл. ПС. Александрова. М., ИЛ, 1948, 232 с.
19. Ерофеев ВИ, Потапов АА. Международный научный коллоквиум "Механика обобщенных континуумов: сто лет после Коссера". Нелинейный мир, 2009, 7(8):652—654.
20. Золотарев ВМ. Одномерные устойчивые распределения. М., Наука, 1983, 304 с.
21. Кантор Г. Труды по теории множеств. Под ред. АН Колмогорова и АП Юшкевича. М., Наука, 1985, 432 с.
22. Кобелев ВЛ, Романов ЕП, Кобелев ЯЛ, Кобелев ЛЯ. Недебаевская релаксация и диффузия в фрактальном пространстве. ДАН, 1998, 361(6):755—758.
23. Кобелев ЯЛ, Кобелев Л Я, Романов ЕП. Автоволновые процессы при нелинейной фрактальной диффузии. Доклады РАН, 1999, 369(3):332—333.
24. Колмогоров АН, Фомин СВ. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Высшая школа, 1989, 624 с.
25. Летников АВ. Теория дифференцирования с произвольным указателем. Матем. сборник, 1868, №3:1-68.
26. Медведев ФА. Очерки истории теории функций действительного переменного. М., Наука, 1975, 248 с.
27. Медведев ФА. Развитие теории множеств в XIX веке. М., Наука, 1965, 232 с.
28. Милнор Дж. Голоморфная динамика. Пер. с англ. Ижевск, НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2000, 320 с.
29. Морозов АД, Драгунов ТН. Визуализация и анализ инвариантных множеств динамических систем. М., Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003, 304 с.
30. Нахушев АМ. Дробное исчисление и его применение. М., Физматлит, 2003, 272 с.
31. Нахушев АМ. Элементы дробного исчисления и их применение. Нальчик, Изд. КБНЦ РАН, 2000, 299 с.
32. Новоженова ОГ. Биография и научные труды Алексея Никифоровича Герасимова. О линейных операторах, упруговязкости, элевтерозе и дробных производных. М., Перо, 2018, 234 с.
33. Пасынков БА, Федорчук ВВ, Филиппов ВВ. Теория размерности. Итоги науки и техники. Серия: Алгебра. Топология. Геометрия. М., ВИНИТИ, 1979, 17:229-306.
34. Подосенов СА, Потапов АА, Соколов АА. Импульсная электродинамика широкополосных радиосистем и поля связанных структур. Под ред. АА Потапова. М., Радиотехника, 2003, 720 с.
35. Подосенов СА, Потапов АА, Фоукзон Дж, Менькова ЕР. Неголономные, фрактальные и связанные структуры в релятивистских сплошных средах, электродинамике, квантовой механике и космологии. Под ред. АА. Потапова. М., ЛЕНАНД, URSS, 2015, в 3-х тт., 1128 с.
36. Потапов АА. Волны в неупорядоченных больших фрактальных системах: радиолокация, наносистемы, кластеры беспилотных летательных аппаратов и малоразмерных космических аппаратов. Радиотехника и электроника, 2018, 63(9):915-934.
37. Потапов АА. Дифракталы на частоте 36 ГГц, наблюдаемые при радиолокационном рассеянии электромагнитной волны фрактальной поверхностью, и волновые катастрофы во фрактальных случайно-неоднородных средах. Сб. матер. XIII Межд. конф. «Забабахинские научные чтения», посв. 100-летию со дня рождения ЕИ Забабахина (Снежинск, 20-24.03. 2017). Снежинск, Изд. РФЯЦ-ВНИИТФ, 2017, с. 137-138.
38. Потапов АА. Дробные и целые топологические размерности как основные составляющие в
ПОТАПОВ А.А.
РАДИОЛОКАЦИЯ
топологии выборки многомерных сигналов и их обработке. Тез. докл. Межд. конф. "Дифференциальные уравнения и топология", посв. 100-летию со дня рожд. акад.ЛСПонтрягина (Москва, 17-22.06.2008 г.). М., Матем. инст. им. ВА Стеклова РАН и МГУ им. М. В. Ломоносова (МАКС Пресс), 2008, с 478-479.
39. Потапов АА. К теории функционалов стохастических полей обратного рассеяния. Радиотехника и электроника, 2007, 52(3):261-310.
40. Потапов АА. Краткое историческое эссе о зарождении и становлении теории дробного интегродифференцирования. Нелинейный мир, 2003, 1(1-2):69-81.
41. Потапов АА. Многократное рассеяние волн на фрактальном ансамбле частиц и в больших неупорядоченных фрактальных системах. В кн.: "Турбулентность, динамика атмосферы и климата' (Сб. трудов Межд.. конф. "Турбулентность, динамика атмосферы и климата", посв. столетию со дня рожд. акад. АМ Обухова (Москва, 1618.05.2018). Под ред. ГС Голицына и др. М., Физматкнига, 2018, с. 564-573.
42. Потапов АА. Можно ли построить фрактальную радиосистему? Обозрение прикладной и промышленной математики, 2007, 14(4):742-744.
43. Потапов АА. Моя встреча с Б. Мандельбротом. Нелинейный мир, 2007, 5(6):402-404.
44. Потапов АА. Новые информационные технологии на основе вероятностных текстурных и фрактальных признаков в радиолокационном обнаружении малоконтрастных целей. Радиотехника и электроника, 2003, 48(9):1101-1119.
45. Потапов АА. О концепции фрактальных радиосистем и фрактальных устройств. Нелинейный мир, 2007, 5(7-8):415-444.
46. Потапов АА. О применении показателя Херста Н в адаптивной фрактальной обработке информации и синтезе новых классов фрактальных «Н-сигналов». Обозрение прикладной и промышленной математики, 2008, 15(6):1121-1123.
47. Потапов АА. О стратегических направлениях в синтезе новых видов радиолокационных текстурно-фрактальных обнаружителей малоконтрастных объектов с выделением их контуров и локализацией координат на фоне интенсивных помех от поверхности земли, моря и осадков. Труды IV Всерос. НТК «РТИ Системы ВКО-2016», посв. 100-летию НИИДАР и 70-летию РТИ им. акад. АЛ Минца (Москва, ОАО «РТИ им. акад. АЛ Минца», 02-03.06.2016). М., Изд. МГТУ им. НЭ Баумана, 2017, с. 438-448.
48. Потапов АА. О фрактальной радиофизике и фрактальной радиоэлектронике. Сб. докл. юбил.
науч.-техн. конф. "Инновации в радиотехнических информационно-телекоммуникационных технологиях", посв. 60-летию ОАО «Радиотехн.инст.им. акад. АЛ Минца» и Фак-та радиоэлектроники летательных аппаратов МАИ (Москва, 24-26.10.2006). М., Экстра Принт, 2006, Часть 1, с. 66-84.
49. Потапов АА. О фрактальных радиосистемах, дробных операторах, скейлинге, и не только. Глава в кн.: Фракталы и дробные операторы. С предисл. акад. ЮВ Гуляева и чл.-корр. РАН СА Никитова. Казань, Изд. "Фэн" Акад. наук РТ, 2010, с. 417-472.
50. Потапов АА. О фрактальных флуктуациях СВЧ-радиоволн в поглощающей среде и об отрицательной фрактальной размерности. Обозрение прикладной и промышленной математики, 2008, 15(6):1123-1124.
51. Потапов АА. Рассеяние волн на стохастической фрактальной поверхности. Сб. науч. работ к 65-летию создания ИРЭ им. ВА Котельникова РАН и 110-летию со дня рожд. акад. ВА Котельникова. Под ред. чл.-корр. РАН СА Никитова. М., ИРЭ им. ВА Котельникова РАН, 2018, с. 155-159.
52. Потапов А А. Современные фрактальные радиосистемы и технологии (40 лет научных разработок): основы фрактально-скейлинговой или масштабно-инвариантной радиолокации. Материалы VМеж. науч. конф. «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики», посв. 80-летию АМ Нахушева (Нальчик, КБР, Россия, 4-7.12.2018). Нальчик, ИПМА КБНЦ РАН, 2018, с. 165-166.
53. Потапов АА. Статистический подход к описанию изображений текстур земной поверхности в оптическом и радиодиапазоне. Тез. докл. Всес. конф. "Математические методы распознавания образов (ММРО-ГУ)" (Рига, 24-26.10.1989). Рига, МИ-ПКРРиС, 1989, 4:150-151.
54. Потапов АА. Текстурные и фрактально-скейлинговые методы обнаружения, обработки и распознавания слабых радиолокационных сигналов и малоконтрастных изображений на фоне интенсивных помех. Вестник воздушно-космической обороны, 2018, 2(18):15-26.
55. Потапов АА. Текстуры, фракталы, дробные операторы и методы нелинейной динамики в радиофизике и радиолокации: 40 лет научных разработок. Сб. трудов XXV Межд. НТК 'Радиолокация, навигация, связь", посв. 160-летию со дня рожд. АС Попова (Воронеж, 16-18.04.2019). Воронеж, ВГУ, 2019, 4:214-242.
56. Потапов АА. Турбулентность, фракталы и волны. Сб. тез. докл. Межд.. конф. "Турбулентность, динамика
РАДИОЛОКАЦИЯ
атмосферы и климата", посв. столетию со дня рожд. акад. А. М. Обухова (05.05.1918-03.12.1989) (Москва, 16-18.05.2018). М.: Физматкнига, 2018, с. 211.
57. Потапов АА. Фракталы в радиофизике ирадиолокации. М., Логос, 2002, 664 с.
58. Потапов АА. Фракталы в радиофизике ирадиолокации: Топология выборки. Изд. 2-е, перераб. и доп. М., Университетская книга, 2005, 848 с.
59. Потапов АА. Фракталы и дробные операторы в радиотехнике, радиолокации и обработке многомерных сигналов. Тез. докл. Межд. НТК к 100-летию со дня рожд. ВА Котельникова (Москва, 21-23.10.2008). М., МЭИ, 2008, с. 29-33.
60. Потапов АА. Фракталы и отрицательный конденсатор. Новости с межд. китайско-российского симпозиума «Новые материалы и технологии» (Хайнань, Китай, 28.11-1.12.2017). Сб. тр. XXIV межд. НТК 'Радиолокация, навигация, связь" (Воронеж, 17-19.04.2018). Воронеж, Изд. 'Научно-иссл. публикации" (ООО «ВЭЛБОРН»), 2018, 3:372-388.
61. Потапов АА. Фракталы и текстуры в радиофизике и радиоэлектронике: 40 лет научных разработок. Сб. матер. XIV межд. конф. «Забабахинские научные чтения» (Снежинск, 18-22.03.2019). Снежинск, Изд. РФЯЦ-ВНИИТФ, 2019, с. 105-107.
62. Потапов АА. Фракталы и хаос как основа новых прорывных технологий в современных радиосистемах. Дополн. к кн.: Кроновер Р. Фракталы и хаос в динамических системах. Пер. с англ.; под ред. ТЭ Кренкеля. М., Техносфера, 2006, с. 374-479.
63. Потапов АА. Фракталы, скейлинг и дробные операторы в современной физике и радиотехнике. Сб. аннотаций Межд. конф. XIV Харитоновские тематические научные чтения 'Мощная импульсная электрофизика", посв. 110-летию со дня рожд. акад. ЮБ Харитона (Саров, 21-25.04.2014). Саров, РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2014, с. 80-81.
64. Потапов АА. Фрактальная радиоэлектроника: состояние и тенденции развития. Сб. науч. ст. по матер. III Всерос. науч.-практ. конф. <«Авионика» (15-16.03.2018). Воронеж, ВУНЦ ВВС «ВВА им. проф. НЕ Жуковского и ЮА Гагарина», 2018, с. 267-272.
65. Потапов АА. Фрактальная электродинамика. Численное моделирование малых фрактальных антенных устройств и фрактальных 3D микрополосковых резонаторов для современных сверхширокополосных или многодиапазонных радиотехнических систем. Радиотехника и электроника, 2019, 64(7):629-665.
66. Потапов АА. Фрактально-скейлинговая или масштабно-инвариантная радиолокация: открытие, обоснование и пути развития. Сб. науч. ст. по матер. II Всерос. науч.-практ. конф. «Авионика» (Воронеж, 16-17.03.2017). Воронеж, ВУНЦ ВВС «ВВА им. проф. НЕ Жуковского и ЮА Гагарина», 2017, с. 143-152.
67. Потапов АА. Фрактально-скейлинговая или масштабно-инвариантная радиолокация и фрактальная обработка сигналов и изображений. Сб. науч. работ к 65-летию созд. ИРЭ им. ВА Котельникова РАН и 110-летию со дня рожд. акад. ВА Котельникова. Под ред. чл.-корр. РАН СА Никитова. М., ИРЭ РАН, 2018, с. 99-104.
68. Потапов АА. Фрактальные и текстурные обнаружители слабых радиолокационных сигналов на фоне интенсивных помех. Часть I. Введение в принципы топологических обнаружителей. Радиотехника, 2019, 1:80-92.
69. Потапов АА. Фрактальные методы исследования флуктуаций сигналов и динамических систем в пространстве дробной размерности. Глава в кн.: "Флуктуации и шумы в сложных системах живой и неживой природы". Под ред. РМ Юльметьева и др. Казань, Мин. образования и науки Респ. Татарстан, 2008, с. 257-310.
70. Потапов АА. Фрактальные модели и методы в задачах нелинейной физики. Тез. докл. межд. конгр. "Нелинейный динамический анализ-2007", посв. 150-летию со дня рожд. акад. АМ Ляпунова (Санкт-Петербург, 4-8.06.2007). СПб., Изд. СПГУ, 2007, с. 301.
71. Потапов АА. Фрактальные модели и методы на основе дробных операторов и скейлинга в фундаментальных и прикладных проблемах физики. Матер. 2 межд.конф. 'Математическая физика и ее приложения" (Самара, 29.08-04.09.2010). Под ред. чл.-корр. РАН ИВ Воловича и д.ф.-м.н., проф. ЮН Радаева. Самара, Книга, 2010, с. 266-268.
72. Потапов АА. Фрактальные модели и методы на основе скейлинга в фундаментальных и прикладных проблемах современной физики. Сб. науч. тр. "Необратимые процессы в природе и технике". Под ред. ВС Горелика и АН Морозова. М., МГТУ им. НЭ Баумана, 2008, 11:5-107.
73. Потапов АА. Фрактальный метод и фрактальная парадигма в современном естествознании. Воронеж, Научная книга, 2012, 109 с.
74. Потапов АА, Булавкин ВВ, Герман ВА, Вячеславова ОФ. Исследование микрорельефа обработанных поверхностей с помощью методов фрактальных сигнатур. ЖТФ, 2005, 75(5):28-45.
ПОТАПОВ А.А.
РАДИОЛОКАЦИЯ
75. Потапов АА, Герман ВА. Применение фрактальных методов для обработки оптических и радиолокационных изображений земной поверхности. Радиотехника и электроника, 2000, 45(8):946-953.
76. Потапов АА, Герман ВА. Фрактальный непараметрический обнаружитель радиосигналов. Радиотехника, 2006, 5:30-36.
77. Потапов АА, Гуляев ЮВ, Никитов СА, Пахомов АА, Герман ВА. Новейшие методы обработки изображений. Под ред. АА Потапова. М., Физматлит, 2008, 496 с. (грант РФФИ № 07-07-07005).
78. Потапов АА, Лактюнькин АВ. Теория рассеяния волн фрактальной анизотропной поверхностью. Нелинейный мир, 2008, 6(1):3-36.
79. Потапов АА, Потапов АА (мл.), Потапов ВА. Фрактальный конденсатор, дробные операторы и фрактальные импедансы. Нелинейный мир, 2006, 4(4-5):172-187.
80. Потапов АА, Черных ВА. Дробное исчисление АВ Летникова в физике фракталов. Saarbrücken, LAMBERT Academic Publishing, 2012, 688 с.
81. Потапов АА, Герман ВА. Эффекты детерминированного хаоса и странный аттрактор при радиолокации динамической системы типа растительного покрова. Письма в ЖТФ, 2002, 28(14):19-25.
82. Профессор Александр Алексеевич Потапов. Биобиблиографический указатель. Под ред. академика ЮВ Гуляева. М., ЦПУ 'Фадуга", 2019, 256 с. (Одобрено Ученым советом ИРЭ им. ВА Котельникова РАН 26.12.2018).
83. Потапов АА. Краткая научная биография. В кн.: «Международный форум промышленногоразвития новых материалов» (Jining, China, 11-13.12.2019). Jining: Jining National High-tech Industrial Development Zone, 2019, р. 8 (китайск., японск., рус. яз.).
84. Потапов АА. Применение принципов фрактально-скейлинговой или масштабно-инвариантной радиолокации в РСА, БЛА и MIMO-системах. В кн.: Радиолокация. Результаты теоретических и экспериментальных исследований. В 2-х книгах. Кн. 2. Под ред. АБ Бляхмана. М., Радиотехника, 2019, с. 15-39.
85. Сакс С. Теория интеграла. М., ИЛ, 1949, 496 с.
86. Самко СГ, Килбас АА, Маричев ОИ. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск, Наука и техника, 1987, 688 с.
87. Стратонович РЛ. Принципы адаптивного приема. М., Сов. радио, 1973, 144 с.
88. Учайкин ВВ. Метод дробных производных. Ульяновск, Артишок, 2008, 512 c.
89. Федер Е. Фракталы. М., Мир, 1991, 262 с.
90. Федорчук. ВВ. Основы теории размерности. Итоги науки и техн. Совр. пробл. мат. Фундам. направления. Общая топология—1. М., ВИНИТИ, 1988, 17:111-124.
91. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М., Мир, 1967, Т. 1— 500 с.; Т. 2 — 752 с.
92. Фракталы в физике. Пер. с англ. под ред. ЯГ Синая и ИМ Халатникова. М., Мир, 1988, 672 с.
93. Фриш У. Турбулентность. Наследие АН Колмогорова. Пер. с англ.; под ред. МЛ Бланка. М., Фазис, 1998, 346 с.
94. Халмош П. Теория меры. М., ИЛ, 1953, 292 с.
95. Хаусдорф Ф. Теория множеств. Пер. с нем.; под ред. и с доп. ПС Александрова и АН Колмогорова. М.-Л., ОНТИ, 1937, 304 с.
96. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. М. Ижевск, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001, 528 с.
97. Шустер Г. Детерминированный хаос: введение. Пер. с англ. под ред. АВ Гапонова—Грехова и МИ Рабиновича. М., Мир, 1988, 240 с.
98. Яглом АМ. Корреляционная теория стационарных случайных функций. Л., Гидрометеоиздат, 1981, 280 с.
99. Agalarov AM, Gadzhimuradov TA, Potapov AA, Rassadin AE. Edge States and Chiral Solitons in Topological Hall and Chern-Simons Fields. Modeling and Analysis of Information Systems, 2018, 25(1):133-139.
100.Alisultanov ZZ, Agalarov AM, Potapov AA, Ragimkhanov GB. Some Applications of Fractional Derivatives in Many-Particle Disordered Large Systems. Глава 7 в кн.: Fractional Dynamics, Anomalous Transport and Plasma Science. Ed. C. Skiadas. Switzerland, Springer Int. Publ., 2018, р. 125-154.
101.Anastassiou GA. Fractional Differentiation Inequalities. N.Y., Springer, 2009, 686 р.
102Applications of Fraction Calculus in Physics. Ed. by R. Hilfer. Singapore, World Scientific Publishing Co., 2000, 472 р.
103.Caputo M. Elasticita e Dissipacione. Bologna, Zanichelli, 1969.
104.Caputo M. Linear models of dissipation whose Q is almost frequency independent. II. Geophys. J.R. Astr. Soc, 1967, 13:529-539.
105. Carathеodory C. Variationsrechnung und partielle Differentialgleichungen erster Ordnung. Leipzig-Berlin, Teubner, 1935, 407 s. (English transl.: Calculus of Variations and Partial Differential Equations of the First Order. N.Y, Chelsea Publishing Company, 1965, 654 p.
106.Edgar GA. (ed.) Classics on Fractal. N.Y, Addison-Wesley, 1993, 366 p.
107.Danping Pan, Tianhua Feng, Wei Zhang, and Alexander A. Potapov. Unidirectional light scattering
РАДИОЛОКАЦИЯ
by electric dipoles induced in plasmonic nanoparticles. Opt. Lett., 2019, 44(ll):2943-2946.
108.Foukzon J, Potapov AA, Podosenov SA. Hausdorff-Colombeau measure and axiomatic quantum field theory in spacetime with negative B. Mandelbrot dimensions. http://arxiv.org/abs/1004.0451, 5 Feb. 2011, 206 c.
109.German VA, Potapov AA, Sykhonin EV Fractal Characteristics of Radio Thermal Radiation of a Different Layer of Atmosphere in a Range of Millimeter Waves. Proc. PIERS 2009 'Progress in Electromagnetics Research Symp" (18-21.08.2009, Moscow, Russia). Cambridge, MA, Electromagnetics Academy, 2009, pp. 1813-1817.
110.Hata M. Fractals in Mathematics. Pattern and Waves: Qualitative Analysis of Nonlinear Differential Equations. Studies in Mathematics and its Applications, V. 18./Ed. by T. Nishida, M. Mimura, H. Fujii. Tokyo, Kinokuniya Comp. Ltd., 1986, pp. 259-278.
111.Kiryakova V Generalized Fractional Calculus and Applications. N.Y., Wiley & Sons, 1994, 360 p.
112.Kolwankar KM, Gangal AD. Fractional Differentiability of Nowhere Differentiable Functions and Dimensions. Chaos, 1996, 6(1):505-513.
113.Laktyunkin Alexander, Potapov Alexander A. The Hurst Exponent Application in the Fractal Analysis of the Russian Stock Market. In: Advances in Artificial Systems for Medicine and Education II. Ed: Z. Hu, S. Petoukhov, M. He (Part of the Advances in Intelligent Systems and Computing book series — AISC, V. 902). Cham, Switzerland, Springer Int. Publ., 2018, pp. 459-471.
114.Mainardi F. Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity: An Introduction to Mathematical Models. London, Imperial College Press, 2010, 368 p.
115.Mandelbrot B. The Fractals Geometry of Nature. N.Y., Freeman, 1982, 468 p.
116.Mathai AM, Saxena RK. The H-Function with Applications in Statistics and Other Disciplines. New Delhi, Wiley Eastern Limited, 1978, 192 p.
117. McBride AC. Fractional Calculus and Integral Transforms of GeneraB%ed Functions. San Francisco, Pitman Press, 1979, 179 p.
118.Metzler R, Klafter J. The random walk's guide to anomalous di!usion: a fractional dynamics approach.
Physics Reports, 2000, 339:1-77.
119.Miller KS, Ross B. Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations. N.Y., Wiley, 1993, 384 p.
120.Nishimoto K. Fractional Calculus. V. 1-5. Koriyama (Japan), Descartes Press Co., 1984, v.1.- 195 p.; 1987, v.2 - 189 p.; 1989, v.3 - 202 p.; 1991, v.4 - 158 p.; 1996, v.5 - 193 p.
121.Oldham KB, Spanier J. The Fractional Calculus. N.Y., Academic Press, 1974, 234 с.
122.Podlubny I. Fractional Differential Equations. N.Y., Academic Press, 1999, 368 p.
123.Podosenov SA, Foukzon J, Potapov AA. A Study of the Motion of a Relativistic Continuous Medium. Gravitation and Cosmology, 2010, 16(4):307-312.
124.Potapov AA, German VA. Detection of Artificial Objects with Fractal Signatures. Pattern Recognition and Image Analysts, 1998, 8(2):226-229.
125.Potapov AA. Fractal and topological sustainable methods of overcoming expected uncertainty in the radiolocation of low-contrast targets and in the processing of weak multi-dimensional signals on the background of high-intensity noise: A new direction in the statistical decision theory. IOP Conf. Ser.: Journal of Physics, 2017, 918(012015):19.
126.Potapov AA. The Textures, Fractal, Scaling Effects and Fractional Operators as a Basis of New Methods of Information Processing and Fractal Radio Systems Designing. Proc. SPIE, 2009, 7374:73740E-1-14.
127.Potapov AA. On the Issues of Fractal Radio Electronics: Part 1. Processing of Multi-dimensional Signals, Radiolocation, Nanotechnology, Radio Engineering Elements and Sensors. Eurasian Physical TechnicalJournal, 2018, 15(2(30)):5-15.
128.Potapov AA, Potapov Alexey A, Potapov VA. Fractal Radioelement's, Devices and Fractal Systems for Radar and Telecommunications. Proc. 14th Sino-Russia Symposium on Advanced Materials and Technologies (Sanya, Hainan Province, China, 28.11-01.12.2017). Ed. Mingxing Jia. Beijing, Metallurgical Industry Press (China), 2017, pp. 499-506.
129.Potapov AA. On the Issues of Fractal Radio Electronics: Part 2. Distribution and Scat-tering of Radio Waves, Radio Heat Effects, New Models, Large Fractal Systems. Eurasian Physical Technical Journal, 2018, 15(2(30)):16-23.
130.Potapov Alexander A. Postulate "The Topology Maximum at the Energy Minimum" for Textural and Fractal-and-Scaling Processing of Multidimensional Super Weak Signals against a Background of Noises. Глава 3 в кн.: Nonlinearity: Problems, Solutions and Applications. Ed. LA Uvarova, AB Nadykto, and AV Latyshev. N.Y., Nova Science Publ., 2017, 2:35-94.
131.Potapov Alexander A. Chaos Theory, Fractals and Scaling in the Radar: A Look from 2015. Глава 12 в кн.: The Foundations of Chaos Revisited: From Poincare to Recent Advancements. Ed. C. Skiadas. Switzerland, Basel, Springer Int. Publ., 2016, pp. 195-218.
132.Potapov Alexander A. On the Indicatrixes of Waves Scattering from the Random Fractal Anisotropic Surface. Глава 9 в кн.: Fractal Analysis - Applications
296 ПОТАПОВ А.А.
РАДИОЛОКАЦИЯ
in Physics, Engineering and Technology. Ed. Fernando Brambila. Rijeka, InTech, 2017, pp. 187-248.
133.Potapov Alexander A, Pakhomov Andrey A, Grachev Vladimir I. Development of Methods for Solving Ill-Posed Inverse Problems in Processing Multidimensional Signals in Problems of Artificial Intelligence, Radiolocation and Medical Diagnostics. In: Advances in Artificial Systems for Medicine and Education II. Ed: Z. Hu, S. Petoukhov, M. He (Part of the Advances in Intelligent Systems and Computing book series—AISC, V. 902). Cham, Switzerland, Springer Int. Publ., 2018, pp. 57-67.
134.Rogers CA. Hausdoff Measures. London, Cambridge University Press, 1970, 179 p.
135.Rubin B. Fractional Integrals and Potentials. Harlow, Longman, 1996, 409 p.
136.Samko SG, Kilbas AA, Marichev OI. Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications. N.Y, Gordon and Breach, 1993, 688 p.
137.Potapov Alexander A, Wu Hao, Xiong Shan. Fractaliy of Wave Fields and Processes in Radar and Control. Guangzhou, South China University of Technology Press (First edition: November 2020), 2020, 280 p. -ISBN 978-7-5623-6276-0.
138.Потапов АА, Кузнецов ВА, Потоцкий АН. Новый класс топологических текстурно-мультифрактальных признаков и их применение для обработки радиолокационных и оптических малоконтрастных изображений. Радиотехника и электроника, 2021, 66(5);457-467. DOI: 10.31857/ S0033849421050107.
139.Кузнецов ВА, Потапов АА, Аликулов ЕА. Способ фрактального комплексирования многочастотных радиолокационных изображений. Патент 2746038 РФ. МПК8 Н 01 G 19/18(2006.01). (Приоритет изобретения
05.09.2020 г. Дата государственной регистрации
06.04.2021 г.).
140.Pan Danping, Wan Lei, Potapov Alexander A, and Feng Tianhua. Performing Spatial Differentiation and Edge Detection with Dielectric metasurfaces. QELS_ Fundamental Science "OSA Technical Digest Conf. on Lasers and Electro-Optics (CLEO) (San Jose, California, USA, 10-15 May 2020)". Washington: Optical Society of America, 2020. Paper FW4B.2.pdf.- 2 p. (From the session "Inverse Design and Computation (FW4B)").
141.Lei Wan, Danping Pan, Shuaifeng Yang, Wei Zhang, Potapov Alexander A, Xia Wu, Weiping Liu, Tianhua Feng, and Zhaohui Li. Optical analog computing of spatial differentiation and edge detection with dielectric metasurfaces. Opt. Lett., 2020,
45(7):2070-2073. https://www.osapublishing.org/ ol/abstract.cfm?URI=ol-45-7-2070.
142.Tianhua Feng, Potapov Alexander A., Zixian Liang, and Yi Xu. Huygens Metasurfaces Based on Congener Dipole Excitations. Physical Review Applied, 2020, 13(021002):1-6. DOI: 10.1103/ PhysRevApplied.13.021002.
143.Tianhua Feng, Shuaifeng Yang, Ning Lai, Weilian Chen, Danping Pan, Wei Zhang, Potapov Alexander A, Zixian Liang, and Yi Xu. Manipulating light scattering by nanoparticles with magnetoelectric coupling. Phys. Rev. B, 2020, 102(205428): 7 p. -(Published 30 November 2020). DOI: 10.1103/ PhysRevB.102.205428.
144.Lei Wan, Danping Pan, Tianhua Feng, Weiping Liu, Potapov A.A. A review of dielectric optical metasurfaces for spatial differentiation and edge detection. Frontiers of Optoelectronics, 2021, 14 p. DOI: 10.1007/s12200-021-1124-5.
145.Danping Pan, Lei Wan, Min Ouyang, Wei Zhang, Potapov Alexander, Weiping Liu, Zixian Liang, Tianhua Feng, Zhaohui Li. Laplace metasurfaces for optical analog computing based on quasi-bound states in the continuum. ACS Photonics, 2021, 8(3).
Потапов Александр Алексеевич
д.ф.-м.н.
Институт радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова Российской академии наук Москва 125009, Россия
Джинанский университет, Совместная китайско-российская лаборатория информационных технологий и фрактальной обработки сигналов Гуанчжоу 510632, Китай E-mail: potapov@cplire.ru.
