CC BY
14
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ И ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ И ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
УДК 004.942
Д.Г. ЗЕЛЕНЦОВ, Л.В. НОВИКОВА, О.Р. ДЕНИСЮК,
Государственное высшее учебное заведение "Украинский государственный химико-технологический университет",
г. Днепропетровск
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЕЧЕНИЙ ЭЛЕМЕНТОВ ШАРНИРНО-СТЕРЖНЕВЫХ КОНСТРУКЦИЙ, ПОДВЕРЖЕННЫХ ВОЗДЕЙСТВИЮ
АГРЕССИВНЫХ СРЕД
Работа посвящена описанию математических моделей корродирующих сечений элементов шарнирно-стержневых систем (ШСС), изготовленных из стандартных прокатных профилей (двутавр, швеллер, уголок). Предложено решение задачи идентификации параметров модельных сечений по критерию совпадения основных геометрических характеристик модельного и эталонного сечений в произвольный момент времени.
Ключевые слова: коррозионный износ, модель сечения, задача идентификации параметров.
Д.Г. ЗЕЛЕНЦОВ, Л.В. НОВ1КОВА, О.Р. ДЕНИСЮК,
Державний вищий навчальний заклад "Украшський державний xiMiKO-технолопчний ушверситет", м. Дншропетровськ
МАТЕМАТИЧН1 МОДЕЛ1 ПЕРЕР1З1В ЕЛЕМЕНТ1В ШАРН1РНО-СТЕРЖНЕВИХ КОНСТРУКЦ1Й, ЩО П1ДЛЯГАЮТЬ ДП АГРЕСИВНИХ СЕРЕДОВИЩ
Робота присвячена опису математичних моделей кородуючих перетингв елементгв шартрно-стрижневих систем (ШСС), що виготовленг 3i стандартних прокатних профтв (двотавр, швелер, кутник). Запропоновано виршення задач1 1дентиф1каци параметргв модельних перетингв за критергем збггу основних геометричних характеристик модельного та еталонного перетингв у довшьний момент часу.
Ключовi слова: корозшний знос, модель перетину, задача 1дентиф1каци параметргв.
D.G. ZELENTSOV, L.V. NOVIKOVA, O.R. DENYSIUK
State Higher Educational Institution "Ukrainian state university of chemical technology", Dnepropetrovsk
MATHEMATICAL MODELS OF SECTIONS OF ELEMENTS OF HINGED-ROD STRUCTURES INFLUENCED BY AGGRESSIVE ENVIRONMENTS
This work describes mathematical models of corroding sections of elements of hinged-rod systems made of standard rolled shapes (I-beam, U-beam, L-beam). The solution of parameter identification problem for model sec-tions using concurrence criteria for main geometrical characteristics of model and reference sections in random moment of time is proposed.
Keywords: corrosive wear, model of section, parameter identification problem.
Постановка проблемы
Металлические стержневые конструкции широко используются в различных отраслях промышленности, что обусловливает повышенные требования к их надёжности и долговечности. Часто такие конструкции эксплуатируются в условиях контакта с агрессивными технологическими средами. Воздействие агрессивных сред вызывает коррозию металла - разрушение его поверхностного слоя, изменение начальных геометрических размеров и, как следствие, снижение несущей способности. Для обоснованного назначения геометрических параметров проектируемой конструкции с целью обеспечения её безотказной работы в течение заданного периода времени необходимо наличие математической модели процесса деформирования конструкции в агрессивной среде.
Математическая модель процесса деформирования корродирующей конструкции включает в себя, в том числе, модель корродирующей поверхности или сечения. В связи с этим задача построения модели корродирующего сечения становится весьма актуальной. Данная модель должна адекватно описывать процесс изменения площади, периметра и момента инерции сечения во времени и быть удобной в использовании.
Анализ последних исследований и публикаций
При решении классических задач строительной механики стержневых конструкций проблема создания моделей сечений стержней не возникала, так как основные геометрические характеристики сечений, необходимые для расчетов, приводились в справочной литературе.
По мере развития механики корродирующих конструкций, как отдельного направления строительной механики, возникла необходимость описания процесса изменения характеристик сечения во времени. Данный процесс зависит от внешних условий (агрессивной среды), параметров самой конструкции и её напряжённо-деформированного состояния. В связи с этим стала очевидной необходимость создания моделей корродирующих сечений стержней, которая остаётся актуальной до настоящего времени.
Следует отметить, что данная проблема практически не нашла отражения в известной литературе. Объясняется это тем, что в работах раннего периода становления и развития механики корродирующих конструкций в качестве объектов исследований принимались абстрактные стержневые конструкции (например, со стержнями кругового, кольцевого или квадратного сечений). Данные работы носили, в основном, теоретический характер и имели своей целью определение некоторых общих закономерностей поведения корродирующих конструкций во времени. При этом реальная форма сечения не учитывалась [1-3].
Для анализа поведения корродирующих ШСС, изготовленных из стандартных профилей (двутавра, швеллера, уголка), в [4, 5] были использованы новые модели сечений, которые представлялись в виде совокупности прямоугольных фрагментов. Их недостатком являлось то, что при внешнем подобии модельного и реального профилей, модельные профили не учитывали радиусы закругления и углы наклона полок. В известных работах не встречалось каких-либо правил задания размеров модельных сечений таким образом, чтобы процесс коррозии (изменение площади, периметра и момента инерции во времени) происходил так же, как в реальных сечениях. Именно поэтому непосредственное использование существующих моделей сечений не позволяло построить адекватную модель поведения реальных ШСС в агрессивных средах.
Формулировка цели исследования
Целью настоящей работы является описание методики определения размеров модельных сечений так, чтобы изменения во времени основных характеристик реального и модельного сечений были одинаковыми. Решение данной проблемы предполагает построение эталонной модели корродирующего сечения.
Изложение основного материала исследования
Решение поставленной проблемы покажем на примере сечения стержня двутаврового профиля.
Сечение двутаврового профиля, как отмечалось выше, представлялось в виде совокупности прямоугольных фрагментов и определялось четырьмя параметрами В, Н, Б, Т (рис. 1). Процесс коррозии моделировался путем изменения размеров прямоугольников на одну и ту же (в пределах стержня) величину 8 - глубину коррозионного поражения (в дальнейшем модель А). Размеры сечения реального двутаврового профиля характеризуются семью параметрами: высотой двутавра Н, шириной полки В, толщиной стойки Б, средней толщиной полки Т, радиусами закругления Я} и Я2 и углом уклона внутренних граней полок а (рис. 2).
Таблица 1
№ профиля В Н Б Т Я2 Атабл Ам 1табл 1м £А
см см2 4 см %
10 5,5 10,0 0,45 0,72 0,7 0,25 12,0 11,77 17,9 20,03 1,9 11,90
14 7,3 14,0 0,49 0,75 8,0 0,30 17,4 17,07 41,9 48,75 1,9 16,35
18 9,0 18,0 0,51 0,81 0,90 0,35 23,4 22,93 82,6 98,60 2,0 19,37
22 11,0 22,0 0,54 0,87 1,00 0,40 30,6 30,08 157,0 193,26 1,7 23,09
27 12,5 27,0 0,60 0,98 1,10 0,45 40,2 39,52 260,0 319,46 1,7 22,87
30 13,5 30,0 0,65 1,02 1,20 0,50 46,5 45,71 337,0 418,90 1,7 24,30
двутаврового сечения
т
В 1
--- ШШШШЩ
Рис. 2. Фрагмент модельного двутаврового сечения
В табл.1 приведены параметры двутавровых профилей, табличные значения их площадей и моментов инерции, соответствующие значения модельных сечений и значения их погрешностей.
Рассмотрим эталонную модель корродирующего сечения.
Представим двутавровое сечение в виде совокупности треугольных фрагментов (рис. 3) согласно алгоритму, приведенному в [6]. Координаты точек на контуре сечения определятся через параметры реального сечения (рис. 4).
г2.
Рис. 3. Модель сечения в виде совокупности треугольных фрагментов
Рис. 4. Параметры реального двутаврового сечения
Центры окружностей С1 и С2 имеют координаты:
= В- Cy 1 = T - Щ - tga■í[■B-D - Rl
= у + Cy 2 = Т + R2 + tga■t\B-4D - R2
п
Здесь р = --а.
Значения координат точек контура приведены в таб. 2.
(1) (2)
Таблица 2
№ точки X У № точки X У
Сх1 + R1 0 7 5 Сх2 - R2 ■ совр СУ2 - Щ ■ §1ПР
7 2 Сх1 + R1 СУ1 7 6 Сх2 - R2 ■ сов Р СУ2 - ^ ■ вШ РР
Zз ^ п Р Сх1 + R1 ■ сов — 1 1 2 Су1 + Rl ■ 8ш рР 7 7 СХ2 - R2 СУ2
7 4 Сх1 + R1 ■ совр Су1 + R1 ■ 8т р 78 0 СУ2
Площадь А,, момент инерции 3у, треугольного фрагмента относительно оси Х и расстояние
между соседними точками контура вычисляются по следующим формулам:
Р =^хм - )2 + (2ум - 2у,)2 , I = 1,7; К. = 1 (гх2 + 1хг • 2хм + 2х2+, )• А, I = 1,7 ;
уг
^1+11
с ,,=1,7.
Окончательно характеристики сечения определяются следующим образом:
А = 4А, + Б• (Н -2• Су2)
р = 4 + 2 • (Н - 2 • Су2) + 2 • В
I=1
Б3 • (Н - 2 • Су2)
1у = 4 •! 3уг +
1=1 12
Процесс коррозии моделируется путём изменения радиусов на величину 8 .
'*,(£) = Л -8 Л (8) = Л +8 г, = г, Л2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
Данная эталонная модель, в дальнейшем - модель (В), позволяет максимально точно моделировать процесс коррозии сечения двутавра, но при этом менее удобна в реализации, чем предложенная ранее.
Сформулируем математическую постановку задачи, как задачи идентификации параметров модели [7]. В качестве критерия примем оценку степени совпадения выходных параметров, получаемых с помощью модели (А) и эталонной модели (В), а в качестве параметров управления - параметры модели (А).
Модель (А) характеризуется четырьмя параметрами: х = (В, Н, Б, Т), модель (В) - семью параметрами: у = (В, Н, Б,Т, Л1, Л2, а).
Необходимо определить параметры х так, чтобы выполнялись следующие условия:
А0 (х) = А0( у)
Р0 (х) = р0( у) 10 (х) = 10 (у) (х) Л1М (у)
(10)
с с (х) _ &М(у)
сИ
сИ
Система уравнений (10) содержит пять уравнений при том, что количество параметров модели (А) равно четырём. Представим площадь сечения как
А(() = А0 - Р°8Ц) + ,?к82(Г),
где sk - коэффициент формы сечения ( к = 1 для модели (А), к = 2 для модели (В)). Проинтегрируем выражение (9):
(11)
СА САС8 .о С8
— =---= (-Р + 2 • sk8)--,
С С8 С С
г =1
Следовательно, при соблюдении первых двух условий системы (10), значения производных функций площадей по времени будут совпадать с точностью до 2-8 -sk. С учётом того, что 8 << Р0 и значения ^ и s2 близки, можно считать, что выполнение данных условий приведёт к выполнению четвёртого условия системы (10). Таким образом, система будет содержать только четыре уравнения
' ао (х)=а0( у)
Р0 (х) = Р0( У) ¡0 (х) = ¡м( У) (х) <ПМ (у)
(13)
Л
Формулы для вычисления основных характеристик сечений для модели (А): площади АМ , периметра РМ и момента инерции 1М приведены в [4].
Последнее уравнение системы (13) не имеет аналитического представления, что делает затруднительным применение традиционных методов решения систем нелинейных уравнений.
Более целесообразным и удобным представляется использование методов безусловной оптимизации. Целевая функция имеет следующий вид:
(
Р (у) =
р0 (у) ^2 (
1 _ му/ '
р0
+
А0 (У) ^2 (
I0 (У)^2 (
1 ot
1_
М (у)
1е.
^ шт
(14)
Задача решалась методом случайного поиска. Результаты решения оптимизационной задачи представлены в табл. 3.
Таблица 3
№ профиля Нм, см Вм, см Вм, см Тм, см
10 9,24512 5,33578 0,59829 0,69663
14 13,04495 7,09369 0,65732 0,69604
18 16,85726 8,74981 0,69547 0,73148
22 20,65596 10,70201 0,75599 0,76205
27 25,47405 12,16322 0,82184 0,85632
30 28,33864 13,13079 0,88473 0,88298
Покажем, что модель (А) с параметрами, найденными в результате решения системы (10), позволяет адекватно описывать процесс коррозии в сечении стержня, то есть так же, как и эталонная модель (В) с табличными размерами сечений.
Примем для определенности модель накопления геометрических повреждений следующего вида [8]:
<8 = У0-(1 + 1сст), М
(15)
где у0 - скорость коррозии ненагруженного материала, к - коэффициент влияния напряжения, ст -абсолютная величина напряжения.
Результаты сравнения геометрических характеристик эталонного и модельного сечений во времени и соответствующих напряжений в сечении приведены в таблице 4, для у0 = 0,1 см/год, к = 0,3 МПа-1.
Таблица 4
Изменение во времени характеристик эталонного и модельного сечений
лет АеЬ см2 Ам, см2 ^, % т 4 ¡гЬ см т 4 I м, см е1, % сте(, МПа стм ,МПа
0,0000 12,133 12,132 0,0 17,78 17,78 0,0 60,000 60,003
0,4145 10,250 10,232 0,2 14,45 14,39 0,4 71,018 71,144
0,8290 8,327 8,290 0,4 11,30 11,23 0,6 87,416 87,808
1,2435 6,333 6,274 0,9 8,30 8,24 0,7 114,953 116,029
1,6580 4,192 4,105 2,1 5,37 5,37 0,0 173,641 177,334
Площадь Aet, момент инерции Iet и напряжение aet получены с помощью модели (В). Модельные ные площадь AM, момент инерции Iм и напряжение стм получены с помощью модели (А) для параметров, представленных в табл. 3.
Сравнивая полученные результаты, можно сделать вывод, что погрешность основных характеристик сечения не превосходит 2,1%.
В табл. 5 представлены численные результаты решения той же модельной задачи, значения характеристик модельного профиля, получены с помощью переноса размеров реального профиля на модельный.
Таблица 5
Изменение во времени характеристик эталонного и модельного сечений _(исходные значения модельного сечения)_
t, лет Aet, см2 Am, см2 SA , % т 4 Iet, см т 4 I м, см eI, % aet, МПа им ,МПа
0,0000 12,133 11,772 3,0 17,78 20,03 12,7 600,000 618,375
0,4145 10,250 9,738 5,0 14,45 16,32 12,9 710,179 747,535
0,8290 8,327 7,646 8,2 11,30 12,82 13,5 874,165 952,044
1,2435 6,333 5,446 14,0 8,30 9,48 14,2 1149,532 1336,733
1,6580 4,192 2,988 28,7 5,37 6,13 14,2 1736,406 2436,411
Из приведённых данных видно, что погрешность вычислений основных характеристик модельных сечений после определения размеров сечения согласно методике, приведенной в статье, на порядок ниже той же погрешности для исходных размеров модельного сечения.
Выводы
1. Предложена методика построения математических моделей корродирующих сечений элементов шарнирно-стержневых систем, изготовленных из стандартных прокатных профилей (двутавр, швеллер, уголок).
2. Впервые сформулирована постановка задачи определения геометрических параметров модельного сечения так, чтобы изменения во времени основных характеристик реального и модельного сечений были одинаковыми.
3. Для модельных прокатных профилей всех типов определены параметры сечений.
4. В результате численного эксперимента подтверждена высокая точность предложенной методики определения параметров сечения.
Список использованной литературы
1. Петров, В.В. Расчёт элементов конструкций, взаимодействующих с агрессивной средой. / В.В. Петров, И.Г. Овчинников, Ю.М. Шихов. - Саратов: Сарат. ун-т. - 1987. - 288 с.
2. Алексеенко Б.Г. О применении метода конечных элементов в расчётах прочности и долговечности стержневых систем, взаимодействующих с агрессивными средами. / Б.Г. Алексеенко, Ю.М. Почман // Theoretkal Foundation of Civil engineering. - Warsaw, 1999. - P. 11 - 15.
3. Криворучко Т. М. Оптимальное проектирование стержневых систем, подверженных коррозии, с учетом долговечности. / Т.М. Криворучко // Работоспособность материалов и элементов конструкций при воздействии агрессивных сред. - Саратов: СПИ, - 1986. - С. 41 - 42.
4. Зеленцов Д.Г. Расчет конструкций с изменяющейся геометрией в агрессивных средах. Стержневые системы. / Д.Г. Зеленцов. - Днепропетровск: УГХТУ, - 2002. - 168 с.
5. Колесник И.А. Моделирование коррозионных процессов в стержнях при осевом растяжении и сжатии. / И.А Колесник, Д.Г. Зеленцов, Ю.А. Храпач // Системш технологи. [Регюнальний мiжвузiвський збiрник наукових праць]. - Дншропетровськ. - Вип. 1(9). - 2000. - С. 49 - 55.
6. Мяченков В.И. Методы и алгоритмы расчёта пространственных конструкций на ЭВМ ЕС / В.И. Мяченков, В.П. Мальцев. - М.: Машиностроение, - 1984. - 280 с.
7. Норенков И.П. Основы автоматизированного проектирования. / И.П. Норенков // Учеб. для вузов. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, - 2002. - 336 с.
8. Долинский В.М. Расчёт элементов конструкций, подверженных равномерной коррозии / В.М. Долинский // Исследования по теории оболочек. - Казань. - 1976. - № 7. - С. 37 - 42.
