Математические модели процесса размораживания сырья животного происхождения Текст научной статьи по специальности «Прочие технологии»

УДК 637.521.274.031:66.021.3/4

С. А. Бредихин, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой,

(495)677-03-25, bredihin2006@yandex.ru,

Д. А. Максимов, канд. техн. наук, доц.,

(495)677-03-10, шакшшоу dima@mail.ru

А. О. Якушев, инженер, (495)677-03-10, alexeyakushev@rambler.ru,

(Россия, Москва, МГУПБ)

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА РАЗМОРАЖИВАНИЯ СЫРЬЯ ЖИВОТНОГО ПРОИСХОЖДЕНИЯ

Приводится обзор проведённых исследований на тему математического моделирования процесса размораживания мясного сырья. Также представлены результаты исследований самих авторов и разработанная ими математическая модель, описывающая процесс размораживания мясного сырья в вакууме.

Ключевые слова: размораживание, моделирование, мясное сырьё, вакуум.

Процесс размораживания часто представляют как процесс обратный замораживанию [1, 2]. Математическое описание процесса размораживания представляется весьма непростой задачей. Процесс размораживания протекает по сложным зависимостям, на которые оказывают влияние многие динамически изменяющиеся параметры самого размораживаемого сырья. Определение температурного поля внутри продукта при наличии фазового перехода - одна из сложнейших задач математической физики [5, 7]. В продукте, который находится в процессе размораживания, присутствует вода в замороженном и жидком состоянии, причём соотношение замороженной и жидкой воды непрерывно изменяется. Также непрерывно меняется и температура продукта, но температурный фронт движется не равномерно, а по определённым зависимостям, отражающим влияние динамически изменяющихся теплоёмкости, теплопроводности продукта, а также продвижение слоя криоскопической температуры и других параметров.

Непросто дело обстоит и с определением продолжительности размораживания. Продолжительность процесса замораживания с достаточно высокой точностью определялась по формуле:

0 = ^[с0(*н - ^р) + ¿^ш + см (?кр - ^к)]. (1)

Здесь сумма в прямых скобках представляет собой теплоту, отводимую от единицы массы продукта. Первое слагаемое выражает теплоту охлаждения, второе - теплоту собственно льдообразования, третье - теплоту, отводимую для понижения температуры при одновременно происходящем льдообразовании (а также и после завершения льдообразования, если оно закончилось при более высокой температуре, чем tк) [9].

Но для размораживания эта схема менее приемлема, чем для замораживания. При замораживании принимаются следующие представления: отсутствуют тепловыделения в области, лежащей глубже границы раздела, а вся теплота, выделяемая при движении границы раздела, отводится к внешней среде через замороженный слой, теплоёмкость которого равна нулю.

При размораживании температура ниже криоскопической, потому подвод теплоты вызывает неравномерное повышение температуры в различных частях и соответствующее этому поглощение теплоты плавления льда в соответствии с представлением о количестве вымороженной воды как функции температуры [9]. Когда на поверхности достигается криоско-пическая температура, граница разделения фаз продвигается внутрь продукта, но в отличие от представлений, принятых при выведении формулы (1), часть теплоты проникает за границу разделения и повышает температуру замороженной сердцевины. Наряду с этим теплоёмкость размороженного периферийного слоя достаточно велика, и в связи с этим возрастает погрешность от допущения, что данная теплоёмкость равна нулю.

Аналитически задачу размораживания мяса относят к решению задачи Стефана, которая заключается в исследовании проблемы перемещения границы фронта кристаллизации. Её сущность сводится к описанию следующей функции:

х = х(т). (2)

За границу фронта кристаллизации принимается плоскость, перемещающаяся по времени. На границе раздела фаз должно выполняться условие Стефана:

гЖл ^ 7 п(

- трйЪ = X —- с1т - X — с1т, (3)

ч ^х )—=Ь ^ ^х ) х=Ь

где Ь - половина толщины замороженного слоя, м (индекс 1 относится к размороженному слою продукта).

Одной из наиболее распространённых формул, определяющих длительность размораживания мяса, является формула Планка:

' I 1Л

др I

О Ф

---------1-----

V 2А, а у

(4)

где I - характерный размер, м; Ф^ - показатель, характеризующий стереометрическую форму тела.

Существуют и некоторые зависимости, полученные эмпирическим путём. Продолжительность размораживания свиных полутуш и говяжьих четвертин в интервале температур от -8 до -0,5 °С, а также мороженных блоков в интервале от -10 до -0,5 °С при температуре воздуха и скорости его движения около 0,05...0,1 м/с выражается следующей зависимостью, которую определили Р. Планк и Д. А. Христодуло [9, 8]:

т

_т_ зи

- (5)

t0 + IV G

где т - постоянный числовой коэффициент, значения которого зависят от массы G; Gi/G - отношение массы полутуттти или четвертины, для которой вычисляется продолжительность размораживания, к массе того же объекта, для которого указаны значения постоянных т и n [9].

Христодуло Д. А. и Рютов Д. для определения продолжительности

размораживания блоков и мелких порций мяса от -10 до -0,5 °С при тех же

условиях предложили следующую зависимость:

т = 7m+T + Пъ (6)

to +1

где mT и nT - постоянные числовые коэффициенты, значения которых зависят от масс G [9].

Некоторые исследователи [9, 3, 6] предложили рассматривать процесс размораживания, разделив его на две фазы. Первая стадия продолжается до достижения на поверхности замороженного продукта криоскопи-ческой температуры, вторая стадия - до достижения криоскопической температуры в центре продукта.

Нахождение продолжительности первой стадии заключается в интегрировании дифференциального уравнения теплопроводности для случая простого нагревания при граничных условиях 3-го рода. И большинство исследователей сходятся в решении вопроса о продолжительности первой стадии.

Кончаков Г.Д. [3] получил следующее решение для плоской неограниченной пластины:

2

l ATcOS ц ÍH\

т = —2ln -ПТ~ ’ (7)

амц c кр

tc -10

где аМ - температуропроводность мороженого мяса, м2/ч; ц - корни характеристического уравнения; t0 - температура воздуха, °С.

= 2sin ц , (8)

ц + sin ц cos ц

Значения Ai и ц находятся в зависимости от критерия Bi.

Нахождение продолжительности второй стадии размораживания и её закономерности определяют по-разному.

Сенютович В. А. [6] для второй фазы предложил иную формулу:

12qp

2^КрХ о

(9)

т

где Х0 - коэффициент теплопроводности размороженного продукта, Вт/(м-К); С0 - удельная теплоёмкость размороженного продукта,

Дж/(кг-К); 4 - температура на поверхности, °С.

Г. Д. Кончаков [1, 4] решал задачу для второй стадии следующим образом. При толщине пластины в 21 рассматривается продвижение границы фронта с переменной координатой г (рис. 1). Допущено, что температура в размороженном слое считается меняющейся по линейному закону.

Рис. 1. Схема одномерного изображения температурного поля плоской пластины для определения продолжительности размораживания

На основании подобия треугольников (см. рис. 1)

кр

г

ґ0 - ґкр Ао +( - 2)

(10)

а

откуда

ґ =

кр

А

0

а

+

■(х - г)+ ґ

кр

(11)

Для оценки скорости продвижения границы раздела используется уравнение из решения В. А. Сенютовича:

dz X о дг

dx ду дх

Из рис. 1 на основании подобия треугольников следует также

дг

(12)

ґ0 ґкр

дх Ао

+

а

(13)

где ґ0 ґкр = икр .

Принимаем это выражение температурного градиента в размороженном слое и интегрируем уравнение скорости продвижения границы

раздела в пределах от 0 до I. В результате получим длительность второй стадии размораживания:

ґ і л

(14)

икр

I 1

+ —

V2А0 аJ

Для более точных результатов Г. Д. Кончаков предложил ввести коэффициент, учитывающий форму говяжьего бедра Ф = 0,57. Таким образом, окончательный вид формулы такой:

/ , Л

(15)

т=-З^Ф,

икр

I 1

■ + •

2А 0 а

Проведённые исследования показали, что отклонение экспериментальных данных от расчётных отличаются на 5 %. Но это не даёт основания полагать, что данная формула с той же точностью может описать размораживание при других условиях и с другими видами мясного сырья. Упрощения, принятые в этой формуле, более значительные, чем предыдущие, а отклонения результатов опыта и расчёта по предыдущим формулам достигал 15 %.

Формулы, в которых приняты упрощения, несложны в расчётах, но могут давать довольно значительную погрешность и не стабильные результаты в сравнении эмпирических и теоретических данных. Без упрощений формулы становятся громоздкими и весьма трудоёмкими в решении, поэтому вопрос о создании достаточно ёмкой зависимости, точно описывающей процесс размораживания, остаётся открытым.

Авторами был проведён ряд экспериментальных исследований по размораживанию мясного сырья в среде насыщенного водяного пара под вакуумом. На основе полученных экспериментальных данных были разработаны новые математические зависимости, описывающие процесс дефро-стации мясного сырья. Весь процесс мы условно разделили на три стадии, обусловленные характером физического состояния продукта:

1. Нагрев охлаждённого до -18 °С мясного сырья до того момента, когда расчётная температура его поверхности достигает значение Тк (криоскопическая температура).

2. Нагрев мясного сырья до момента, при котором температура в его центре принимает величину Тк.

3. Нагрев мясного сырья до момента, когда температура в его центре принимает величину Тн (нормативное, или номинальное значение температуры).

Учитывая, что объектом экспериментального исследования инновационной технологической разработки по размораживанию мяса в вакууме служили стандартные образцы мясного сырья в виде куба с ребром Ь. В целях упрощения задачи, с небольшой погрешностью, в качестве исходной

геометрической модели сырья принимаем шар эквивалентного радиуса Я = ф/(4л)]1/3.

Для первой стадии в качестве исходного соотношения, описывающего кинетику температуры внутри шара, принимаем отнесённое к сферическим координатам, с началом координат в центре шара, уравнение теплопроводности:

дТ

а"

= a

f 2 д2Т 2 дТ +

V

дг

2

г дг

(16)

у

где Т - температура, °С; ґ - время, с; г - радиальная координата;

а = А / су, (17)

где а - коэффициент температуропроводности, м /с; X - коэффициент теплопроводности, Вт/(м-К); с - теплоёмкость, Дж/К; у - плотность тела,

кг/м3.

Рис. 2. Схема к расчёту процесса размораживания мяса под вакуумом, где Я- радиус шара; г - радиальная координата; є - фронт размораживания шара; 1 - зона размороженного сырья; 2 - зона сырья, охлаждённого до твёрдого состояния

Для решения уравнения (16) применяем метод осреднения. Для чего осредняли левую часть уравнения (16) по радиусу Я шара, вводя в рассмотрение функцию ф(г) по соотношению:

1 RдТ . г . dr = 6аф(Т

R Q дТ

(18)

где а - рассчитываем согласно (17); ф(£) - подлежащая определению функция времени.

Принимая начальное условие по исходной температуре как равномерно распределенной по объему тела:

T (r ,0) = Tq = const.

Граничное условие (в форме закона Ньютона) на поверхности шара запишется в виде [1]

дТ (Я,ґ) дг

+ Н[Тс - Т(Я,ґ)] = 0,

(19)

где Н = а / X; а - коэффициент теплоотдачи, Вт/(м К); Тс - температура воздушной среды, °С.

Граничное условие симметричности поля температуры внутри шара

дТ (0,г)

дг

= 0.

В результате на основе (18) по распределению температуры в шаре для первой стадии процесса теплопереноса в приближенной форме получаем:

Т(г, г) = Тс + [г2 - Я(НЯ + 2)/ Н]:

х

X

3Н(Тс - Т0 )/[2Я(НЯ + 3)]ехр

9аНґ

(20)

Я( НЯ + 3)

Период ¿і протекания первой стадии процесса дефростирова-

ния продукта:

Я( НЯ + 3),

и =—-------------11п

1 9На

30

1

НЯ + 3

(21)

2

Преобразуя соотношение (20) путём умножения его на а/Я , прихо дим к безразмерному виду критериального уравнения:

301

Ві + 3

ҐО =-----------1п

9Ві

Ві + 3

(22)

• 1

где ¥о = аг / Я - критерий Фурье; Ы = НЯ - критерий Био [1].

На базе (22) в области типовых значений параметров процесса рассчитан график зависимости Го от Б1, имеющий вид логарифмической функции (рис. 3). Данная зависимость отражает реальный теплоперенос: протекание процесса ускоряется, когда (при всех остальных фиксированных значениях параметров) входящий в критерий Био коэффициент теплоотдачи а растёт.

Вторую стадию процесса размораживания мясного сырья рассматриваем в условиях изменения агрегатного состояния тела. Задачу решаем, отправляясь от концепции Стефана, полагая, что фазовый переход «вода -лед» внутри шара реализуется на некоторой условной сферической поверхности г = г(г). При этом в расчётах использовали тот же метод осреднения, что и при анализе первой стадии процесса.

В1

Рис. 3. Зависимость критерия Фурье от критерия Био (первая стадия процесса дефростированиямяса; приведенная температура 91 = 1,74)

Аналитически эту задачу можно представить следующим образом: для исследуемого образца температура его тела удовлетворяет дифференциальным уравнениям теплопроводности:

дТ

dt

дТ 2 dt

= Q"

2

д2Т 2 дТ

—2"+ —1

дг г дг

= Q2

У

О

д 2Т2 + 2 дТ2 дг 2 г дг

(t>0, s<г<R),

(t>0, 0<г<s).

(23)

(24)

где Т", Т2 - температура мясного сырья соответственно для областей I и 2, °С; а", а2 - коэффициент температуропроводности соответственно для областей I и 2, м /с.

В целях упрощения расчётов в качестве начального условия по исходному распределению температуры внутри шара на второй стадии принимаем:

Т (г ,0) = ТО = const,

Граничное условие на поверхности шара [I] по-прежнему выбираем по ("9), а на разделяющей области I и 2 поверхности требуем выполнения условия непрерывности температуры на фронте г = s(t)

^(s, t) = Т2^, t) = Тк, (25)

где Тк - криоскопическая температура, °С.

Применяя ту же методику решения краевой задачи, что и при решении соответствующей задачи по первой стадии, приходим к зависимости:

Т(г,г) = Т1 (г,г) = Тк + 0(г)Мехр(баг/Ь) + (1 -є/г)Н(Тс -Тк)/Р. (26)

И для второй стадии:

Т2 (г, г ) = Тк + (г 2 -є2 )>(() (27)

Для того чтобы определить продолжительность собственно процесса размораживания мясного сырья требуется найти время, за которое фронт размораживания достигнет центра шара, т.е. решить задачу Стефана для шара.

Для чего используем условие Стефана на перемещающемся фронте размораживания:

д

—(^іТі - X,2Т2) дг

где Х1, Х2 - соответственно, коэффициент теплопроводности для областей 1 и 2, Вт/(м-К); р - скрытая теплота фазового перехода воды в лёд, Дж/кг; Ж - влажность мяса, %; у - плотность мяса, кг/м .

^ = Мехр(ба1г/Ь)[2г+-^Н(Є - К ) + 2К] + Аг(Т° - Тк)Н, (29)

дг ^ 1 Я г2 Р г2 Р У }

дТ2 = 3г(Тк - То) ехр(-9а2г/є2). (30)

дг є2

В силу (29), (30) на фронте размораживания, т. е. при г = є, имеем:

1 (Тс - Тк) Н

Ир

— = ц(М ехр(6й1 / Ь) Иг

2є+1 Нє2 - *2) + 2й

Р

+

Р

-ехр(-9й2/£ )}, (31)

е

где ^ = Х1 /(руЖ); у = Х2/Х1.

Подставляя найденные на основе (31) значения координат £ фронта размораживания как функций времени и полагая г = 0, приходим к зависимости температуры в центре шара, для соответствующих значений коэффициентов Ж1 и Ж2.

Третья стадия процесса размораживания мясного сырья протекает в условиях, когда согласно расчёту сырьё полностью изменяет своё агрегатное состояние, переходя от твёрдой фазы к насыщенной мясным соком фазе.

В течение третьей стадии необходимо, чтобы в результате подвода к шару тепла извне температура в центре шара, в соответствии с технологическим нормативом, приняла значение Т = Тн. Поскольку в течение второй стадии процесса теплопереноса, согласно расчёту, температура шара становится не ниже криоскопической Т = Тк, то по истечении данного периода времени шар, по его тепловым свойствам, следует считать изо-

ь

є

тропным телом. Поэтому количественный анализ теплопереноса в данном теле может быть проведен по той же схеме, что и рассмотренный для анализа первой стадии.

В результате после подстановки в формулу (20) значения Т = Тн, г = 0 для третьей стадии процесса теплопереноса в соответствии с (21) имеем соотношение:

9аШ

Тн = Тс - (НЯ + 2)(7С - То )/[2(НК + 3)]ехр

*3

Я( НЯ + 3)

откуда получаем:

Я( НЯ + 3),

г3 = —--------------------- 1п

3 9 На

3( НЯ+2)Є3 2( НЯ + 3)

03 =(Тс - То )/(Тс - Тк ),

(32)

где Т0 - распределение температуры в шаре в начале третьей стадии.

Таким образом, исходя из осесимметричной модели переноса тепла в шаре, имитирующего образец мясного сырья в виде тела кубической формы, на базе метода осреднения найдены удобные для инженерных расчётов и прогнозирования протекания процесса аналитические зависимости по распределению температуры по радиусу шара и во времени как в физических, так и в критериальных величинах. Полученные расчётные данные по полю температуры в шаре адекватны физическому смыслу рассматриваемого явления и согласуются с результатами других исследователей.

На основе кинетического закона Стефана и на базе найденных закономерностей, учитывающих все основные параметры задачи, зависимостей по распределению температуры в шаре проведено численное моделирование процесса перемещения фронта размораживания мясного сырья, а также изменения температуры шара по времени. На основе созданной модели возможно разработать наиболее оптимальные технологические процессы размораживания мяса и других сходных по структурно-физическим свойствам пищевых продуктов.

Список литературы

1. Бражников А. М., Карпычев В. А., Пелеев А. И. Аналитические методы исследования процессов термической обработки мясопродуктов. М.: Пищевая промышленность, 1974. С.117-119.

2. Аналитические исследования технологических процессов обработки мяса холодом / Н.А. Головкин [и др.] М.: ЦНИИТЭИмясомолпром. 1970. 183с.

3. Кончаков Г. Д. Исследования процесса размораживания мяса в воздухе: дис. ... канд. техн. наук. М., 1968.

4. Кончаков Г. Д. Аналитическое исследование процесса размораживания мяса в воздухе // Холодильная техника. 1968. №2. С. 28-31.

5. Рубинштейн Л. И. Проблема Стефана. Рига, Звайгзне. 1967.

457 с.

6. Сенютович В. А. К расчёту продолжительности размораживания пищевых продуктов // Известия вузов. Пищевая технология. 1962. №2. С. 144-150.

7. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 724 с.

8. Чижов Г.Б. Теплофизические процессы в холодильной технологии пищевых продуктов. М.: Пищевая промышленность, 1971. 302 с.

9. Чижов Г.Б. Теплофизические процессы в холодильной технологии пищевых продуктов. М.: Пищевая промышленность, 1979. 271 с.

10. Шеффер А.П., Саатчан А.К., Кончаков Г.Д. Интенсификация охлаждения, замораживания и размораживания мяса. М.: Пищевая промышленность, 1972. 375 с.

S.A. Bredihin, D.A. Maksimov, A.O. Yakushev

MATHEMATICAL MODELS OF THE DEFROSTING PROCESS OF RAW MEAT An overview of carried out research work on theme of mathematical modeling of the process of defrosting raw meat is contained. Also it presents the results of the author’s researches and developed by them mathematical model describing the process of defrosting raw meat in vacuum.

Key words: defrosting, modeling, raw meat, vacuum.

Получено 16.12.10

УДК.531.383

Д. М. Малютин, канд. техн. наук, доц.,

(4872) 35-19-59, MALYTINDM@yandex.ru ,

М.И. Дегтярев, асп., degtarev mihail@mail.ru (Россия, Тула, ТулГУ)

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ И РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ УПРАВЛЯЕМОГО ГИРОСТАБИЛИЗАТОРА НА ДИНАМИЧЕСКИ НАСТРАИВАЕМОМ ГИРОСКОПЕ

Приведено математическое описание и проведены исследования динамики индикаторного двухосного гиростабилизатора тепловизионного датчика оптической головки самонаведения, работающего в совмещенном режиме стабилизации и управления. Обоснована возможность создания такого гиростабилизатора с использованием динамически настраиваемого гироскопа.

Ключевые слова: гиростабилизатор, динамически - настраиваемый гироскоп, система стабилизации.

В настоящее время актуальной является задача повышения точности управляемых ГС, работающих в совмещенных режимах стабилизации и управления.