Математические модели оптимизации финансирования нескольких инвестиционных проектов Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

ISSN 2311-8725 (Online) ISSN 2073-039X (Print)

Математические методы и модели

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОПТИМИЗАЦИИ ФИНАНСИРОВАНИЯ НЕСКОЛЬКИХ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ*

Татьяна Васильевна АЗАРНОВА"*, Ирина Наумовна ЩЕПИНАь, Валерия Викторовна ВОЛГИНА0

а доктор технических наук, профессор кафедры математических методов исследования операций, Воронежский

государственный университет, Воронеж, Российская Федерация

[email protected]

ь доктор экономических наук, доцент кафедры информационных технологий и математических методов в экономике,

Воронежский государственный университет, Воронеж, Российская Федерация

[email protected]

аспирантка кафедры математических методов исследования операций, Воронежский государственный университет, Воронеж, Российская Федерация [email protected]

* Ответственный автор

Аннотация

Предмет и тема. Инвестиционные проекты являются эффективным инструментом современного бизнеса. Инвестиционная деятельность способствует технологической и социальной модернизации экономики, созданию новых и развитию существующих производственных структур. За счет инвестиционной деятельности появляются дополнительные рабочие места, создаются и выводятся на рынок новые продукты и услуги. Инвестиционная деятельность, особенно в рамках инновационных структур, как правило, предполагает одновременное ведение нескольких инвестиционных проектов (проекты могут начинаться с некоторым сдвигом во времени). Эффективность выполнения совокупности проектов во многом зависит от используемых технологий их финансирования, поэтому актуальными являются вопросы разработки инструментальных средств (в виде моделей, методов, алгоритмов и программного обеспечения), позволяющих строить формализованное представление множества допустимых (соответствующих требованиям финансового менеджмента инвестиционных проектов) альтернативных технологий финансирования совокупности проектов и осуществлять выбор оптимальной технологии. Цели и задачи. Цель работы заключается в построении математической модели формирования оптимальной технологии финансирования совокупности инвестиционных проектов и в разработке на базе этой модели инструментальных алгоритмических и программных средств финансового менеджмента инвестиционных проектов. Методология. Предложенная в рамках исследования оптимизационная математическая модель формализует процедуру формирования денежных потоков инвестиционных проектов, осуществляемых в рамках одной организационной структуры, и по типу оптимизационных моделей представляет собой модель линейного программирования.

Результат. Алгоритмическое и программное обеспечение, разработанное на базе модели, позволяет автоматизировать процесс оценки эффективности различных альтернативных технологий финансирования проектов и выбора оптимальной из данных технологий. Технологии финансирования на детальном уровне описывают: использование собственного капитала, привлечение заемных средств из различных источников финансирования и управление возвратом этих средств, движение генерируемых в рамках реализации проектов свободных денежных средств.

Выводы. Экспериментальные вычисления, проведенные на базе предложенной математической модели и соответствующего алгоритмического и программного обеспечения, показывают достаточно высокую эффективность использования формируемых по результатам расчетов технологий финансирования проектов в практике инвестиционного проектирования.

© Издательский дом ФИНАНСЫ и КРЕДИТ, 2015

* Авторы выражают глубокую признательность Любушину Николаю Петровичу за ценные советы и замечания в процессе подготовки рукописи.

Статья предоставлена Информационным центром Издательского дома «ФИНАНСЫ и КРЕДИТ» при Воронежском государственном университете.

История статьи:

Принята 18.05.2015 Одобрена 18.05.2015

УДК 336.581

Ключевые слова:

инвестиционный проект, критерий, эффективность, математическая модель, линейное программирование

Сложность инвестиционного проектирования заключается в необходимости детального учета достаточно большого количества временных, финансовых, ресурсных и вероятностных факторов реализации проектов, оказывающих непосредственное влияние на их эффективность [1-8]. Планирование современных инвестиционных проектов невозможно без специальных инструментов факторного анализа и имитационного моделирования. Одним из эффективных, хорошо апробированных инструментов оптимизации инвестиционных процессов является математическое моделирование. Применение математического моделирования позволяет определять структурные и финансовые параметры инвестиционных процессов, способствующие достижению оптимальных значений критериев эффективности, и учитывать элементы динамики, риска и нечеткости данных [9-16]. Вопросы применения математического моделирования для оптимизации процессов финансирования инвестиционных проектов рассматриваются в работах Г. Хакса, Х. Вейнгартнера, Дж. Дина, Д.А. Новикова, В.Н. Буркова, Е.М. Бронштейна, Т.Н. Олейник, В.Д. Богатырева, С.А. Морозова, В.А. Царькова, О.В. Павлова, М.Ю. Михалева и др. [10, 14, 16-22,]. В перечисленных работах анализируются различные аспекты финансирования проектов и вводятся различные критерии оптимальности. В качестве аппарата исследования применяются методы теории графов, линейной и нелинейной оптимизации. В работе [17] рассматривается задача формирования оптимальной технологии финансирования взаимосвязанных инвестиционных проектов с учетом инфляции. Вводятся ограничения на порядок, в котором осуществляется финансирование, и временной лаг между началами финансирования проектов. В качестве дополнительной возможности использования денежных средств предусмотрено вложение их в банк, однако прямое взаимное финансирование проектов не предусмотрено. Для сравнения проектов используются чистый дисконтированный доход, минимум средств, необходимых для финансирования, и модифицированный индекс рентабельности. При решении задачи применяются методы теории графов, позволяющие оптимизировать временные аспекты выполнения проектов. Работа [16] посвящена математическому моделированию процессов финансирования инвестиционных проектов в условиях дефицита бюджета, в рамках исследования используются алгоритмы теории графов и календарно-сетевого планирования. Рассматривается один проект, работы по которому могут осуществляться

как последовательно, так и параллельно. В условиях дефицита бюджета возможны нежелательные задержки выполнения отдельных работ и проекта в целом, в модели вводятся специальные штрафные санкции и минимизируется время задержки. Для оценки эффективности проекта используется чистый дисконтированный доход. В работе [20] моделируется процесс выбора оптимального (максимальный чистый дисконтированный доход) инвестиционного проекта из нескольких взаимоисключающих. Для решения задачи применяются методы оптимального управления дискретными процессами. Поиск оптимального управления осуществляется на момент начала инвестирования. При расчетах учитывается только налог на прибыль. Построению модели формирования оптимального портфеля инвестиционных проектов посвящена работа [18]. При отборе проектов для финансирования учитывается их разбиение на основные, средне- и краткосрочные, вспомогательные и инновационные. Подзадача отбора проектов формулируется отдельно для каждой из групп с учетом ее особенностей. В качестве частных критериев оптимальности используются чистый дисконтированный доход, индекс доходности и внутренняя ставка доходности. Возможность поэтапного финансирования проектов не рассматривается, в качестве критерия оптимальности используется величина единовременных затрат на инвестирование проектов.

В работе предложена оптимизационная математическая модель нахождения оптимальных параметров финансирования нескольких параллельных инвестиционных проектов, учитывающая специфику управления инвестиционными проектами в инновационных структурах. В качестве критериев эффективности [23] рассматриваются чистые дисконтированные доходы всей совокупности проектов и каждого проекта в отдельности.

Рассмотрим формализованную постановку задачи. Имеется N (р = 1,...,N инвестиционных проектов, которые будут осуществляться за счет собственного и заемного капитала (несколько источников финансирования). Выполнение всех или подгрупп проектов может осуществляться параллельно, начало и окончание каждого проекта считается известным (Вр - период начала р-го проекта, ЕМр - период окончания р-го проекта). Необходимо подобрать оптимальную технологию финансирования этих проектов на интервале от начала первого проекта до окончания последнего (интервал разбит на шаги), которая обеспечивала бы максимальную

эффективность (чистый дисконтированный денежный доход - ЧДД) совокупного проекта.

В процессе построения модели вводится ряд предположений:

1. При проведении расчетов рассматриваются финансовые притоки и оттоки от операционной, инвестиционной и финансовой деятельности. Притоки учитываются со знаком «+», оттоки

- со знаком «-». Все потоки рассматриваются на конец каждого шага, точкой приведения является конец нулевого шага. Расчеты проводятся без учета инфляции в текущих ценах.

2. В расчетах учитываются:

- налог на добавленную стоимость (НДС);

- налог на имущество;

- налог на прибыль;

- льготы по налогу на прибыль;

- нормы амортизации п_атр, р = 1,...,N (проблемы полной амортизации активов и выработки технического ресурса не рассматриваются).

Учет именно этих налогов не является принципиальным для моделирования, модель может быть настроена и на другую совокупность налогов.

3. Для каждого проекта заданы:

- величина выручки без НДС;

- балансовая стоимость основных производственных фондов;

- продолжительность проектов (Ь шагов для р-го проекта);

- производственные затраты;

- притоки от инвестиционной деятельности;

- капиталовложения;

- величина собственного капитала для каждого шага проекта.

4. В качестве показателя эффективности совокупного проекта и каждого отдельного проекта рассматривается ЧДД:

ЧДД = £ф,. ОЧЕ),

где ф. - суммарное сальдо потоков проекта на 7-м шаге;

1

ai° =-

(1 + E )t-to на 7-м шаге [24-26];

- коэффициент дисконтирования

t . - конец 7-го шага; E- норма дисконта.

5. В процессе реализации проектов возможно использование собственного и заемного капитала из H источников финансирования (кредиты берутся под проект, величина кредитов по каждому источнику финансирования ограничена). Проценты по кредитам начисляются на каждом шаге, но до начала производственного цикла проекта проценты могут не выплачиваться (капитализироваться, добавляться к величине долга). Считается, что займы берутся в начале расчетного шага, а возврат долга и выплата процентов - в конце.

6. Средства чистой прибыли на некоторых шагах реализации проектов (резервы) могут помещаться в общий дополнительный фонд (депозит в банке под определенный процент). В дальнейшем (на следующих шагах реализации проектов) средства из дополнительных фондов могут использоваться для погашения отрицательного сальдо проектов, проекты могут финансировать друг друга.

Перейдем непосредственно к описанию предложенной в рамках исследования модели. Основные обозначения модели приведены в табл. 1.

После введения основных обозначений можно выписать целевую функцию и ограничения разработанной в рамках исследования математической оптимизационной модели.

Целевой функцией модели является сумма чистых дисконтированных доходов всех проектов. Чистый дисконтированный доходp-го проекта определяется

Endp

как ЧДДp = X dp..

7=BP

Рассмотрим ограничения модели.

1. Суммарное сальдо ss 3 7. в каждый период времени должно быть неотрицательно, поэтому

( H Л

X Лpi(1 - np) +[1 + d(1 - np)] f + Урi +

V j=

H

+X(xpj.■+5 i) --(vb _ ndsp.■(1 - np)+pzPI (1 - np)+

j=1

+nal _ imp i (1 - np) + prp i + kvl pi + +np • amortpi + sob _ карpi).

2. Сумма долга на конец каждого проекта должна быть равна нулю по всем источникам финансирования, т.е.

7=0

Таблица 1

Обозначения модели

Тип Обозначение Описание

Задаваемая величина N Количество инвестиционных проектов

Задаваемые величины B, End. Периоды начала и окончания i-го проекта

Задаваемая величина H Количество источников финансирования j = 1,.. ,,H

Задаваемые величины st, OF. j j Процентная ставка, под которую выдается кредит j-м источником финансирования (в долях от единицы), и максимальная сумма кредита из j-го источника финансирования

Задаваемая величина E Норма дисконта

Задаваемая величина d Депозитный процент

Задаваемая величина n am Норма амортизации в p-м проекте

Задаваемые величины nds, ni, np Налог на добавленную стоимость, налог на имущество, налог на прибыль

Задаваемая величина vb nds . Выручка без НДС для p-го проекта в i-й период

Задаваемая величина PZp< Производственные затраты для р-го проекта в i-й период

Задаваемая величина bs . Балансовая стоимость фондов для р-го проекта в i-й период

Задаваемая величина Prpi Притоки от инвестиционной деятельности для p-го проекта в i-й период

Задаваемая величина kvl . Капиталовложения для р-го проекта в i-й период

Задаваемая величина sob kapn. Собственный капитал для р-го проекта в i-й период

Переменная модели x .. pjj Величина займа для р-го проекта у j-го источника финансирования в i-й период

Переменная модели S .. pj• Величина возврата долга для р-го проекта j-му источнику финансирования в i-й период

Переменная модели A .. pj' Величина выплаченных процентов для р-го проекта j-му источнику финансирования в i-й период

Переменная модели yp> Величина денежных средств, направляемых в дополнительный фонд, для р-го проекта в i-й период

Переменная модели df. j pi Величина притока из дополнительного фонда для р-го проекта в i-й период

Вычисляемая величина vs_nds pi Выручка с НДС: vs ndsp¡ = vb nds • nds

Вычисляемая величина vrd . pi Внереализационные доходы: vrdp¡ = dfpi ■ d

Вычисляемая величина v v . pi Всего выручка: v _ vpi = vb _ ndspi + vrdpi

Вычисляемая величина amort . pi Амортизация: amortp¡ = bsp¡ n amp

Вычисляемые величины os_ngpP osJgpi Остаточная стоимость на конец года: 0S _ kgpi = 0S _ ngpi - am0rtpi, 0S _ ngp0 = bspo. Остаточная стоимость на начало года 0S _ ngpl = bSp1 - amOrtp0 , 0S _ ngpi = 0S _ ngp(i-l) - amortpi

Вычисляемая величина nal im . pi Налог на имущество: nal _ imp¡ =-(os _ ngp¡ - os _ kg¡1¡ )ni

Вычисляемые величины val_prp,, n ia_prp,, nn_pr, ch_prp. Валовая прибыль: H val _ Prpi = v _ ndspi + dfpi •d + Pzpi + X Apjí - amortpi. j=i Налогооблагаемая прибыль: n ia pr . = val pr . + nal im . + nal df .. — — pt — pt — pt — ^ pt Налог на прибыль: H nn _ prpi =(vb _ ndspi+dfp¡ •d+pzp¡+X A pji- amortpi + j=1

+nal impi + nal dfp¡ )(-np). Чистая прибыль: H

ch _ prpi = (1 - np)(vb _ ndspi + dfpi • d + pzpi + X Apji - j=i

-amort . + nal im . + nal df .) pi — pi — ^ pi'

Окончание табл. 1

Тип

Обозначение

Описание

Вычисляемые величины

saldo 1

p

saldo2

p

ss2 ,

p'

saldo3

p

ss3 ,

Сальдо от операционной деятельности:

saldol . = (vb nds . + df . • d + pz . + df . + nal im . +

pt v — pt J pt pt J pt — pt

H

+nal _ f) + (-np)(vb _ ndspi + f •d + Pzpi + X Api -

y=i

-amort + nal im + nal df ).

pt — pt — ^ pt'

Сальдо от инвестиционной деятельности

saldo2 pi = prpi + Mp + yp,

Суммарное сальдо двух потоков: ss2 p¡ = saldo! p¡ + saldo2 p¡.

Сальдо от финансовой деятельности:

H

saldo3p¡ = X(A pß + S p,-,- + xpß ) + sob _ kaPp¡.

y=i

О/ммарноесальдо трех потоков: ss3p¡ = (1 - np)(vb _ ndsp¡ + pzp¡) +

H

+[1 + d(1 - np)]dfp¡ + (1 - npApj¡ + np ■ amortp¡ +

j=i

+(1 - np)(nal _ imp¡ + nal _ dfp¡) +

H

+pzPi + kvlPi + ypi + X(xpji+ 5 pß)+sob _ kapPi. j=1

Накопленноесальдотрехпотоков: nspi = nspa-i) + ss3pt

Вычисляемые величины

kap ..,

rpß

nach ..

pj'

Проценты капитализированные, проценты начисленные: Apß = -inachpß - kappß ),

nachpß = (xpß + vd _ nshpj + kappj + 5 pß (i_1))sti, kappj, = А - +(xpj- + vd _ nshpj(,--i) + kappj(i-i) + 5 - (, _1))stj,

vd д nshpß = v4 _ nshpj -i) + kappj,-i) + pj (,-i) + xpj.

kappj о =A ц о + xpj о stj >

( ' t-i t-1 Л

kappj, =A - +1X+X kappß +X д, I sti-,

VI=0 I=0 I=0 J

nachpj0 = xpj,0 sti>

nachpß=IX xpji+X ^aPpji +X ДрЛ I ч

/=0 /=0

Вычисляемые величины

vd nsh ., Величина долга на начало шага:

— р]<

vd _ тк^ 0 = х. 0, vd _ ткрР = + vd _ ^ ^. Величина долга на конец шага: ^ д Ш. = ^ _ Ш. + кар. + р.,

Вычисляемая величина poep

Поток для оценки эффективности участия в проекте: poepp¡ = ss3p - sob _ kappt

Вычисляемая величина

dppi Дисконтированный поток:

dPpi = PoePpia',0

vd _ kshpjEndp = 0,

vd _ kshpjEndp = vd _ kshpj (Endp -1) + ^ pjEndp

3. Величина капитализированных процентов в каждый период неотрицательна:

+

+kaP pjEndp +Ö pjEndp ■

Л PJ' +

X kaPpß +x xpji +X5 pji I

/=0 /=0 /=0

> 0.

ns

I =0

4. Займы и денежные потоки из дополнительных 1 1

фондов должны быть положительными X^н + Хуч < 0,' = -

величинами, а возврат долга, выплаченные '=Б '=Б

проценты, отток в резервные фонды - 1 1-1 1 1-1

отрицательными: X ^н + X уи + X + X у2> - 0' =

xj > 0

S .. < 0, A .. < 0,

pj' ' pj' '

i=B2

= В2,...,(Вз - 1),

End Endi l

Z f+Z yn + Z

+ Z df2i +

Endi Endi End2 End2 l

Z f+Z yn + Z df2i + Z y 2i+...+ Z

i=Bi i= Bi i=B2 i=B2 i=Bn

^Р' > 0, Ур < 0. ''=В1 '=Б 1=Ег

1-1 1 1-1

5. Займы в каждый период не должны превышать + X у2'' + .. + X ^« + X у№ < 0' = ,..., Еп^,

'' = Б '' = В. '=Б_

максимального размера кредита по каждому источнику финансирования: хр. < OFj.

6. Возврат долга в каждый период не должен быть больше суммы займов в предыдущих периодах 1-1

по каждому источнику финансирования: +Xуы < 0' = EndN-l,...,■

' '=Б2

Ех ., +8 ., > 0. тт ,

= р.' р' Для дополнительных фондов суммарные

поступления денежных средств за весь период

7. Займы и вложение собственного и привлеченного планирования должны быть равны суммарным капитала на каждом шаге не должны отчислениям

превышать требуемых капиталовложений: N ЕпС1р

Ух.. <-Ы. - sob кар.. XX ^р' + УР') = 0.

р. р. — Г р. р=1 '=Б

j=1

9. Величина оттоков в дополнительные фонды на

8. Величина денежных средств, поступающих -

каждом шаге не превосходит чистой прибыли:

из дополнительных фондов, не должна

превышать отчислений в дополнительные -ур' < - пр)(уЬ _п^р' + + р2р' +

фонды на предыдущих шагах, при этом должно H

i + Z А .. — amort + nal im ).

осуществляться взаимное финансирование pjí p1 — p1'

проектов:

Таким образом, полученная в работе оптимизационная модель имеет вид:

N Endp ff H Л H 1

Z Z Z(1 - np)Apj. +(1 + d (1 - np) dfP. + yP. + Z(xpfi + S pj. )a

p=1 i=Bp

•p VV j=1 У j-1

j=1

^ max

Z (1 — np)A ^ +(1 + d (1 — np) )dfpi + ypi +Z (xp]1 +8 PJ1) > j=i j=i

— (vé _ nds pi (1 — np) + pz pi (1 — np) + nal _ impi (1 — np) + +Prpi + kvlpi + np • amortpi + soé _карpi), i = Bp...End ; p = 1...N;

vd _ ksK(End„ —1) + X piEnd^ + kaPp,End +8 PEndr. = 0, j = ; P = 1...^;

A pji +

ff^Xpji +Zkappß Spji 1 stj 1 > 0, j = 1...H, i = Bp...£ndp; p = 1..N;

V v l=0 l=0 l=0 у у

Z (Xj) + S pj. > 0, j = 1...H, i = Bp ...Endp; p = 1...N;

l=0

H

Z(x j) < -kvlpi- sob _ kappi, j=1...H, i=bp ...End p ; p=1...N;

j=1

i=В

i f + i Ji7 п 0, l 61...(B2 -1);

i diu + i ji7 + i df2i + i J27 п 0, i = (2 ...((3 -1);

i=B i= ВЦ i=В 7=В

ЕиоЦ ЕиоЦ l 1-1 l l-1

i f +I J1, +I df2i +i J2i +.....+ I dfNi +i Jm П 0, l = BN ...E^d1;

i=B i= В i=^2 i=В i=Bn

End! End! End2 End2 1 1-1

i f + i Ju + i df2i + i J2i + ... + i dfNi + i Jn. П 0 l = (EndN-1 + 1) ...Endn ;

i=B i= В i= В i=B2 i=Вдг 7=Bn

N ^ru*p

ii(f + J p. )= 0

p=1 i=B

- JP, - (1 - nP)ddfpi - (1 - nP) i Apj, п (1 - nP)(vb _ + Pzpi - amorip,. + nal _ mpiX

j=1

i = Bp...Endp; p = 1...N; 0 П xj П OFj., j = 1...Я, i = Bp ...Endp; p = 1...N; 5pß П 0, j = 1...Я, i = Bp ...Endp; p = 1...N; A pß П 0, j = 1...Я, i = Bp ...Endp; p = 1...N; dfp, > 0, j = 1...Я, i = Bp ...Endp; p = 1...N; Jp. П 0, j = 1...Я, i = Bp ...Endp; p = 1...N.

Модель имеет вид задачи линейного программирования, для решения которой можно использовать стандартный симплексный метод. В рамках исследования было разработано необходимое

Таблица 2

Данные по проектам, у.д.е.

алгоритмическое и программное обеспечение для расчетов по модели. Для демонстрации работы алгоритма рассмотрим пример выполнения группы из четырех проектов. Данные по проектам приведены в табл. 2.

Показатель Проект Период проектирования

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Выручка без НДС 1 0 75 125 125 150 175 150 0 - - - - -

2 - - - 0 85 105 125 150 165 160 - - -

3 - - - - - 0 85 145 155 165 160 0 -

4 - - - - - - 0 85 105 125 135 120 0

Производственные расходы 1 0 -45 -55 -55 -60 -60 -60 0 - - - - -

2 - - - 0 -35 -55 -55 -60 -60 -60 - - -

3 - - - 0 -45 -55 -55 -60 -60 0 -

4 - - - - - - 0 -25 -40 -40 -50 -45 0

Балансовая стоимость 1 0 100 170 170 230 230 230 0 - - - - -

2 - - - 0 120 140 150 200 200 0 - - -

3 - - - 0 120 140 180 200 200 0 -

4 - - - - - - 0 120 140 180 200 200 0

Притоки 1 0 0 0 0 0 0 0 10 - - - - -

2 - - - 0 0 0 0 0 0 10 - - -

3 - - - 0 0 0 0 0 0 10 -

4 - - - - - - 0 0 0 0 0 0 10

Окончание табл. 2

Показатель Проект Период проектирования

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Капиталовложения 1 -100 -70 0 0 -60 0 0 -90 - - - - -

2 - - - -90 0 0 -60 0 0 -60 - - -

3 - - - -50 0 0 -40 0 0 -60 -

4 - - - - - - -50 0 0 -40 0 0 -20

Собственный 1 10 0 0 0 0 0 0 0 - - - - -

капитал 2 - - - 10 0 0 0 0 0 0 - - -

3 - - - - - 10 0 0 0 0 0 0 -

4 - - - - - - 10 0 0 0 0 0 0

Примечание: у.д.е. - условная денежная единица.

При проведении расчетов использовались следующие данные по источнику финансирования и по налогам:

- источник финансирования - один (с процентной ставкой 0,1 и максимальной суммой 120 у.д.е.);

- норма дисконта - 0,1;

- величина депозитного процента - 0,05;

- НДС - 0,18;

- налог на прибыль - 0,2;

- налог на имущество - 0,022.

В результате работы алгоритма получены следующие результаты: чистый дисконтированный доход первого проекта ЧДД = 62,29; ЧДД2 = 56,19; ЧДД3 = = 95,44; ЧДД4 = 83,06; СЧДД = 296,97. Получена эффективная схема взаимодействия проектов, каждый по отдельности проект эффективен. В качестве примера данные расчетов по проекту 2 приведены в табл. 3.

Результаты расчетов по всем проектам проиллюстрированы графически на рис. 1-3, на которых отражены основные аспекты финансирования проектов.

Таблица 3

Результаты расчетов по проекту 2, у.д.е

Период проектирования

3 4 5 6 7 8 9

Операционная деятельность

Выручка с НДС 0,00 100,30 123,90 147,50 177,00 194,70 188,80

Выручка без НДС 0,00 85,00 105,00 125,00 150,00 165,00 160,00

Внереализационные доходы 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

Доходы, всего 0,00 85,00 105,00 125,00 150,00 165,00 160,00

Производственные затраты 0,00 -35,00 -55,00 -55,00 -60,00 -60,00 -60,00

Проценты в составе себестоимости 0,00 -8,80 -8,80 -12,81 -12,81 -10,61 -2,73

Приток из дополнительных фондов 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

Балансовая стоимость фондов 0,00 120,00 140,00 150,00 200,00 200,00 0,00

Остаточная стоимость на начало года 0,00 120,00 122,00 111,00 138,50 108,50 0,00

Остаточная стоимость на конец года 0,00 102,00 101,00 88,50 108,50 78,50 0,00

Амортизация 0,00 18,00 21,00 22,50 30,00 30,00 0,00

Валовая прибыль 0,00 23,20 20,20 34,69 47,19 64,39 97,27

Налог на имущество 0,00 -0,40 -0,46 -0,49 -0,66 -0,66 0,00

Налог в дорожный фонд 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

Налогооблагаемая прибыль 0,00 22,80 19,74 34,20 46,53 63,73 97,27

Налог на прибыль 0,00 -4,56 -3,95 -6,84 -9,31 -12,75 -19,45

Чистая прибыль 0,00 18,24 15,79 27,36 37,23 50,98 77,82

Сальдо первого потока 0,00 45,04 45,59 62,67 80,03 91,59 80,55

Инвестиционная деятельность

Притоки 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 10,00

Капиталовложения -90,00 0,00 0,00 -60,00 0,00 0,00 -60,00

Отток на депозит 0,00 0,00 -15,79 -27,36 0,00 0,00 0,00

Сальдо второго потока -90,00 0,00 -17,79 -87,36 0,00 0,00 -50,00

Сальдо двух потоков -50,00 52,16 56,71 33,80 67,75 56,66 0,00

Окончание табл. 3

Период проектирования

3 4 5 6 7 8 9

Финансовая деятельность

Собственный капитал 10,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

Взятие займа 1-го ИФ 80,00 0,00 0,00 40,06 0,00 0,00 0,00

Возврат долга 1-го ИФ 0,00 0,00 0,00 0,00 -21,93 -78,86 -27,27

Величина долга на начало шага 80,00 88,00 88,00 128,06 128,06 106,13 27,27

Величина долга на конец шага 88,00 88,00 88,00 128,06 106,13 27,27 0,00

Проценты 1-го ИФ начисленные 8,00 8,80 8,80 12,81 12,81 10,61 2,73

Проценты 1-го ИФ капитализированные 8,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

Проценты 1-го ИФ выплаченные 0,00 -8,80 -8,80 -12,81 -12,81 -10,61 -2,73

Сальдо третьего потока 90,00 -8,80 -8,80 27,26 -34,73 -89,47 -30,00

Итоговые результаты

Сальдо трех потоков 0,00 36,24 21,00 2,56 45,30 2,12 0,55

Накопленное сальдо трех потоков 0,00 36,24 57,24 59,80 105,10 107,23 107,77

Поток для оценки эффективности участников ; -10,00 36,24 21,00 2,56 45,30 2,12 0,55

Дисконтированный поток -7,51 24,75 13,04 1,45 23,25 0,99 0,23

Чистый дисконтированный доход 56,19 - - - - - -

Рисунок 1

Финансирование проектов по периодам проектирования, у.д.е.:

а- проект 1; б - проект 2; в - проект 3; г - проект 4

100-

50- -

-50-

-100-

-150-

Л

—и ш и

0 1 ш 2 L"1 ^^ ^ 5

—I-1-1-1-1-

б| I 7 8 9 10 11 12

100-

8060-40' 20

0-20-40-

-60-

-80-

1

1 1 1 1 U' U1 : 0 1 2 3 4 '—1 5 ^ 6 U 7\\\~> 8: _II 1 1 10 11 12

0

50403020100-10-20-30-40-5050403020100-10-20-30-40-50-

Рисунок 2

Использование дополнительного фонда для финансирования проектов (перечисление и поступление средств), у.д.е.

50403020100-10-20-30-40-50-

....... ü ü iiJ 01 23 4 5 6 7 89 1С: 1 11 12

I

Т-1-1-Г

-Г-1-0-ЕЛ1-Ы' I:j:| I'

0 1 2345 67 89 10 11

П"

12

Собственный капитал Взятие займа ЕЛИ Возврат долга Выплаченные проценты

1 1 1 1 1 0 12 3 4 Ill 1 ; 7 8 9 10 U'„ 1 12

1

\

ä !

Проект 1 I I Проект 2 Ш Проект 3 пл Проект 4

Проект 1 —□- Проект 2 —&-Проект 3 —О-Проект 4

Рисунок 3

Потоки для оценки эффективности участия в проектах

Величина потока 100-

80-

60-

40-

20-

0

-20'

При реализации всех проектов используются собственные и заемные денежные средства. Собственные средства вкладываются в проекты на начальном этапе их реализации, объем собственных средств является одинаковым для всех проектов (10 у.д.е). Заемные средства привлекаются в проекты по мере необходимости, проценты по кредитам выплачиваются регулярно, а возврат основного долга осуществляется на последних этапах реализации проектов. Для финансирования проектов используется также дополнительный

фонд. Первые два проекта не финансируются за счет средств дополнительного фонда (см. рис. 2), они отчисляют средства в дополнительный фонд, которые в дальнейшем идут на финансирование третьего и четвертого проектов. При реализации третьего и четвертого проектов наблюдаются как потоки денежных средств в дополнительный фонд, так и из дополнительного фонда. Анализ рис. 3 свидетельствует об эффективности участия в реализуемых проектах.

Список литературы

1. Агеев А.А. Обоснование и выбор ставки дисконтирования при определении экономической эффективности инвестиционного проекта // Финансы и кредит. 2011. № 20. С. 40-48.

2. АкинфиевВ.К., МамиконовА.Г., СоловьевМ.М., ЦвиркунА.Д. Постановка и решение задач планирования инвестиционных программ // Автоматика и телемеханика. 1976. № 1. С. 127-135.

3. БалдинК.В., Рукосуев А.В., ПередерлевИ.И., ГоловР.С. Инвестиционное проектирование. М.: Дашков и К, 2010. 366 с.

4. Брейли Р., Майерс С. Принципы корпоративных финансов: пер. с англ. М.: Олимп-Бизнес, 1997. 608 с.

5. Карибский А.В., Шишорин Ю.Р., Юрченко С.С. Финансово-экономический анализ и оценка эффективности инвестиционных проектов и программ // Автоматика и телемеханика. 2003. № 6. С. 40-59.

6. Лазарев А.А. Некоторые проблемы составления и оценки инвестиционного проекта в России // Финансовая аналитика: проблемы и решения. 2012. № 32. С. 34-40.

7. Николаева И.П. Инвестиции. М.: Дашков и К, 2013. 254 с.

8. Сироткин С.А., КельчевскаяН.Р. Экономическая оценка инвестиционных проектов. М.: Юнити-Дана,

9. Азарнова Т.В. Механизмы аналитического планирования развития региональной экономической системы // Системы управления и информационные технологии. 2008. № 3. С. 316-319.

10. БорлаковаА.К Методология эколого-экономической оценки инвестиционного проекта с использованием элементов теории нечетких множеств // Экономические науки. 2014. № 113. С. 121-129.

11. Вайсблат Б.И., Шилова Е.Н. Модели прогнозирования показателей эффективности и показателей риска инвестиционного проекта на основе теории сложных систем // Экономический анализ: теория и практика. 2009. № 2. С. 13-17.

12. Ивашкина О.О., Карибский А.В., Шишорин Ю.Р. Анализ эффективности инвестиционных проектов: информационная технология и средства автоматизации // Автоматика и телемеханика. 2000. № 9.

13. Покровский А.М. Многомерный подход к анализу чувствительности оценок рисков инновационных проектов // Эффективное антикризисное управление. 2011. № 4. С. 68-71.

14. ЧекменевД.И., Засканов В.Г. Математическая формализация задач управления рисками в деятельности инвестиционных компаний // Экономические науки. 2011. № 10. С. 226-232.

15. Шелобаев С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. 368 с.

16. Богатырев В.Д., Морозова С.А. Модель и методика решения задачи оптимизации графика финансирования инвестиционного проекта на графах работ // Управление большими системами. 2011. № 34. С. 130-145.

17. Бронштейн Е.М., Олейник Т.Н. Задача календарного планирования портфеля инвестиционных проектов // Информационные технологии. 2007. № 3. С. 70-73.

18. МихалеваМ. Ю. Многокритериальная модель формирования оптимального портфеля инвестиционных проектов // Экономические науки. 2008. № 3. С. 378-384.

19. Мошкова Т.А. Динамические модели оптимального отбора инвестиционных проектов // Экономические науки. 2011. № 77. С. 280-283.

20. Павлов О.В. Выбор инвестиционного проекта из нескольких взаимоисключающих альтернатив // Экономические науки. 2009. № 9. С. 345-350.

21. Царьков В.А. Математическая модель инвестиционного проекта с заемным капиталом // Финансовая аналитика: проблемы и решения. 2014. № 32. С. 39-45.

22. Царьков В.А. Новые методы и модели анализа инвестиционных проектов // Финансовая аналитика: проблемы и решения. 2013. № 47. С. 33-43.

23. Ковалев В.В. Методы оценки инвестиционных проектов. М.: Финансы и статистика, 2000. 144 с.

24. ЛипсицИ.В., КосовВ.В. Инвестиционный проект: методы подготовки и анализа. М.: БЕК, 1999. 304 с.

25. ФадееваЕ.А. Анализ экономической эффективности инвестиционного проекта предприятия // Молодой ученый. 2014. № 20. С. 422-426.

26. Печатнова А.П. Методы оценки инвестиционных проектов // Молодой ученый. 2014. № 17.

2011. 312 с.

С. 156-168.

С. 316-318.

ISSN 2311-8725 (Online) ISSN 2073-039X (Print)

Mathematical Methods and Models

mathematical models of optimization of financing several investment projects

Tat'yana V. AZARNOVA3*, Irina N. SHcHEPINAb, Valeriya V. VOLGINAc

a Voronezh State University, Voronezh, Russian Federation [email protected]

b Voronezh State University, Voronezh, Russian Federation [email protected]

c Voronezh State University, Voronezh, Russian Federation [email protected]

* Corresponding author

Article history: Abstract

Received 18 May 2015 Subject Investment projects are an effective tool of modern business. Investment activity contributes

Accepted 18 May 2015 to technological and social modernization of the economy, creation of new production structures

and development of existing ones. Owing to investment activity, new jobs, products and services appear in the market. Investment activity usually implies simultaneous implementation of several investment projects, which may start with some shift in time. Effective implementation depends on the funding technology, therefore, it is important to develop tools in the form of models, methods, algorithms and software, enabling to provide a formal representation of the set of alternative technologies to finance a number of projects and to choose an optimal technology. Objectives The purpose of the work is to create a mathematical model of the optimal technology formation to finance a set of investment projects and to develop algorithmic tools and software Keywords: investment project, for financial management of investment projects.

criterion, efficiency, mathematical Methods The offered optimizing mathematical model formalizes the procedure for generation model, linear programming of cash flows from investment projects that are realized within one organizational structure. The

type of this model is the model of linear programming.

Results The algorithmic tools and the software developed on the basis of the model enables to automate the process of assessing efficiency of various alternative technologies of financing the projects and choosing the best of these technologies.

Conclusions The experimental calculations made on the basis of the offered mathematical model and corresponding algorithm and software show rather high efficiency of use of technologies for financing the projects in the practice of investment project development.

© Publishing house FINANCE and CREDIT, 2015

Acknowledgments

We express our deep gratitude to Nikolai P. LYUBUSHIN for valuable advice and comments.

The article is supported by the Publishing house FINANCE and CREDIT's Information center at the Voronezh State University.

References

1. Ageev A.A. Obosnovanie i vybor stavki diskontirovaniya pri opredelenii ekonomicheskoi effektivnosti investitsionnogo proekta [Grounding and choosing a discount rate in estimating the economic efficiency of investment project]. Finansy i kredit = Finance and Credit, 2011, no. 20, pp. 40-48.

2. Akinfiev V.K., Mamikonov A.G., Solov'ev M.M., Tsvirkun A.D. Postanovka i reshenie zadach planirovaniya investitsionnykh programm [Task setting and problem solving in planning investment programs]. Avtomatika i telemekhanika = Automation and Telemechanics, 1976, no. 1, pp. 127-135.

3. Baldin K.V., Rukosuev A.V., Perederlev I.I., Golov R.S. Investitsionnoeproektirovanie [Investment project development]. Moscow, Dashkov i K Publ., 2010, 366 p.

4. Brealey R., Myers S. Printsipy korporativnykhfmansov [Principles of Corporate Finance]. Moscow, Olimp-Biznes Publ., 1997, 608 p.

5. Karibskii A.V., Shishorin Yu.R., Yurchenko S.S. Finansovo-ekonomicheskii analiz i otsenka effektivnosti investitsionnykh proektov i programm [Financial-and-economic analysis and evaluation of efficiency of investment projects and programs]. Avtomatika i telemekhanika = Automation and Telemechanics, 2003, no. 6, pp. 40-59.

6. Lazarev A.A. Nekotorye problemy sostavleniya i otsenki investitsionnogo proekta v Rossii [Some problems of preparation and evaluation of investment project in Russia]. Finansovaya analitika:problemy i resheniya = Financial Analytics: Science and Experience, 2012, no. 32, pp. 34-40.

7. Nikolaeva I.P. Investitsii [Investment]. Moscow, Dashkov i K Publ., 2013, 254 p.

8. Sirotkin S.A., Kel'chevskaya N.R. Ekonomicheskaya otsenka investitsionnykh proektov [Economic evaluation of investment projects]. Moscow, YUNITI-DANA Publ., 2011, 312 p.

9. Azarnova T.V. Mekhanizmy analiticheskogo planirovaniya razvitiya regional'noi ekonomicheskoi sistemy [Mechanisms of analytical planning of regional economic system development]. Sistemy upravleniya i informatsionnye tekhnologii = Management Systems and Information Technologies, 2008, no. 3,

10. Borlakova A.K. Metodologiya ekologo-ekonomicheskoi otsenki investitsionnogo proekta s ispol'zovaniem elementov teorii nechetkikh mnozhestv [A methodology of ecological and economic evaluation of the investment project with the elements of the fuzzy sets theory]. Ekonomicheskie nauki = Economic Sciences, 2014,no.113, pp. 121-129.

11. Vaisblat B.I., Shilova E.N. Modeli prognozirovaniya pokazatelei effektivnosti i pokazatelei riska investitsionnogo proekta na osnove teorii slozhnykh sistem [Models to forecast the performance and risk of the investment project on the basis of the complex systems theory]. Ekonomicheskii analiz: teoriya ipraktika = Economic Analysis: Theory and Practice, 2009, no. 2, pp. 13-17.

12. Ivashkina O.O., Karibskii A.V., Shishorin Yu.R. Analiz effektivnosti investitsionnykh proektov: informatsionnaya tekhnologiya i sredstva avtomatizatsii [Analysis of the efficiency of investment projects: information technology and automation]. Avtomatika i telemekhanika = Automation and Telemechanics, 2000, no. 9, pp. 156-168.

13. Pokrovskii A.M. Mnogomernyi podkhod k analizu chuvstvitel'nosti otsenok riskov innovatsionnykh proektov [A multidimensional approach to the analysis of sensitivity of risk assessment of innovative projects].

Effektivnoe antikrizisnoe upravlenie = Effective Crisis Management, 2011, no. 4, pp. 68-71.

14. Chekmenev D.I., Zaskanov V.G. Matematicheskaya formalizatsiya zadach upravleniya riskami v deyatel'nosti investitsionnykh kompanii [Mathematical formalization of risk management tasks in the activities of investment companies]. Ekonomicheskie nauki = Economic Sciences, 2011, no. 10, pp. 226-232.

15. Shelobaev S.I. Matematicheskie metody i modeli v ekonomike, finansakh, biznese [Mathematical methods and models in economics, finance, business]. Moscow, YUNITI-DANA Publ., 2001, 368 p.

16. Bogatyrev V.D., Morozova S.A. Model' i metodika resheniya zadachi optimizatsii grafika finansirovaniya investitsionnogo proekta na grafakh rabot [A model and methods to solve the problem of optimizing the schedule of investment project financing on graphs of works]. Upravlenie bol 'shimi sistemami = Large-Scale Systems Control, 2011, no. 34, pp. 130-145.

17. Bronshtein E.M., Oleinik T.N. Zadacha kalendarnogo planirovaniya portfelya investitsionnykh proektov [Scheduling the portfolio of investment projects]. Informatsionnye tekhnologii = Information Technologies, 2007, no. 3, pp. 70-73.

18. Mikhaleva M.Yu. Mnogokriterial'naya model' formirovaniya optimal'nogo portfelya investitsionnykh proektov [A multi-criteria model of optimal portfolio of investment projects]. Ekonomicheskie nauki = Economic Sciences, 2008, no. 3, pp. 378-384.

19. Moshkova T.A. Dinamicheskie modeli optimal'nogo otbora investitsionnykh proektov [Dynamic models

pp.316-319.

of optimal selection of investment projects]. Ekonomicheskie nauki = Economic Sciences, 2011, no. 77, pp.280-283.

20. Pavlov O.V. Vybor investitsionnogo proekta iz neskol'kikh vzaimoisklyuchayushchikh al'ternativ [Choosing the investment project of several mutually exclusive alternatives]. Ekonomicheskie nauki = Economic Sciences, 2009, no. 9, pp. 345-350.

21. Tsar'kov V.A. Matematicheskaya model' investitsionnogo proekta s zaemnym kapitalom [A mathematical model of investment project with borrowed capital]. Finansovaya analitika:problemy i resheniya = Financial Analytics: Science and Experience, 2014, no. 32, pp. 39-45.

22. Tsar'kov V.A. Novye metody i modeli analiza investitsionnykh proektov [New methods and models of analysis of investment projects]. Finansovaya analitika: problemy i resheniya = Financial Analytics: Science and Experience, 2013, no. 47, pp. 33-43.

23. Kovalev V.V. Metody otsenki investitsionnykh proektov [Methods for evaluation of investment projects]. Moscow, Finansy i statistika Publ., 2000, 144 p.

24. Lipsits I.V., Kosov V.V. Investitsionnyi proekt: metodypodgotovki i analiza [Investment project: methods of preparation and analysis]. Moscow, BEK Publ., 1999, 304 p.

25. Fadeeva E.A. Analiz ekonomicheskoi effektivnosti investitsionnogo proekta predpriyatiya [Analysis of the economic efficiency of investment projects]. Molodoi uchenyi = Young Scientist, 2014, no. 20, pp. 422-426.

26. Pechatnova A.P. Metody otsenki investitsionnykh proektov [Methods of investment project evaluation].

Molodoi uchenyi = Young Scientist, 2014, no. 17, pp. 316-318.