CC BY
127
В. А Родин, В.А. Терновский,
доктор физико-математических ООО «Нефтехимпроект КНГ»
наук, профессор
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НАЛОГООБЛОЖЕНИЯ В СХЕМАХ ПРОИЗВОДСТВА, ПОТРЕБЛЕНИЯ И РЫНКОВ
MATHEMATICAL MODELS OF THE TAXATION IN THE CIRCUITS OF MANUFACTURE, CONSUMPTION AND MARKETS
Рассматриваются вопросы построения и анализа математических моделей налогообложения для различных классических экономических схем производственной и рыночной деятельности.
The work is devoted to construction and analysis of mathematical models of the taxation for the various classical economic circuits of industrial and market activity.
Работа посвящена построению и анализу математических моделей налогообложения для различных классических экономических схем производственной и рыночной деятельности. Известные модели [1—3] дополняются новыми. Налогообложение в моделях Эванса, Вальраса рассматривается впервые. Налогообложение в экономической модели Кейнса было рассмотрено в работе [4]. Эта работа содержит, на взгляд авторов, неточный рисунок и не содержит анализа изменений, вызванных введением налога. Эти факты позволили авторам рассмотреть еще раз модель налогообложения схемы Кейнса более подробно. Все анализируемые в этой работе модели показывают, что для проведения социально направленной политики налогообложения государство в той или иной степени должно на определенном этапе регулировать налоговую политику в стране. Результаты работы представляют интерес для налоговых и правоохранительных органов в плане предотвращения теневых явлений и нарушений налоговой отчетности.
1. Модель Эванса. Модель налогообложения линейного рынка подробно разобрана в пособии [1]. В этом пункте реализован другой подход. Обозначим функции спроса и предложения: Ф(p) = a — bp, a > 0, b > 0; y(p) = a + ßp, a> o, ß > 0. Изменение цены пропорционально превышению спроса над предложением: Dp = gF(p(t)) — Y(p(t)) )Dt. Это предположение порождает дифференциальное уравнение изменения цены со временем:
1 = —(Ь + ß)p + а — “, P(0)=Po.
g dt
Решение уравнения имеет вид:
p (t) = p0 x exP( —g(b + ß)t) + x 1 — exP (- g(b + ß)t)] .
b + ß
Из решения следует, что при t есть неподвижная точка равновесия:
. . E a — a
lim p(t) = p =----.
t®¥^> F b + ß
Будем считать, что с введением ставки налога t функция спроса не меняется (товар жизненно важен), а функция предложения изменится на функцию
Y( p ,t) =y( p — t). Соответственно изменится уравнение, и точка равновесия будет с боль шей ценой :
a + Вт-a
pt =~J+T'
Вывод Введение налогов изменяет условия равновесия рынка, новое равновесие происходит с большей ценой. Рост цен, особенно на жизненно важные продукты (продукты питания), антисоциален по существу. Требуется вмешательство государства.
2. Модель Вальраса. Рассматривается экономика с l потребителями
(i = 1,2,...,l), m производителями (k = 1,2,...,m), n типами товаров (j = 1,2,...,n).
/
Через p = (p1,..., pn) будем обозначать вектор-строку цен, а через x = (x1,...,xn) —
вектор-столбец товаров. Каждый потребитель обладает доходом K (p) и имеет свое поле предпочтений товаров, которое задается в виде индикатора предпочтений функцией полезности U(х) . Пусть X — множество наборов видов товаров, являющееся
областью определения функции полезности U (х), а (p, X) — скалярное произведение векторов цен и количества товара. Обозначим через
X(p) = {х : Xе X, (p, X) < K(p)} множество возможных наборов товаров, доступных потребителю при ценах p . Функция спроса потребителя задается следующим образом:
ф ГГ : хе X(p) U(х*) = xmax) U(x) (1)
Ф (p) = < xe X(p) . (1)
[0, если максимум не достигается
Итак, функция спроса — это множество доступных наборов товаров, каждый из которых (наборов) максимизирует функцию полезности при заданных ценах. Каждый i-й потребитель характеризуется своей функцией спроса Фt(p) и доходом
Ki(p). Предполагается [2], что доход каждого потребителя складывается из двух частей: из доходов l^p, от продажи первоначальных запасов товаров i-го потребителя,
которые определены вектором bi , и из дохода в результате участия потребителя в производстве, равного lt (p). Итак, доход i-го потребителя равен
Kt (p) =( p, + lj (p). Каждый k-й производитель (фирма) задается своими техно-
/
логическими возможностями. Обозначим через yk = (yk 1,..., yn) вектор-столбец k-го производителя. Положительные компоненты этого вектора задают выпуск фирмы, отрицательные компоненты — это затраты. Поэтому произведение (p,yk} представляет собой прибыль фирмы. Технологические возможности фирмы определяются как множество всех допустимых векторов затрат-выпуска Yk. Это множество называется множеством производственных возможностей. Фирма старается максимизировать прибыль. Под функцией предложения фирмы понимается один или несколько векторов затрат-выпуска, которые при заданных ценах p максимизируют прибыль:
Ук(р) = 1 Ук* : ук е ук, [р, ук ) = шах (р, ук) \ . (2)
[ ' ' укеГк Предполагается, что множество Ук для каждого к замкнуто и содержит ноль:
0е Ук. Фирма может не производить продукцию и не делать затрат. Вектор затрат-выпуска для всей экономики определяется как сумма:
т
у = X Ук . (3)
к =1
При таком суммировании промежуточные продукты взаимно сокращаются, поскольку они положительны для их производителей и отрицательны для фирм, которые
потребляют эти промежуточные продукты. Общеэкономическое множество производственных возможностей обозначим
У = \у:у = = XУк> ук е ¥к, к =!,...,да:
к =1
Распределение производства осуществляется выбором вектора затрат-выпуска ук из технологического множества производственных возможностей Ук. Сумма
т
у = X ук представляет собой производственный процесс. Сумма собственности всех
к =1
производителей: V = XЪ представляет собой совокупную первоначальную собствен-
г=1
ность. Множество |^} + У представляет собой множество совокупного предложения. Распределение потребления осуществляется путем выбора каждым потребителем меню
I
потребления хг е Хг, г = 1,...,I . Сумма х = X хг представляет собой вектор сово-
i=1
купного спроса. Под совместным распределением производства и потребления понимается такой набор векторов потребления и векторов затрат-выпуска
(Зс1,...,хг,...,х1, у1,...,ук,...,ут) , хг е X,, ук е Ук, для которого совокупный спрос
совпадает с совокупным предложением
I т
* = X х, = ь+X Ук = V + у . (4)
г=1 к =1
Согласно формулам (1)—(2) набор векторов
(V * V * V * V * V * V * V * I
х1 ,...,хг ,...,х1 , у1 ,...,ук ,...,ут , р ) задает конкурентное равновесие в модели
Вальраса, если
*г*еФ г (р К г 1 ; У к *е^к (р *), к = т. (5)
т I
Ъ + Xук * ^ X ^ *, (6)
к =1 г=1
ГЪ+X 3}к*1) = (р*, X х А . (7)
V к=1 Л \ г=1 /
При этом вектор р*, на котором достигается равенство (7), называется вектором конкурентных цен. Соотношения (6)—(7) называются законом Вальраса в широком смысле [2]. Конкурентное равновесие представляет собой совместное распределение производства и потребления, при котором совокупный спрос не превосходит по координатам совокупного предложения. Нижеследующая теорема показывает, что конкурентное равновесие при определенных условиях существует.
Теорема Эрроу — Дебре. Конкурентное равновесие существует при выполнении следующих условий:
1. Множество наборов потребительских благ Хг (область определения функции
полезности) каждого потребителя является замкнутым, выпуклым и неограниченным множеством.
2. Множество Хг имеет нижнюю границу.
3. Функции полезности и, непрерывны и вогнуты на Хг, г = 1,...,I .
4. Каждый потребитель насыщаем, и обладает положительной начальной собственностью ъ:, г = 1,...,I.
т
5. Каждое технологическое множество является замкнутым выпуклым множеством, содержащим ноль: Ук с Я", 0 є Ук .
6. Совокупное технологическое множество У выпукло и удовлетворяет условию У п Я+ ={о}. Не может существовать положительного чистого выпуска хотя бы по одному товару без существования хотя бы по одному товару (ресурсу) отрицательных затрат.
і
7. Существуют іXт неотрицательных констант аік, ^аік = 1, для к = 1,...,т ,
ik ’
i=1
m
таких, что К{(р) =^р,Ъ^ + ^агк х(р, , где агк — доля участия 1-го потребителя
к =1
в прибыли к- го производителя.
Налогообложение в модели Вальраса. Каждый потребитель экономики Вальраса характеризуется функцией спроса Фг (р) и функцией дохода
— \ m
Ki(p) = (p,bij + ^(Xik x(p, ÿk). Эта функция связана с функцией предложения фирмы
к =1
Yk(Р) = \ Ук* : Ук е 7k, (Д yk*) = rnax (p !>.
[ ' ' ykeïk
Будем считать [1], что функция спроса после введения вектора налогов на прибыль R = (t1,...,tn ), 0 < ti < 1 не меняется (товар первой необходимости), а функция предложения изменится и будет иметь вид:
Yk(p) = {ÿk:уе 7k, (pt,yk) = пкк (pt,yk)f . (8)
[ ykeïk
В формуле (8) введение налога на прибыль определит новую вектор-цену Pt =((1 - t1) Pl,...,(1 - tn ) Pn ) , с меньшими координатами. Для каждого фиксированного k, чтобы не потерять прибыль, второй вектор скалярного произведения yk должен быть увеличен. Затраты на получение той же прибыли увеличились. Суммарный вектор совокупного предложения покоординатно увеличится, и скалярное произведение в левой части формулы (8) увеличится. Для получения нового конкурентного равновесия придется увеличивать вектор конкурентных цен.
Вывод. При линейной замене, вызванной введением налога на прибыль, условия теоремы Эрроу — Дебре, как нетрудно заметить, не меняются. Следовательно, новое конкурентное равновесие существует. Как показано выше, оно реализуется при более высоких конкурентных ценах, и для его достижения нужно выбирать другое управляющее правило, существование которого вовсе не гарантировано изменившимися условиями. Требуется государственное вмешательство.
3. Модель взаимодействия рынков и производства Кейнса.
Все рассмотренные выше модели предполагали равновесие и полную занятость. Это состояние экономики, как показала модель Кейнса [2], есть только частный случай. Кейнс показал, что общий случай — это равновесие при наличии безработицы, а полная занятость рабочей силы лишь особый случай [5]. Чтобы достигнуть желаемого состояния более полной занятости, государство обязано проводить особую политику. Рыночные механизмы в общем случае не гарантируют достижения полной занятости.
Рынок рабочей силы. Рынок рабочей силы задается функцией спроса, функцией предложения и условием равновесия. Пусть K — фонды, L— трудовые ресурсы, F(K, L) - производственная функция. Если p — цена выпускаемого продукта, а w — ставка заработной платы, с ростом реальной заработной платы спрос (функция спроса L(D)) на рабочую силу падает, а функция предложения рабочей силы L(S) растет (рис. 1).
Рынок денег. Пусть У — валовой продукт, р — цена, к — коэффициент, функция спроса М (Р) = кУ р — линейная функция, функция предложения денег — константа. Равновесие на рынке денег описывает рис. 2.
Если цена р0 < р0, то имеется избыточное предложение денег, и в этом случае постулируется, что цены растут до р0.
Рынок товаров. Рассмотрим модель рынка товаров в развитой экономике, принимая за переменную величину процентную ставку г . Рассматриваем не только товары потребления, но и инвестиции. Скорее это рынок траты денег. Планируемые расходы обозначим Е = С (г) + I (г). Обе функции убывают с ростом цен. На рис. 1
предложение рабочей силы, совпадающее со спросом, назовем уровнем занятости Ь. Это число занятых при полной занятости. Объединяя уравнения и условия равновесия, получаем классическую модель в полном объеме.
Рынок рабочей силы:
цз)=щ )(>ур),
Ь(Р) = Ь (Р)
Ь(Б)
г \0
Н’
р )
Ь(Р)
У р )
(9)
(10)
Рынок денег:
M(S) = const, M (D) = kpY + Lq(r), (11)
M (S) = M (D) = kp0Y. (12)
Рынок товаров:
Y = Y (L0), E = C (r) +1 (r), (13)
Y (L0) = C (r0) +1 (r0) = Y0. (14)
Достаточно одному из рынков выйти из состояния равновесия, как все остальные рынки выйдут из этого состояния. Действия налоговой службы на рынке товаров предполагают появление нового равновесия. Показать, как такой сдвиг повлияет на остальные рынки и решение задачи на экстремум в этих условиях и есть основная цель этого пункта.
Налоги в модели Кейнса. Рассмотрим равновесие на линейном рынке товаров: C(Y) = a + bY, a > 0, 0 < b < 1; I(r) = d - mr, d > 0, m> 0.
Условие равновесия на рынке товаров запишется в виде уравнения
Y = Y(L) = a + bY(L) + d - /nr , из этого уравнения получаем
Yg = Yg (L) = — - r . (15)
v 7 1 - b u - b)
Это убывающая прямая линия. Рассмотрим теперь равновесие на рынке денег. Предположим, что спрос на ценные бумаги — линейная убывающая функция
Lq(r) = h - jr. Условие равновесия (13) записывается в виде
YM = YM (L) = M(S) h + Ґ j Л k p
. (16)
¿р,
Уравнения (15) и (16) — это две линейные функции, одна из которых возрастает УМ а другая У° — убывает. Их точка пересечения единственна. Она характеризует общее положение равновесия сразу на рынке денег и товаров. Совокупное равновесие на рынке денег и товаров однозначно определяет фактическую потребность в рабочей силе У0 = Е(Я,Ь0). Если точка с координатами (ь0, У0) еще и лежит
на кривой, определяющей производственную функцию, и Ь0 соответствует точке пересечения кривых спроса и предложения рабочей силы, то имеет место равновесие рынков денег и товаров (см. рис. 3).
Введение налога на рынке товаров, как известно, увеличивает цену на товар, в том числе и равновесную цену. Новое равновесное, для р( > р значение г — будет
больше, чем г0. Производство товаров снизится: У( < У0. Упадет уровень занятости:
Ь( < Ь0. Кривая спроса Ь(Р) и ставка заработанной платы < н упадет. Модель не
предполагает автоматического установления нового баланса (равновесия). Следовательно, для перехода к полной занятости нужна специальная государственная политика, например, изменение кривой производственной функции экономики Е(К,Ь) на
другую, растущую быстрее. Эта кривая на рис. 3 обозначена Е . Видна необходимость перевооружения экономики.
Вывод. Малая и контролируемая государством инфляция (именно такая ситуация наблюдается сейчас в нашей стране) предполагает справедливость модели Кейнса [2]. А для нормального сбора налогов в этой ситуации необходима реконструкция экономики, что должно привести как к более быстрому росту производственной функции, так и увеличению сбора налогов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Малыхин В.И. Экономико-математическое моделирование налогообложения: уч. пособ.— М., 2003. — С. 98.
2. Колемаев В.А. Математическая экономика. — М.: ЮНИТИ, 2005. — С.400.
3. Малыхин В. И., Моисеев С.И., Родин В.А. Финансовая математика и модели налогообложения.— Воронеж: ИММиФ, 2008. — С.278.
4. Родин В.А., Струков В.С. Налоги в модели Кейнса, взаимосвязь и анализ трех рынков // Вестник ВИ МВД России.— №1.— 2007. — С. 141—146.
5. Харрис Л. Денежная теория. — М.: Прогресс, 1990. — С. 269.
6. Шикин Е. В. От игр к играм. Математическое введение. — М.:УРСС, 2003. —
C.110.
7. Андриевский Б.Р., Фрадков А. Л. Элементы математического моделирования в программных средах MATLAB 5 и Scilab. — СПб., Наука, 2001.
