CC BY
31
4. Kataev, M. Yu. Vozmozhnosti kosmicheskogo monitoringa dlya celej sel'skogo hozyajstva Tomskoj oblasti [Tekst]/ M. Yu. Kataev, A. A. Skugarev, I. B. Sorokin // Doklady TUSUR. - 2017. -T. 20.- № 3.- P. 186-190.
5. O federal'noj celevoj programme "Ustojchivoe razvitie sel'skih territory na 2014-2017 gody i na period do 2020 goda (red. ot 25.05.2016) [Jelektronnyj resurs]: Postanovlenie Pravitel'stva RF ot 15 iyulya 2013 g. № 598 // Informacionno-pravovoj portal "KonsuFtant". - Rezhim dostupa: http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_149879. (data obrascheniya: 07.07.2018).
6. Obrabotka dannyh DZZ [Jelektronnyj resurs]. - Rezhim dostupa http://mapexpert.com.ua/index_ru.php?id=26&table=Menu
7. Pron'ko, N. A. Primenenie geoinformacionnyh tehnologij dlya prostranstvenogo modeliro-vaniya vodno-solevogo rezhima oroshaemyh zemel' suhostepnogo Povolzh'ya [Tekst]/ N. A. Pron'ko, A. S. Fal'kovich, V. V. Korsak // Vestnik Saratovskogo gosagrouniversiteta im. N. I. Vavilova. - 2010. - № 9. - P. 13-16.
8. Rogachev, A. F. Matematicheskoe obespechenie sistemy podderzhki prinyatiya reshenij na osnove GIS-tehnologij [Tekst]/ A. F. Rogachev // Izvestiya Nizhnevolzhskogo agrouniversitetskogo kompleksa: nauka i vysshee professional'noe obrazovanie. - 2009. - № 2. - P. 144-151.
9. Sajt sistemy "Vega" [http://dev.vega.smislab.ru].
10. Savin, I. Yu. Operativnyj sputnikovyj monitoring sostoyaniya posevov sel'sko-hozyajstvennyh kul'tur v Rossii [Tekst]/ I. Yu. Savin, E. A. Lupyan, S. A. Bartalev // Geomatika. -2011. - № 2. - P. 69-76.
11. Sputnikovyj servis monitoringa sostoyaniya rastitel'nosti ("Vega") [Tekst]/ E. A. Lupyan, I. Yu. Savin, S. A. Bartalev i dr. // Sovremennye problemy distancionnogo zondirovaniya Zemli iz kosmosa. - 2011. - T. 8. - № 1. - P. 190-198.
12. Chernov, A. V. Postroenie ryadov vegetacionnyh indeksov sel'hozpolej na osnove kom-pleksirovaniya kosmicheskih snimkov razlichnogo razresheniya i vektornyh kart [Tekst]/ A. V. Chernov, N. S. Vorob'jova, A. A. Ivanov // Sovremennye problemy distancionnogo zondirovaniya zemli iz kosmosa. Fizicheskie osnovy, metody i tehnologii monitoringa okruzhayuschej sredy, potencial'no opasnyh yavlenij i ob'ektov. 15-19 noyabrya 2010 g. / IKI RAN. - M., 2010. - P. 87-88.
13. Cherepanov, A. S. Spektral'nye svojstva rastitel'nosti i vegetacionnye indeksy [Tekst]/ A. S. Cherepanov, E. G. Druzhinina // Geomatika. - 2009. - № 3. - P. 28-32.
14. Shapovalov, D. A. Metodicheskie osnovy monitoringa zemel' [Tekst]/ D. A. Shapovalov, P. V. Klyushin, A. A. Murasheva. - M.: GUZ, 2010. - 300 p.
15. Rogachev A. (2015) Economic and Mathematical Modeling of Food Security Level in View of Import Substitution // Asian Social Science. - Vol. 11. - №. 20. - P. 178-185. - DOI: 10.5539/ass.v11n20p178
E-mail: rafr@mail.ru
УДК 632.125:910.1:531.3 DOI 10.32786/2071-9485-2018-04-48
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ АРИДНЫХ ЭКОСИСТЕМ
MATHEMATICAL MODELS OF DYNAMIC SUSTAINABILITY
ARID ECOSYSTEMS
А. Н. Салугин, доктор сельскохозяйственных наук
A.N. Salugin
ФГБНУ «Федеральный научный центр агроэкологии, комплексных мелиораций и защитного лесоразведения Российской академии наук», г. Волгоград
Federal Research Centre of Agroecology, amelioration and protective afforestation RAS, Volgograd
Рассмотрены некоторые аспекты математического моделирования динамической устойчивости на примере почвенно-растительных систем (ПРС) аридных зон. Моделирование динамики функционирования ПРС базировалось на парадигме неравновесной термодинамики с использованием аналитических методов дифференциальных уравнений. Приведены примеры
математических моделей деградации ПРС Черных земель Калмыкии. Обсуждаются проблемы устойчивого функционирования и восстановления почвенно-растительных сообществ в зонах с повышенной аридностью. Показаны новые методологические возможности математических моделей в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), содержащих ва-рируемые параметры. Исследование чувствительности решений ОДУ к изменению этих параметров, отражающих интенсивность взаимодействий между экотонами ПРС, позволило сделать вывод об адекватности описания динамики почвенно-растительных систем с помощью математического аппарата дифференциальных уравнений.
Some aspects of mathematical modeling of dynamic stability on the example of soil-plant systems (ORS) of arid zones are considered. The modeling of the dynamics of the PRS operation was based on the paradigm of nonequilibrium thermodynamics with the use of analytical methods of differential equations. Examples of mathematical models of degradation of the ORS of the Black Lands of Kalmykia are given. Problems of sustainable functioning and restoration of soil-plant communities in zones with high aridity are discussed. New methodological possibilities of mathematical models are shown in the form of systems of ordinary differential equations (ODE) containing the parameters to be varied. Investigation of the sensitivity of the ODE solutions to the change of these parameters, reflecting the intensity of interactions between ecotones of the PRS, made it possible to draw a conclusion about the adequacy of the description of the dynamics of soil-plant systems using the mathematical apparatus of differential equations.
Ключевые слова: аридные экосистемы, математическое моделирование, устойчивость пастбищных систем, параметрическая устойчивость экосиситем.
Key words: arid ecosystems, mathematical modeling, sustainability of pasture systems, parametric sustainability of ecosystems.
Введение. Проблема биологического разнообразия привлекает все большее внимание, его роль в устойчивости экосистем несомненна. До настоящего времени информация о разнообразии почвенных растительных сообществ просто накапливалась в виде вербального описания новых видов и динамики их функционирования внутри экосистем. Однако до настоящего времени межвидовые превращения (сукцессии) (изучены слабо. Разнообразие экотонов обеспечивает некоторый «выбор» в стратегии эволюции экосистем. Следует отметить, что фундаментальная роль разнообразия привлекла к себе внимание ученых в связи с развитием кибернетики, когда на основе теоремы Эшби был сформулирован «Закон необходимого разнообразия», объясняющий устойчивость, связанную с поступлением в систему энергии и массы из внешней среды. В свою очередь понимание важности биологического разнообразия среди экологов привело к осознанию необходимости его сохранения для устойчивого развития и выживания природных резерватов. Автор [1] утверждает, что природная система Земли в настоящее время приближается к точке бифуркации, после которой развитие может протекать по нескольким равновероятным фазовым траекториям.
Концепция устойчивого развития в Российской Федерации предусматривает практическую реализацию теоретических положений, разработка которых в настоящее время далека от совершенства. Основой теории устойчивого развития является предел потребления продукции биосферы [1]. Он установлен теорией биотической регуляции и составляет около одного процента всей биосферной продукции. Впервые за историю человечества он был превышен во второй половине двадцатого столетия. Отвлекаясь от общих и глобальных проблем, для более детального рассмотрения бифуркационных процессов, происходящих сейчас на всех уровнях организации биосистем, рассмотрим почвенно-растительные системы (ПРС). В работах [3-5, 8-9] были исследованы дегра-дационные процессы этих ПРС. Вопрос о динамической устойчивости почвенных рас-
тительных сообществ в связи с этим вдвойне актуален, так как выявление причин нарушения самовосстановления пастбищ может служить основой общей теории устойчивости экосистем в целом. Численное определение параметров математической модели будет иметь практическое приложение.
В настоящем сообщении рассмотрены аналитические ОДУ-модели четвертого порядка, решение которых было получено в виде замкнутых аналитических выражений, а также численно методом конечных разностей [9]. Математический эксперимент ставился на основе моделирования динамических переходов в виде взвешенного ориентированного графа с использованием дифференциальных уравнений. Параметрическая устойчивость обсуждалась в контексте теории Ляпунова [7].
Материалы и методы. Внутрисистемное взаимодействие между различными экотонами аридных пастбищ трудно поддается прямым способам исследования, и зачастую для их изучения применяются методы математического моделирования. Моделирование является одним из методов изучения динамики сложных систем и часто используется для принятия грамотных управленческих решений в агроэкологии. Иногда метод математического моделирования является единственным из-за большой длительности биосферных процессов, многомерности исследуемых объектов и сложности их взаимодействия. В целом такие модели разделяются на континуальные (непрерывные) и дискретные [2-5, 7-11]. При этом используются аналитические, численные и имитационные способы решения. Аналитический подход к исследованию агроэкосистем основан на заданном в явном виде алгебраических или дифференциальных уравнений. Как правило, время присутствует как в искомых функциях, так и их производных. Взаимодействие между элементами экосистемы (экотонами) описывается коэффициентами, отражающими как распад, так и восстановление по сукцессионному механизму.
Задача устойчивости решалась аналитически с привлечением обыкновенных дифференциальных уравнений с параметрами, для которых отыскиваются устойчивые решения этих уравнений. Система ОДУ использовалась нами при изучении динамики сукцессионных переходов и поиска устойчивых решений.
Теория динамической устойчивости используется в управлении сложными системами. Это обстоятельство стимулировало нас к более детальному изучению динамики аридных пастбищ, входящих в экосистему агроландшафта. Математический метод при исследовании динамики экосистем значительно продвинулся в настоящее время за счет развития численных экспериментов и имитационного моделирования. При исследовании использовались традиционные методы поиска устойчивых решений по значениям корней характеристического полинома ОДУ. В общем случае модель записывалась в виде:
^ = "! j + 1 «А' 0)
где atj - коэффициенты задавались массивом интенсивностей переходов между экотонами, полученном из космического мониторинга; Si - площади экотонов в начале этапов наблюдения. В правой части уравнения (1) первый член соответствует распаду, а второй - восстановлению i-го элемента.
Результаты и обсуждение. На основе систем ОДУ для разных периодов наблюдений были исследованы различные сценарии развития пастбищных систем. Начальные данные для моделей задавались в виде матриц взаимных переходов между экото-нами и их начальных площадей. Поиск решений систем осуществлялся в математическом пакете Maple, позволяющем выполнять все необходимые для этого процедуры.
Характеристический полином данной системы для п=4 имеет вид: ДД4 + ДД + Д2Д + Д3Д + Д4. Из теории устойчивости [3,7] следует, что система обладает устойчивыми решениями в том случае, когда все действительные части корней соответствующего полинома будут отрицательными. Из таблицы 1 следует, что во всех случаях два корня положительны, что свидетельствует о нестабильности: пастбищная экосистема разрушается по механизму сукцессионных переходов от исходного благополучного состояния до разбитых песков. Отрицательные значения указывают, по-видимому, на временное динамическое равновесие. В таблице 1 приведены данные результатов решений (корней) полиномов для наблюдаемых периодов.
Таблица 1 - Виды полиномов и их корней, полученных из систем ОДУ
Период наблюдения Собственные значения матриц переходов (корни многочленов) Характеристический полином
1954-1958 0,315 -0,32 0,679 -0,669 t4-0.557t2+0.046-0.0037t
1958-1964 0.059, -0,075, 0,22, -0,206 t4-0.050*t2-0.0006t+0.0002
1964-1970 0,059 -0,076 0,146 -0,129 t4-0.0238t2-0.00025t+0.000086
1970-1979 0,035 -0,039 0,.239 -0,233 t4-0.058t 2-0.0003t+0.00008
1979-1981 1.57 -1, 55 0,24 -0,261 ^-0.35^2
1981-1984 0,0 0,0591 -0.0591 0,0
1984-1986 0,623 -0,87 -0,136 0,0 t4-0.041t-0.322t 2
1,0
0,8 0,6 0,4 0,2 0
-10 1
Рисунок 1 - Графики характеристических многочленов пастбищной экосистемы: а - исходные пастбища, Ь - десять лет спустя
Рисунок демонстрирует достаточно высокую симметрию расположения графиков, что свидетельствует о неустойчивом состоянии из-за положительной ветви решений. Анализ полученных результатов указывает на высокую чувствительность поведения системы к величинам переходных коэффициентов сукцессий а^. Интенсивность этих переходов при этом может быть связана с пастбищной нагрузкой или климатическими условиями. Способность экосистемы сохранять неизменным свое состояние при изменении параметров модели называется параметрической устойчивостью [3]. Это обстоятельство свидетельствует о том, что эти экосистемы полезно исследовать на предмет параметрической устойчивости - когда изучается их поведение от изменения параметров а.у. Физически это означает, насколько чувствительна пастбищная система к изменению интенсивностей переходов между ее экотонами.
Метод исследования устойчивости по параметрам сводится к следующему.
0
При варьировании матрицы коэффициентов, ранее имевших значения , изменяют
значения на малую величину = ао (1 + , где могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Абсолютное значение 3 отражает диапазон изменений параметров, выводящих экосистему из динамического равновесия. Следующим шагом в продолжении этих исследований мы планируем формальное получение параметра 3 с помощью подбора, выявляя при этом возможные диапазоны его изменений, соответствующих реальности. Под управлением пастбищной экосистемой понимают регулирование нагрузки на пастбище с учетом текущей динамики сукцессионных переходов, которые отражают способность пастбищ к самовосстановлению. Существенно отметить, что процедура управления пастбищными экосистемами связана с поиском интервалов вариаций 3, обусловливающих мероприятия по фитомелиорации или изменения пастбищной нагрузки. Таким образом, метод параметрической устойчивости позволяет вплотную подойти к решению проблемы самосохранения ПРС. Исходя из наблюдений за динамикой аридных пастбищ можно заметить, что она имеет синергетическое происхождение: стабилизация протекает через разрушение (хаос). Это следует также из теории неравновесных процессов, протекающих в открытых диссипативных системах [2].
На примере ПРС можно получать достаточно априорную информацию об устойчивости экосистем в виде космических дистанционных наблюдений с целью предсказания их будущего. Приведенный случай неравновесного состояния принадлежит к разделу экологии, изучающему условия динамически регулирования внутри открытых экосистем - биотической составляющей литосферы. Это важно для зон с повышенной аридностью, где проблема сохранения растительного сообщества и его разнообразия весьма важна в свете общих задач сохранения биосферных экосистем. Аридные экосистемы особенно чувствительны к сукцессионным процессам. Сохранение суммарного баланса биопродукции за счет достаточного биоразнообразия является основой их самовосстановления.
Отметим, что управление биосферными процессами в целом возможно на основе знаний, накопленных науками экологического направления, изучающими законы взаимодействия биотических и техногенных сред составляющих биосферу. В терминах синергетики, - это открытые нелинейные структуры с повышенной чувствительностью к малым возмущениям в точках бифуркаций и последующей необратимости. Задача программного управления подобными системами аналитически нерешаема, и единственным инструментом здесь являются математические модели, адекватность которых устанавливается опытным путем. Имитационные эксперименты, проигрывающие возможные сценарии событий в сложных экосистемах, в настоящее время выходят на уровень научного исследования. Современные компьютерные технологии значительно повысили возможности вычислительных экспериментов, а их профессиональное использование позволяет «видеть» эволюцию биосистем. Однако применение этих методов остается пока уделом специалистов в области точных наук.
Авторы [2] утверждают, что системная самоорганизация возникает независимо от функционального предназначения систем. Исследование динамики ПРС точках бифуркаций, выявление тенденций их эволюции стимулирует дальнейшее развитие данного направления исследований с целью практического использования результатов для практических приложений. Бережное использование пастбищных биоресурсов в арид-
ных зонах РФ должно опираться на основные положения теории управления, учитывающей устойчивость экосистем, а также их параметрическую чувствительность к всевозможным антропогенным воздействиям.
Заключение. В заключение отметим далеко не оптимальные отношения человеческого сообщества и биосферы, частью которой оно является. В настоящее время происходят необратимые изменения в природе, которые в прошлом занимали целые геологические периоды. Эти процессы неминуемо сопровождаются изменением качественного состава биосистем, а именно — изменением биоразнообразия (его понижением). Для аридных зон это более ощутимо, где биоразнообразие почвенно-растительного покрова особенно важно при сохранении и самовосстановлении пастбищ.
Управление биосферой означает управление происходящими в ней процессами, оно возможно на основе знаний, накопленных науками биологического и экологического направлений, изучающих законы взаимодействия биотических и техногенных сред. В терминологии синергетики - это открытые диссипативные структуры с нелинейностью, приводящей к повышенной чувствительности к малым возмущениям в точках бифуркаций. Весьма часто это приводит к катастрофической необратимости. Проблема управления такими системами неразрешаема в аналитическом (замкнутом) виде и наиболее эффективным в данном случае является численное и имитационное моделирование, адекватность которого определяется на опыте. Имитационные и вычислительные эксперименты на сложных экосистемах выходят в настоящее время на уровень научного исследования. Таким образом, математическое моделирование является одним из основных методов исследования процессов в экосистемах, длящихся несравнимо дольше, чем творческая жизнь человека. Математические технологии принципиально изменили возможности вычислительных экспериментов, профессиональное использование которых позволяет видеть эволюцию экосистем. Однако применение этих методов остается пока уделом специалистов в области точных наук.
Вычислительные эксперименты, осуществленные нами на аридных пастбищах, являются основой новой парадигмы исследования аридных экосистем, которая позволяет рассматривать их поведение с точки зрения синергетики. Проведение аналогии между процессами в системах с различными уровнями сложности позволит выявить общие закономерности в рамках классических представлений безотносительно к их пространственно-временному масштабу и степени организации. Это, на наш взгляд, правомерно для случая аридных пастбищ. Распространение опыта их исследования на аридные экосистемы агроландшафтов дает возможность значительно расширить методы математического моделирования в сфере агроэкологии.
Системная самоорганизация возникает независимо от функционального предназначения системы. Аридные экосистемы в виде пастбищ функционируют в условиях, соответствующих синергетическому режиму с обострением [2], где реализуется аномально быстрое развитие процессов. Исследование динамики ПРС в точках бифуркаций, выявление тенденций их эволюции с целью применения в управлении стимулируют развитие данного направления исследований с целью практического использования. Рациональное использование природных ресурсов, несомненно, должно опираться на положения теории управления, учитывающей устойчивость экосистем, определяемую их параметрической чувствительностью к антропогенным воздействиям.
Библиографический список
1. Добровольский, Г. В. Тихий кризис планеты [Текст]/ Г. В. Добровольский // Вестник Российской академии наук. - 1997. - Т.67. - №4. - С. 313-320.
2. Князева, Е.Н. Основания синергетики. Режимы с обострением, самоорганизация, темпомиры [Текст]/ Е.Н. Князева, С.П. Курдюмов. - СПб.: Алетейя, 2002. - 414 с.
3. Кулик, К. Н. Динамическая устойчивость аридных экосистем [Текст]/ К. Н. Кулик, А. Н. Салугин, Е.А.Сидорова // Аридные экосистемы. - 2012.- Т. 18.- №2(51). - С. 28-34.
4. Кулик, К.Н. Марковские цепи дефляции почвенно-растительного покрова пастбищ Чёрных земель. [Текст]/ К.Н. Кулик, А Н. Салугин // Докл. РАСХН. - 2003. - №5. - С. 34-37.
5. Кулик, К.Н. Динамика развития аридных экосистем и автономные импульсные процессы [Текст]/ К.Н. Кулик, А.Н. Салугин // Российская сельскохозяйственная наука. - 2015. - № 1-2. - С. 69-72.
6. Пегов, С.А. Устойчивое развитие в условиях глобальных изменений природной среды [Текст]/ А Н. Пегов // Вестник РАН. - 2004. - Т. 74. - №12. - С. 1082-1089.
7. Петров, Ю.П. Новые главы теории управления и компьютерных вычислений [Текст]/ Ю.П. Петров. - СПб.: БХВ-Петербург, 2004. - 192 с.
8. Салугин, А. Н. Моделирование, прогноз и оптимальное управление в экологии поч-венно-растительного покрова Калмыкии [Текст] /А.Н. Салугин, К. Н. Кулик // Аридные экосистемы. - 2001. - Т.7.- №14-15.
9. Салугин, А.Н. Динамическое моделирование деградационных процессов в агроэкологии [Текст]: диссер... докт. с.-х. наук / А.Н. Салугин. - Волгоград, 2006. - 313 с.
10. Свирежев, Ю. М. Устойчивость биологических сообществ [Текст]/ Ю. М. Свирежев, Д О. Логофет. - М.: Наука, 1978. - 352 с.
11. May, R. M. Stability in model ecosystems / R. M. May // Quantifying Ecology. - 1971. -№ 6. - P. 18-56.
12. Makridakis, S. Stability properties of general systems / S. Makridakis, С. Faucheux // Gen. Syst/ Yearbook Soc. Gen. Syst. Res. - Washington, 1973, V. 18. - P. 3-12.
Reference
1. Dobrovol'skij, G. V. Tihij krizis planety [Tekst]/ G. V. Dobrovol'skij // Vestnik Rossijskoj akademii nauk. - 1997. - T.67. №4. - P. 313-320.
2. Knyazeva, E. N. Osnovaniya sinergetiki. Rezhimy s obostreniem, samoorganizaciya, tem-pomiry [Tekst] / E. N. Knyazeva, S. P. Kurdyumov. SPb.: Aletejya, 2002. 414 p.
3. Kulik, K. N. Dinamicheskaya ustojchivost' aridnyh jekosistem [Tekst]/ K. N. Kulik, A. N. Salugin, E. A. Sidorova // Aridnye ]kosistemy. - 2012. - T. 18. № 2 (51). - P. 28-34.
4. Kulik, K. N. Markovskie cepi deflyacii pochvenno-rastitel'nogo pokrova pastbisch Chjornyh zemel'. [Tekst]/ K. N. Kulik, A. N. Salugin // Dokl. RACHN. - 2003. - № 5. - P. 34-37.
5. Kulik, K. N. Dinamika razvitiya aridnyh jekosistem i avtonomnye impul'snye processy [Tekst]/ K. N. Kulik, A. N. Salugin // Rossijskaya sel'skohozyajstvennaya nauka. - 2015. - № 12. - P. 69-72.
6. Pegov, S. A. Ustojchivoe razvitie v usloviyah global'nyh izmenenij prirodnoj sredy [Tekst]/ A. N. Pegov // Vestnik RAN. - 2004. - T. 74. - №12. - P. 1082-1089.
7. Petrov, Yu. P. Novye glavy teorii upravleniya i komp'yuternyh vychislenij [Tekst]/ Yu. P. Petrov. - SPb.: BHV-Peterburg, 2004. - 192 p.
8. Salugin, A. N. Modelirovanie, prognoz i optimal'noe upravlenie v jekologii pochvenno-rastitel'nogo pokrova Kalmykii [Tekst] /A. N. Salugin, K. N. Kulik // Aridnye jekosistemy. - 2001. -T.7. - № 14-15.
9. Salugin, A. N. Dinamicheskoe modelirovanie degradacionnyh processov v agrojekologii [Tekst]: disser... dokt. s.-h. nauk / A. N. Salugin. - Volgograd, 2006. - 313 p.
10. Svirezhev, Yu. M. Ustojchivost' biologicheskih soobschestv [Tekst]/ Yu. M. Svirezhev, D. O. Logofet. - M.: Nauka, 1978. - 352 p.
11. May, R. M. Stability in model ecosystems / R. M. May // Quantifying Ecology. - 1971. -№ 6. - P. 18-56.
12. Makridakis, S. Stability properties of general systems / S. Makridakis, S. Faucheux // Gen. Syst/ Yearbook Soc. Gen. Syst. Res. - Washington, 1973, V. 18. - P. 3-12.
E-mail: saluginan@mail.ru
