Динамическая устойчивость аридных экосистем Текст научной статьи по специальности «Математика»

АРИДНЫЕ ЭКОСИСТЕМЫ, 2012, том 18, № 2 (51), с. 28-34

-СИСТЕМНОЕ ИЗУЧЕНИЕ АРИДНЫХ ТЕРРИТОРИЙ —————=

УДК 632.125:910.1:531.3

ДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ АРИДНЫХ ЭКОСИСТЕМ © 2012 г. К.Н. Кулик*, А.Н. Салугин**, Е.А. Сидорова**

*Всероссийский научно-исследовательский институт агролесомелиорации РАСХН Россия, 400062 Волгоград, Университетский пр., д. 97. E-mail: vnialmi_nir@vlpost.ru **Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет Россия, 400074 Волгоград, ул. Академическая, д. 1. E-mail: saluginan@mail.ru

Поступила 21.02.2011

Рассмотрены вопросы устойчивого функционирования и восстановления почвенно-растительных систем в зонах с повышенной аридностью. Показаны новые методологические возможности математических моделей в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений и вычислительного эксперимента.

Ключевые слова: устойчивость экосистем, математическое моделирование, параметрическая устойчивость, почвенно-растительные системы, биоразнообразие, вычислительный эксперимент.

Роль биоразнообразия в повышении устойчивости экосистем изучается относительно недавно и до настоящего времени исследования в этой области сводились к накоплению информации о разнообразии почвенных и растительных сообществ и их взаимных сукцессий. Фундаментальная роль разнообразия в теории систем привлекла к себе внимание ученых-кибернетиков, когда на основе теоремы К. Шеннона и У. Эшби был сформулирован так называемый «Закон необходимого разнообразия». В экологии этот закон объясняет устойчивость, связанную с поступлением в систему из внешней среды энергии и массы, а также внутренним перераспределением биоресурсов. Понимание важности биологического разнообразия привело к осознанию необходимости его сохранения для устойчивого развития и рационального природопользования.

Устойчивое развитие - тема многочисленных исследователей экосистем и биосферы в целом. Имеется утверждение (Пегов, 2004), что природная система Земли в настоящее время приближается к точке бифуркации, после которой развитие может протекать по нескольким равновероятным фазовым траекториям. Адаптация систем с различной биологической сложностью качественно одинакова при переходе к новому стабильному состоянию. Синергетическое единство описания таких систем позволяет исследователю на известных примерах увидеть и предсказать тенденции их развития.

Концепция устойчивого развития в Российской Федерации предусматривает практическую реализацию теоретических положений, разработка которых в настоящее время далека от совершенства. Основой теории устойчивого развития является предел потребления продукции биосферы (Добровольский, 1997). Он установлен теорией биотической регуляции и составляет около одного процента продукции биосферы и был впервые за историю человечества превышен во второй половине двадцатого столетия.

Отвлекаясь от общих и глобальных проблем, для более детального рассмотрения бифуркационных процессов, происходящих сейчас повсеместно на всех уровнях организации биосистем, рассмотрим почвенно-растительные системы (ПРС) в виде пастбищ.

По данным аэрокосмического мониторинга исследовалась динамика опустынивания пастбищ Чёрных земель Калмыкии, представляющих обширный массив супесчаных и

песчаных почв площадью свыше 2 млн. га. На протяжении многих лет этот массив использовался в качестве высокопродуктивного зимнего отгонного пастбища. Процессы дефляции почв были прослежены по аэрокосмическим фотоснимкам (АКФ), произведённым в период с 1954 по 1995 гг. с пространственным разрешением 5-50 м. АКФ явились ценным материалом для моделирования экономических и экологических последствий антропогенных воздействий на почвенные экосистемы Черных земель.

В работе (Салугин, 2001) нами была изучена деградация ПРС от пастбищной дегрессии, уменьшающей воспроизводство фитомассы. Вопрос о динамической устойчивости подобных растительных систем в связи с этим вдвойне актуален, так как выявление причин нарушения самовосстановления пастбищ может служить основой общей теории устойчивости экосистем, а численное определение параметров модели - практическое приложение этой теории.

Эти системы являются, с одной стороны, жизненно важными в самых различных аспектах (сохранение устойчивого ландшафта, воспроизводство биосферы, предотвращение коллапса земледелия и животноводства, градостроительство и т. д.), а с другой, служат эталонными при исследовании устойчивости биоценоза с помощью вычислительного эксперимента. Такие системы являются эталонами для исследуемых природных зон, поэтому разработанные методы могут быть экстраполированы на другие территории, как в России, так и за рубежом. Юго-восточный регион Европейской России в последние годы подвергается интенсивному освоению нефтяных и газоносных месторождений, интенсивно развивается сельскохозяйственное производство. Природно-климатические условия усугубляют ситуацию. Практически все пастбищная экосистема региона была деградирована за счет антропогенного воздействия. В некоторых районах, где дефляция приобрела лавинообразный характер, сложилась обстановка экологического бедствия. В бывшем СССР возникла острая проблема восстановления пастбищ.

При изучении систем почвенного покрова Черных земель была разработана парадигма многоканальных переходов (сукцессий) между элементами по механизму марковских процессов. В работе (Кулик, 2003) динамика разрушения и восстановления классов экосистемы Черных земель исследовалась нами в приближении однородных марковских процессов с применением теории марковских цепей (МЦ). В этом приближении была выявлена эргодичность МЦ для долгосрочного прогнозирования состояния экосистемы. Обнаруженная эргодичность предопределила их эффективность при моделировании прогнозов. Сравнение стационарных распределений классов систем, полученных из матриц с высокими степенями, позволило выявить нелинейность процесса и определить точки бифуркаций. Была показана возможность определения времени жизни стабильного существования классов.

При математическом моделировании сукцессий в пастбищных экосистемах с помощью МЦ использовались матрицы переходов, описывающих разрушительные и восстановительные переходы. Одной из проблем составления адекватной МЦ являлось обеспечение необходимой точности построения взвешенного орграфа модели порядка 2%.

Методика

Математический эксперимент формировался на основе теоретических разработок моделирования динамических переходов с использованием обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Параметрическая устойчивость ПРС обсуждалась в аспекте устойчивости по Ляпунову (Петров, 2004). Методика исследований основывалась на вычислительных экспериментах, отражающих динамику процессов в системах с различной степенью деградации почвенного покрова.

Математическое моделирование в данной работе использовалось с целью исследования устойчивости ПРС как результат испытаний на устойчивость системы ОДУ. При этом основное внимание уделялось параметрической устойчивости

Решение системы ОДУ является устойчивым, если решение с несколько измененным начальным условием близко к исходному решению. Свойство системы сохранять устойчивость при вариациях параметров называют параметрической устойчивостью.

Будем различать исходные значения а^ ^ параметров математической модели системы и проварьированные значения:

аг=аг (1+*»). (1)

где - числа, малы по сравнению с единицей и могут быть как положительными так и отрицательными. Значения % как правило, неизвестны и отражают неточность измерения

исх

параметров или их изменение с течением времени.

Определение вариаций модели через равенства (1) свидетельствует о том, что изучается относительное влияние изменений параметров, а не абсолютное. В работе рассматриваются линейные системы ОДУ с коэффициентами, исходные значения которых не изменяются. В этом случае решения либо устойчивы, устойчивы асимптотически (т.е. при ¿^-го будет 5г(^)^0), либо неустойчивы. Для нелинейных систем решение может быть устойчивым для одних начальных условий и неустойчивым - для других и устойчивость исследуется для конкретного случая. В линейной модели исследование устойчивости может быть распространено на весь класс моделируемых систем. В математической модели управление как внешнее воздействие рассматривается в виде дополнительной переменной. Затем вычисляется характеристический полином системы и его корни. Если все корни имеют отрицательные вещественные части, то система устойчива.

То обстоятельство, что теория устойчивости часто используется в формальном управлении сложными системами, стимулировало наши дальнейшие исследования в управлении экосистемами с целью оптимального использования биозапасами ПРС.

Метод ОДУ для моделирования экосистем в настоящее время резко продвинулся за счет развития численных методов, а также освоения и внедрения вычислительных и имитационных экспериментов. Исследования устойчивости ПРС в нашем случае опирались на традиционные методы определения устойчивости систем ОДУ по значениям корней характеристического полинома. Напомним, что тестовый участок Черных земель Калмыкии был представлен четырьмя типами пастбищ: 51 - несбитые или слабосбитые злаково-прутняково-белополынные пастбища, 52 - умеренно и сильносбитые злаково-белополынные и тырсовые, 53 - сильносбитые тырсово-эбелековые и сорно-однолетниковые, 54 -подвижные пески (конечная стадия деградации), которые переходят друг в друга, деградируют и восстанавливаются с различной интенсивностью (Салугин, 2001).

Результаты и обсуждение

Математическая модель сукцессий Черных земель описывалась системой ОДУ с постоянными коэффициентами. Это, так называемая, автономная система, в которой правые части уравнений не содержат времени, хорошо изучена и адекватно описывает динамику деградационных процессов, протекающих в аридных экосистемах. Схема сукцессионых переходов в виде ориентированного графа, полученного из данных космического мониторинга (рис.), указывает на возможность такой организации интенсивностей взаимных связей в экосистеме, при которой реализуется стабилизация ее динамического развития.

Моделирование осуществлялось для периода 1954-1989 гг. космического мониторинга, разделенного пятилетними промежутками. На рисунке представлены переходы с параметрами ау, наблюдаемыми в 1986-1989 гг.

Рис. Ориентированный граф модели с десятью взаимными переходами. На дугах указаны интенсивности переходов в %. Fig. The focused count of model with ten mutual transitions. On arches are specified intensity of transitions in %.

Здесь aij - коэффициенты взаимных переходов, например: a12 - скорость превращения элемента 1 в элемент 2. Обратный переход описывается коэффициентом a21. Знаки коэффициентов aij отвечают за направление превращений: если элемент разрушается, ставится знак минус, а если восстанавливается - плюс.

При составлении ОДУ коэффициенты уравнений формировались из матриц МЦ путём нормирования. Доля ПРС, оставшаяся без изменений, не учитывалась.

Для общего случая система ОДУ записывалась в виде

^Г = -(a12+a13 +a14)S1 +a21S2> dt

dS,

dt dS.

2 = a12 S1 (a23 + a21 + a24)S2 + a32S3 + a42S4>

(2)

dt dS dt

a^ + a23S2 (a34 +a32)S3 +a43S4,

4 = a14 S1 + a24S2 +a34S3 (a42 + a43)S4-

Коэффициенты а^ - количественные значения переходов четырех типов пастбищ друг в друга, являющиеся в данном случае вероятностными характеристиками Марковских процессов. Характеристический полином системы (2) с коэффициентами переходов для графа, изображенного на рисунке, имеет вид (3):

ДХ)=Х4-6.67Х2-0.028 Ш.08 (3)

Корни многочлена: Л = 0.40; Л2 =-0.41; Л3 = 2.55; Л4 =-2.54 являются

«индикаторами» устойчивости. Как отмечалось, система ОДУ будет устойчива, когда все действительные части корней будут отрицательными. Из наших данных следует, что два

корня Л и Л3 положительны, что свидетельствуют о нестабильности системы. Таким

образом, из математических представлений об устойчивости явствует, что пастбищная экосистема, состоящая из четырех типов растительных сообществ за счет сукцессионных переходов разрушается. Отрицательные значения корней, на наш взгляд, указывают на временное динамически равновесное состояние между промежуточными продуктами сукцессий, в то время как исходные пастбища необратимо разрушаются. Вместе с тем, если обратиться к картине эволюции МЦ (Кулик, 2003), то можно заметить, что к этому времени несбитые или слабосбитые злаково-прутняково-белополынные пастбища (51) замедляют свое разрушение и через тридцать лет достигают режима стабилизации. Тоже можно сказать о 52 -умеренно и сильносбитых пастбищах. Динамика 53 - сильносбитых тырсово-эбелековых и сорно-однолетниковых противоположна - через 20-30 лет они исчезают полностью. Что же касается разбитых песков, то вначале (в течении пяти лет) отмечается их незначительное возрастание, а затем стабильное уменьшение с выходом на «плато».

Для периода наблюдений 1958-1964 гг. картина эволюции марковских цепей качественно отличается от рассмотренного. Временная зависимость эволюционных кривых в начале деградации ПРС (1958 г.) свидетельствует о том, что исходные пастбища (51) и 52 - умеренно и сильносбитые пастбища уменьшаются, в то время как 53 - сильносбитые и 54 - подвижные пески растут, свидетельствуя о предстоящей катастрофе полного опустынивания.

В этом случае характеристический многочлен имеет вид:

ДХ)=Х4-25.03 Х2-0.684 Х+8.742 (4)

с корнями: А = 4.98; А =-4.95; А = °.58; Л4 =-0.61 Обращает внимания на себя то обстоятельство, что не смотря на разные знаки и присутствие положительных корней полиномов в обоих случаях в ОДУ-моделях, финальные векторы марковских процессов качественно различны. Эволюция ПРС в различные периоды деградации имеет качественно различные тенденции.

Анализ полученных результатов приводит к мысли о том, что такие экосистемы полезно исследовать на предмет параметрической устойчивости - когда изучается чувствительность к изменению коэффициентов сукцессий а^ в экосистеме (2). Физически это означает,

насколько чувствительна пастбищная система к изменению интенсивностей переходов между ее биологическими составляющими. Варьирование коэффициентов, ранее имевших

ГМ исх г»

значения ау , означает их изменение на малую величину ¿у согласно выражению (1).

Абсолютное значение отражает диапазон изменения параметров, выводящих экосистему

из динамического равновесия. Целью же управления пастбищной экосистемой является регулирование нагрузки с учетом текущей динамики сукцессионных переходов, которые отражают способность экосистемы к самовосстановлению. Отсюда следует прямая связь между управлением биоресурсами ПРС и параметрической устойчивостью модели. Как отмечалось выше, управление и устойчивость ОДУ связаны друг с другом. В развитие этого положения можно констатировать, что эта связь имеет синергетическое происхождение, когда стабилизация протекает через разрушение (хаос). Это следует также из теории неравновесных процессов, протекающих в открытых диссипативных системах (Князева, Курдюмов, 2002). Таким образом, пример Черных земель дает реальную информацию об устойчивости экосистем и возможность предсказания их будущего.

Задача о поиске параметров модели, обеспечивающих устойчивость является обратной задачей и является чисто теоретической. Решение этой проблемы аналитически не представляется возможным. Поиск подходящих коэффициентов переходов (параметров модели) может быть реализован методами оптимизации с привлечением численных приемов.

Весьма заманчивым, на наш взгляд, является синтез методов МЦ и ОДУ, который может в значительной степени продвинуть идею оптимального управления биоресурсами на базе исследований параметрической устойчивости экосистем и ее связи с финальным вектором состояний марковских процессов.

Следует отметить высокую достоверность такого моделирования на примере Чёрных земель Калмыкии (Салугин, 2001). Прогнозирование на долгосрочные периоды указало на адекватность результатов модели для указанного региона.

Выводы

Переходя к обобщению, отметим, что отношения человеческого сообщества и биосферы в настоящее время далеко не оптимальны (Пегов, 2004). На наших глазах происходят такие изменения в природе, которые в прошлом занимали целые геологические периоды. Особенно это заметно для зон с повышенной аридностью, где проблема сохранения растительного разнообразия особенно важна в свете общих задач сохранения и самовосстановления биосистем.

Управление биосферными процессами возможно на основе знаний, накопленных науками экологического направления, изучающими законы взаимодействия биотических и техногенных сред. По своей сути, в терминах физики и синергетики - это открытые диссипативные структуры, обладающие нелинейностью, приводящей к повышенной чувствительности к малым возмущениям в точках бифуркаций и последующей необратимости. Задача программного управления подобными системами аналитически не решаема и единственным инструментом здесь являются математические модели, адекватность которых устанавливается опытным путем. Компьютерные эксперименты, позволяющие проигрывать возможные сценарии событий в сложных экоструктурах, выходят в настоящее время на уровень научного исследования. Математическое моделирование экосистем является одним из основных методов исследования процессов, длящихся несравнимо дольше, чем жизнь одного поколения. Современные ЭВМ-технологии принципиально изменили возможности вычислительных экспериментов, профессиональное использование которых позволяет видеть эволюцию экосистем. Однако, применение этих методов остается пока уделом специалистов в области точных наук.

Математическое моделирование и вычислительные эксперименты, проведенные нами в аридных ПРС образуют, на наш взгляд, основу новой научной концепции исследования аридных экосистем, которая позволяет рассматривать поведение ПРС с точки зрения общей теории диссипативных систем и синергетики. Использование аналогов процессов, протекающих в системах с различной организацией, позволяет выявлять их общие законы в рамках классических представлений безотносительно к их пространственно-временному масштабу и степени организации. Это, на наш взгляд, правомерно для случая ПРС, распространяя опыт их исследования на другие аридные экосистемы.

Авторы (Князева, Курдюмов, 2002) утверждают, что системная самоорганизация возникает независимо от функционального предназначения систем. В биологической синергетике аридные экосистемы функционируют в условиях, соответствующих режимам с обострением, когда наблюдается аномально быстрое развитие процессов. Исследование динамики почвенно-растительных систем в точках бифуркаций, выявление тенденций их эволюции стимулирует дальнейшее развитие данного направления исследований с целью практического использования в управлении. Рациональное использование природных ресурсов, несомненно, должно опираться на положения теории управления, учитывающей устойчивость экосистем и параметрическую чувствительность к антропогенным воздействиям.

КУЛИК, САЛУГИН, СИДОРОВА СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Добровольский Г.В. 1997. Тихий кризис планеты // Вестник Российской академии наук. Т. 67. № 4. С.313-320.

Князева Е.Н, Курдюмов С.П. 2002. Основания синергетики. Режимы с обострением, самоорганизация, темпомиры. СПб.: Алетейя. 414 с.

Кулик К.Н., Салугин А.Н. 2003. Марковские цепи дефляции почвенно-растительного покрова пастбищ Чёрных земель // Доклады РАСХН. № 5. С. 34-37.

Пегов С.А. 2004. Устойчивое развитие в условиях глобальных изменений природной среды // Вестник РАН. Т. 74. № 12. С. 1082-1089.

Петров Ю.П. 2004. Новые главы теории управления и компьютерных вычислений. СПб.: БХВ-Петербург. 192 с.

Салугин А.Н., Кулик К.Н. 2001. Моделирование, прогноз и оптимальное управление в экологии почвенно-растительного покрова Калмыкии // Аридные экосистемы. Т. 7. № 14. С. 11-21.

DYNAMIC STABILITY OF THE ARID ECOSYSTEMS

© 2012. K.N. Kulik*, A.N. Salugin**, E.A. Sidorova**

*All-Russian Research Institute of Agroforest Melioration of the Russian Academy of Agricultural sciences Russia, 400062 Volgograd, Universitetskyiprospect, 97. E-mail: vnialmi_nir@vlpost.ru **The Volgograd state architecturally-building university Russia, 400074 Volgograd, Academic str., 1. E-mail: saluginan@mail.ru

Questions of functioning and restoration of soil-vegetative systems in zones with raised arid are considered. New methodological possibilities of mathematical models in the form of systems of the ordinary differential equations and computing experiment are shown.

Keywords: stability of ecosystems, mathematical modeling, parametrical stability, soil-vegetative systems, biodiversity, computing experiment.