Математические методы исследования некоторых проблем франчайзинговой системы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 339.133: 330.46

М.Т. Терёхин, Е.С. Дюба

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕКОТОРЫХ ПРОБЛЕМ ФРАНЧАЙЗИНГОВОЙ СИСТЕМЫ

В статье рассматривается один из способов построения франчайзинговой системы. Предложены методы вычисления нижней границы наибольшего значения капитала франчайзера при различных предположениях относительно начального состояния системы и выбора управления.

инве^иция, ликвидные средства, процент, управление, франчайзи, франчайзинг, франшиза, функционал.

Генеральная компания (франчайзер) имеет достаточно успешный опыт в организации и проведении бизнеса, хорошую репутацию среди потребителей, в частности, в сфере продаж, оказании услуг, рекламном обеспечении. С целью усиления своего влияния в бизнесе, увеличения прибыли франчайзер привлекает для совместного участия в бизнесе другие фирмы, отдельных предпринимателей, испытывающих трудности в ведении и организации своего собственного дела и создании на определенных условиях совместных предприятий (франчайзи).

Франчайзер и франчайзи заключают договор (франшизу), действующий в течение заранее оговоренного периода времени, согласно которому:

- франчайзер разрешает франчайзи для ведения бизнеса использовать его товарный знак, имя;

- франчайзи имеет возможность пользоваться бизнес-системой франчайзера, включая рекламную политику, процесс производства товара и его продвижение на рынок, различные технологии ведения бизнеса, то есть получить в свое распоряжение проверенную концепцию ведения бизнеса;

- франчайзер осуществляет текущую поддержку, консультирует и обучает франчайзи;

______- франчайзи обязан покупать у франчайзера и поставщиков, назначенных

© ТерехинМ.Т., ДюбаЕ.С., 2013 х материалов (возможн° на

льготных условиях);

- франчайзер получает за использование своего товарного знака, имени определенный процент от прибыли франчайзи (роялти) и вступительные взносы от новых франчайзи.

В франшизу могут быть включены и другие пункты, приемлемые как для франчайзера, так и для франчайзи.

Франчайзер может иметь и собственные предприятия.

Отметим, что способ ведения бизнеса по схеме «франчайзер - франчайзи -франшиза» называется франчайзингом.

Франчайзинг предоставляет возможность фирмам, малым предприятиям, частным предпринимателям организовать свое собственное дело, при этом франчайзи сохраняет экономическую и юридическую самостоятельность.

Предположим, что франчайзинговую систему образуют франчайзер и п франчайзи, роялти постоянное на весь промежуток [0, T ] действия франшизы.

Пусть х(і,а,и) = (х0(і,а,и),^(і,а,и),...,xn(і,а,и)), х0(і,а,и) - прибыль франчайзера от собственных предприятий, хі(і,а,и)- прибыль і -го

франчайзи при любом і = 1, п в момент і, и - вектор-управление, характеризующее расходы на рекламу, на научные исследования (в частности, на изучение рынка, потребительского спроса), на совершенствование функционирования франчайзинговой системы, х(0,а,и) = а, а = (а0,а1,.,ап),при любом і = 0,п

хі (0,а, и) = а .

Будем предполагать, что вектор-функция х(і,а, и) определена, не-пре-рывна и непрерывно дифференцируема по і на замкнутом, ограниченном множестве [0, Т] х М х и.

Пусть в момент і франчайзер на развитие сети расходует средства в объ-еме

п

Ж (і) = ZXo(і,а, и) + ^ Еіхі (і,а, и) . В момент времени і + Аі расход на развитие

і=1

п

сети определяется равенством Ж (і + Аі) = Zx0(t + Аі,а,и) + ^ Еіхі (і + Аі,а,и).

і=і

Изменение расходов средств за промежуток времени от і до і + Аі примет вид

п

АЖ (і) = Z [ Х0 (і + Аі, а, п) - Х0 (і, а, и)] + ^ Е [ Хі (і + Аі, а, и) - Хі (і, а, и)].

і=1

Следовательно, поток инвестиций J (і) франчайзера в развитие сети определит-

r7dx0 -А dx

ся равенством ------= J (і) = Z------+ > Еі-----, при этом для краткости записей

dt dt “=1 dt

принято, что х0 = х0 (і,а,и), хі == хі (і,а,и),Z,Е1,...,Еп - постоянные числа,

в Е( учитывается вступительный взнос і -го франчайзи).

В любой момент времени і прибыль франчайзера определится равенством

п

Y (і) = х0(і,а, и) + ХГХ (і,а,и) - АЦі), (1)

і = 1

где Г - платеж і -го франчайзи (роялти), Ь(Х)- долг франчайзера, Я- процент по долгу.

Очевидно, что капитал К (і) франчайзера за время от 0 до і определится равенством

t

K (t) = K * + J Y (r)dr, (2)

0

в котором K * = K (0).

Ставится задача: найти вектора О и и , принадлежащие соответственно

T

множествам M, U, при которых функционал J Y(t)dt принимал бы макси-

0

T

мальное значение, то есть найти max I Y(t)dt при определенном подборе коэф-

M xU J 0

фициентов.

Прибыль франчайзера и его новые кредиты идут на инвестиции и изменение объема A(t) его ликвидных средств.

Предположим, что франчайзер за время от 0 до t приобрел ликвидные

t п

средства в объеме A(t) = | [Хо(£О,и) + Vrtx(£О, и) - J(<I) +D(£)d ,

0 i=1

D(t) - разность между получаемым кредитом и возвратом долга. Тогда изменение объема ликвидных средств определится как

dA(t) n

—— = x0(t,o,и) + V rx (t,o, и) - J(t) + D(t). (3)

dt

t

Долг франчайзера по кредитам составит L(t) = J[D(£) + AL(£)]d£. Сле-

0

довательно, изменение задолжности примет вид

dLt) = D(t) + AL(t). (4)

dt

Предположим, что ликвидные средства A(t) пропорциональны долгу L(t) франчайзера, капитал K(t) также пропорционален долгу L(t), то есть имеют место следующие равенства

A(t) = kxL(t), K (t) = bL(t), (5)

k1, Ь - коэффициенты пропорциональности, Ь > 1, 0 < k1 < 1. Тогда из второго равенства (5) и равенства (1) следует, что

ьот = от, то есть ьат=у (, у

& & &

К *

Из второго равенства (6) следует, что £(0) =------. Учитывая равенства (1)

ь

и (6), получим

с1Ь(£) п

Ь—— = х0(г,а, и) + V /х. (г, а, и) - ХЬ(г). (7)

& 7=1

Согласно равенству (3) и первому равенству (5) будем иметь

&Л(7) ^Ш) йЬ(г) . -П , ч г/ ч ч оч

—— = k1——, к1—— = х0(г,а,и) +^ г.х.(г,а,и) - J(г) + Щ(г). 8)

& & & ~~1

Из равенств (4) и (8) находим:

щ(г) = CL(г) - щг)

, ёЬ(г) -А / ч г/ ч )

и к---------= х0 (г, а, и) + V /х (г, а, и) - 7(г) +--------А£(г), то есть

ёг ,=, ёг

(к1 -1) —— = х0(г,а,и) + V/х. (г,а,и) - 7(г) - ХЬ(г). (9)

& н

&£(г)

&г

Согласно неравенству (7)

п с1Ь(г)

х0(г,а,и) + Vгх (г,а,и) = Ь—— + ХЬ(г). (10)

7=1 &

Тогда с учетом равенств (9) и (10) получим

(к1 -1) = ЬCL(г) + ^£(г) - 7(г) - ЛХ(г), или, что все равно,

а^У! = 7 (г), (11)

аг

а = 1 - к1 + Ь, а > 1.

Следовательно, из равенства (11) будем иметь

0£(г) ^dx0 -П ^ &х л г/_ч Кх

а-= 7—0 + V —{—-. Отсюда при условии, что Ь(0) =----------------------------, получим

Л & 7=1 &г Ь

К * 7 п -

Ь(г) = — + — (Х)(г, а, и) - а0) + V~ (х (г, а, и) - а )• (12)

Ь а “Га

Согласно равенствам (1)

7 (г) = х0(г,а, и) + V ггхг (г,а, и ) - X

К 2, ,

-т + — (х^(г,а, и) - а0) + Ь а

п е 2 7 п XЕ

+ V ~(х (г, а, и) - аа)] = (1-----)х0(г, а, и) + V (/---------)xi (г, а, и) +

г=1 а а ,.=1 а

X п а

+— (2а0 + V Е,а, - тК*), где т = —, да > 1. Следовательно,

а ,=1 Ь

Т т

17(г)&г =| [(1 - —)х0 (г, а, и) + V (/ - Х—)х7 (г, а, и^г +

0 0 а 7=1 а (13)

+ — (7а„ +£еЛ - тК*).

а ,=1

Формула (13) получена на основании условий и методики рассуждений, принятых в работе [1].

Пусть Е - общий объем средств франчайзера и п франчайзи при г = 0,

п п

то есть Е = Vdi, V0 = 7а0 + V—а - тК*.

7=0 7=1

Возможны следующие случаи:

1) V) - нелинейный функционал;

2) V) - линейный функционал относительно переменных а0,а1, а2,...,ап, К*;

27 Е ____________

3) 1 - — = 0, / - X = 0, 7 = 1, п.

а а

Рассмотрим случай 1. Множество Ж0 определим равенством

Ж0 = {(а, 7, Е1 (7 = 1Тп), т, К*):0 < а < -, - = V а, 0 < 7 < 70,0 < Е1 <

7=1

1 < т < т0,0 < К * < К0}, числа 70,—, т0, К0 определяются в момент органи-

зации франчайзинговой системы в зависимости от ресурных возможностей франчайзера и франчайзи. Очевидно, что Ж0 - многогранник.

Во множестве Ж0 функционал У0 непрерывен, Ж0 - замкнутое и ограниченное множество. Следовательно, в этом множестве существует точка, в которой функционал У0 достигает своего наибольшего значения на этом множестве согласно теореме Вейерштрасса. Пусть такой точкой является

точка (a*,Z*,E* (i = 1,n),m*,K*), a* = (а0,а*,а2*,...,а*), ^а* = E. Зна-

i=0

чение функционала V° в этой точке обозначим символом V°°. Таким образом, max V° = V°°.

W° ° °

Рассмотрим функционал

G0 = J[(1 -cXZ*)х0^,а,и) +£ (r -сАЕ*)xt(t,а*,u)]dt,

0 i=1

в котором с = —, с < 1, A - процент по долгу франчайзера, не зависящий от a

него.

Множество W— определим равенством W— = {(с, r (i = 1,n), u) :0 <

< с0 < с < 1, 0 < r < 1, | и |< y0}, с0, y0- некоторые числа, определяемые в момент организации франчайзинговой системы в зависимости от ресурсных возможностей франчайзера и франчайзи.

Очевидно, что W^ многогранник. В силу замкнутости, ограниченности множества Wj, непрерывности функционала G0 на множестве W— и теоремы Вейерштрасса функционал G0 на множестве W— достигает своего наибольшего значения.

Предположим, что функционал G0 наибольшего значения G0° достигает в точке (с*,r (i = 1,n),u*) eW—. Следовательно, maxG0 = G00.

W—

Таким образом, задача нахождения наибольшего значения функ-

T

ционала J Y (t )dt на множестве M xU свелась к задаче нахождения

0

наибольшего значения этого функционала на множестве W0 x W—, то

т

есть к нахождению числа тах IY ()dt. Установлено, что

W0xW, Л

1 0

т

тах IУ ()dt > ^0° +

ЖоХЖ ^ 0

0 1 0

+ ^-*т¥0°, G0) Н---------------*-Р^- оценка снизу наибольшего значения функционала

а а

т

| У ( )dt на множестве Ж0 х Ж1.

0

Рассмотрим случай 2. Положим р = (2,Е1,Е2,...,Еп,—т), q = (а0, а1,а.2,...,ап,К*). Тогда функционал V) можно записать как У0 = (р,д), где (°,°)- скалярное произведение.

Функционал У0 будем рассматривать в пространстве Q координат вектора д. Заметим [2], что гиперплоскость (р, q) + 3 = 0, (/3- постоянное произвольное, но фиксированное число), разбивает пространство Q на два полупространства, в одном из которых (р, д) + 3 > 0 (положительное полупространство), в другом (р,д) + 3 < 0 (отрицательное полупространство).

Пусть точка д0 е Q такова, что (р, д0) + 3 = 0, Ч\ е Q - произвольная точка. Тогда (р, д1) + 3 — (р, д0) — 3 = (р, д1 — д0). Следовательно, если д1 принадлежит положительному полупространству, то (р, д1 — д0) > 0, если - отрицательному полупространству, то (р, д1 — д0) < 0.

Пусть д1 ^ д0 такое, что (р,д1) + 3 = 0. Тогда (р,д1 — д0) = 0, то есть вектор р ортогонален вектору д1 — д0. В силу произвольности вектора д1 приходим к выводу о том, что гиперплоскость (р, д) + 3 = 0 состоит из таких точек д1, для которых векторы р и д1 — д0 ортогональны.

Можно убедиться, что каждое из полупространств, на которые гиперплоскость делит пространство Q, является выпуклым.

Множество W2 определим равенством

Ш2 = {(а, К *): 0 < аг < Е, £ а,. = Е, 0 < К * < К0},

г=1

число К0 определяется так же, как в случае 1. Многогранник W2 - выпуклый, поскольку он является пересечением выпуклых полупространств.

Пусть точка С[ — граничная точка множества W2. Гиперплоскость (р, с) + 3 = 0, содержащая точку д, является опорной гиперплоскостью мно-

гогранника W2, если она делит пространство Q на два полупространства, в одном из которых целиком расположен многогранник W2.

Вектор p определим равенством p = (Z,E1,E2,...,En,—m), величины

---------------------------------------------------------------— a — T

Z,E1,E2,...,En,m, m = —, a,b определяются в момент организации фран-

b

чайзиноговой системы в зависимости от ресурсных возможностей франчайзера и франчайзи. Проведем опорную гиперплоскость (p, q) + 3 = 0 многогранника W2, параллельную гиперплоскости (p, q) = 0 и такую, чтобы для любой точки q1 е W2 (p, q1 — q* < 0 или, что все равно, (p, q^) < (p, q*), где q*- граничная точка многогранника W2, удовлетворяющая равенству (p,q ) + 3 = 0. Это значит, что max V0 = max(p, q) = (p, q*) .

W2 W2

Отметим, что если точка q* принадлежит грани (ребру) D ^ W2, а множество D - опорной гиперплоскости (p, q) + 3 = 0 ((p, qx) + 3 = 0), то в любой точке q1 е D (p, qx) = (p, q ). поскольку точки q1 и q* принадлежат опор-

ной гиперплоскости (p, q) + 3 = 0. Следовательно, в качестве точки q* может

быть взята любая точка q е D, при этом равенство (p, q) = (p, q ) остается справедливым.

x x (t, a *, u)]dt на множестве W3 = { (q*, (. = 1, n), u}: q* е D, 0 < < 1,| u |<

чайзера, не зависящий от него, С = (а0 , а1 , а2 , ■ -, ап , ).

Поскольку функционал непрерывен на замкнутом, ограниченном множестве Ж3, то, как и в случае 1 устанавливаем, что во множестве Ж3

T

Рассмотрим функционал

< у0}, D - грань (ребро) многогранника W2, принадлежащая (принадлежащее) опорной гиперплоскости (р, с) + 3 = 0, X - процент по долгу фран-

существует точка (д*,г (/ = 1,п),и) , в которой Y1 достигает своего наибольшего значения G10, то есть тах^ = ^0. Таким образом, в случае 2 задача

нахождения наибольшего значения функционала J Y(t)dt на множестве

0

на множестве

M xU свелась к задаче нахождения наибольшего значения этого функцио-

T

нала на множестве W2 xW3, то есть к нахождению числа max I Y(t)dt. Уста-

W xW J

W2 xW3 ■

2 3 0

fww ^0 AT — * „ AT — *

новлено, что max I Y (t)dt > G1 (p, q ), G1 + (p, q ) - оценка снизу

W2 xW3 0 a a

T

наибольшего значения функционала JY(t)dt на множестве W2 xW3.

0

Рассмотрим случай 3. Предположим, что величины a, Z,A, Ц, Et (i = 1, n)

выбраны таким образом, что выполнены равенства 1 — AZ = 0, ц-. = 0 (i = 1, n).

a a

K

Тогда функционал |Yпримет вид |Y= Т(а0 +^га — X—), (выше о 0 и Ь

было отмечено, что а > 1, Ь > 1).

п * 1 Пусть V! = а0 + дга — т— , шх — —. Тогда возможны следующие под-

г=1 Ь

случаи:

а) У1 - нелинейный функционал;

б) У1 - линейный функционал относительно переменных а (' = 1, п), —. Рассмотрим подслучай а). Множество W4 определим равенством

п

Ж4 = {(а,г (' = 1,п)т1, — *):а = (а0,а1,а2,...,ап),0<а <Е,Е = ^а, 0<Г <

'=0

< г0, 0 < т° < т1 < 1,0 < — * < —0}, числа г°, т°, —0 определяются в момент организации франчайзинговой системы в зависимости от ресурсных возможностей франчайзера и франчайзи. Очевидно, что W4 - многогранник.

Исследуя функционал У1 аналогично тому, как был исследован фунционал

V (случай 1), получим, что на множестве W4 существует точка, в которой

функционал У принимает наибольшее значение У1°, то есть справедливо равенство тахУ = У0.

W4

Таким образом, в подслучае а) задача нахождения наибольшего значения

т

функционала JY(t)dt на множестве M х U свелась к задаче нахождения

0

наибольшего значения этого функционала на множестве W4, к нахождению

TT

числа max J Y (t)dt. Установлено, что max J Y (t)dt = TV?.

4 0 4 0 Рассмотрим подслучай б). Пусть /л = (1, r1, r2,...,rw,—ml),%= (a0,a1,

a2,...,an, K *). Тогда функционал V1 можно записать как V1 = (ц.,%).

Полагая, что величины rx, r2,...,rw,m1 вычислены в начальный момент

организации франчайзинговой системы в зависимости от ресурсных возможностей франчайзера и франчайзи и получены соответственно значения r1, r2,...,rw,m1, исследуя функционал V1 аналогично тому, как был вычислен функционал V0 (случай 2), убеждаемся, что существует граничная точка £,* многогранника W5, удовлетворяющая равенству maxVj = (ц.,%*),

W5

где ц = (1, r1, r2,..., rn,—m1).

Таким образом, в подслучае б) задача нахождения наибольшего значения

T

функционала JY(t)dt на множестве M х U свелась к задаче нахождения

0

наибольшего значения этого функционала на множестве W5, к нахождению чис-

TT

ла max JY(t)dt. Установлено, что max JY (t)dt = T (д£*).

W5 0 W5 0

Отметим, что для непосредственного нахождения численного значения

T

оценки снизу величины max I Y(t)dt необходимо иметь в явном виде заданную

M xU J 0

на множестве [0,T]хMxU вектор-функцию x(t,a,u) x(0,a,u) = a.

Предложенные в статье методы подбора значений коэффициентов,

П

начальных значений прибылей сс0,а1, ...,«„, = Е, Е- заранее заданное

г=1

постоянное число) франчайзера и франчайзи, начального значения капитала К франчайзера и управления позволяют определить нижнюю границу наибольшего значения капитала К^) франчайзера к моменту окончания действия франшизы.

1. Болтянский, В.Г. Математические методы оптимального управления [Текст] : моногр. - М. : Наука, 1969. - 408 с.

2. Рудашевский, В.Д. Оптимальная стратегия развития франчайзинговой системы [Текст] / В.Д. Рудашевский, М.А. Фурщик // Экономика и математические методы. -1998. - Т. 34.- Вып. 2.- С. 89-104.

M.T. Terekhin, E.S. Dyuba

MATHEMATICAL METHODS OF FRANCHISE SYSTEMS ANALYSIS

The article deals with one of the methods of building a franchise system. It suggests methods of calculating possible monetary outcomes predetermined by the initial state of the system and on the choice of management. The debt-to-liquid-asset ratio shows how much a franchisor can spend on the development of a franchise system. The article presents a formula for finding the lower level of the best monetary outcome a general company can get by the time a franchise is completed.

investment, liquid assets, percent, management, franchise, franchising, functional.