CC BY
25
Vol. 20, No. 01, 2017
Ovil Aviation High TECHNOLOGIES
УДК 629.7.08
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ОПТИМИЗАЦИИ РАБОТЫ АВИАЦИОННЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ ПО КРИТЕРИЮ
МИНИМАЛЬНОГО РАСХОДА ТОПЛИВА НА ЭТАПЕ СНИЖЕНИЯ ВОЗДУШНОГО СУДНА
Ю.М. ЧИНЮЧИН1, В.А. БЕЛКИН1
1 Московский государственный технический университет гражданской авиации,
г. Москва, Россия
Математически доказывается состоятельность метода потенциально возможного повышения топливной эффективности гражданских воздушных судов (ВС), основанного на оптимизации процесса летно-технической эксплуатации ВС. Математический аппарат и построенная математическая модель пространственного движения ВС позволяют анализировать поведение ВС на предпосадочном отрезке полета и выстраивать оптимальную траекторию полета по критерию минимального расхода топлива с закрепленным временем.
Для эффективного решения задачи осуществляется выбор и реализация оптимальных траекторий полета. Предлагается алгоритм решения задачи оптимального управления полетом гражданского ВС с целью наиболее точной реализации выбранной программной траектории в условиях ограниченного расписанием времени. Оптимизация указанного процесса проведена при помощи решения двухточечной краевой канонической системы, основанной на принципе максимума Понтрягина.
Представлены необходимые для постановки задачи исходные данные и условия. Для упрощения требуемых вычислений построена математическая модель и дано ее эквивалентное представление, при этом задачи управления по каналам тяги и угла атаки объединены в виде функции управления тягой. Далее составлена в математическом виде краевая задача и представлен аналитический аппарат ее решения. Построены оптимальные траектории снижения ВС, отражающие характер изменения угла атаки и тяги.
Перспективность данного приема подтверждена экономической состоятельностью и эффективностью данного метода, в частности, проведено сравнение суммарного расхода топлива ВС на полученной оптимальной траектории снижения с классической траекторией, на которой присутствуют прямолинейные участки, что позволило дополнительно подтвердить вывод об экономической целесообразности и эффективности метода постоянного снижения ВС при производстве полетов.
Ключевые слова: топливная эффективность, оптимизация, постоянное снижение, принцип максимума Понтрягина.
ВВЕДЕНИЕ
В работе [1] были рассмотрены вопросы, касающиеся актуальности и принципиальной возможности внедрения системы постоянного снижения (СБО) в процессе полета воздушного судна.
Физические процессы, имеющие место в технике, как правило, управляемы, т. е. могут осуществляться различными способами в зависимости от воли человека. В связи с этим возникает вопрос о нахождении наилучшего в том или ином смысле или, как говорят, оптимального управления процессом. Речь может идти, например, об оптимальности в смысле быстродействия, т. е. о достижении цели процесса за кратчайшее время, о достижении этой цели с минимальной затратой энергии, достижении цели за заданное время и т. п. Математически сформулированные, эти вопросы являются задачами вариационного исчисления, которое и обязано им своим возникновением [2, 6-10].
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Управляющие переменные:
Р(1); ап (1). (1)
Начальные условия:
t0 = 0, V(0) = V0, e (0) = 00, h(0) = y(0) = h0, x0 = 0, m(0) = M0. (2)
Конечные (граничные) условия:
ti - задана, 0 (ti) = 01, y(ti) = yi, x(ti) = xi, (3)
0 (ti), V(ti), m(ti) - свободные.
Показатель качества:
J = J0tl^ceK[P(t)]dt. (4)
Критерий оптимальности:
J* = min J. (5)
t1,P(t) v 7
Формулировка задачи оптимизации:
Среди всех допустимых управляющих функций P(t), ап (t) найти такие, при которых ВС выводится из заданного начального состояния Vo, 0 0, ho, Mo, xo = 0 в частично заданное конечное состояние ti, 0 i , yi, xi и величина
J = (P(t))dt (6)
принимает минимальное значение (минимальный расход топлива)
J* = min J.
tl;P(t)J
2. ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ С ДВУХКАНАЛЬНЫМ УПРАВЛЕНИЕМ
Запишем систему уравнений, описывающую движение самолета в атмосфере, как
m^ = Pcos(a + Фр) - Q - mgsin 0; (7)
dö
mV— = Psin(a + фр) + Y — mg cos0; (8)
? = Vsin0; ? = Vcos0; dm = —^(t). dt dt dt
Запишем функцию управления в следующем виде:
u=н- (9)
Далее функцию управления необходимо поместить в функционал управления
J = JttV(P(t))dt - min,
где t0 принимает значение 0, а последующие значения определяются по гамильтониану H:
H = (-1) • KP(t))+V - msini - Q(a°'V' e'Vair -Yair -x-y-+ 4 J \ m m m )
+A9 " (mV+ Y(K"'V'9'Vmfair'x'y'ß)) + ÄxVcose + ÄyVsine - Am • ,(P(t)). (10)
Для упрощения вычислений перейдем к эквивалентной модели представления управления [2, 3].
3. ЭКВИВАЛЕНТНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
Задачу управления по двум каналам - тяги и угла атаки мы сводим к эквивалентной и убираем угол атаки в функцию управления тягой, последняя будет меняться и по величине и по вектору, а следовательно, функция управления примет следующий вид [4, 5]:
P(t) =
P(t)ev
l-P(t)enyj
U, (11)
где вектор е — (ет-) •
Тяга ТРД меняется по закону
Р = Р(1) = И- ш(х; у) = ¿ху) (12)
Величина w(x,y) показывает конечную скорость истечения газа из сопла ТРД, при этом Ртах, Ртт - рабочие режимы тяги, тогда
рО) = 5а)(ртах- pmin) + pmin, (13)
где 5(1:) принимает значение 0 или 1.
Запишем уравнения движения для случая эквивалентной математической модели, когда моделируется тяга по вектору и величине:
т^ = Р(1) • еу — ше81п9- Q; (14)
Н 9
т — = Р(1:)еп — тесо89 + У; (15)
Q = Сх(ап) ^ • Уа2 • 5с08(9 — Р) + Су(ап) ^ • 581п(9 — в) • Уа2 =
= Сх(ап) • Р(Х1У) • 5 • Уа2(У, ^г- Yair) С08(9 — в) + + Су(ап) ^ • 5 • 81п(9 — в) • Уа2(У, 9,У^, Yair); (16)
У = — Сх(ап) ^ • У^ • 81п(9 — в) + Су(ап) ^ • 5^(9 — в) • Уa2 =
— Сх(ап) • Р(Х1У) • 5 • Уа(У, ^г, Yair) 8 1п(9 — в) + + Су(ап) ^ • 5 • С08(9 — в) • Уз2(У, 9,У^ Yair), (17)
при этом Уа - (Усо89 — Vair • co8Yair; У81п9 — Уair • 8lпYair);
^ = Vcos6; ? = Vsin0; ^ = — n(t).
dt dt ' dt y
Запишем гамильтониан H в следующем виде:
H = (-1) • (5(t)(Pmax-Pmin)+Pmin) • / 2 + g2 + ^ • (Ш e mgsin9 Q(an,V,9,Vair,Yair,x,y,ß)\ + ( ) W(x;y) Vvnvvfmv m m )
+ Ä9 X fPL) env — !C2S9 + Y(an,V,9,Vair,Yair,x,y,ß)) + 9 VmV nv V mV /
+ AxVcose + AyVsine — Am • Wjx)) • Ve^+eiV; (18)
£H = 0; = 0; _£H_ = 0
dev ' denv ' 3<5(|t|) Продифференцировав гамильтониан по переменной ev и env
iH = 0 = (—i)-^ • + ^v p(t) — • _(19)
dev V ^ W(x,y) _ ГГ~Г m w m W(x,y) I ' v 7
2^ eV+en
получим
„ (л , Л ч P(t) AyP(t)
ev(1 + Äm) ■ WXty) = — (20)
а для управляющего косинуса получим
cos(a + фрЬ ev = » (21)
Продифференцируем гамильтониан по переменной env, тогда
dH =0 = (-1) • -P(t)- -2аь-+я™• н5^, (22)
denv W(x'y) 2-(e5+e5v °mV W<x'« 2^eV+e=
а выражение для управляющего синуса будет иметь вид
sin(a + фр) ^ env = ^WS^ , (Фр = const); (23)
A9W(x,y)
tg(a + фр) = ev = = ¿9V (24)
v m(i+Xm) v
Выражение для a будет иметь вид
a = arctg^ + фр ^ a(V, Ä0, Av), (25)
тогда
dH _ о _ (_i) Pmax Pmin . a . (Pmax Pmin) _ e + A • (Pmax Pmin) _ e _ A • (Pmax Pmin)
d<5 _ _ ( ) W(x,y) v m v 0 mV nv m W(x,y)
^ (Pmax _ Pmin) " (V ¿ " ev + A0 ■ m^V '■ env) _ (1 + Am) " (PmWXSr2; (26)
W(A A m V V лЛ - AV W(x,y) + ^eW(x,y) q+V) (27)
V(Av, Ae, m, V,V,y) = mr+ m2v2(i+Am) - WX^' (27)
при этом
5 = 1, при¥(...) > 0; 5 = 0, при¥(...) < 0
и
5(¥) = 5(8щп(¥)).
Гамильтониан принимает следующий вид:
я = (—■(Ртах-Рщ,п)+Рт1п) + ^ (Ш • ¿.^у) — ^ — ОС^О) + 4 у ^(х,у) " V т т(1+Ят) т /
/р(0 ЯеЖ(х, у) #со50 У(«п.....ТЛ ЯтР(С)
+Яе I —77 • ТТТ:;—г^т--тт---тт— I + ЯхКсо50 + ЯуК5тб — —-г
7т(1 + Ят) К тК У * у Ж(х, у)
при ап = а + р — 0. (28)
Геометрическая интерпретация = а + @ — б принимает вид
Су(ап) = Су |а = 0 • = • (а + £ — 0), (29)
где а = а (У,Х_0,Х_у).
Заменим Сх (ап) на Сх(Су) — из аэродинамической поляры. Продифференцируем гамильтониан по переменной К:
ох^ = —ая = £ 0, К, , х, у, Ят, Яу) +
у V т2(1+Ят73) У
Продифференцируем гамильтониан по переменной в:
Продифференцируем гамильтониан по переменной х:
^ = —ая = (—1) ^ + — + ^ ах 4 у 4 у и/(х,у)2 г;т2(1+ят) ах т 17 ах
( Р(0Яв э^(х,у) + 1 ЭУ(-)) + - Р(р а^(х,у) (32)
в (т272(1+Ят) ах ах ^ т^(х,у)2 Зх . ( )
Продифференцируем гамильтониан по переменной у:
^ = ау = ( ) ^(х,у)2 ау р т2-(1+Ят) ау т р ау
+Я (яе а^(х,У) + 1 эу(.)) + ят - р(г) э^(х,У) (33)
в (т272 (1+Ят) ау ту ау ) ^(х,у)2 Зу • ( )
Продифференцируем гамильтониан по переменной ш:
Civil Aviation High TECHNOLOGIES
Vol. 20, No. 01, 2017
^ Зт ^ V (1+Ят)т3 т2 ) в ( т3(1+Ят) 7 т2^ ( )
К полученным 5 уравнениям добавим 5 уравнений исходной системы, при этом вместо епу и еу подставим соответствующие выражения.
Краевые условия в момент 11 будут иметь вид
- «замещение» должно выполняться в 11,
/ \
^(«1)=о
Яе(41)=0 У!
\Ат(41)=0/
т. к. V, 0 и т - «свободные». (35)
4. СОСТАВЛЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ И ПОСТРОЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ТРАЕКТОРИЙ СНИЖЕНИЯ
1. Для составления краевой задачи представим систему уравнений движения:
т^ = Р(0 ■ е^ _ тдотб _ ¿0
т — = Р(0еп _ шасо50 + У;
^ = Ксо50; (36)
— =
2. Выпишем дополнительные уравнения, полученные из гамильтониана:
^ = _ая = 1 _ эе(^,е,7,7а,г,х,у,ят,я^) +
у V т2(1+Ят73) 72 т72 4 у т7 37 / х У '
ЗЯ - / л 1 дд(...)\ ,
+Я0 + _ + Яуксо50; (38)
^ ах ( ) ' ( ) ' М/(х,у)2 ' ах + ^т2(1+Ят) 'ах т' ^' ах +
0(т272(1+Ят) ах ту Эх ^ т^(х,у)2 Эх ; ( )
^ = ау = ( ) ^(х,у)2 ау ^ т2-(1+Ят) ау т р ау
в (т272 (1+Ят) ау ту ау ) ^(х,у)2 Эу . ( )
dAm = — ая = - • fP(tUv-W(x,y)(-2) + Q(...)) + dt Эт v f (1+Ят)т3 m2 )
(1+Ят)т3
0 ( 72-т3(1+Ят) V m2). ( )
3. Произведем обратные замены:
а = arctg ^L + ^ Я0, Av); (42)
COS
(»+- <4з>
Яд • W(x,y) ш •К • (1+Ят)'
sm(a + ^ - (44)
4. Получим уравнения в новом виде с подстановкой управляющих косинусов:
т— = Р(0 • С05 (агс^-^- + — т^тб — (45)
т^ = Р(0 • 5/п (агс^т^- + — + У; (46)
^ = Ксо50; (47)
^ = Уипв; (48)
^ = —КО; (49) £Я£ = — ая = —^ 1 эе(^,е,7,7а;г,х,у,ят,я^) . ^ ак ^ т ак
у V т2(1+Ят73) 72 У '
^ ае V у и тае/ у V к тка^/ х у > \ ;
= — ая = (—1) • р(,л • (-1) ^ + 1 р(Г)Я^ а^ 1 , .
^ ( ) - ( ) - м/(х,у)2 - ах + ^т2(1+ят)- ах т- р - ах +
0(т272(1+Ят) ах ту ах ^ т^(х,у)2 Зх ; ( )
Нt ду ( ) ш(х,у)2 ау у т2-(1+Лт) ду т у ду
( p(t) • Л9 • дш(х,у) + • £¥(.)) + Ат-РЩ • дШ(х,у) (53)
9 (т2У2 (1+Лт) ду тУ ду ^ Ш(х,у)2 ду ; ( )
Н^т = — дН (54)
* " дт. (54)
5. На основании результатов, получаемых с применением приведенного математического аппарата, представляется возможность построения оптимальных траекторий снижения ВС. На рис. 1, 2, 3 продемонстрированы графики изменения собственно траектории снижения, угла атаки и тяги для принятых в качестве примера: начальной скорости - 150 м/с; начальной массы ВС - 57500 кг; начальной высоты - 3000 м; конечной высоты - 1500 м; дистанции - 15000 м; продолжительности - 180 с.
0,5-104 ЫО4 1,5-104
Civil Aviation High TECHNOLOGIES
Vol. 20, No. 01, 2017
Рис. 1. Изменение траектории: traject (1V0, X0O, Xx0, Xy0, Хд0)<4> Fig. 1. Trajectory change: traject (XV0, Ш, Xx0, Xy0, Хц0)<4>
1щ ffistf XVO. VMO. \кО. Xvfl. ХшШ ' Рис. 2. Изменение угла атаки: traject (XVO, /.()(). /.\0. /.уО. /41О) 9 Fig. 2. Change of angle of attack: traject (XV0, Ш, Xx0, Xy0, Хд0)<9>
fr^ctÖW, ДО, ДО.^ДО'
Рис. 3. Изменение тяги: - traject (XVO, Ш,\хО, XyO, Хц0)<5>
Fig. 3. Change of thrust: traject (XV0, Ш, Xx0, Xy0, Хд0)<5>
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
1. Приведенный выше математический аппарат и построенная математическая модель пространственного движения ВС позволили проанализировать поведение ВС на предпосадочном отрезке полета и построить оптимальную траекторию полета по критерию минимального расхода топлива с закрепленным временем.
2. Сравнение суммарного расхода топлива ВС на полученной оптимальной траектории снижения с классической траекторией, на которой присутствуют прямолинейные участки, поз-
Vol. 20, No. 01, 2017
Civil Aviation High TECHNOLOGIES
волит сделать вывод об экономической эффективности метода постоянного снижения ВС при производстве полетов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Белкин В.А. К проблеме повышения топливной эффективности гражданских самолетов // Научный Вестник МГТУ ГА. 2015. № 219. С. 121-126.
2. Смирнов Н.Н., Чинючин Ю.М. Основы теории технической эксплуатации летательных аппаратов: учебник. М.: МГТУ ГА, 2015. 505 с.
3. Найда В.А. Инженерные основы летно-технической эксплуатации летательных аппаратов. М.: МГТУ ГА, 2003. 108 с.
4. Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. М.: Наука, 1983.
5. Методы анализа нелинейных динамических моделей / М. Холодниок, А. Клич, М. Ку-бичек, М. Марек М.: Мир, 1991.
6. ICAO. Doc. 9931. Руководство по производству полетов в режиме постоянного снижения (CDO). Издание первое - 2010.
7. Официальный сайт федерального авиационного управления США [Электронный ресурс]. URL: http://www.faa.gov/nextgen/library/media/getSmart_PBN.pdf
8. ICAO. Doc. 10013. Эксплуатационные возможности уменьшения расхода топлива и эмиссии. Издание первое - 2014.
9. Указание Министерства гражданской авиации от 20 ноября 1990 г. № 499/у. О введении в действие «Методических рекомендаций по выбору оптимально-потребной энерговооруженности». М.: МГА СССР, 1990. 14 с.
10. Чинючин Ю.М. Технологические процессы технического обслуживания летательных аппаратов: учебник. М.: МГТУ ГА, Университетская книга, 2008. 408 с.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ
Чинючин Юрий Михайлович, профессор, доктор технических наук, заведующий кафедрой технической эксплуатации летательных аппаратов и авиадвигателей МГТУ ГА, [email protected].
Белкин Виктор Александрович, аспирант кафедры технической эксплуатации летательных аппаратов и авиационных двигателей МГТУ ГА, [email protected].
MATHEMATICAL ASPECTS OF AIRCRAFT ENGINES RUNNING OPTIMIZATION FOR MINIMUM FUEL CONSUMPTION WHILE LANDING
Yuriy M. СЫпуисЫп1, Viktor A. Belkin1
Moscow State Technical University of Civil Aviation, Moscow, Russia
ABSTRACT
The consistency of the potential increase of fuel efficiency, based on aircraft maintenance optimization, is mathematically proved. The mathematical apparatus and a set mathematical model of aircraft spatial motion allow to analyze aircraft behavior on the stage before landing and to draw optimal flight path for minimum fuel consumption with fixed time.
For effective problem solving the choice and realization of optimal flight paths are made. The algorithm for the problem of optimal civil aircraft flight control aimed at the most accurate realization of chosen soft path under limited time
Civil Aviation High TECHNOLOGIES
Vol. 20, No. 01, 2017
conditions is proposed. The optimization of the given process is made by solving a point-to-point boundary canonical system based on the Pontryagin maximum principle.
The necessary initial data and conditions for the statement of problem are given. The mathematical model for the simplification of calculations is created and its equivalent representation is given by uniting problems of controls by thrust channels and the angle of attack as the thrust control function. The boundary-value problem is mathematically composed and the analytical apparatus of its solution is presented. Optimal aircraft landing paths reflecting the behavior of the angle of attack and thrust are constructed.
The potential of this method is proved by the economic justifiability and its effectiveness, in particular the comparison of total aircraft fuel consumption on obtained optimal path to the classic path on which there are rectilinear sections what allowed to confirm the conclusion about the economical expedience and effectiveness of the method of aircraft constant landing while making flights.
Key words: fuel efficiency, optimization, constant landing, the Pontryagin maximum principle.
REFERENCES
1. Belkin V.A. K probleme povyisheniya toplivnoy effektivnosti grazhdanskih samoletov [To the problem of increase of fuel efficiency of civil aircraft]. The Scientific Bulletin of the MSTUCA, 2015, no. 219, pp. 121-126. (in Russian)
2. Smirnov N.N., Chinyuchin Yu.M. Osnovyi teorii tehnicheskoy ekspluatatsii letatelnyih ap-paratov. Uchebnik [The Bases of theory of technical exploitation of the aircraft. Textbook]. Moscow, The MSTUCA, 2015, 505 p. (in Russian)
3. Nayda V.A. Inzhenernyie osnovyi letno-tehnicheskoy ekspluatatsii letatelnyih apparatov. [Engineering basics of flight and technical operation of aircraft. Tutorial]. Moscow, The MSTUCA, 2003, 108 p. (in Russian)
4. Pontryagin L.S., Boltyanskiy V.G., Gamkrelidze R.V., Mischenko E.F. Matematich-eskaya teoriya optimalnyih protsessov [The mathematical theory of optimal processes]. Moscow, Izd-vo Nauka [Publishing House of Science], 1983. (in Russian)
5. Holodniok M., Klich A., Kubichek M., Marek M. Metodyi analiza nelineynyih dinamich-eskih modeley [Methods of analysis of nonlinear dynamic models]. Moscow, Izd-vo Mir [Publishing House 'World'], 1991. (in Russian)
6. ICAO. Doc. 9931. Rukovodstvo po proizvodstvu poletov v rezhime postoyannogo snizheniya (CDO). [Management of the operations in a constant decline (CDO)]. Izdanie pervoe [First Edition], 2010. (In Russian).
7. The official website for US Federal Aviation Administration [electronic resource]. URL: http://www.faa.gov/nextgen/library/media/getSmart_PBN.pdf
8. ICAO. Doc. 10013. Ekspluatatsionnyie vozmozhnosti umensheniya rashoda topliva i emissii [Performance possibility of reducing fuel consumption and emissions]. Izdanie pervoe [The First Edition], 2014. (in Russian)
9. Ukazanie Ministerstva grazhdanskoy aviatsii ot 20 noyabrya 1990 g. no. 499/u. O vvedenii v deystvie «Metodicheskih rekomendatsiy po vyiboru optimalno-potrebnoy energovooruzhennosti» [Order of the Ministry of Civil Aviation on November 20, 1990 № 499 / y. On introduction of the "Guidelines for the selection of optimal power availability needs."]. Moscow, 1990, 14 p. (in Russian)
10. Chinyuchin Yu.M. Tehnologicheskie protsessyi tehnicheskogo obsluzhivaniya letatelnyih apparatov. Uchebnik [Technological Processes of Technical Servicing of aircrafts: a textbook]. Moscow, The MSTUCA, Universitetskaya kniga. 2008. (in Russian)
INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
Chinyuchin Yuriy Michaylovich, Professor, Doctor of Science, Head of the Aircraft and Aircraft Engines Maintenance Chair, Moscow State Technical University of Civil Aviation, yu [email protected].
Belkin Victor Alexandrovich, Post Graduate of the Aircraft and Aircraft Engines Maintenance Chair, Moscow State Technical University of Civil Aviation, [email protected].
