CC BY
51
УДК 53.088:536.2.023
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ПРИ ИЗМЕРЕНИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ТЕМПЕРАТУРОПРОВОДНОСТИ МЕТОДОМ, АНАЛОГИЧНЫМ РЕГУЛЯРНОМУ РЕЖИМУ 1 РОДА
С.В. Пономарев, П.В. Балабанов
Кафедра “Автоматизированные системы и приборы”, ТГТУ
Представлена членом редколлегии профессором С.В. Мищенко
Ключевые слова и фразы: погрешность косвенного измерения; погрешность прямого измерения; систематическая погрешность; случайная погрешность; температуропроводность; теплопроводность.
Аннотация: Для ранее описанного метода измерения теплофизических свойств регенеративных продуктов, аналогичного регулярному режиму 1 рода, приведена оценка погрешности измерения теплопроводности и температуропроводности, а также даны рекомендации по уменьшению систематической и случайной составляющих погрешности измерения.
Обозначения
а - температуропроводность, м2/с;
1г, 12 , 13 ,14 - координаты границ слоев измерительного устройства, м;
Т0 - температура термостатирования, К;
Т - среднеинтегральная температура нагревателя, К;
Тст - стационарная среднеинтегральная температура нагревателя, К;
Измерению значения любой физической величины неизбежно сопутствуют погрешности, возникающие по ряду причин на различных этапах измерения или обработки экспериментальных данных. Данная статья посвящена оценке погрешности теплопроводности и температуропроводности, измеренных по методу, описанному в работе [1].
Суть этого метода заключается в подводе объемной плотности Wl к источнику теплоты за счет подачи постоянной мощности на плоский нагреватель, расположенный между образцами исследуемого материала и отделенный от них плоскими защитными оболочками, образующими слои в физической модели измерительного устройства. На внешних поверхностях исследуемых образцов поддерживается постоянная температура Т0 . Среднеинтегральная температура Т нагревателя измеряется термометром сопротивления, изготовленным из медной проволоки, навитой по спирали Архимеда. При достижении постоянства во времени среднеинтегральной температуры Тст регистрируется разность Тст - Т0, и теплопроводность X исследуемого вещества вычисляется по формуле
- объемная плотность источника тепла, Вт/м3;
%(1+а у2 - квантиль интегральной функции
нормированного нормального распределения;
X - коэффициент теплопроводности, Вт/(м-К);
0 - безразмерная температура;
Го - число Фурье.
X =------—---------м 14 -13)-----------------, (1)
ЩГГ (Тст - Т0 ) - :3т3/1 -хЧ /2 - /1 ) +/2 -/3 Щ1/1 3 Х1 х2
где Х1, Х2 , Х3 - известные теплопроводности слоев измерительного устройства;
/1, /2 , /3, /4 - координаты границ слоев измерительного устройства.
После достижения стационарной температуры Тст нагреватель отключают и в моменты времени т у с шагом по времени Дх регистрируют разность температур (Т - Т0)у до момента, когда Т - Т00 станет приближенно равна нулю. Для каждого х у рассчитывают значение безразмерной температуры
0у = (т - Т) )у I(тст - Т)) и число Фурье Го у = аъ ху I/2 , где аъ - значение температуропроводности третьего слоя. Затем находят значение е2 как тангенс угла наклона прямолинейного участка зависимости 1п(0у ) = /(Боу), у = 1,2,...,к.
2
Подставив найденное значение е1 в задачу Штурма-Лиувилля [1], численным методом подбирают значение искомой температуропроводности а, удовлетворяющее указанной задаче.
Как видно из формулы (1), при вычислении значения теплопроводности источниками погрешностей являются:
- погрешности прямого измерения величин /1, /2 , /3 , /4 ;
- погрешности задания свойств слоев Х1, Х2 , Х3 ;
- погрешности вычисления значения объемной плотности источника тепла Щ;
- погрешности измерения температур Тст и Т.
Предположим, что свойства слоев Х1, Х2, Х3 хорошо известны, а остальные величины, входящие в формулу (1) являются результатами прямых измерений. Найдем погрешность определения теплопроводности как результата косвенно-
го измерения. Запишем уравнение (1) в общем виде
х=г (/1, /2, /3, /4, , Т7 - т ). (2)
Согласно [2] результат косвенного измерения записывается в виде
X = Х±(рстх, Р = а ,
где - среднее арифметическое значение теплопроводности, полученное при подстановке в формулу (1) средних арифметических значений аргументов; -
значение коэффициента Стьюдента, определяемое при заданной доверительной вероятности Р = а; стх - среднее квадратическое отклонение средних арифметических, определяемое по формуле
CTb =
Слагаемые ЕE,: , E
W
Е e? + eW + E
lj Wl
j=l
E,
(Tct -T0 )
(3)
j=1
(Tct -T0 )
называются частными погрешностями
измерения и равны произведению частных производных уравнения (2) косвенного измерения на средние квадратические отклонения средних арифметических значений результатов измерения соответствующих аргументов
( 5^ 'ї
Ei. =
Sl,
V J J
EW1 =
°l. , j =1,4;
дF
E,
дW1 J Wl
SF 'ї
'(t-T0 )
s(t - T) )J (T-T0)
(4)
(5)
(6)
Значение частных производных вычисляется для средних арифметических значений аргументов.
Таким образом, проведя п измерений величин, входящих в формулу (2), подсчитав их средние арифметические значения и среднее квадратическое отклонение среднего арифметического, можно вычислить значение соответствующих частных производных и частных погрешностей
- ll
si1
к3 [l4 -13 ]
к3 - у ^3_ к? /3 кК
+ к? (l4 -13 )(tct - T0 )) 1
J bL (Tct - T0)+ll2 ^ - X ^ 1+ll fl? -13 -^ l ]W1 v ct 0/ 1 к2 /3 к1 _ 1 f2 3 к2 ■
(7)
SF
Sl2
-к3 [l4 -13]
1 -
—(tct - T0)-13 11 +к311 -13 +12 fl-^if
Wll/ CT 0f /3 к1 1 к? 1 3 2 V к2 J]
(8)
SF
к314 -
(Tct - T0 )-^3 "T311 -T"3 (l2 -11 ) +l
Wlll
' к3 к1 к2
^(ст - T0)-x ifll -b? (i? - ll )+(l?-13 )}
(9)
SF
Sl4 к3 (t ~ ' 1 / к3 , к3
WH' ст" 0/ /3 Ті 1 к2
■(Tct - T0 )- ^3 T3l1 -Ь3(l2 -11 ) + (l2 -13 )
(10)
к
3
dF
к2 (4 - h ) (тст - T0 ) Д
dW,
dF
-*3 ( -3 )/(Wih)
(12)
д(Тст - To)
После этого вычисляется среднее квадратическое отклонение ст- по форму-
X ^
ле (3) и доверительный интервал ±tpстх. Результат измерения записывается в
виде X = X ± tp стх , Р = а .
Следующие рекомендации позволят уменьшить погрешности измерения теплопроводности:
1) при многократном измерении величин /у среднее квадратическое отклонение среднего арифметического ст— уменьшится.
^ у
2) при достаточно стабильном напряжении питания нагревателя погрешность вычисления Щ1 будет мала.
3) погрешности, возникающие из-за не учета наличия контактных тепловых сопротивлений между слоями, из-за допущения о равномерности теплового потока, из-за недостаточного знания действительных значений свойств слоев X!, X2 , Xз, приводят к возникновению систематической погрешности, устранить которую можно введением поправки.
Нахождение поправки осуществляется следующим образом. Зная действительное значение X» какого-либо вещества, из экспериментов с этим веществом находят экспериментальное значение теплопроводности X3. Поправка q вычисляется из выражения q = Xд - X3. Исправленный результат измерения получается прибавлением к неисправленному результату поправки.
Показанная выше методика использовалась при обработке результатов измерения свойств полиметилметакрилата по ГОСТ 15809-70. В результате измерений была получена поправка q = -0,026 Вт/(м-К). При обработке экспериментальных результатов измерения получено следующее исправленное значение теплопроводности X = 0,195 ±0,01 Вт/(м-К), Р = 95 %. Полученную поправку мы использовали для исправления результатов измерения свойств текстолита по ГОСТ 2910-74. В результате получен следующий результат X = 0,313 ±0,015 Вт/(м-К). Р = 95 %. Сравнивая полученные данные с табличными данными, можно сделать вывод, что погрешность измерения свойств теплопроводности в обоих случаях не превышает 5 %.
Проанализируем погрешности, возникающие при определении температуропроводности. К ним относятся:
1) погрешность измерения перепада температур Т - Т0 ;
2) погрешность, возникающая при вычислении числа Фурье Бо у = а3 х у //| из-за некоторого несоответствия значения 03, принятого в расчетах, действительному значению;
1
3) погрешность вычисления первого собственного значения 2 1п © у+1 - 1п © у
8 Ро у+1 - Бо у ’
2
4) при подстановке 81 в задачу Штурма-Лиувилля и численном ее решении, возникает некоторая погрешность численного метода. Но при достаточно малом шаге вычислений и использовании устойчивого численного метода можно пренебречь этой погрешностью.
Экспериментальные данные показывают, что погрешность определения температуропроводности будет иметь случайный характер и определяется погрешностью нахождения 82 . Оценим погрешность измерения температуропроводности как результата прямых измерений. Обработка прямых измерений ведется в соответствии с ГОСТ 8.207-76. Для оценки погрешности измерения температуропроводности было проведено п = 15 измерений температуропроводности полиме-тилметакрилата, результаты которых приведены в таблице. Величина а есть среднее арифметическое значение температуропроводности, полученное по результатам 15 измерений.
Как уже было сказано, систематическая составляющая погрешности в результатах измерения температуропроводности очень мала, поэтому вводить поправку в результаты измерения нет нужды. Дальнейшая обработка результатов измерения выполняется в следующей последовательности.
1. Вычисляем среднее арифметическое значение а
15
a = ^ ai = 1,04 -10 7, м2/с. i=1
2. Вычисляем среднее квадратическое отклонение ряда наблюдений Яа и среднее квадратическое отклонение среднего арифметического ■%:
Sa =
15
—\2
Kai- а)
i=1
n -1
= 0,074 -10-7 м2/с, Sa = sjjn = 0,02 -10-7 м2/с.
3. Проверяем гипотезу о нормальности распределения результатов измерения на основании двух критериев [2].
Таблица
№ опыта 1 2 3 4 5 6 7 8 9
а -107, м2/с 1,29 1,01 1,08 0,98 1,06 1,05 1,03 1,08 0,99
|ai - a| -107 , м2/с 0,25 0,03 0,04 0,05 0,02 0,01 0,01 0,04 0,05
№ опыта 10 11 12 13 14 15
а -107, м2/с 1,01 1,03 0,99 1,03 1,01 1,03
a - a| -107 , м2/с 0,03 0,01 0,05 0,02 0,03 0,01
Первый критерий основан на вычислении статистики da =
= Хк -а\ \пХ(а -а)2 и проверке, лежит ли вычисленное значение в ин-
г=1 / \ г=1
тервале (11^/2 < ёа < dql|2, где ^-С1112, dq1 /2 - квантили распределения статистики ё, определяемые из таблиц по значению величины уровня значимости ql. Поскольку проверка гипотезы основывается на опытных данных, то при принятии решения о правдоподобности гипотезы всегда возможны ошибки. Отвергая в действительности верную гипотезу, мы совершаем ошибку первого рода. Вероятность этой ошибки и определяет величина ql. На основании опытных данных было получено ёа = 0,704, = 0,6981, dql|2 = 0,904 при ql = 0,05, по-
этому, в соответствии с первым критерием, гипотеза о нормальности результатов измерения температуропроводности принимается.
На основании второго критерия гипотеза о нормальности распределения принимается, если не более та разностей |аг - а| превосходят уровень 2(1+а )/2 $а, где 2(1+а )/2 - квантиль интегральной функции нормированного
нормального распределения, определяемая из таблицы по значению величин та и а . Значение этих величин находится из таблиц при заданном числе измерений и уровне значимости. Для наших данных было получено та = 1 и а= 0,98,
—7 2
20 99 = 2,3267, 10 99^а = 0,1722 -10 м/с. Анализируя данные табл., приходим
к выводу, что и по второму критерию распределение результатов измерения подчиняется нормальному закону распределения.
4. Для проверки того, содержит ли результат измерения грубую погрешность, вычисляем значение критериев:
шал. ^ 7 лллллл 7
Sa Sa
где amax, amin - максимальное и минимальное значение результата измерения, проверяемого на наличие грубой погрешности. Если amax > vmax , то результат amax следует рассматривать, как содержащий грубую погрешность. Проверкой установлено, что первый результат измерения содержит грубую погрешность и должен быть исключен из ряда экспериментальных данных. Пересчитав среднее арифметическое, среднее квадратическое отклонение отдельного результата измерения и среднее квадратическое отклонение среднего арифметического результатов, получим: a = 1,03-10-7 м2/с, Sa = 0,034-10-7 м2/с, Sa = 0,009-10-7 м2/с.
5. Для доверительной вероятности P = 95 % определяем значение довери-
t S-
lpkJa
t S
lp° а
тельных границ среднего арифметического tpSa = 2,131-0,009-10 7 =
—7 2 —7
= 0,019 10 м/с и единичного результата измерения tvSа = 2,131-0,034-10 =
= 0,072 •Ю-7 м2/с.
Зная действительное значение температуропроводности полиметилметакри-
д
—7 2
лата ад = l, 06 •Ю м /с, можно рассчитать:
- случайную относительную погрешность отдельных результатов измерения
tpSa 0 072 -10-7
50л = -p-°-100 % = -2----------100 % И 7 % ;
0д 1,06 -10-7
- случайную относительную погрешность среднего арифметического результата измерения
tPSa 0 019-10-7
§сл = 100 % = _>----------100 % И 2 %;
0д 1,06 -10-7
- систематическую относительную погрешность среднего арифметического результата измерения
8- = ^ 100 % = 1,06-10-7 -1,03-10-7 100 0% И 3 0%.
0д 1,06 -10-7
Таким образом, можно сделать следующие выводы. В результате измерения теплопроводности по методу [1] преобладает систематическая погрешность, которая устраняется путем введения поправки в результат измерения. После введения поправки погрешность вычисления теплопроводности не превысит 5 %. В результат измерения температуропроводности поправку вводить не требуется. Для получения более точного результата измерения следует проводить несколько измерений температуропроводности. Как показано на примере полиметилметак-рилата, при 15 измерениях случайная относительная погрешность отдельного ре-зультатата измерения температуропроводности не превышает 7 %, а случайная относительная погрешность среднего арифметического результата измерения не превышает 2 %.
Список литературы
1. Математическая модель метода и устройства для измерения теплофизических свойств регенеративных веществ / П.В. Балабанов, С.В. Пономарев, Е.С. Пономарева // Труды ТГТУ: Сборник научных статей молодых ученых и студентов. 2002. - Вып. 11. - С. 13 - 17.
2. Бурдун Г. Д., Марков Б.Н. Основы метрологии. - М.: Изд-во стандартов, 1985. - 256 с.
Mathematical Processing of Results when Measuring Thermal Conductivity and Diffusivity Using the Method Similar to Regular Mode of 1 Type
S.V. Ponomarev, P.V. Balabanov
Department “Automated Systems and Devices ", TSTU
Key words and phrases: indirect measurement error; direct measurement error; systematic error; unbiased error; thermal conductivity and diffusivity.
Abstract: For the method of measuring thermo-physical properties of regenerative products evaluation of measurement error of thermal conductivity and diffusivity as well as recommendations on reduction in systematic and unbiased components of measurement error are given.
Matematische Bearbeitung der Ergebnisse bei der Messung der Warmeleitfahigkeit und der Temperaturleitfahigkeit von der Methode, die dem regelmaBigen Regime des ersten Types ahnlich ist
Zusammenfassung: Fur die Methode der Messung der warme-physikalischen Eigenschaften der Regenerativprodukte ist die Einschatzung des Fehlers der Messung der Warmeleitfahigkeit und der Temperaturleitfahigkeit angefuhrt. Es sind die Empfeh-lungen nach der Verkleinerung der systematischen und zufalligen Komponenten des Mefifehlers gegeben.
Traitement mathematique des resultats au cours des mesures de la conductibilite calorifique et thermique par la methode analogique au regime regulier du premier ordre
Resume: Pour la methode de la mesure des proprietes thermophysiques des pro-duits regeneratifs sont donnees revaluation des erreurs de la mesure de la conductibilite calorifique et thermique et les recommandations sur la diminution des composants systematiques et accidentelles occasitionnels des erreurs des mesures.
