CC BY
25
Кривулин Н.П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВОЛОКОННО-ОПТИЧЕСКОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ ПРЕМЕЩЕНИЙ С УПРАВЛЯЮЩИМ ЭЛЕМНТОМ В ВИДЕ СФЕРИЧЕСКОЙ ЛИНЗОЙ
Выведена математическая модель волоконно-оптического преобразователя перемещения (ВОПП) со сферической линзой, перемещающейся под действием измеряемой физической величины в разрыве волоконнооптического тракта.
Одной из важных проблем при проектировании волоконно-оптического преобразователя является определение его конструктивных параметров. Решением данной проблемы может служить проведение математического моделирования.
1 Постановка задачи
В работе [ 1 ] предложена методика расчета оптической части волоконно-оптического преобразователя перемещения с оптическим модулятором в виде сферической линзы, перемещающейся под действием измеряемой физической величины в разрыве волоконно-оптического тракта. Для определения конструктивных параметров оптической части ВОПП требуется смоделировать процесс работы.
2 Математическая модель
Рассмотрим ВОПП, где в качестве управляющего элемента выступает сферическая линза радиуса К с показателем преломления п2 (рисунок 1).
Рисунок 1 - Расчетно-конструктивная схема ВОПП
Для определения распределения светового потока необходимо построить ход лучей предлагаемого ВОПП. Рассмотрим систему координат в пространстве 0ХУ2, как показано на рисунке 2.
X
Рисунок 2 - Геометрическое построение к заданию координат точки М
Точка М(х, у, z) задана своими координатами в ОХУУУ. Определены следующие преобразования координат:
1 Параллельный перенос.
Найдены координаты точки М' (хггу' гz'), которая определяется путем параллельного переноса точки М(хг уг г) на вектор ё (х0 г у0 г г0) (рисунок 3).
Рисунок 3 - Перенос точки М В векторном виде:
дм ' = ОМ + ё . (1)
В координатной форме (1) примет вид: X' = х + хп
(2)
У = У + Уо
г = г + г
В матричной форме равенства (1), (2) примут вид: X =ЕХ+ё,
(1 0 0^1
где Е =
0 1 о 0 0 1
единичная матрица.
2 Математическое описание вращений.
Известно ортогональное преобразование:
х' = Ах , (3)
а11а12а13 ^
где а = аа22а2з
ч а31а32а33 у
В трехмерном пространстве сохраняются модули векторов, углы между векторами. Преобразование (3) называется вращением, если det(А)=1, т.е. сохраняет ориентацию векторов в пространстве. Вращение,
описанное выражением 3, поворачивает радиус-вектор ом каждой точки пространства на угол 5 вокруг
направленной оси С (с, С, С) (рисунок 4) , равно:
Со3 = — [гі( А) - 1] = — (ац + а22 + а33 -1)
(4)
>92 = ■
’ 9 = '
2ап 3 2ап 3 2ап 3
где с1гс2гСз~ направляющее косинусы положительной оси вращения.
Рисунок 4 - Поворот радиус вектора точки М вокруг направленной оси С
Направление положительной оси вращения - это направление собственного вектора С© + С2в2 + С©3 , где
(©1, ©2, ©3) - ортонормированный базис пространства OXYZ, соответствующий собственному значению +1 -
оператора, заданного матрицей А. В выражении (4) 5 > 0 соответствует вращению правого винта, ввора-
чиваемого в направлении положительной оси вращения. Матрица преобразования А, соответствующая данному вращению, описываемому числами 5, С1, Сг, Сз, равно:
(5)
(1 0 0 > Г с2 с1 С1С2 с1с3 ґ 0 с3 с с2
А = соа3 0 1 0 + (1 - соэ3) с2с1 с22 с2сз + ап 3 с3 0 -с1
ч 0 0 1 У ч С3С1 с3с2 с2 У ч-С2 с1 0 У
Введем четыре параметра Эйлера:
.8 .8 .8 8 х = с •эп —, л = с •эп^, ° = с •Э|1 ^, р = соэ— •
Определим матрицу вращения:
- Л -о2 + р2 2(Х/л - ор) 2(иЛ + /лр)
2(Х/л + ор) л2 - о2 - к2 + р2 2(ло - Хр)
(6)
А =
2(иХ - /лр) 2(ли + Хр) и2 - X2 - /л2 + р2
(7)
При этом А, ц, р, и удовлетворяют условию XX +Л +и2+р2 = 1.
Частные случаи:
а) поворот на угол , вокруг оси ОХ определяется матрицей (рисунок 5):
а - а
а - а
а - а
Рисунок 5 - Поворот на угол
вокруг оси ОХ
б) поворот на угол
вокруг оси ОУ определяется матрицей:
ґг
А,
ап і
0 -ап2^
1 0
1 соаі
А,
)=
з) поворот на угол | - вокруг оси ОУ определяется матрицей:
( соа| - ап і 0Л а п і соэ| 0
ч 0 0 1 х
Для построения математической модели распространения луча в ВОПП с управляющим элементом в виде сферической линзы введена система координат ОХУУ (рисунок 6). Плоскости а / / р - плоскости торцов подводящего оптического волокна (ПОВ) и отводящего оптического волокна (ООВ) соответственно. Плоскость а совпадает с плоскостью ОУУ, плоскость р относительно плоскости а находится на расстоянии Г1+Г2.
Рисунок 6 - Ход луча в ВОПП
В выбранной системе координат определено уравнение геометрических объектов:
а) уравнение плоскостей:
а : X = 0 , р : X = г + г2 . (8)
б) области торцов:
- ПОВ - плоскость РОУ:
|х = 0
\ у2 + г2 < — Г 4
(9)
ООВ
плоскость ООУ:
(10)
IX = ^ + Г2 \ 2 2 ^ '
I у2 + г2 <-с-I 4
в) уравнение поверхности сферической линзы:
®(0', Я): (х - г )2 + (у - У)2 + (г - г')2 = Я2 , (11)
где К - радиус сферической линзы.
Центр сферической линзы находится в точке 0'(г, 0, г') . Так как перемещение вдоль оси ОУ не рассматриваем, то координата по оси ОУ: у = 0 .
Уравнение луча определим, как уравнение прямой, записанное в параметрическом виде:
X = ООБ^ • ( + х0
У = ООБ^ • £ + у , (12)
г = ооб^ • £ + %
где I(оов^, ООв^, ООв^) - направляющий вектор прямой; ООБ^ООБ^, ООЭ^ - направляющие косинусы вектора прямой. Уравнение прямой (9) в векторной форме имеет вид:
OM = I • t + OM0 , (13)
где OM (X, y, z) , OM0 - радиусы векторы точек M и M'.
Рассмотрение хода луча будем проводить по следующей схеме:
1 Определим координаты точки Mi(xi, yi, zi) как точку пересечения с линзой луча, вышедшего из точки Mo(Xo, yo, zo) торца ПОВ.
Пусть /(cos, cos, cos^) - направляющий вектор луча MqM., . Определение направляющих косинусов
этого луча будет рассмотрено при моделировании.
М = ММ ^ ю(О, R) удовлетворяет системе уравнений
х = cosa ■ t + R0; y = cosfl ■ t + y0; z = cosy ■ t + z0;
(x - x )2 + (y - y ')2 + (z - z )2 = R2
Подставляя первые три уравнения системы в последнее, получим уравнение второй степени относительно t:
t2 + 2x - X’) ■ cosa + (y0 - y ) cos^ + (z0 - z) cosyj ■ t +
(xo - x f +(y0 - y’)2 +(zo - rf - R2 = 0
Или в векторной форме t2 + 2 (OM0 ■ / )■ t +|jO’Mg| - R2 j = 0 , равно:
t = ±^R2 -|oM0|2 +(o M0 ■ /)2 -O M0 ■ / , (14)
где знак у корня выбирается из условия:
X < X , , (15)
где x - координата по оси OX точки M ;
X, - координата по оси ОХ точки O’ .
Координаты точки M1 (X, y, z), с учетом условия (10) в векторной форме:
ф2 - O'Mо|2 + (o'MО • I)
ом =±JR -\om0\ +(om0 • і) -Om0 • I + omО .(16)
2 Определим угол падения а\ и угол отражения р^ , которые составляет падающий луч с вектором нормали касательной плоскости Тк в точке М.| (х, у, г1). В качестве вектора нормали возьмем вектор
О'М =|*1 - х’, У - У, ^ (см. рисунки 5, 6), тогда:
а; = arccos-
I • OM
I •
(17)
п. ап P\
Используя соотношение —- =-------------- , находим:
п2 ап а\
рл = агсап ^ — ап ал |. (18)
3 Найдем координаты точки М2(х2, у, г2) - точки выхода из сферической линзы как координаты радиуса зектора т. Ы2 (рисунок 7):
ОМ 2 = ОО + ОМ 2 . (19)
2
Рисунок 7 - Ход лучей в плоскости ХОZ
Координаты вектора О М 2 найдем путем вращения вектора О М1 на угол (ж — 2Д) вокруг направленной оси, определяемой вектором С (с, С, С) , который находится как векторное произведение векторов О' М1 и
I :
С =
[О'М , I ]
[О'М , I ]
(20)
тогда
О М 2 = А • ОМ 1, (21)
где матрица вращения определяется выражениями (5), (7).
Окончательно, получим:
О М 2 = А • О М і + О М 2 .
(22)
4 Найдем направление вектора I || М2М0 вращением вектора О М2 на угол п - а вокруг направленной оси, определяемой вектором С(С, С2, С) , который определяется аналогично выражению (20):
С =
О М1, М М2]
О М1, М М2
(23)
тогда
I = А • О М2 , (24)
где матрица А есть матрица вращения (7), а в выражении (6) вместо С2,С2,Сз подставляем координаты
зектора с(с, С’ С) , которые определяются из равенства (21).
5 Найдем изображение точки Мо (хо, уо, Zo) - точку М0(Х0, у0, г0) в плоскости р как точку пересечения
прямой М 2.М 0ІІ I , где I - направляющий вектор прямой М2М , координаты которого находятся по формуле (1.24) :
М0 = М2М0ГцЗ . (25)
Для этого найдем уравнение прямой М2М0 проходящей через точку M2 параллельно вектору I :
- в параметрическом виде уравнение прямой имеет вид:
X = С • t + Х2
у = С2 • ^ + у2 . (26)
г = С • t + г2
- в координатной форме система уравнений относительно искомых координат х0, у0, г0 точки М0 с учетом (8), (2 6) примет вид:
х = с, • f + х2 у = С2 • t + у 2 г = Сз • t + г2 х = г + Гп
(27)
Г + г9 - х9
Из первого и последнего уравнений системы (27) найдем С: t = —---2----2
Подставив полученное значение в (26), получим координаты точки Мс
X = Г + Го
/o = %Г, + Гг _ X2) + У2 • (28)
ci
Zo = %г, + Гг _ Хг) + Z2 ci
, r ^ r _x ____
Равенство (19) в векторной форме имеет вид: OM0 = —-----------2--2С + OM 2 *
С
Для построение математической модели ВОПП с управляющим элементом в виде сферической линзы:
1 Выбирается точка M0(x0, y, z0) G POV на торце ПОВ следующим образом:
х0 = 0
y = р- cos^ , (2 9)
z =р- sin ^
где фо изменяется от 0 до 2п, р изменяется от 0 до dc (см. рисунок 1).
2
2 Для каждой точки Mo(xo, yo, zo) (29) строится конус, образующие которого есть лучи, выходящие из
т. М0 и составляющие угол ©WA с осью ОХ (рисунок 8) .
Z
Л/о
7/ 4 t ' і ' \ і і
/Г"— / 1 : х і »
і f
Рисунок 8 - Исходящий конус лучей
Направляющие вектора I находятся путем вращения вектора I о(СОБ© МА,0,(эп ©д/д) вокруг оси ОХ на заданный угол ф (рисунок 9) .
Рисунок 9 - Направляющие вектора образующих конуса свечения Для заданного ф найдем I (ф) , используя матрицу вращения (7):
/(ф) = А о . (30)
3 Для каждого направления луча I (ф), исходящего из точки Мо, находим точку Мі (ф), лежащую на пересечении луча и сферы (15).
4 Для каждой из полученных точек находим точки ПОВ, из которых лучи падают в точку Мі (ф). Для
этого найдем направляющие вектора т - образующих конуса (рисунок 10).
г
Рисунок 10 - Входящее излучение в точку Мі
Вектор т образуется вращением вектора Iо на угол у = 0...2^ .
т(у) = -А -/о . (31)
Уравнение образующих конуса имеют вид:
Х-*_ у-*_ 2-22 (32)
т,(м) т2М тМ
Определим, какие лучи с торца волокна попадают в точку И1(к1,у1,21) из совместного решения уравнений (8) и (32) :
у + 2 < — 4
У - Уі
тМ) тгМ) тз(м)
5 Для каждой из точек торца ПОВ удовлетворяющих выражению (9) точки Мо находим ее изображение (17) - (29) Мо(х0, Уо, 20) .
6 Получаем множество точек М0(Х0, У0, 2^) , радиус-векторы которых есть ОМ о( х0, у0, 20) *
Введем функцию I {ОМ о) , определяемую следующим образом:
I (ОМ о) =
о, ОМ 0 - ОМ і (ОМо)
ОМ0-ОМ
4
где ОО (^ + Г2, о, о) - радиус вектор центра О'' ООВ; і(ОМ о) - функция яркости
в точке
М г
прохождения сферической линзы. Определим функцию 1(ОМ о) * Пусть Во - яркость в точке Мо(Хо, Уо, Zo)f расположенной в области торца ПОВ. После преломления в точке Мх(х1г у1г z1) потеря яркости определяется по формуле Френеля:
1 ( ап2(«1 -р) tg2(a1 -р)
* = ~ . о . .--^ + -------------
2 ^ зп2(а1 + р) tg2(a1 + р)
(33)
Тогда яркость после преломления в точке М1 будет иметь вид:
В1 = (1 -т)В0 , (34)
где Во - яркость в точке Мо*
После преломления в точке М2 (Х2, У2, Z2) яркость будет определяться аналогично (33), (34):
В2 = (1 - т)В| * (35)
Таким образом, подставив (34) в (35),
В 2 = (1 -*)2 в,
О *
подставив (34) в (35), получим выражение для яркости в точке М0(Х0, У0,2$) : Коэффициент т=т(ф) есть функция от угла ф, который определяет направление луча из
точки Мо(хо, Уо, Zo) на сферическую линзу (см. рисунок 7). Функция 1 (ОМ о) будет определяться выражением: 1 (ОМ о) = (1 -т(ОМ 0))2 ° *
Определим функцию ф(2) = I (ОМ о, 2)Сэ , где z = z' - центр сферической линзы, ОСУ - область ООВ.
ООУ
Все приведенные расчеты были выполнены для статического положения линзы. Изменяя параметр z' получаем расчет для произвольного положения линзы, которая перемещается вдоль оси О^*
3 Принцип работы преобразователя перемещения
Лучи света 4 и 5 (рисунок 1) излучающего торца ПОВ 1 выходят под апертурным углом 0т и падают под
углами а1 и а2 на сферическую поверхность линзы 2, где преломляются, проходят через тело линзы под
углами р1 и в2 соответственно, вторично падают на противоположную поверхность линзы 2 под углами в1 и в 2, преломляются и под углами у1 и у2 фокусируются в направлении приемного торца ООВ 3. Изображение излучающего торца ПОВ 1 в плоскости А-А, где расположен приемный торец ООВ 3, представляет собой круглое пятно некоторой площади 5Ш*
При перемещении линзы вверх или вниз относительно ОВ будет меняться углы а1 и а2, в1 и в 2, У1 и У1, что ведет к изменению 5из, так как увеличивается освещенность приемного торца ООВ и, соответственно, уменьшению интенсивности светового потока, передаваемого по оптическому каналу.
Заключение
Данное моделирование, при различных критериях оптимальности ВОПП, например, таких как чувствительность изменения светового потока к перемещению, глубины модуляции, позволяет определить оптимальные конструктивных параметры ВОПП: расстояние Г1 от торца ПОВ до центра линзы, Г2 от центра линзы до торца ООВ, радиус линзы К, диаметр сердцевины оптоволокна ^*
ЛИТЕРАТУРА
1* Зуев В.Д., Кривулин Н.П., Мурашкина Т.И. Волоконно-оптический преобразователь перемещений со сферической линзой
2* Пивкин А.Г., Мурашкина Т.И. Математические модели базовых аттенюаторных волоконно-оптических преобразователей перемещения. // Известия ВУЗов. Приборостроение. - 2006. - №8.
3* Разработка теории распределения светового потока в пространстве волоконно-оптических преобразователей физических величин с открытым оптическим каналом / Рук. Мурашкина Т.И. // Отчет по проекту (промежуточный) от 27.06.2006 за 1-й этап аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2006-2008 годы)» подраздел 2.1.2 «Проведение фундаментальных исследований в области технических наук». - №ГР 01.2.006 10437.
4* Разработка теории распределения светового потока в пространстве волоконно-оптических преобразователей физических величин с открытым оптическим каналом / Рук. Мурашкина Т.И. // Отчет по проекту (годовой) от 19.12.2006 за 2-й этап аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2006-2008 годы)» подраздел 2.1.2 «Проведение фундаментальных исследований в области технических наук». - №ГР 01.2.006 10437.
х
2
после
