Моделирование распределения интенсивности светового потока в пространстве волоконно-оптического преобразователя перемещений с управляющим элементом в виде сферической линзы Текст научной статьи по специальности «Физика»

Кривулин Н.П. , Волков В.С., Зуев В.Д. МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ИНТЕНСИВНОСТИ СВЕТОВОГО ПОТОКА В ПРОСТРАНСТВЕ ВОЛОКОННО-ОПТИЧЕСКОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ С УПРАВЛЯЮЩИМ ЭЛЕМЕНТОМ В ВИДЕ СФЕРИЧЕСКОЙ ЛИНЗЫ

Потребность в датчиках стремительно растет в связи с бурным развитием систем управления, контроля, диагностики, аварийной защиты и т.п. Помимо высоких метрологических характеристик датчики должны обладать высокой надежностью, долговечностью, стабильностью, малыми габаритами, массой и энергопотреблением. Этим требованиям, в первую очередь, удовлетворяют волоконно-оптические датчики. Поэтому создание отечественных волоконно-оптических преобразователей (ВОП), как обязательных элементов современных информационно - управляющих систем является актуальной задачей.

Рассмотрим волоконно-оптический преобразователь перемещения (ВОПП), где в качестве управляющего элемента выступает сферическая линза радиуса R с показателем преломления п2 (рисунок 1).

Рисунок 1- Геометрическое построение к выводу аналитических зависимостей для ВОПП со сферической линзой

Лучи света 4 и 5 с излучающего торца ПОВ 1 выходят под апертурным углом 0т и падают под углами ах и а2 на сферическую поверхность линзы 2, где преломляются, проходят через тело линзы под углами (Зх и р 2 соответственно, вторично падают на противоположную поверхность линзы 2 под углами (Зх и р2, преломляются и под углами ух и у2 фокусируются в направлении приемного торца отводящего оптического волокна (ООВ) 3. Требуется по заданному световому потоку Фо на подводящем оптическом волокне (ПОВ) найти распределение светового потока Ф на ООВ.

Для построения математической модели распространения луча в ВОПП с управляющим элементом в виде сферической линзы введена система координат OXYZ (рисунок 2).

Плоскости а //р - плоскости торцов ПОВ и ООВ соответственно. Плоскость а совпадает с плоскостью OYZ, плоскость р отстоит от плоскости а на расстоянии гх+г2.

Рисунок 2 - Ход луча в ВОПП

В выбранной системе координат определено уравнение геометрических объектов:

а) Уравнение плоскостей:

а : X = 0 (1)

Р : X = г + г2 (2)

б) Области торцов:

- ПОВ - плоскость РОУ:

|х = 0

V + 22 < £ (3)

Г 4

- ООВ - плоскость ООУ:

2 (4)

I у2 + г2 < —

|у 4

в) Уравнение поверхности сферической линзы:

®(0', Я) : (х - л,)2 + (у - у')2 + (г - г')2 = Я2

где К - радиус сферической линзы.

Уравнение прямой, которая задает ход луча, в векторной форме имеет вид:

ом =1 + ом

где ОМ (х, у, г) , ОМ0 - радиусы векторы точек М и М'.

Построение хода луча будем проводить по следующей схеме:

1 Определим координаты точки Мг(х1г у1г 21) как точку пересечения с линзой луча, вышедшего из точки Мо(Хо, уо, 2о) торца ПОВ.

Пусть I (008^,008^2,008^) - направляющий вектор луча мм .

Тогда Мл = М0М <°(О , К) и находится из совместного решения уравнений (5) и (6).

Координаты точки М1 (х, у, г ), с учетом условия Х1<Г1, в векторной форме

-4

ОМ -±. ІЙ2 - |ОМ0| + (оМ0 ■ /)- - ОМ0 ■ I + ом0

2 Определим угол паденияа\ и угол отражения Д’ , которые составляет падающий луч с вектором нормали касательной плоскости ТЛ в точке М1 (X, У, ^) ■ В качестве вектора нормали возьмем вектор (см. ри-

сунки 1.19, 1.20) ОМ1 - |х, - X’, у - у, ^ , тогда

а\ - агссов-

/ ■ О М

/ ■

ОМ.

Используя соотношение

Д - агсЗ п І — зі п а

находим

л9 зп а\

(9)

3 Найдем координаты точки М2(Х2, у2, ^) "" точки выхода из сферической линзы как координаты радиуса вектора точки М2 (см. рисунок 3):

округ направленной

Рисунок 3 - Ход лучей в плоскости ХОЕ

ОМ 2- ОО + О М2 (10)

Координаты вектора О М 2 найдем путем вращения вектора О М і на угол (ж - 2Д) оси, определяемой вектором С (с, С, С) , который находится как векторное произведение векторовО ’ М і и / :

[ОМ і,/]

с -

(11)

О М і, /]

тогда

О М2 = А • О М1 (12)

где матрица А есть матрица вращения, которая определяется выражениями

2

А -

X-ц2-о2 + р2 2(Х/л + ор) 2(оЛ - /лр)

2(Х/л - ор)

Л- - о2 - X2 + р2 2(ло + Хр)

2( оХ + лр) 2(ло - Хр)

о2 - X2 - л2 + р2

(13)

Где

.8 .8 .8 8 Х = С ЭП^ , Р = С ЭП^ , и = С 8^2* , Р = 008 2"

При этом А, ц, р, и удовлетворяют условию:

Х2 + р2 +о2 + р2 = 1

Окончательно, получим:

О М 2 = А ■ О М1 + О М 2

(14)

4 Найдем направление вектора / || М2М0 вращением вектора О М2 на угол ж- а вокруг направленной

оси, определяемой вектором С (С|, С2, С) , который определяется аналогично выражению (11): С = Л " (15)

[О'М.|, М'М2] |[ОМ, ММ 2 ]|

Тогда

/ - А ■ ОМ

2

где матрица А есть матрица вращения (13), а в выражении (13) вместо с1,с2,с3 подставляем координаты вектора с(с, С, С) , которые определяются из равенства (15).

5 Найдем изображение точки М0(х0, у0, ?0) - точку М0(Х0, у°,20) в плоскости р как точку пересечения

прямой М 2м о|| I , где I - направляющий вектор прямой М2М , координаты которого находятся по формуле (16):

М0 = М2М0ГцЗ

Координаты искомой точки в векторной форме будут определяться выражением г + г? - Хо

ОМ 0= -0-

-2 с + ОМ,

(18)

СІ

Получаем множество точек М (х , у , г ) , радиус-векторы которых есть ОМ 0(Х0, у0, г0) , которые являются изображением точек торца ПОВ.

Введем функцию I {ОМ 0) , определяемую следующим образом:

I (ОМ о) -

0, ОМ0 - ОМ і (ОМ о)

С2

(19)

ОМ0- ОМ

4

где ОО (Г + Г2,0,0) - радиус вектор центра О'' ООВ. і (ОМ о) - функция яркости в точке М0 после

прохождения сферической линзы.

Определим функцию і (ОМ о) :

Пусть Во - яркость в точке М0(х0, У0, ^0), расположенной в области торца ПОВ. После преломления в точке Мі(хі, уі, Zl) потеря яркости определяется по формуле Френеля:

Т = 1 [ Зп2(аі - Д) | tg2(а1 -Д)

2 ^ Зп2(аі + Д) tg2(а1 + Д)

(20)

Тогда яркость после преломления в точке М1 будет иметь вид:

а, = (1 -г)А0 (21)

где Во - яркость в точке Мо.

После преломления в точке М2(Х2, У2, 22) яркость будет определяться аналогично (20), (21):

В2 = (1 -т)а (22)

Таким образом, подставив (21) в (22), получим выражение для яркости в точке М0(Х0, у0, %) :

В2 = (1 -т)2В0 (23)

Коэффициент т = т(ф) есть функция от угла ф, который определяет направление луча из точки Мо(хо, Уо, 2о) на сферическую линзу (см. рисунок 3).

Функция Г (ОМ 0) будет определяться выражением:

і (ОМ о ) - (і - т(ОМ о ))2 ■Д0

Определим функцию

Ф(г) - Ц I (ОМ 0, і)сІз

(24)

(25)

Пример результата моделирования по формулам (7)

(25) приведен на рисунке 4 при значениях Я=0,5

мм; Гх=1,2 мм; Г2=1,6 мм., ©м

120, где показана зависимость распределения светового потока в зави-

симости от перемещения линзы по оси 02.

4

2

с

ООV

Рисунок 4 Зависимость светового потока ВОП от перемещения сферической линзы.

Из анализа рисунка 4 следует, что наибольшая чувствительность при сохранении линейной зависимости обеспечивается на участке, соответствующем перемещению \ z\ = 0,12 0,18 мм.

Таким образом, модель распределения светового потока в пространстве ВОПП может быть использована для анализа зависимости светового потока от конструктивных параметров преобразователя, что позволить создавать ВОП с требуемыми метрологическими и эксплуатационными характеристиками.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бусурин В. И., Носов Ю. Р. Волоконно-оптические датчики: Физические основы, вопросы расчета и применения. - М.: Энергоатомиздат, 1990. - 256 с.

2. Зак Е.А. Волоконно-оптичекие преобразователи с внешней модуляцией. - М.: Энергоатомиздат,

1990.

3. Мурашкина Т. И., Волчихин В. И. Амплитудные волоконно-оптические датчики автономных систем

управления: Монография. - Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 1999. - 173 с.

4. Теоретические основы проектирования амплитудных ВОД давления с открытым оптическим каналом:

Монография / Мурашкина Т.И., Бадеева Е.А., Гориш А.В., Котов А.Н., Пивкин А.Г. // М.: МГУЛ, 2004. -

24 6 с.