CC BY
36
УДК 550.31 Ю.И. Кузнецов ИВМиМГ, Новосибирск Б.Т. Мазуров, Ю.В. Никитина СГГ А, Новосибирск
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВОЛНОВОДОВ В ЗЕМНОЙ КОРЕ
Yu.I. Kuznetsov
The Institute of Calculus Mathematics and Mathematical Geophysics B.T. Mazurov, Yu.V. Nikitina Siberian State Academy of Geodesy
MATHEMATICAL SIMULATION OF WAVEGUIDES IN EARTH’S CRUST
Mathematical simulation is offered which explains the nature of sudden global, regional and some local geodynamic phenomena. It is based on the division of time- and space variables. As a result numerical calculations become more economical and vivid. The conducted experiments proved the existence of a group of harmonics which is determined by the region of the original pulse localization where all the initial concentrated energy oscillates. The authors reveal the role of divisibility of Fourier harmonics numbers. The scenario of non-linear movements is shown.
В настоящее время возникли условия для новых постановок. Такой вывод основывается на следующих благоприятных предпосылках.
Академик А.А. Логунов [1], развивая идеи Пуанкаре, Лоренца и Минковского, отошел от общей теории относительности Эйнштейна -Гильберта. В цитируемой работе говорится: «...Эйнштейн сознательно отошел от концепции гравитационного поля как физического поля Фарадея - Максвелла (т. е. Хевисайда).». «Приняв общую теорию относительности, мы должны отказаться как от фундаментального принципа - закона сохранения энергии-импульса вещества и гравитационного поля, так и от концепции классического поля. Но это очень большая потеря, и мы были бы очень легкомысленны, если бы без должных экспериментальных оснований согласились на нее. Отсюда один выход - отказаться от нее». И далее: «В основе нашей теории лежат представления о гравитационном поле как физическом поле в духе Фарадея - Максвелла, обладающем энергией-импульсом. Таким образом, гравитационное поле аналогично всем другим полям.» А.А. Логунов положил в основу своей релятивистской теории гравитации пространство Минковского.
Об этом говорит и академик В.Е. Панин [2], который пришел к выводу, что подобно электромагнитному полю, в котором взаимодействуют переменные электрические поля, в деформированном твердом теле возникает единое механическое поле, содержащее органически взаимосвязанные трансляционную и поворотную моды. Выписанная им система уравнений, описывающих механическое поле в деформируемом твердом теле, подобна уравнениям Максвелла для переменных электромагнитных полей.
Поэтому, кажется уже неоспоримым, продолжая аналогию электромагнитного и гравитационного полей, появление аналога уравнений Максвелла [3]:
у-Е,=р,-
- И
УхЕ=-л8 Ы V-И „ = 0,
Ух И, =Ее-£- + Vх (рУ),
'8
ЫЕм
8 '8 & ■ -^88
причем Е, - гравитационное поле, И, - поле плавучести (аналог магнитного поля), р8 - плотность пород, V, - вектор скорости кручения. Здесь полная аналогия уравнениям Максвелла, причем /л, и £, -
соответствующие параметры гравитационного поля.
Таким образом, возвращение парадигмы конца XIX века [4], т. е. аналогии гравитационного и электромагнитного полей, создает новые возможности. Так, например, в электротехнике рассматривается отнюдь не сплошная среда, а электрические цепи с их сопротивлениями и вместилищами электрической (емкость) и магнитной (индуктивность) энергий. Не случайно в работах А.В. Викулина [5] отмечается, что тектоническая волна распространяется по системе волноводов - аналогу электрической цепи.
Волноводы. В середине прошлого века известный физик Э. Ферми [6] исследовал систему уравнений в конечных разностях
г к = (гк+1 - 2гк + гк-1){1 + а(гк+1 - 2к-1А
го = +1 = 0, к = 1(1)Ы,
описывающую колебания укрепленных на нити N одинаковых масс на одинаковых расстояниях. Здесь гк = zk(t) есть отклонение к -й массы от положения равновесия. Колебательная система, описываемая этими уравнениями, энергию начального импульса не рассеивает с течением времени по фазовому пространству, а сосредотачивает в некоторой группе гармоник, перекачивая её из одних в другие.
Для вектора Z(t) = (z1(t),...,zN(t))т в произвольный момент времени t используется преобразование Фурье
N
Z(t) = £ (1)
I=1
где вектор У(1) = {у(11),...,у(х Г, Уог) = У(ъ!+1 = 0, есть решение однородного уравнения
у(к^1 - 2у(() + у(к~1 = -^1у(к°, I =1(1^.
Здесь - квадрат частоты, а У(г) - амплитудный вектор линейного осциллятора, описываемого исходной системой при а = 0.
В работе [7] был получен следующий важный результат.
Теорема. Вектор коэффициентов Фурье С = С(і) = {с1(ґ),...,см(ґ))т
связан соотношением С = -(/ + аБ)ЛС,
где I - единичная матрица, Л = ё1а,(Л1 ,...,ЯМ), с симметричной матрицей
Б = Б(t) = Б^ - Бц,
причем Б есть симметричная теплицева, а Бя - персимметричная
ганкелева матрицы.
Численный эксперимент. Перейдем теперь к численным расчетам для нелинейной одномерной колебательной системы. Система ОДУ решается методом Рунге-Кутты с трехстадийной схемой Радо (узлы схемы Радо: 0,00155; 0,00645; 1.0).
Во всех задачах масса каждой точки считается равной единице; через N обозначено число степеней свободы и, следовательно, число фигурирующих в расчете мод, через а - коэффициент при квадратичном члене силы, действующей между соседними точечными массами.
Во всех задачах расчет начинался с момента t = 0, когда система покоится. Конечные точки фиксированы.
При а = 0 энергия сохраняется в тех собственных направлениях У(г), которые присутствовали в начальном импульсе, что было использовано при тестировании алгоритма. Для N=31 на 100000 шагов ( т =0,001) относительная погрешность полной энергии Н составила « 0,0004.
Следующий эксперимент показывает, что определенная локализация имеет место и для а ф 0. Задаем начальные коэффициенты ci(t) разложения (1) следующим образом:
а = 1, N = 31 на 20000 итераций (т = 0,001) и представляем норму всех коэффициентов Фурье в виде:
то есть энергия локализуется только в тех гармониках, которые делятся на }.
Далее, получены следующие погрешности:
С(])(0) = в;,] = 1(1)31, где С = (сі(ґ),..., CN(t))T,
] ффициенты, номера которых
j = 3, Sj(t) = 10-6
j = 5, Sj.(t) = 3 . 10-3
j = 6, £j(t) = 5.10-3
j = 7, Sj(t) = 4-102.
На остальных компонентах, сильно осцилляционных, идет нарастание и расползание энергии.
При задании начального вектора с (для N = 31 на 30000 итераций (
т = 0,001)), у которого с2(0) = с3(0) = -1, а остальные компоненты равны
-42
нулю, энергия была сосредоточена в гармониках, номера которых делятся
_о
на 2 и на 3. При этом max | Sj |= 10 .
Анализ результатов. В работе [6] отмечалось, что решение исходного уравнения ведет себя неожиданным образом. Действительно, из соображений эргодичности авторы ожидали, что начальный импульс, даже если он был локализован в одной гармонике линейного оператора (в линейном случае начальный импульс не выходит со временем из области своей локализации), со временем будет «диффундировать» по всем гармоникам. Оказалось, что это не так: существует группа гармоник, определяемая областью локализации начального импульса, в которой сосредоточена и осциллирует вся начальная энергия.
Наши эксперименты, в которых выделена временная составляющая, подтверждает этот результат, и, кроме того, выявляет еще один неожиданный результат, а именно, роль делимости номеров гармоник Фурье. Алгебраические результаты этой работы были опубликованы в [7].
Сценарии. Одни и те же алгебраические уравнения с позиции механики можно интерпретировать по-разному. И в связи с этим в работе [8] было начато формирование банка сценариев природных колебательных процессов. В данной работе мы рассматриваем еще один сценарий - сценарий нелинейных движений.
Для построения одиночной модели большой территории желательно иметь космические снимки максимально высокого разрешения на территорию с максимальными гравитационно-крутильными полями, полученные с большим временным диапазоном. В настоящее время производится накопление изображений на данные территории для дальнейших измерений и сравнении по времени [9]. Высокую точность имеют GPS-наблюдения. В работе [10] приводится визуализация полей горизонтальных движений Горного Алтая перед землетрясением 2003 года, данные о которых были получены по многолетним GPS-наблюдениям. Движения имеют вихревой характер.
Накопление сценариев является важным фактором изучения подкоровых явлений. Так, например, динамика землетрясения, зафиксированного в Гарме в 1979 г. при проведении светодальномерных
съемок достаточно хорошо описываются сценарием «система бусинок». Существует ряд принципиальных вопросов [11], [12], которые можно разрешить с помощью сценариев. Но для этого необходима адекватная интерпретация результатов геодезических и фотограмметрических наблюдений за динамкой земной поверхности.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Логунов, А.А. Лекции по теории относительности и гравитации / А.А. Логунов. - М.: Наука, 1987.
2. Панин, В.Е. Спектр возбужденных состояний и вихревое механическое поле в деформируемом кристалле / В.Е. Панин, Ю.В. Гриняев, В.Е. Егорушкин и др. // Изв. Вузов. Физика. - 1987. - № 1.
3. Кузнецов, Ю.И. Алгебраические основы моделирования природных процессов / Ю.И. Кузнецов. - Новосибирск: изд. СГГА, 2006.
4. Heaviside O. A gravitational and electromagnetic analogy. - Part I, The Electrcian, 31, 281-282 (1893).
5. Викулин, А.В. Физика волнового сейсмического процесса / А.В. Викулин. -Петропавловск-Камчатский: Изд-во КГПУ, 2003. - 150 с.
6. Ферми, Э. Научные труды / Э. Ферми. - М.: Наука, 1972. - С. 647-656.
7. Кузнецов Ю.И. Модель нелинейных колебаний с разделением переменных. Сибирский журнал вычислительной математики. РАН Сиб. Отделение - Новосибирск, 2007 - Т. 10, № 4 - С. 349-360.
8. Кузнецов, Ю.И. Математическое моделирование и рекуррентная идентификация геодинамических систем на основе механики Гамильтона - Лагранжа / Ю.И. Кузнецов, В.К. Панкрушин // ГЕ0-Сибирь-2005. Т. 2.: сб. материалов научн. конгр. «ГЕО-Сибирь-2005», 25 - 29 апр. 2005 г., Новосибирск. - Новосибирск: СГГА, 2005. - С. 3-14.
9. Кузнецов, Ю.И. Аэрокосмический мониторинг в анализе движения блока земной коры / Ю.И. Кузнецов, В.И. Тихонов. - Новосибирск: Вестник СГГ А, вып. 11. - 2006. - C. 9497.
10. Мазуров, Б.Т. Поля деформаций Горного Алтая перед Чуйским землетрясением / Б.Т. Мазуров // Геодезия и картография. - 2007. - № 3. - С. 48-50.
11. Стажевский, С.Б. Г еодинамика и кольцевые структуры / С.Б. Стажевский / Г еодина-мика и напряженное состояние недр Земли. Международная конференция СО РАН. -Новосибирск, 2005.
12. Кэри, У. В поисках закономерностей развития Земли и Вселенной / У. Кэри. -М.: МИР, 1991.
© Ю.И. Кузнецов, Б.Т. Мазуров, Ю.В. Никитина, 2008
