МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВЕТРОВЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ В АТМОСФЕРЕ МАРСА Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск № 59

www.mai.ru/science/trudy/

УДК 629.7.054

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВЕТРОВЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ В АТМОСФЕРЕ МАРСА.

Данченко О.М.

Аннотация

Исследования марсианской атмосферы, проведенные автоматическими межпланетными станциями, выявили достаточно сильные ветровые воздействия в нижнем 20-25 км слое атмосферы планеты. В данной работе на основании статистической обработки экспериментальных данных проведен анализ вероятностных характеристик поля скорости ветра, и предлагается математическая модель ветровых воздействий в виде канонического разложения.

Ключевые слова: космический аппарат; Марс; ветровые воздействия; доверительные интервалы; каноническое разложение.

Постановка задачи.

В общем случае скорость ветра является случайной функцией пространства и времени. Иными словами, скорость ветра является случайным полем. Поэтому полное описание структуры поля скорости ветра должно производиться на базе исследования пространственно-временных статистических характеристик. Исследование возможно на основе большого ряда значений рассматриваемых параметров атмосферы в различных точках пространства и в различные промежутки времени. К сожалению, достаточно полная подобная информация отсутствует. В связи с этим будем рассматривать значения скорости ветра как векторные случайные величины, статистические характеристики которых являются функциями фиксированных значений высоты точки над поверхностью планеты. Если принять гипотезу, по аналогии с земной атмосферой, что составляющие скорости ветра

распределяются по нормальному закону, то статистические свойства полей скорости ветра можно описывать математическими ожиданиями и ковариациями.

Вектор ветра может быть представлен в виде двух составляющих, одна из которых направлена по параллели, а вторая по меридиану. Эти составляющие вектора ветра располагаются на осях системы координат, которую в метеорологии принято называть стандартной, а сами составляющие называются зональной и меридиональной. Обозначим составляющие вектора ветра соответственно через V и и и представим их совокупность в виде п - мерного случайного вектора V .

V = (и(Л1),(Л2),..и(А/и ),у(Л1),У(Й2),...У(Лш >) Т (1)

Если этой матрице-столбцу поставить в соответствие матрицу математических ожиданий,

мw =(Ми(л1),Ми(Н2),..Ми(Ьт),му(к1),Ыу(к2),..Му(кт))Т (2)

то ковариационную матрицу вектора можно получить следующим образом:

Я = М

w

V - т^ ^ (V - т^

(3)

Развернув эту матрицу, будем иметь блочную матрицу:

Я = w

Я Я

ии uv

Я Я

vu vv

(4)

Блоки матрицы Яw, стоящие на главной диагонали, являются симметрическими

автоковариационными матрицами составляющих скорости ветра. Остальные блоки представляют собой несимметрические взаимные ковариационные матрицы и обладают свойством:

Я = Я *

uv vu

(5)

Матрица ЯК дает возможность получить нормированную корреляционную матрицу

г =

г г

ии uv

г г

vu vv

(6)

которая обладает теми же особенностями, что и матрица К , где

г

ии

(Н, Н)=

к (н, Н)

ии

4Кии (Н ")*ии ("'>Н )

(7)

К (Н, Н ') w4 7

(8)

и (Н,Н )=

К (Н, Н9)

uvк ' 7

К (Н, Н)К (Н 9, Н 9)

Л/ uu^ 'vvк '

(9)

Если принимается гипотеза о нормальном законе распределения составляющих скорости ветра, то достаточные и несмещенные оценки элементов рассмотренных выше ковариационных матриц рассчитываются по экспериментальным данным с помощью следующих формул [1]:

= П—1 Х — тХ -тУ )

К = И =

^Х^Х ^Х

1 п ( ^2 =- ^ — т I

п — 1 I = 1 Х'

(10)

1 п тХ=- I X Х п I = 1 *

В качестве основного исходного материала для расчета статистических характеристик случайных ветровых воздействий были взяты результаты исследования атмосферы Марса, начиная с 1969 года [2 -10].

На рисунке 1 показаны средние по времени значения составляющих скорости ветра при солнцестоянии (solstice) и равноденствии (equinox). При солнцестоянии зональная составляющая характеризуется сильным западным ветром с максимумом в средних широтах зимнего полушария и особенно сильным восточным ветром в районе экватора. Наиболее слабый восточный ветер наблюдается в средних и высоких широтах в летнем полушарии. Меридиональная составляющая во всем рассматриваемом слое атмосферы (до 20-25 км) имеет сравнительно небольшую величину, наибольшие значения достигают 10м/сек. Меридиональная составляющая на верхнем рассматриваемом уровне (20-25 км) и нижнем (5-7 км) взаимно не погашаются, а в результате потерь в атмосфере масс CO, конденсирующихся на зимней полярной шапке, появляется атмосферный поток в направлении полюса.

Меридиональные ветры V [м/сек] верхний уровень

1 [м/сек] Зональные ветры

Меридиональные ветры V [м/сек] верхний уровень

V [м/сек] Зональные ветры

Рис. 1

Средние по времени значения составляющих скорости ветра при солнцестоянии и

равноденствии.

При равноденствии обе составляющие ветра значительно слабее. Существуют потоки в западном направлении в обоих полушариях с двойным максимумом на нижнем рассматриваемом уровне, а также узкий пояс восточных ветров в районе экватора. Эксперименты по измерению составляющих скорости ветра, по данным [8,9] проходили в

течение почти месяца. По этим экспериментам, наибольшие значения среднезональной

4

составляющей скорости ветра (в условиях незапыленной атмосферы планеты), при солнцестоянии составляли 83 м/сек и 65 м/сек. В таблице 1 представлены значения скорости ветра в зависимости от координат точки наблюдения для Н = 20 км.

Таблица 1

Данные о скорости ветра

Солнцестояние Н=20км

Широта [град] 28 35 49 42 42 35 35

Долгота [град] 189 27 225 315 297 261 261

Скорость [м/сек] 50,1 96,3 127,1 147,3 149,4 137,2 114

Равноденствие Н=20 км

Широта [град] 63 70 63 49 63 70 56

Долгота [град] 252 252 0 144 126 81 54

Скорость [м/сек] 23,4 30,0 44,1 55,9 58,9 57,6 54,1

Солнцестояние Н=5-7 км

Широта [град] 35 42 35 70 70 56 56 42

Долгота [град] 297 315 270 207 153 306 288 360

Скорость [м/сек] 61,0 60,6 64,7 63,0 30,9 32,1 31,0 29,3

Солнцестояние Н=0 км Равноденствие Н=0 км

Широта [град] 21 21 14 35 63 70 49 28

Долгота [град] 342 144 279 180 351 351 333 63

Скорость [м/сек] 59,1 50,4 68,7 52,2 32,5 32,7 31,8 30,1

Наиболее сильные ветры наблюдаются при солнцестоянии на верхнем уровне (Н = 20 км). В работе [2] отмечено, что градиент скорости ветра по высоте невелик, порядка 1-2 м/сек на километр и переменен по знаку в пространстве и времени. Большое влияние на характеристики ветра имеет локальный рельеф местности. На длинных склонах порядка 200-1000 км, вследствие их неравномерного разогрева может возникнуть сильная местная циркуляция, при которой ветер в 2-3 раза может превысить средние значения. Для небольших склонов до 100 км такой дополнительный ветер, согласно [8,10] имеет величину порядка 10 м/сек. В этой же работе приведен перечень областей, которые желательно избегать при посадке из-за возможных сильных ветров. Это северная часть области Хеллас, области Нике Олимпика и Амазония.

Воспользовавшись данными о скорости ветра, представленными в работах [2-10] для высот Н = 0 — 1 км, Н2 = 5 — 7 км, и Н3 = 20 км, были подсчитаны элементы ковариационной матрицы скорости ветра в соответствии с формулами (10)

Л =

w

Л11 Л12 Л13

Л21 Л22 Л23

до до до

Л31 Л32 Л33

где

(11)

.2,2

= Щ = 241,8431 [м /сек ] - дисперсия скорости ветра, математическое ожидание

М\п]= 45,76 [м/сек] при Н = 0 " 1 км; {22 = °2

2 2

Л = Щ = 305,0628 [м 2 /сек 2 ] - дисперсия скорости ветра, математическое ожидание

М\^]= 42,45 [м/сек] при Н2 = 5 — 7 км;

Л

33

= ^^ = 2120,8 [м 2 /сек 2 ] - дисперсия скорости ветра, математическое ожидание

М\^] = 81,82 [м/сек] при Н = 20 км;

Так как согласно (5) Л = , то в результате получим следующие данные:

К\2 = К2\ = 787,8893[м 2 /сек 2 ];

% = = 614,8824 [м 2 /сек 2 ]; Я^ = Я^ = 253,1021 [м 2 /сек 2 ]

На рисунке 2 представлен характер изменения среднего значения результирующей скорости ветра по высоте, напоминающий изменение по высоте аналогичной характеристики для земной атмосферы.

Н [км]

-Г— ■ ........ ....... Шж [мсск]

-20 0 20 40 60 80

Рис. 2

Зависимость математического ожидания скорости ветра на высоте.

Оценки статистических характеристик, рассчитанные по имевшимся опытным данным, вычислялись по ограниченным совокупностям. В связи с этим предлагается оценить степень приближения к искомым статистическим характеристикам с помощью доверительных интервалов.

Но прежде чем перейти к определению доверительных интервалов, была проверена гипотеза о нормальном распределении случайной величины скорости ветра в атмосфере Марса (по аналогии с земной атмосферой) с помощью х — критерия согласия Пирсона. В результате проверки по этому критерию была получена вероятность р = 0,2. Судить о том, достаточна ли эта вероятность для принятия гипотезы о нормальном распределении

случайной величины скорости ветра в диапазоне скоростей 40-140 м/сек при математическом ожидании = 62,75 м/сек и среднеквадратическом отклонении а = 36,4 м/сек, можно лишь в том плане, что обычно на практике отбрасываются или пересматриваются те гипотезы, вероятность которых меньше, чем 0,1 [1]. Следует отметить, что с помощью

критерия х2 (или любого другого критерия согласия) можно только в некоторых случаях отвергнуть выбранную гипотезу и отбросить ее как явно несогласную с опытными данными. Если же вероятность велика, то этот факт сам по себе ни в коем случае не может считаться доказательством справедливости гипотезы, а указывает лишь на то, что гипотеза не противоречит опытным данным.

Перейдем к определению степени приближения оценок к статистическим характеристикам скорости ветра с помощью доверительных интервалов. Найдем доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии. Для определения доверительных интервалов вычисленных статистических характеристик, необходимо задаться доверительной вероятностью, с которой данные характеристики будут располагаться в этих интервалах. Зададимся в = 0,85 и найдем такую величину е^, для которой

P^lm* — ml < вр^ = в (13)

Согласно [1] для математического ожидания доверительный интервал можно найти по формуле:

7 в =

г \

* *

т — а _ ; т +а _ в * в * Ч и т и т у

»где (14)

* в = аг£^*

+в > ч 2 у

Аналогичным способом может быть построен доверительный интервал и для дисперсии. Заменим дисперсию О её оценкой О * и будем считать, что

М- О*1 = О; О- О*1 = +1,2 (О* )2, где (15)

- 1 I- J п(п — 1)

п — число опытов.

Из последнего равенства приближенно находим

* /0,8п +1,2

(Г * = °-. п* (16)

П V п(п — 1) ( )

Далее можно построить доверительный интервал

1р = (— ; + ) , где (17)

г 0 — величина, которая в зависимости от заданной вероятности находится по специальным

таблицам ([1], стр.321, табл.14.3.1).

В таблице 2 представлены доверительные интервалы математических ожиданий и дисперсий для случайной величины скорости ветра в зависимости от высоты полета, при Р = 0,85 и ^ = 1,439.

Доверительные интегралы математических ожиданий и дисперсий

Таблица 2

Н Для математического ожидания Для дисперсии

[км] [м/сек] 2 2 [м /сек ]

0 37,86 - 53,70 113,8481 - 369,8481

7 33,55 - 51,35 144,0628 - 466,0628

20 64,12 - 99,52 1323,8 - 2917,8

Р = 0,85 ; = 1,439

Каноническое разложение скорости ветра.

В ряде случаев случайную функцию бывает удобно представить в виде определенной линейной комбинации некоррелированных случайных величин. Эта комбинация содержит не случайные функции и имеет вид: да

ш-(*)+ £ ^) (18)

)= ш„(/)+ £ (/)

Я I = 1 11

где х. ) — не случайные функции, называемые координатными функциями; V. — некоррелированные случайные величины такие, что М |у. |= 0,

Ь ] = 0 ; М[ V; ]={£•

при I ^ у

| =0 ; при . = у (19)

Представление случайной функции в виде (18) принято называть каноническим разложением. В общем случае каноническое разложение является бесконечным рядом. На практике обычно пользуются ограниченным числом членов ряда.

Для определения элементов канонического разложения достаточно иметь данные о математическом ожидании и ковариациях. Эти данные, как указывалось выше, дают достаточно полное представление о нормально распределенной случайной величине или функции. Зададимся числом членов ряда равным трем. Тогда случайная функция скорости ветра в зависимости от высоты в форме канонического разложения примет вид:

3

V(Н) = ш*(Н)+ £ м.х.(Н),

. = 1

I I

(20)

где согласно [1,11,12] ^ = V ) — * (Н1)—

случайное число с

М

V

1

= 0,

центрированная случайная величина скорости ветра на уровне Н = Н^

2,2

и

дисперсией ^ = [ Н' Н ) = ^11 = 241,8481 [ м2 / сек 2] Координатная функция (Н)= 1

Для определения случайного коэффициента ^, согласно [11,12] справедливо равенство

= * (Н2 )— VI' Ж1(н1)

2

(21)

а

Учитывая, что Х^ (Н)= 1, равенство (21) примет вид:

= УУ (н2)— — случайное число с математическим ожиданием М]= 0 и

v2 = гг Н 2

дисперсией, вычисленной на основании с [12].

: 305,0628 [м 2 /сек 2 ]

О2 = V (Н2'Н 2, ) — °1|ж1(н1 )|2, О =

Вторая координатная функция Х^ (Н) в соответствии с [12] определяется выражением :

Х 2 (Н )= ОТ [ V ( Н'Н 2 ) — ОХ 1(Н )Х1 Ч Н 2 3 О2

Х 1(Н)= 1

учитывая, что Л1 (Н )= 1, получим

Х2 (Н) = ОТ |-(Н' Н2 )" О2 ]

2 (Н ) = -ЧН 'Н 2 У — О21 (22)

О2

Значения функции Лw (Н, Н2 ) получим из таблицы 2. Аналогичным образом определяем :

" 3 = У ( Н3 ) — v1Х 1( Н1) — v 2 Х 2 Ч Н 2 )

Так как в соответствии с [12] Х. )= 1, то ^ = У ^ — ^ —случайное число с математическим ожиданием М ]= 0 и дисперсией

2 2

О3=(н3'н3)- 2О[х/(н3)] = (н3'н3)-о1[х1 (н3I12—О2[Х2(Н3Р

/ = 1

Х3(Н3)=1 то Х2(М3) = -ЦЛу(Н3'Н2У — О

О2

I=1

но так как

О = 2120,8 [ м2/ сек2 ]

Координатная функция Х^ (Н^ ) определяется следующим равенством :

Х3(Н ) =

О

3

V ч н , н 3Д °/х/ (н Х ( н 3

О

3

IН'Н 3 ] — ОХ1Н )Х 11Н 3 ] — О2 Х 2 (Н )Х 21 " 3

так как

Х1(Н)= Х1(Н3) = 1 и Х 2 (Н )=-1- [Ку 4Н3' Н2 ) — ° ] = С0,

О2

0,037,

то окончательно:

Х3(Н[ЧН'Н3) — О1— °'°37• О2 •Х2(НЯ

О3

В результате каноническое разложение случайной функции скорости ветра от высоты (20) примет вид:

у (Н) = (Н) + v1 + v2 ~ -(Н' Н2 у — О1 ] +

+ V3 7Г [|Н'Н3 ) — О1 — °,°37 • О2 • Х2 (Н^

(23)

(24)

где случайные коэффициенты ^, ^, ^ и координатные функции Хх (Н) определяются формулами (21)-(24).

На рис.3 представлена одна реализация случайных значений скорости ветра в зависимости от высоты полета, полученная в соответствии с формулой (24).

1

1

Рис. 3

Случайные по высоте значения скорости ветра.

Рассмотренное представление случайной функции скорости ветра в зависимости от высоты полета над поверхностью планеты в виде канонического разложения, по сути является математической моделью случайного атмосферного воздействия, построенной на основе статистических характеристик данного параметра атмосферы. Выбор той или иной формы математической модели атмосферных воздействий для решения задач управления движением аппаратов в атмосфере должен полностью определяться характером поставленной задачи управления.

Библиографический список.

1.Венцель Е.С. Теория вероятностей. Изд. 2-е, М., «Наука», 1973г., 312-351, 406-414 стр.

2.Авдуевский В.С., Аким Э.Л., Алешин В.И. и др. Атмосфера Марса в районе посадки спускаемого аппарата «Марс-6». «Космические исследования», т.ХШ вып.1, изд. «Наука», 1973 г.

3.Вокулер Ж. Физика планеты Марс., М., «Наука», 1965 г.

4.Маров М.Я. Планеты Солнечной системы., М., «Наука», 1986 г.

5.Мороз В.И., Физика планеты Марс., М., 1978 г.

6.Gierasch P.J. and Goody R.M. A study of the thermal and dynamical structure of the Martian lower atmosphere. Planet Space, Sie., 1968,Vo. 16, p.p. 615-646, Pergamon Press.

7.Leovy C. and Y.Minis. Numerical Simulation of the Atmospheric Cireulation and Climate of Mars. Journal of the atmospheric Science, Nov. 1969, Vo/26,No.6.

8.Mariner-9 S-Band Martian Occultation Experiment. Initian Results of the atmosphere and Topography of Mars. Science, 1972, p.p. 315-317.

9.Zeiner H.N., French C.E., Howard D.A. A technique for lifting entry and terminal phase system optimization for the 1975 Mars Viking Lander. AIAA guidance, control and flight mechanics conference, New-Jerk, 1973.

10.NASA's Phoenix Lander Sees, Feels Martian Whirlwinds in Action - сайт миссии «Феникс», сентябрь 2008г.

11. Батков А.М., Александров И.М., и др. Методы оптимизации в статистических задачах управления. М., «Машиностроение», 1974 г.

12. Лебедев А.А., Бобронников В.Т., Красильщиков М.Н., Малышев В.В., Статистическая динамика управляемого полета. М., «Машиностроение», 1978 г.

Сведения об авторах.

Данченко Оксана Михайловна, доцент Московского авиационного института (национального

исследовательского университета), к.т.н.

МАИ, Волоколамское ш., 4, Москва, А-80, ГСП-3, 125993;

тел. +7 499- 158-11, e-mail, dep.805 @ mail.ru