CC BY
20
Математическая модель управления системой массового обслуживания с динамической дисциплиной обслуживания заявок
Е.Г. Царькова
Федеральное казенное учреждение «Научно-исследовательский институт Федеральной службы исполнения наказаний», НИЦ-1, Москва
Аннотация: В работе с использованием аппарата теории массового обслуживания построена математическая модель управления надежностью программного обеспечения и компьютерных сетей специального назначения, используемых в системе обеспечения комплексной безопасности учреждений и органов уголовно-исполнительной системы. Задача оптимизации рассматриваемой управляемой системы массового обслуживания с динамической дисциплиной обслуживания заявок сформулирована в виде задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями.
Ключевые слова: программное обеспечение специального назначения, управляемая система массового обслуживания, схема Эйлера, оптимальное управление, метод быстрого автоматического дифференцирования.
В настоящее время в деятельности учреждений и органов уголовно-исполнительной системы (УИС) активно используются десятки информационных систем и баз данных, надежность которых во многом определяется выбором архитектурных и технологических решений. Особую важность сегодня приобретают вопросы надежности и безотказности программного обеспечения специального назначения, применяемого в системах обеспечения комплексной безопасности учреждений и органов УИС. Безотказная работа используемого ведомством программного обеспечения и сетей связи, обеспечение гарантированного оперативного доступа к данным является залогом качественной информационной поддержки принятия управленческих решений, необходимой руководителям различных уровней [1-3]. Для обеспечения возможности своевременного получения сотрудниками доступа к информационным ресурсам необходима детальная проработка вопросов организации механизмов движения информационных потоков [4]. Математическое и компьютерное моделирование является эффективным инструментом совершенствования
и
информационного обеспечения ФСИН России как на этапе проектирования ведомственных сетей связи, автоматизированных систем и баз данных, так и при определении направлений модернизации в ходе их эксплуатации и администрирования [5-7]. Особую важность представляют вопросы быстродействия выполнения запросов к базам данных [4]. Рассмотрим модель работы сервера баз данных в ведомственном информационном пространстве. Сервер представляет собой однофазную систему массового обслуживания (СМО) с ограниченной входной емкостью, с отказами. На рис. 1 приведен фрагмент схемы движения заявок в рассматриваемой СМО.
delay
source
Входной поток запросов
queue Очередь запросов
Сервер
Поток обработанных запросов
Поток потерянных запросов
sink sink
Рис. 1. - Схема обработки заявок в СМО
В рассматриваемой системе сервер баз данных обрабатывает SQL-запросы, которые генерируются используемыми информационными системами и поступают на сервер с автоматизированных рабочих мест сотрудников. Рассматривается двухканальная система массового обслуживания с ограничением на длину очереди т = 4. В СМО поступает простейший поток заявок со средней интенсивностью X и показательным законом распределения времени между поступлением заявок. Поток обслуживаемых в системе заявок является простейшим со средней интенсивностью ц и показательным законом распределения. Рассматриваемая система может находится в одном из состояний: , ^, ,, , , с вероятностями, соответственно, Р0, Р, Р2, Р3, Р4, Р5, Р6 (табл. №1).
Таблица №1
Состояния системы массового обслуживания
Обозначение Содержание Р
заявки отсутствуют (система свободна) Ро
в систему поступила одна заявка на обслуживание (пустая очередь) Р
в систему поступило две заявки (очередь содержит одну заявку) Р2
в систему поступило три заявки (очередь содержит две заявки) Рз
в систему поступило четыре заявки (очередь содержит три заявки) Р4
в систему поступило пять заявок (очередь содержит три заявки) Р5
в систему поступило шесть заявок (очередь содержит четыре заявки) Р6
На рис. 2 приведен размеченный граф состояний, построенный на основе модели гибели и размножения, где состояния кроме первого и последнего связаны с двумя смежными: предшествующим и последующим.
А1г ■'гг
3,1 э,
А21 '■12
Б.
Ч:+1,к
\i-1.n
* Б
*-
Рис. 2. - Размеченный граф состояний
Согласно теореме Колмогорова [8] приведенному графу состояний соответствует система дифференциальных уравнений следующего вида:
^ = ир(г) - ЛР0(г), = ЛР0«) + 2^ (г) - Р(г) (р + Л), аг т
^^ = ЛР1 (г) + 2^Р3 (г) - р (г) (2^ + Л), аг
аР (г) (1)
3 () =ЛР2 (г) + 2^Р4 (г) - Р (г) (2^ +Л),
аг
аРА(г) аг
= ЛРз (г) + 2^Р5 (г) - Р4(г) (2^ +Л),
= ЛР4(1) + 2/Р(?) - Р5 (1) (2/ +Л),
-Р (1) 6
= ЛР5(1) + 2/Р6(1), ^р(?) = 1, 1 е[0,Т].
Ш г=0
Для построения компьютерной модели вводим на отрезке [0,Т] равномерную сетку с шагом А? = ^: {? = А? • ¡,0 < ; < д}, полагая Р (?) = Р\,
7 = 0,6,1 = 0, д. Для аппроксимации производных используем формулы Эйлера
Р,+1 — р ' _
1 -го порядка точности: Ру (Г)«-1-3—, 7 = 0,6, / = 0, д—1, Р0 = 1, Р0 = 0,7 = 0,6. На
А? 7
рис. 3 приведены графики зависимости вероятностей состояний системы от
времени при следующих значениях параметров: Л = 4,5, / = 2, Т = 10.
Рис. 3. - Графики вероятностей состояний системы с постоянной
дисциплиной обслуживания
Значения вероятностей состояний в конечной точке отрезка при 1=Т равны: Р (Т) = 0,051, Р (Т) = 0,115, Р (Т) = 0,129, Р (Т) = 0,146, Р (Т) = 0,164, Р (Т) = 0,185, р (Т) = 0,208.
В работе В.В. Рыкова [5] рассмотрен отдельный класс СМО -управляемые системы массового обслуживания. Автором отмечается, что управление СМО может осуществляться путем управления дисциплиной обслуживания заявок и ее структуры, изменения интенсивностей обслуживания очередей, ввода управляющих воздействий на поток заявок и
др. На рис. 4 приведены графики вероятностей состояния системы при периодическом увеличении значения / (// = 2, / = 2.5, / = 3, / = 3.5).
РОМ р щ
РИ» РВД
■1г
рад рад
Рис. 4. - Графики вероятностей состояний системы с динамической
дисциплиной обслуживания
Значения вероятностей в момент времени Т равны: Р0 (Т) = 0,229, Р (Т) = 0,296, Р2 (Т) = 0,190, Р (Т) = 0,122, Р4 (Т) = 0,079, Р5 (Т) = 0,051, Р6 (Т) = 0,033.
Согласно полученным результатам, вероятность того, что система в конечный момент рассматриваемого промежутка времени находится в состоянии получения не более одной заявки со свободной очередью (£ = и £) за счет использования динамической дисциплины обслуживания, увеличивается с 0,166 до 0,525. Управление дисциплиной обслуживания в рассматриваемом случае может обеспечиваться, например, возможностью использования резервного прибора. Учитывая технические ограничения на значение величины ¡: /</х, будем считать / управляющим параметром:
и(г) = ¡(г). Вводим следующие параметры: с - стоимость обслуживания заявки в единицу времени, а - весовой коэффициент. Обозначаем: X (г) = Р (г), I = 0,6, г е[0, Т]. Требование обеспечения значения вероятности нахождения системы в состоянии £ на всем отрезке [0, Т] не ниже заданного порога а (х0 (г)+х (г) ^ а, г е[0, Т ]), учитываем с помощью штрафного
слагаемого М тах2{а - х0 (г) - х (г), 0}. Получаем многокритериальную задачу оптимизации следующего вида.
и
(2)
Требуется минимизировать функционал:
Т
I (и) = —К« ( х0 (1) + х (1) ) — си(г) — М шах2(а — х0 (г) — х (г),
0
при динамических ограничениях:
х0(г) = х (1 )и(1) — Лх0 (1), Х1(1) = Лх0 (1) + 2х2 (1)и(1)—х (1) (Л + /(1)),
Х2(1) = Лх1 (1) + 2х3 (1)и(1) — х2 (1) (Л + 2и(1) ), хэ(0 = Лх2 (1) + 2 х4 (1 )и(1) — х3 (1) (Л + 2и(1) ),
Х4 (1) = Лх3 (1) + 2 х5 (1 )и(1)—х4 (1) ( Л + 2и(1)),
. 6
Х5(1) = Лх4 (1) + 2/х6 (1 )и(1) — х5 (1) (Л + 2и(1) ), ^ X (1) = 1, 1 е[0, Т ],
(3)
ограничении на управление:
и(1) </шах, 1 е[0, Т], (4)
начальных условиях:
х 0(0) = V = 1, X (0) = х/ = 0,7 = 1,6. (5)
Для решения рассматриваемой задачи доступен широкий спектр численных методов оптимизации [9,10]. С использованием численных методов может быть построено приближенное решение Парето-оптимальной задачи, обеспечивающее необходимый уровень надежности рассматриваемой системы в условиях ограниченных ресурсов на обслуживание заявок. Предложенная модель может быть использована для поддержки принятия решений как на этапе проектирования ведомственных компьютерных сетей и автоматизированных систем специального назначения, так и во время их эксплуатации.
Литература
1. Вишневский В.М. Теоретические основы проектирования компьютерных сетей. М.: Техносфера, 2003. 512 с.
¡=0
2. Сумин В.И., Чураков Д.Ю., Царькова Е.Г. Разработка моделей и алгоритмов информационных структур и процессов объектов особой важности // Промышленные АСУ и контроллеры, 2019, № 4. С. 30-39.
3. Дали Ф.А. Методологические аспекты обследования объектов защиты на соответствие требованиям пожарной безопасности в проблемно-ориентированных системах управления // Инженерный вестник Дона, 2021, №7. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n7y2021/7114.
4. Tsarkova E. Intellectualization of decision making in security systems of protected objects // Journal of Physics: Conference Series, 2021. P.042004. URL: iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-6596/2131/4/042004.
5. Игнатьева О.В. Архитектурные приемы при разработке программного обеспечения, зависимого от интерфейса пользователя // Инженерный вестник Дона, 2022, № 2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2022/7478.
6. Рогожин А.А., Дурденко В.А. Критериальное моделирование оценки качества функционирования и надежности интегрированных систем безопасности охраняемых объектов // Вестник Воронежского института МВД России, 2012, № 1. С. 205-214.
7. Саламатин А.А. Алгоритм поддержки принятия решений в задачах выбора элементов системы безопасности объектов недвижимости // Инженерный вестник Дона, 2021. №5. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n5y2021/6999.
8. Рыков В.В. Управляемые системы массового обслуживания // Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика. 1975. Т. 12. С. 43—153.
9. Tsarkova E. Intellectualization of decision making in security systems of protected objects // Journal of Physics: Conference Series, Divnomorskoe, 2021. pp. 042004. URL: iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-6596/2131/4/042004.
10. Душкин А.В., Жукова М.А., Родин С.В., Сумин В.И. Управление контролем целостности эталонной автоматизированной информационной системы вневедомственной охраны // Вестник Воронежского института ФСИН России. 2013. № 1. С. 51-55.
References
1. Vishnevskij V.M. Teoreticheskie osnovy proektirovaniya komp'yuternyh setej [Theoretical foundations of computer network design]. M.: Tekhnosfera, 2003. 512 p.
2. Sumin V.I., CHurakov D.YU., Car'kova E.G. Promyshlennye ASU i kontrollery, 2019, № 4. pp. 30-39.
3. Dali F.A. Inzhenernyj vestnik Dona, 2021, №7. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n7y2021/7114.
4. Tsarkova E. Journal of Physics: Conference Series, 2021. P.042004. URL: iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-6596/2131/4/042004.
5. Ignat'eva O.V. Inzhenernyj vestnik Dona, 2022, № 2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2022/7478.
6. Rogozhin A.A., Durdenko V.A. Vestnik Voronezhskogo instituta MVD Rossii, 2012, № 1. pp. 205-214.
7. Salamatin A.A. Inzhenernyj vestnik Dona, 2021, №5. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n5y2021/6999/.
8. Rykov V.V. Teoriya veroyatnostej. Matematicheskaya statistika. Teoreticheskaya kibernetika, 1975, V. 12. pp. 43-153.
9. Tsarkova E. Journal of Physics: Conference Series, Divnomorskoe, 2021. pp. 042004. URL: iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-6596/2131/4/042004/.
10. Dushkin A.V., ZHukova M.A., Rodin S.V., Sumin V.I. Vestnik Voronezhskogo instituta FSIN Rossii, 2013, № 1.pp.51-55.
