CC BY
338
АВТОМАТИЗАЦИЯ И УПРАВЛЕНИЕ
УДК 004.94
И.В. Вешнева, Л.А. Мельников, А.И. Немцов
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ ФУНКЦИОНИРОВАНИЕМ МАЛОГО ПРЕДПРИЯТИЯ
Предложена математическая модель, описывающая работу малого предприятия, основанная на введении четырех переменных, соответствующих группам оцениваемых критериев в системе сбалансированных показателей. Модель основана на известных уравнениях Лотки-Вольтерра, Кобба-Дугласа и Мальтуса. В статье представлена оригинальная их адаптация к описанию функционирования малого предприятия.
Математическое моделирование экономических процессов, модель конкуренции видов, производственная функция, модель роста численности населения, сбалансированная система показателей
I.V. Veshneva, L.A. Melnikov, A.I. Nemtsov
A MATHEMATICAL MODEL OF SMALL BUSINES ENTERPRIZE MANAGEMENT OPERATION
The mathematical model describing the operation of a small business enterprise is proposed, based on the four variables, which correspond to the groups of estimated criteria in the system of the balanced scorecard. The model uses Lotka-Wolterra, Cobb-Duglas, and Maltus equations. The original adaptation of these equations to small business enterprise operation is presented.
Mathematical modeling in economical sciences, model of population dynamics, balanced scorecard
Введение
Промышленная революция, произошедшая в середине XIX века совместно с выдающимися научными открытиями рубежа XIX - XX веков, привела к быстрым технологическим изменениям информационной революции и изменению социокультурных отношений в цивилизованном мире. Специфику экономического развития, обусловившую изменение экономических и социокультурных отношений в обществе, отмечают многие авторы, например [1]. В социологических отношениях при переходе экономических фаз развития общества (аграрное, индустриальное и постиндустриальное общество) [2, 3] изменяется соотношение процента населения занятого в аграрной, промышленной и сферах производства интеллектуальной продукции и услуг.
Нарастающая конкуренция и различные законодательные ограничения приводят к сложности выживания малых предприятий строительного сектора. Каждое неверно принятое управленческое решение может увеличить возможность возникновения серьезных рисков как для эффективности функционирования предприятия, так и для его выживания. Поэтому для поддержки принятия управленческих решений в условиях высокой неопределенности и рисков все большее значение приобретает необходимость выстраивания адекватных математических моделей, описывающих деятельность предприятия.
В последние полвека все активнее совершаются попытки математического моделирования экономических и социальных процессов. Широко известна модель мировой динамики [4], которая описывает метод динамического моделирования промышленных и промышленно-сбытовых предпри-
121
ятий, а также применение этого метода для улучшения руководства предприятиями, подготовки и обучения руководящего персонала. Данная модель представляет собой систему дифференциальных уравнений, в которой левые части представляют собой производные описываемых характеристик, а правые части представляют собой сумму переменных, взятых с плюсом, если их изменение приводит к положительному вкладу в характеристику и взятых с минусом, если их изменение приводит к отрицательному вкладу. Модель позволила обосновать прогнозы развития на будущее и оказала существенное влияние на социальные эффекты (движение «Зеленых» и т.п.).
Многие прогнозы модели мировой динамики к настоящему времени уже не оправдались. Модели Форрестера, описывающие динамику промышленных предприятий [5], относятся к индустриальному периоду развития общества. В настоящее время мы живем в постиндустриальную эпоху, в которой знание, информация и квалификация приобретают значимость основного ресурса для развития [6]. Происходящие в мире события оказываются неожиданными для многих профессиональных экономистов. В таких условиях возрастают требования к построению адекватных математических моделей деятельности предприятия с помощью принятых в естественных науках языковых средств. В последнее десятилетие появился ряд новых направлений, рассматривающих экономику как естественную точную науку, таких как эконофизика.
Зададимся целью построить математическую модель малого предприятия, основанную на известных моделях, описывающих динамику сложных систем. Модель должна удовлетворять современным подходам управления предприятием и быть основана на уравнениях нелинейной динамики, что соответствует развивающимся современным направлениям синергетики и эконофизики.
Модель малого предприятия
Для описания деятельности по управлению функционированием малого предприятия целесообразно основываться на четырех основных характеристиках, описанных в структуре сбалансированной системы показателей (ССП) [7]. Результативность работы предприятий наиболее очевидно оценивать финансовыми показателями. Данная система основана на утверждении, что финансовые показатели не являются основными показателями деятельности организации. Они показывают, как предприятие работало в прошлом, и ничего не говорят о будущем. Кроме того, вклад многих сотрудников и процессов не может быть оценен, как, например, квалификация персонала, трудно учитываемый при управлении предприятием. Однако в современном постиндустриальном обществе именно квалификация может сыграть решающую роль. Возможность изменения общей динамики системы под влиянием незначительных факторов также сформирована и вызывает интерес исследователей в естественных науках, изучающих динамику нелинейных систем и синергетики. Основываясь на этих достижениях социальной науки менеджмента и междисциплинарной естественной науки нелинейной динамики, для реализации поставленной цели будем создавать математическую модель управления работой предприятия, основываясь на управленческой методологии ССП.
ССП рассматривает четыре основные группы показателей: финансовые, внутренних бизнес процессов, отношение с внешней средой, и показатели обучения и развития. Для каждой из них запишем уравнение динамики. Представим группу финансовых показателей переменной, описывающей прибыль, которую обозначим P(t). Показатель, описывающий внутренние бизнес-процессы, представим производительностью - B(t). Будем рассматривать предприятие, занимающееся закупкой, установкой и обслуживанием высокотехнологичного оборудования. В данном случае клиентская часть ССП оказывается напрямую связанной с числом сотрудников, обслуживающих конкретного клиента. Группу показателей клиентской части опишем переменной числа сотрудников W(t). Ресурсом развития данного предприятия является квалификация персонала - Q(t), что будет соответствовать показателям обучения, развития и роста.
Для введенной системы показателей сформируем систему дифференциальных уравнений. Будем основываться на предположении, что получаемая предприятием прибыль находится в сложной, можно сказать, хрупкой зависимости от числа сотрудников. Хороший менеджер должен подобрать то самое оптимальное соотношение прибыли и числа работников, способных ее принести. При увеличении числа сотрудников выше необходимого прибыль сокращается, так как при том же объеме работ существенно увеличиваются затраты на оплату труда и обучение разросшегося штата сотрудников, но при уменьшении прибыли ниже необходимого уровня поддержания зарплат и премий квалифицированные сотрудники начинают уходить из организации и их число сокращается. На фоне полученного сокращения возникает фаза роста прибыли, которая вновь пойдет вниз, так как руководство вынуждено привлекать квалифицированных сотрудников, отдавая прибыль. Далее число сотрудников снова растет, что ведет к росту прибыли и новому перераспределению средств. Данное предположе-122
ние подкрепляется анализом баланса заинтересованных сторон, традиционно представляемым лепестковой диаграммой, показывающей внутреннюю противоречивость воздействия интересов сторон. Увеличение числа сотрудников закономерно ведет к увеличению прибыли предприятия, но рост числа сотрудников провоцирует расслоение в его кадровой структуре и стремление руководства получать большую долю прибыли, уменьшая доходы рядовых сотрудников. Можно представить сотрудников «хищными» потребителями прибыли.
Исходя из этих рассуждений, возьмем за основу математической модели малого предприятия уравнения Лотки-Вольтерра [8], которые часто используют для описания межвидовой конкуренции (хищник-жертва). Запишем эти уравнения для введенных переменных прибыли P(t) и числа «хищных» сотрудников W(t):
dP
— = (а-№ ^ ), (1)
dt
^ = ))Ж ^) (2)
где P(t) - прибыль предприятия, W(t) - количество сотрудников, t - время, а, в, у, 3 - коэффициенты, отражающие взаимодействия между этими величинами. Изменение трактовки смысла коэффициентов модели Лотки-Вольтерра для математической модели управления малым предприятием представлено в таблице.
Значение коэффициентов модели Лотки-Вольтерра и модели малого предприятия
Коэффициент Модель Лотки-Вольтерра Модель малого предприятия
а коэффициент рождаемости жертв связанный с производительностью коэффициент роста прибыли
У коэффициент убыли хищников связанный со снижением прибыли коэффициент сокращения числа квалифицированных сотрудников
Р коэффициент убийства жертв затраты на оплату труда, как произведение количества сотрудников на коэффициент, описывающий их среднюю заработную плату
8 коэффициент рождения новых хищников коэффициент приема на работу новых сотрудников в связи с ростом объемов работ
Будем исходить из положения ограничения числа сотрудников предприятия, являющегося малым. В соответствии с установленными Федеральным Законом № 209-ФЗ от 24.07.2007 ограничениями [9], малым предприятием считается организация с максимальным средним числом сотрудников за календарный год, равным 100 человек, что и будет являться ограничением в уравнении динамики числа сотрудников. Введем ограничение в уравнение, описывающее динамику числа сотрудников. Для этого используем логистическое уравнение (уравнение Ферхюльста [4]), предназначенное для описания роста численности населения:
~ „«)(1 - т) (3)
где К - поддерживающая емкость среды (максимально возможное число сотрудников), в нашем случае ограничивает число сотрудников предприятия, которое должно быть не больше 100 человек.
Данная пропорциональность показывает, что скорость роста числа сотрудников пропорциональна самой численности сотрудников и, в то же время, скорость увеличения их численности пропорциональна количеству доступных ресурсов. Таким образом, второй член уравнения отражает конкуренцию за ресурсы, которая ограничивает рост числа сотрудников.
Выделим дополнительные влияния, которые необходимо учесть при построении математической модели малого предприятия на системе сбалансированных показателей, связывающей четыре группы показателей: прибыль, число сотрудников, производительность и квалификацию персонала. На получение прибыли, «хищно» поглощаемой сотрудниками, наиболее существенное влияние оказывает производительность труда. Рост производительности ведет к росту прибыли, поскольку меньшее число сотрудников способно произвести большее количество услуг по закупке, установке и обслуживанию высокотехнологичного оборудования
Также учтем влияние производительности на прибыль организации, исходя из соображений, что при увеличении производительности предприятия будет наблюдаться рост прибыли и наоборот. Предположим, что скорость изменения прибыли связана прямо пропорционально со скоро-
стью изменения производительности. Заменим в (1) а, являющийся коэффициентом роста прибыли, на произведение а на производную по времени производительности B(t). После внесения данных дополнений система уравнений для описания динамики прибыли и числа сотрудников имеет следующий вид:
dP
— = (aB\t) -ßW (t ))P(t), (4)
dt
dW W (t)
dW = (-g+dP(t ))W (t )(1 - Wt)). (5)
dt 100
Далее составим дифференциальное уравнение для 4-й группы показателей ССП, описывающей внутренние бизнес-процессы организации, в разрабатываемой модели обозначенные производительностью. При описании производительности труда учтем, что она зависит от внешних по отношению к рабочему факторов во всех случаях, кроме тех, когда речь идет о его квалификации. Если производительность труда меняется при неизменности внешних факторов, стоит учитывать взаимосвязь производительности и квалификации персонала. Данный подход может быть реализован с использованием производственной функции Кобба-Дугласа [10], позволяющей оценить вклад различных внутренних факторов в увеличение общего объема производства:
Y=АО" Kß, (6)
где Y - объем производства, К - капитал (машино-часы или количество оборудования), L - труд (человеко-часы или численность работников), А - коэффициент пропорциональности (находится расчетным путем); а - коэффициент эластичности объема производства по затратам труда; ßm - коэффициент эластичности объема производства по затратам капитала. Коэффициенты эластичности определяются эмпирическим путем.
Расчеты, проведенные Ч. Коббом и П. Дугласом в США по данным за 1899-1922 гг. установили следующие параметры производственной функции: Y = 1,01* К0'25 * L0'75. То есть увеличение затрат капитала на 1% вызывает приращение объема производства на 25%; увеличение затрат труда на 1% соответственно увеличивает объем выпуска на 75%. Последующие исследования позволили преобразовать данную функцию в неоклассическую модель экономического роста американского экономиста Р. Солоу [11].
Из (6) следует, что при неизменной технологии и постоянном влиянии внешних факторов объемы производства зависят от затрат труда и капитала. При их фиксированных значениях изменение объемов возможно только за счет динамики не идентифицированных факторов:
Y = A(t)LaKl~a , (7)
Исследуя возможности применения данной зависимости при моделировании производственной функции, Р. Солоу ввел время как фактор роста, включающий влияние совокупности неиденти-фицированных факторов, в том числе технического прогресса:
Y = eXtLaK1_а (8)
где X - параметр функции.
Основываясь на модели Р. Солоу, проведем разработку математической модели производительности малого предприятия, выполняющего работы на объектах клиентов. Специфика данного предприятия представляет человеческий капитал основным капиталом предприятия, что в условиях произведения работ вне цехов и офисов организации будет являться основным фактором успешного и скорого выполнения работ. С учетом этого факта, капитал, представляемый в модели Р. Солоу как машино-часы или количество оборудования, заменим квалификацией персонала - q(t). При этом будем учитывать зависимость от времени переменных, входящих в состав математической модели.
Введем следующие переменные: вместо переменной Y, описывающей объем производства, будем использовать производительность организации B(t). Капитал К заменим на q(t), описывающую квалификацию персонала. Труд заменим на количество сотрудников W(t) (5). Для более наглядного представления в дальнейшем влияния квалификации на производительность условимся, что искомая производительность труда является не общей производительностью предприятия, а производительностью среднестатистического сотрудника. Для этого разделим правую часть уравнения (8) на количество сотрудников W(t).
При приеме сотрудников на работу на малое предприятие необходимо провести их обучение, так что необходимую квалификацию сотрудник приобретает через установленный сроками обучения период времени т. Поэтому возникает запаздывание по времени q(t-)). а - коэффициент эластичности производительности по вовлечению сотрудников и их квалификации. Таким образом, получим
Б(?) = (? ^ д(? -т)1-а, (9)
Из полученного уравнения видно, что производительность изменяется в зависимости от изменения числа сотрудников и их квалификации, с учетом принимаемого коэффициентов пропорциональности и эластичности.
Для получения временной зависимости производительности малого предприятия Б(?) дифференцируем (9) по времени и получаем следующее дифференциальное уравнение:
— = Ае^(?)а1 д(? - т)1-т + (а-1)—е1 W(t)а-2 д(Г - т)1-а + (1 - (О)-^е^(^1 д(? - т)-", (10) Л Л Л -т
В каждом из слагаемых выделим Б(?) и запишем полученное уравнение для производительности в следующем виде:
ЛБ , dW Б(?) ,, ЧЛ0(?-т) Б(?)
— = АБ(?) + (а- 1)—+ (1 —^ (11)
Л? Л? W(?) dt Q(t -т)
Как было сказано ранее, в условиях постиндустриального общества совершенствование техники и технологии должно сопровождаться совершенствованием организации и управления производством, а квалификация персонала должна опережать технический и организационный уровень производства. Для этого необходимо иметь количественную оценку квалификации персонала, позволяющую принимать решения по оказанию воздействия на нее. Учтем, что вновь принимаемые на работу сотрудники менее квалифицированны, чем уже работающие в организации. Для этого в уравнении (11) введена задержка по времени на период т, необходимый для передачи необходимых профессиональных навыков от высококвалифицированных сотрудников вновь набранным для обслуживания растущего числа заказов.
Для описания динамики квалификации малого предприятия в качестве основы воспользуемся уравнением Мальтуса [12], которое описывает рост численности населения. Будем полагать, что численность населения, используемая в данной модели, представляет собой накопленный человеческий капитал как основной ресурс развития малого предприятия, занимающегося предоставлением высококвалифицированных услуг. Данный капитал представлен квалификацией сотрудников, являющихся 4-й группой показателей ССП. Уравнение для квалификации получило следующий вид:
^ = а0(?), 0(?) = Аеа?, А = 0(0), (12)
Л?
где а - коэффициент неограниченного роста квалификации при неограниченном ресурсе развития технологий. Экспоненциальный рост квалификации сотрудников, как и популяций биологических видов, нереален, поэтому введем ограничение, аналогичное логистическому уравнению [4]:
^ = а0(?) - о0(?)2, (13)
Л?
где ядро сотрудников, передающее квалификацию +а0, ограничение 00 (с - технологии общества, ограничивающие возможность развития).
С учетом того, что повышение квалификации происходит при обучении, в процессе работы на производстве от более квалифицированных сотрудников к менее квалифицированным, что, по сути, является обучением в условиях выполнения работы без отрыва от производства. Соответственно можно предположить, что чем больше в организации «ядро» высококвалифицированных сотрудников, тем менее значительно будет влияние на среднюю квалификацию малого предприятия прием на работу сотрудников с низкой квалификацией. Однако в условиях, когда это «ядро» мало, а для выполнения работ малому предприятию необходимо быстро и значительно расширить штат сотрудников, произойдет значительное снижение квалификации из-за невозможности быстро обучить новичков, что в дальнейшем исходя из (11) повлияет на конечную производительность труда на предприятии. Поэтому в дальнейшем учтем влияние числа сотрудников W(t) с коэффициентом Ь и их скорость изменения числа сотрудников W(t) с коэффициентом Л:
^ = а0(?) + Ь0(?)W(?) - ¿0(?^'(?) - о0(?)2. (13)
Л?
Таким образом, основываясь на ССП и на модифицированных уравнениях Лотки-Вольтерра, Кобба-Дугласа и Мальтуса получим систему уравнений, описывающих математическую модель работы малого предприятия:
ЛР
— = (Б?) Р(?))Р(?), (14)
Л?
^ = (-g+ ¿p(t))W(t)(1 -) , dt 100
dB ОЫ.Л , ^dW B(t) n л dq B(t)
— = lB(t) + to-1)--— + (1 -w) ,
dt dt W(t) dt-t q(t-t)
^ = aQ(t) + bQ(t )W (t) - dQ(t )W'(t) - cQ(t )2. dt
(15)
(16)
(17)
В данной системе (14) и (15) основаны на предположении о противоречивости интересов получения высокой прибыли и необходимости делить ее на растущее число сотрудников с позиции менеджмента. Данная противоречивость представлена в хорошо известной управленческой методике анализа баланса интересов предприятия. Привлечение новых сотрудников ведет к дополнительным затратам предприятия как на увеличение прямых доходов большего числа сотрудников, так и на управленческое сопровождение, социальные расходы и обучение. С другой стороны, привлечение новых сотрудников при росте объемов работ является очевидной возможностью увеличить прибыль. Данное противоречие представлено известной моделью «хищник-жертва». При этом в уравнение для прибыли, «съедаемой» растущим числом сотрудников, введена прямая зависимость скорости роста прибыли от скорости роста производительности, являющаяся ключевой для предприятия, ориентированного на предоставление высокотехнологичных услуг. Уравнение для производительности (16) связано с уравнением для квалификации (17) и образует пару взаимосвязанных уравнений. Уравнение (16) для B(t) получено на основе хорошо известного уравнения производственной функции, использующей экспоненциальную зависимость от времени, учитывающей относительно постоянное влияние внешних условий и переменное влияние технического прогресса. В нашем представлении производственная функция нормирована на число сотрудников, обозначена производительностью B(t). Квалификация (17) основана на логистическом уравнении с введенной зависимостью от числа сотрудников, что является спецификой описываемого предприятия. Таким образом, получена система дифференциальных уравнений, описывающая динамику малого предприятия.
Для валидации уравнений (14)-(17) и моделирования управленческих решений на основе данной системы уравнений нужно исследовать ее возможные решения и пространство параметров. Проверочные исследования адекватности данной математической модели малого предприятия позволяют предполагать наличие различных динамических режимов. На рис. 1, 2 представлены результаты моделирования динамики малого предприятия в зависимости от значений коэффициентов, которые могут определяться в процессе управления.
P,W,B,q
P,W,B,q
/ I
v I \ I W k
.Г /
/
\
4
4
а)
Рис. 1. Кривые изменения прибыли P(t), числа сотрудников W(t), производительности B(t), и квалификации Q(t) при значении коэффициентов о=1, 0=0,1, /=0,5, 5=0,1, /=-0,4, ш=0,25, a=0,01, b=0,05, c=0,2, d=0,02, т =5 и начальных условиях:
P(0)= 5, W(0)=8, B(0)=5, Q(0)= 0,7. б) o=1, в=0,06, /=0,1, 5=1,17, /=0,05, oi=0,23, a=0,0044, b=0,05, c=0,3, d=0,1, г=5 и начальных условиях: P(0)=4, W(0)=8, B(0)=0,7, Q(0)= 0,7
Изменение коэффициентов и начальных условий ведет к возникновению различных динамических режимов, на рис. 1 а представлено затухание, ведущее к гибели предприятия. На рис. 1 б система стремится к высокоамплитудным колебаниям, что может привести как к выходу на стационар с высокими значениями контролируемых переменных, так и к потере системой устойчивости, также ведущей к гибели. Система проявляет зависимость от начальных условий, представленную на рис. 2 а, б. Таким образом, можно утверждать, что в данной работе впервые сформирована система нелинейных дифференциальных уравнений,
а
8
6
4
2
каждое из которых соответствует одному из 4 аспектов ССП. Проведение экспериментов и выявление размерности и реальных значений параметров позволит использовать данные уравнения для поддержки принятия управленческих решений, посредством изменения коэффициентов в системе и выбора другого режима динамики развития. Исследование пространства параметров данной системы позволит выявить области значений параметров, определяющих различные динамические решения.
P,W,B,q
15 -
t
Рис. 2. Кривые изменения прибыли P(t), числа сотрудников W(t), производительности B(t), и квалификации Q(t) при значении коэффициентов a=4, в=0,3, Y=0,4, 5=0,4, /=0,02, ш=0,25, a=0.0044, b=0,05, c=0,1, d=0,03, т =1 и начальных условиях: а - P(0)= 5, W(0)=8, B(0)=0,5, Q(0)= 0,7. б- P(0)=4, W(0)=8, B(0)=0,3, Q(0)= 0,7
Заключение
В работе впервые решена задача построения системы дифференциальных уравнений, представляющих собой математическую модель малого предприятия, ориентированного на предоставление высокотехнологичных квалифицированных услуг. Квалификация персонала в данном случае является его основным ресурсом развития. Данная модель представляет особый интерес в тенденции развития эконофизики в постиндустриальном обществе, основанном на знаниях. В обществе повышается роль научно-исследовательских центров и университетов и происходит быстрое замещение труда знаниями, подчеркивают выдающиеся экономисты и социологи Винер А., Друкер П., Тофлер О. [13]. Квалификация, основанная на владении информацией, становится основным производственным ресурсом общества.
Данное положение обусловило постановку задачи исследования - разработка математической модели управления малым предприятием. В результате получена оригинальная система уравнений, основанная на адаптации известных уравнений Лотки-Вольтерра, Кобба-Дугласа и Мальтуса для описания динамики процессов на малом производственном предприятии. Связь в системе организована путем включения очевидных с позиции менеджмента данного предприятия зависимостей различных параметров друг от друга. Проведена предварительная апробация модели, выявлено наличие различных динамических режимов при различных параметрах системы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Новиков А.М. Постиндустриальное образование / А.М. Новиков. М.: Эгвес, 2008. 136 с.
2. Веблен Т. Теория праздного класса: экономическое исследование институций / Т. Веблен; пер. с англ. под ред. В. В. Мотылева. М.: Прогресс, 1984 (англ. The Theory of Leisure Class, An Economic Study of Institutions, 1899)
3. Тоффлер Э. Третья волна The Third Wave, 1980 / Э. Тоффлер. М.: АСТ, 2010. 784 с.
4. Форрестер Дж. Мировая динамика / Дж. Форестер. М.: АСТ, 2006. 384 с.
5. Форрестер Дж. Основы кибернетики предприятия: Индустриальная динамика / Дж. Форрестер. M.: Прогресс, 1970. 340 с.
6. Большаков А.А. Новые методы математического моделирования динамики и управления формированием компетенций в процессе обучения в вузе: монография / А.А.Большаков, И.В.Вешнева, Л.А.Мельников, Л.Г.Перова. М.: Горячая линия - Телеком, 2013. 248 с.
7. Нортон Д. Сбалансированная система показателей. От стратегии к действию / Д. Нортон, Р. Каплан. М.: Олимп-Бизнес, 2010. 320 с.
8. Ризниченко Г.Ю. Лекции по математическим моделям в биологии / Г.Ю. Ризниченко. М.Ижевск: НИЦ РХД, 2011 г. 232 с.
9. Федеральный Закон № 209-ФЗ от 24.07.2007.
10. Cobb Ch. Production Function Once Again: Its History, Its Testing, and Some New Empirical Values» / Ch. Cobb, P. Douglas // Journal of Political Economy. 1976. №84. P. 903-916.
11. Solow R.M. A Contribution to the Theory of Economic Growth / R.M. Solow // Quarterly Journal of Economics. 1956. №70. P. 65-94.
12. Malthus T.R. An assay on the Principle of Population / T.R., Malthus. London: Johnson, 1798. (Русский перевод) М. Мальтус. Опыт закона о народонаселении. СПб, 1908.
13. Друкер П. Менеджмент. Вызовы XXI века / П. Друкер. М.: Манн, Иванов и Фербер, 2012. С. 256.
Вешнева Ирина Владимировна -
кандидат физико-математических наук, доцент, докторант кафедры «Приборостроение» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Мельников Леонид Аркадьевич -
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Приборостроение» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Немцов Александр Ильич -
аспирант кафедры «Приборостроение» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю. А.
Irina V. Veshneva -
Ph. D., Associate Professor
Department of Instrumentation Engineering
Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
Leonid A. Melnikov -
Dr. Sc., Professor
Head: Department of Instrumentation Engineering Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
Aleksander I. Nemtsov -
Postgraduate
Department of Instrumentation Engineering Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
Статья поступила в редакцию 12.09.13, принята к опубликованию 15.12.13
