Математическая модель ультрафильтрационного концентрирования промышленных растворов биохимических производств Текст научной статьи по специальности «Математика»

Рассмотрим задачу массопереноса через ультрафильтрационную мембрану при течении раствора в мембранном канале, формируемым корпусом аппарата и полупроницаемой мембраной. Принимаем следующие допущения:

1) насос-дозатор обеспечивает постоянство подачи раствора в камеру разделения;

2) в емкости исследуемого раствора обеспечивается режим идеального перемешивания;

3) изменение плотности жидкости отсутствует;

4) режим движения жидкости в мембранном канале Яв < 2320;

5) физико-химические свойства ультрафильтрационной мембраны учитываются величинами коэффициента задержания и удельного потока растворителя;

6) рабочая плотность тока в мембранном канале ниже критической.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЗАПИСЬ ЗАДАЧИ

Начальные данные:

V (х = о)=V,

Сг (х = 0) = С/о .

(1) (2)

Материальный баланс по растворителю в промежу-

точной емкости:

dV = / х йх + х йх,

(3)

(4)

Материальный баланс по растворенному веществу в промежуточной емкости:

й (Ус/) = —1/ х С/ х йх + х ск х йх .

(5)

Материальный баланс мембранного модуля по растворителю:

1 / = +1 р .

(6)

Материальный баланс мембранного модуля по растворенному веществу:

С/ х йУ + V х йс/ =—1/ х С/ х йх + х ср х йх . (7)

Продифференцируем выражение (5): С/ х йУ + V х йс/ =—1/ х С/ х йх + х ск х йх . (8)

Подставим в (8) выражение из (7):

Су х + V х йсу- = х с^- х йх + (^ х с^- — — 1 р х ср ) х йх.

Преобразуем (4) с использованием (6):

dV/dх = —Jp, = 1 х йх.

(9)

(10) (11)

Подставим (11) в (9):

—С / х 1 р х йх + V х йс/ = —Jf х Сх йх + + (1 / х С / — 1 р х ср ) х йх

После несложных преобразований получим:

V х йс/ = С/ рхйх — 1 х ср х йх,

V х йс^ = с/ рхйх — 1 х с/ х (1 — Я ) х йх, йс/ С/ х х Я

йх

V

(12)

(13)

(14)

(15)

Подставим в (10) и (15) выражение, определяющее удельный поток растворителя модуля:

dV|dх = —к х(АР — Ал) х Гт

йс

/ _ с /

с к х (АР — Ал) х ¥т х Я

йх

(16) (17)

где х - время разделения раствора, с; Ал - осмотическое давление раствора, Па; АР - разность давлений; ¥т - площадь мембраны, м2.

Коэффициент задержания рассчитывается по формуле:

Я = 1 — Ср , Ср =(1 — Я)х С0

С

(18)

где Я - коэффициент задержания, %; Ср - концентрация растворенного вещества в пермеате, кг/м3; с0 -концентрация растворенного вещества в исходном растворе, кг/м3.

Значение величины Ал определяем по формуле:

Ал = 1 х Я хТ х АС ,

(19)

где 1 - изотонический коэффициент раствора фактор Вант-Гоффа (1 = 1 для раствора слабых электриков); Т - температура 293,15 К; Я = 8,314 дж/моль, Я - универсальная газовая постоянная. Величина

АС = С0 — Ср = С0 — (1 — Я )х С0 = Я х С0

(20)

Я = 1 —

Коэффициент задержания рассчитываем по формуле: 1

1^к^'Р—■'к Я'"" (—С3'

(21)

где к, к2 , п, С - числовые коэффициенты.

Для расчета величины удельного потока растворителя разработана эмпирическая зависимость от концентрации исследуемого раствора, рабочего давления и температуры:

2348

а)

б)

Рис. 2. Сопоставление экспериментальных и расчетных данных по объему раствора в промежуточной емкости и концентрации растворенного вещества от времени проведения эксперимента: а) мембрана УАМ-150 (1, 2 - эксперимент; 3, 4 - расчет); б) мембрана УПМ-К (1, 2 - эксперимент; 3, 4 - расчет)

J = к10 X (Рп - к' С ± к'2 • 1Ь ) х

X ехр1 к'3 • Сй + А

(22)

где У о, к11,к/2, к1 з - числовые коэффициенты; Т -температура раствора; К, А - эмпирические коэффициенты.

Систему уравнений (16-17) интегрируем с учетом начальных условий (1-2). Получим исходные задачи Коши:

1)

(23)

йУ/йх = -к х (АР - Ал) х Ет, V (х = 0) = у,. йУ = -к х (АР - Ал)х Гт х йх, йУ = -к х(АР -1 х Я х Т х Я х С0 )х Гт х йх , |йУ = к х (АР -1 х Я х Т х Я х С0)х Гт х йх ,

У = -к х (АР -г х Я х Т х Я х С0)х ^ хх + С -общее решение дифференциального уравнения.

При начальном условии У(х = о) = у решение задачи Коши имеет вид

У0 =-к х (АР -1 х Я хТхЯ х С0)х ^ х 0 + С, значит

к0 с = у

о .

У = -к х (аР - г х Я хТ х Я х С0 )х ^ хх + У0 .

2)

йс/ _ с / х к х (АР - Ал)

х ^т х Я

йх

У

(24)

Су (х = 0) = С/,.

йсу _ к х (АР - г х Я х Т х Я х С0)х ^ х Я

к х(АР - г х Я х Т х Я х С )х ^ х Я

йх,

С/|=

_ к х(АР - г х Я х Т х Я х С0 )х Рт х Я хх

У

+ С

общее решение дифференциального уравнения.

При начальном условии С/ (х = 0) = С/0 получаем

1п| С/0 = С , тогда

1П с/| =

_ к х (АР -

гхяхТхЯхСо)хх^т хЯ хх

У

+ 1п С

/ 0 ,

с/ =с/о х

х ехр

к х (АР - г х Я х Т х Я х С0 ) х рт х Я хх

(25)

(26)

У

где х - время разделения раствора, с; АР - разность давлений; Ет - площадь мембраны, м2; Я - коэффициент задержания; с0 - концентрация растворенного вещества в исходном растворе, кг/м3; г - изотонический коэффициент; Т - температура 293,15 К; Я - универсальная газовая постоянная; к - числовой коэффициент.

Проверка адекватности математической модели заключалась в сравнении расчетных и экспериментальных значений технологических параметров процесса электроультрафильтрационного разделения: концентрации растворенного вещества и объема раствора в исходной емкости, для исследованной системы раствор -мембрана, в зависимости от времени проведения процесса. Расчетный алгоритм математической модели был реализован в виде программы на С1++, который позволяет визуализировать полученные результаты.

На рис. 2 приведено сопоставление экспериментальных и расчетных значений по объему раствора в промежуточной емкости и концентрации вещества от времени ведения эксперимента: а) прианодной мембраны УАМ-150; б) прианодной мембраны УПМ-К. Как видно из кинетических зависимостей с течением

2349

+

с

времени концентрация в емкости раствора возрастает (рис. 2а, 2б - кривые 1 и 3), а объем раствора снижается (рис. 2а, 2б - кривые 2 и 4) уменьшается - это соответствует физической сущности электроультрафильтра-ционного концентрирования технологических растворов биохимических производств.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лавренченко А.А. Исследование кинетических закономерностей процесса электрофильтрационной очистки стоков биохимических производств // Современные предпосылки развития инновационной экономики: материалы 2 Междунар. науч.-практ. конф. Тамбов: Изд-во ИП Чеснокова А.В., 2014. С. 37-38.

2. Абоносимов О.А., Лазарев С.И., Алексеев А.А. Математическая модель массопереноса в обратно осмотических аппаратах рулонного типа // Труды ТГТУ: сб. науч. ст. молодых ученых и студентов. Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2000. Вып. 6. С. 101-104.

3. Лазарев С.И., Головашин В.Л., Ворожейкин Ю.А., Лавренченко А.А. Математическая модель стадии биоультрафильтрационного концентрирования водных растворов крахмально-паточных производств // Глобальный научный потенциал. СПб., 2012. № 5 (14). С. 48-50.

4. Головашин В.Л., Лазарев С.И., Лавренченко А.А. Использование баромембранного обессоливания промышленных минерализованных растворов // Россия и Европа: связь культуры и экономики: материалы 5 Междунар. науч.-практ. конф. Прага, 2014. С. 48-51.

Поступила в редакцию 12 июля 2016 г.

Лазарев Сергей Иванович, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой прикладной геометрии и компьютерной графики, e-mail: geometry@mail.nnn.tstu.ru

Протасов Дмитрий Николаевич, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат экономических наук, доцент кафедры высшей математики, е-mail: geometry@mail.nnn.tstu.ru

Лавренченко Анатолий Александрович, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация, ассистент кафедры автосервиса, е-mail: geometry@mail.nnn.tstu.ru

Насонов Алексей Александрович, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант, кафедра прикладной геометрии и компьютерной графики, е-mail: geometry@mail.nnn.tstu.ru

Левин Александр Александрович, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация, магистрант по направлению подготовки «Техносферная безопасность», е-mail: geometry@mail.nnn.tstu.ru

UDC 66.GS1.63

DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21 -б-2З47-2З 51

MATHEMATICAL MODEL OF ULTRAFILTRATION CONCENTRATION OF COMMERCIAL SOLUTIONS OF BIO-CHEMICAL PRODUCTION

© S.I. Lazarev, D.N. Protasov, A.A. Lavrenchenko, A.A. Nasonov, A.A. Levin Tambov State Technical University 106 Sovetskaya St., Tambov, Russian Federation, 392000 E-mail: geometry@mail.nnn.tstu.ru

The mathematical model of ultrafiltration kinetics concentration of biochemical solutions of production basing on analytical solution of Cauchy problem, which let adequately calculate concentrations of materials in permeate and retentate taking into consideration the concentration in original solution is developed. The calculation algorithm is realized in the program Cx^, which let visualize the received results. The divergence of estimated and experimental data does not exceed 15 % and it is acceptable for engineering calculations. Key words: mathematical model; ultrafiltration; membrane; adequacy; calculation

REFERENCES

1. Lavrenchenko A.A. Issledovanie kineticheskikh zakonomernostey protsessa elektrofil'tratsionnoy ochistki stokov biokhimicheskikh proizvodstv [The research of kinetic regularities of the process of electric-filtration sewage treatment of biochemical production]. Materialy 2 Mezhdunarodnoy nauchno-prakticheskoy konferentsii «Sovremennye predposylki razvitiya innovatsionnoy ekonomiki» [Materials of the second international scientific-practical conference "Modern prerequisites of innovation economics development"]. Tambov, PE Chesnokov A.V. Publ., 2014, pp. 37-38. (In Russian).

2. Abonosimov O.A., Lazarev S.I., Alekseev A.A. Matematicheskaya model' massoperenosa v obratno osmoticheskikh apparatakh rulonnogo tipa [Mathematical model of mass-transfer in reverse-osmotic apparatus of roll type]. Sbornik nauchnykh statey molodykh uchenykh i studentov «Trudy TGTU» [A collection of scientific articles of young scientists and students "Works of TSTU"]. Tambov: Tambov State Technical University Publ., 2000, no. 6, pp. 101-104. (In Russian).

235G

3. Lazarev S.I., Golovashin V.L., Vorozheykin Yu.A., Lavrenchenko A.A. Matematicheskaya model' stadii bioul'trafil'tratsionnogo kontsentrirovaniya vodnykh rastvorov krakhmal'no-patochnykh proizvodstv [Mathematical Model of Bio-Ultrafiltration Organic Phase Concentration of Aqueous Solutions in Starch and Syrup Production]. Global'nyy nauchnyy potentsial - Global Scientific Potential, 2012, no. 5 (14), pp. 48-50. (In Russian).

4. Golovashin V.L., Lazarev S.I., Lavrenchenko A.A. Ispol'zovanie baromembrannogo obessolivaniya promyshlennykh mineralizovannykh rastvorov [The use of baromembrane demineralization of industrial mineralizing solutions]. Materialy 5 Mezhdunarodnoy nauchno-prakticheskoy konferentsii «Rossiya i Evropa: svyaz' kul'tury i ekonomiki» [Materials of the 5th international scientific-practical conference "Russian and Europe: cultural and economical link"]. Praga, 2014, pp. 48-51. (In Russian).

Received 12 July 2016

Lazarev Sergey Ivanovich, Tambov State Technical University, Tambov, Russian Federation, Doctor of Technics, Professor, Head of Applied Geometry and Computer Graphics Department, e-mail: geometry@mail.nnn.tstu.ru

Protasov Dmitriy Nikolaevich, Tambov State Technical University, Tambov, Russian Federation, Candidate of Economics, Associate Professor of Higher Mathematics Department, e-mail: geometry@mail.nnn.tstu.ru

Lavrenchenko Anatoliy Aleksandrovich, Tambov State Technical University, Tambov, Russian Federation, Assistant of Car Service Department, e-mail: geometry@mail.nnn.tstu.ru

Nasonov Aleksey Aleksandrovich, Tambov State Technical University, Tambov, Russian Federation, Post-graduate Student, Applied Geometry and Computer Graphics Department, e-mail: geometry@mail.nnn.tstu.ru

Levin Aleksander Aleksandrovich, Tambov State Technical University, Tambov, Russian Federation, Master's Degree Student on Training Direction "Security in Technical Sphere", e-mail: geometry@mail.nnn.tstu.ru

Информация для цитирования:

Лазарев С.И., Протасов Д.Н., Лавренченко А.А., Насонов А.А., Левин А.А. Математическая модель ультрафильтрационного концентрирования промышленных растворов биохимических производств // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2016. Т. 21. Вып. 6. С. 2347-2351. DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-2347-2351

Lazarev S.I., Protasov D.N., Lavrenchenko A.A., Nasonov A.A., Levin A.A. Matematicheskaya model' ul'trafil'tratsionnogo kontsentrirovaniya promyshlennykh rastvorov biokhimicheskikh proizvodstv [Mathematical model of ultrafiltration concentration of commercial solutions of bio-chemical production]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki — Tambov University Review. Series: Natural and Technical Sciences, 2016, vol. 21, no. 6, pp. 2347-2351. DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-23472351 (In Russian).

2351

УДК 519.6

DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21 -6-2352-23 57

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАЗВИТИЯ ИНФЕКЦИОННОГО ПРОЦЕССА НА ОСНОВЕ МУЛЬТИАГЕНТНОГО ПОДХОДА

© А.А. Арзамасцев, Н.А. Зенкова, А.В. Улыбин

Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33 E-mail: arz_sci@mail.ru

Проанализирована разработка математической модели, позволяющей осуществить реализацию мультиагентно-го подхода и проследить развитие инфекционного процесса. В качестве примера использования модели проведено исследование процесса распространения ВИЧ-инфекции в России.

Ключевые слова: математическое моделирование; мультиагентный подход; ВИЧ-инфекция; мультиагентная модель развития инфекционного процесса

ВВЕДЕНИЕ

Участившиеся случаи возникновения и распространения различных инфекций, затрагивающих значительные слои населения, требуют разработки специальных методов оценивания, прогнозирования и поиска управляющих воздействий. Указанные оценки могут быть выполнены с использованием специальных математических моделей, учитывающих механизмы развития инфекций, правила взаимодействия объектов, внешние условия. Математическое моделирование является достаточно мощным инструментом для изучения сложных объектов и процессов, происходящих в реальном мире. Особенно незаменимо оно в тех областях исследований, где реальные эксперименты над объектами затруднены или просто невозможны. Примером одной из таких областей является эпидемиология.

Принципы моделирования эпидемиологических процессов существенно отличаются от соответствующих приемов, используемых в естественных науках. Для социальных процессов не всегда удается найти фундаментальные законы, зависимости и закономерности, позволяющие связать характеристики всей системы с индивидуальными свойствами составляющих ее элементов, правилами их взаимодействия, динамикой развития и т. д. Другой причиной, осложняющей построение таких моделей, является статистический характер свойств элементов, составляющих социальную систему. Возможно также отклонение статистических данных от их реальных значений.

Указанные обстоятельства делают малопродуктивными известные подходы, базируемые на использовании аппарата дифференциальных уравнений ввиду того, что:

- данные модели являются непрерывными, тогда как распространение инфекции - дискретный процесс;

- не учитываются индивидуальные свойства объектов;

- не учитывается стохастический характер процесса;

- параметры модели зачастую представляют собой осредненные для всей системы значения, не относящиеся к физическим свойствам моделируемых объектов;

- не представляется возможным на базе вычислительных экспериментов разработать практически пригодные рекомендации и правила для замедления темпов распространения инфекции.

Наиболее универсальным и перспективным подходом в имитационном моделировании различных социальных процессов является агентно-ориентированное моделирование [1]. Оно не только рассматривает элементы системы как отдельные единицы анализа и позволяет моделировать взаимодействия между ними, но также делает возможным исследовать свойства всей системы, исходя из свойств входящих в нее объектов и правил их взаимодействия. Данный подход заключается в замене реальных объектов социальной системы с соответствующим набором их свойств компьютерными аналогами - агентами, функционирующими в среде операционной системы и имеющими правила взаимодействия между собой и с окружением, аналогичные правилам, имеющимся в реальной системе.

Методы моделирования и распространения различных инфекций и эпидемий рассматриваются в работах российских и зарубежных ученых. Так, модели В.Н. Разжевайкина, A.S. Perelson представляют собой системы обыкновенных дифференциальных уравнений [2-3]. Выше приводились основные недостатки таких моделей. Среди существующих работ в области моделирования распространения инфекций встречаются модели, в которых использован мультиагентный подход. Так, например, модель М.Л. Куравского базируется на использовании двумерного клеточного автомата [4]. В данной модели на состояние клетки способны влиять только ее соседи. Группой авторов T.J. Cing, H.H. Kwang, G. Zaiyi разработана мультиагентная модель распространения ВИЧ-инфекции на уровне клеток внутри организма [5]. Они изучали реакцию иммунной системы при введении в организм клеток вируса. С ис-

2352