CC BY
64
ЛЕСОИНЖЕНЕРНОЕ ДЕЛО
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТОРМОЖЕНИЯ АВТОПОЕЗДА, УЧИТЫВАЮЩАЯ ВЛИЯНИЕ ВОЗДУШНОЙ СРЕДЫ
Д.Н. АФОНИЧЕВ, проф. каф. промышленного транспорта, строительства и геодезии ВГЛТА
dmafonichev@yandex.ru
Согласно уравнению тягового баланса, на автопоезд действуют семь внешних сил [1-3], сумма которых равна силе инерции РИ, то есть
Ър,=р„,
i=1
где P - сила тяги, Н;
P2 - сопротивление качению, Н;
P3 - сопротивление от кривой, Н;
P4 - составляющая силы тяжести, направленная вдоль уклона пути, Н;
P5 - сопротивление воздушной среды, Н; P6 - сопротивление троганию с места, Н; P7 - тормозная сила, Н.
Анализ усилий, действующих на автопоезд, показывает следующее: P является движущей силой и всегда направлена по направлению движения, то есть P > 0; P2, P P P6 - силы сопротивления движению, всегда направленные в противоположную сторону от направления движения и могут быть выражены через коэффициенты в долях от веса транспортного средства Q, то есть P2 = fQ, где f - коэффициент сопротивления качению, P3 = i3Q, где i3 - эквивалентный уклон, сопротивление от которого равно сопротивлению от кривой, P5 = f Q, где f - коэффициент сопротивления воздушной среды. Усилие P6 действует в начальный момент движения (при трогании с места), после чего P6 = 0; P4 может выступать в качестве силы сопротивления движению при продольном уклоне пути i > 0 и в качестве движущей силы при i < 0, P4 = iQ; тормозная сила P7 является силой сопротивления движению и составляет P7 = yQ, где у - коэффициент тормозной силы. Сила инерции равна
РИ = (Q5/g>(dv/dt) [3L
где 5 - коэффициент, учитывающий инерцию вращающихся масс транспортного средства;
g - ускорение свободного падения, м/с2;
dv/dt - ускорение поступательно движущихся масс транспортного средства,
м/с2;
v - мгновенная скорость движения транспортного средства, м/с.
Усилия, действующие на автопоезд, можно рассматривать как составляющие его веса, определяемые через безразмерные коэффициенты, причем fK = P1 / Q - коэффициент силы тяги, а значит, уравнение тягового баланса транспортного средства можно записать в безразмерном виде
fK - fO ± i - iЭ - Y = (5/g)•(dv/dt), (1)
где fO - коэффициент основного сопротивления движению.
В уравнении (1) при символе i знак «+» используется при движении на спуск, а знак «-» - при движении на подъем.
При торможении автопоезда сила тяги не требуется, а следовательноf = 0, также при торможении ускорение меняет направление (происходит замедление движения), тогда
- fO ± i - iэ - Y = -(5/g>(dv/dt). (2)
Члены левой части fO, i и i:3 безразмерного уравнения (2) определяются по формулам [4, 5]
fO = f+fB = fo + K(v - 5,56) +
+ (KkQ(v±vB)2) / Q; (3)
i = P(s - Sb) + io; (4)
i3 = 0,82(s - sn) / R/n; i3 = 0,82 / R; i3 = (0,82 / RE>(1 - ((s - sn) / /П), (5)
где fo - коэффициент сопротивления качению при скорости движения до 20 км/ч;
Kf - коэффициент возрастания сопротивления качению с увеличением скорости, (м/с)-1;
K - коэффициент обтекаемости, (Н • с2)/м4;
k - коэффициент, учитывающий состав автопоезда;
ш - площадь парусности, м2;
vB - скорость воздушного потока вдоль участка дороги, по которому происходит движение, м/с;
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2012
113
ЛЕСОИНЖЕНЕРНОЕ ДЕЛО
р - кривизна вертикальной кривой [5, 6],
м1;
s - координата транспортного средства, м;
sB - координата начала вертикальной кривой, м;
iQ - уклон в начале вертикальной кривой (уклон элемента, после которого начинается вертикальная кривая);
sn - координата начала переходной кривой, м;
R - радиус основной кривой, м;
1П - длина переходной кривой, м.
В формуле (3) знак «+» используется для встречного ветра, а знак «-» - для попутного. Формулы (5) записаны в последовательности для дорожных условий: переходная кривая (движение от прямой вставки к основной кривой), основная (круговая) кривая, переходная кривая (движение от основной кривой к прямой вставке).
Анализ формул (3-5), определяющих члены уравнения (2), показывает, что члены левой части уравнения (2) можно разделить на следующие группы: константы, составляющие, зависящие от скорости движения автопоезда v, составляющие, зависящие от скорости в квадрате v2, и составляющие, которые зависят от координаты транспортного средства s. Таким образом, уравнение (2) можно представить в виде
aQ + a1v + a2v2 + a3s + у = -(5/g)-(dv/dt), (6) где a0, a1, a2, a3 - коэффициенты, определяемые по зависимостям (7).
ao=- f + 5,56K- (Kk®vB2 / Q) + psb ± x a1 = - Kf + (2Kk<$v2 / Q);
a2 = -КЫ / Q; a3 = ± ps. (7)
С учетом зависимостей (7) и уравнения (6) можно сделать вывод о том, что уравнение (2) включает две независимые переменные s и v, но v = ds / dt, а следовательно уравнение (6) является дифференциальным уравнением второго порядка
a0 + a1(ds/dt) + a2(ds/dt)2 + a3s - у =
= -(5/gXdWt2). (8)
Решение данного уравнения представляет определенную сложность, а поэтому в большинстве случаев рассматривают движение только по прямолинейным участкам в плане и профиле, что позволяет принять со-
гласно выражениям (4) и (5) s - sB = 0, тогда уравнение (8) примет вид
a0 + a1v + a2v2 - у = -(5/g)-(dv/dt). (9)
Для упрощения решения уравнения (9) пренебрегают действием воздушной среды, что позволяет исключить из него член a2v2 [3, 4, 5, 7].
Определим показатели процесса торможения автопоезда с учетом воздействия воздушной среды. Если рассматривать движение с отключенным двигателем, то коэффициент 5, учитывающий инерцию вращающихся масс, можно считать постоянным [2] и принять, что коэффициент тормозной силы у является постоянным, то уравнение (9) примет вид
a0 + a1v + a2v2 = -(5/g)-(dv/dt). (10)
Формулы (7) с учетом принятых условий примут вид
ao = - fo + 5,56Kf- (Кжх2 / Q) ± j - y;
a1 = - Kf + (2Kk<$v2 / Q); a2 = -Kkra / Q. (11) Уравнение (10) имеет следующие ре-
шения:
v = А^[А(Х - a2gt / 5)] - a1 / 2a2; C = (1 / D1) arctg[1 / D1(v0 + a1 / 2a2)];
A
a0 a1
при
a
a2 4a2 a2
a
4a22
> 0;
(12)
v = D
1 + eT
a
1 - eT 2a,,
; T = 2 d2\c2-
a2 gt I .
C =
1
2D
ln
2v0 a2 + a1 - 2 D2a2
2v0a2 + a1 + 2D2a2
D2 =.
2
a1 °
4a2
a
a
a
4a2
(13)
5
где v0 - скорость в момент начала торможения, м/с.
Продолжительность (время) торможения tT определяется из условия, что при t = tT v = 0:
5
6CL_______
a2g a2 gD1
arctg
a
2a2D1
a0 a1
при —-----X > 0;
5C
a2
5
a2g 2a2 gD2
4a2
ln
a1 - 2 D2a2
a1 + 2D2a2
aa
при --X < 0 .
a
4a2
(14)
(15)
114
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2012
ЛЕСОИНЖЕНЕРНОЕ ДЕЛО
Так как v = ds/dt, то тормозной путь ST
равен
tT
ST =| vdt. (16)
0
Интегрирование выражений, определяющих закон изменения скорости при торможении (11) и (12), позволило установить формулы для расчета тормозного пути ST:
ST
a1tT
2a2
5
a2 g
In
cos(D1C1)
cos Г a2 gtT ^1
L 11 1 5 JJ
a,
a
при -----> 0;
a
S = To ^t
Ot
2a2 g
1-
2
5a1
4a2
(17)
2a2 D2
_5_ a2 g
In
1 - eT
1 - e
Tt
a
a
при —----^ < 0.
a
4a 0
(18)
22
Максимальное значение коэффициента тормозной силы у равно коэффициенту сцепления тормозных колес автопоезда с покрытием дороги ф [3, 4, 5], то есть у = kCq>, где kC - коэффициент, учитывающий долю веса автопоезда, приходящуюся на тормозные колеса, если все колеса транспортного средства тормозятся, то kC = 1. Как известно [4, 5] величина коэффициента сцепления зависит от скорости движения v
ф = Фо - Кф(v - 5,56), (19)
где ф0 - коэффициент сцепления при скорости движения до 20 км/ч;
Кф - коэффициент, учитывающий снижение силы сцепления колес с покрытием, (м/с)-1.
В случае торможения с максимальным значением тормозной силы (при у = ^ф) в уравнение (9) вместо у надо подставить ^[ф0 - KJv - 5,56)]. После преобразований уравнение (9) с учетом подстановки преобразуется в уравнение (10), коэффициенты a0 и a1 которого с учетом формулы (19) будут равны a0 = -/0 + 5,56Kf- (KW/ / Q) ±
± 1 - ^0 - 5,56kcKф;
ai = - К + (2Kk®v2 / Q) + Кф. (20)
Коэффициент a2 уравнения (10) остается без изменений и определяется по формуле (11).
Зависимости (12) - (15), (17) и (18) образуют математическую модель торможения
автопоезда с учетом действия воздушной среды. Если коэффициенты a0 и a1 определяются по зависимостям (20), то модель описывает процесс торможения при максимально возможном и переменном значении тормозной силы, но ввиду сложной физической сущности процесса торможения автопоезда значения времени торможения и тормозного пути, определенные по формулам (14), (15), (17) и (18), надо увеличить на величину коэффициента эффективности торможения КЭ [5, 7]. Зависимости (11) в совокупности с выражениями (12) - (15), (17) и (18) образуют математическую модель торможения автопоезда с учетом действия воздушной среды при постоянном значении тормозной силы.
Апробация разработанной математической модели показала, что влияние воздушной среды на процесс торможения может быть существенным и зависит как от скорости движения автопоезда, так и от скорости ветра вдоль направления движения (вдоль дороги). Предложенная математическая модель торможения автопоезда может быть использована для обоснования допустимых спусков автомобильных дорог и скоростей движения с учетом влияния господствующих ветров.
Библиографический список
1. Фаробин, Я.Е. Теория движения специализированного подвижного состава / Я.Е. Фаробин, В.А. Овчаров, В.А. Кравцева. - Воронеж, 1981. - 160 с.
2. Литвинов, А.С. Автомобиль: теория эксплуатационных свойств / А.С. Литвинов, Я.Е. Фаробин. - М.: Машиностроение, 1989. - 240 с.
3. Шегельман, И.Р. Эффективная организация автомобильного транспорта леса / И.Р. Шегельман, В.И. Скрыпник, А.В. Кузнецов. - Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ 2007. - 280 с.
4. Сухопутный транспорт леса / В.И. Алябьев, Б.А. Ильин, Б.И. Кувалдин и др. - М.: Лесная пром-сть, 1990. - 416 с.
5. Курьянов, В.К. Автомобильные дороги / В.К. Курьянов, Д.Н. Афоничев, А.В. Скрыпников. - Воронеж: ВГЛТА, 2007. - 284 с.
6. Афоничев, Д.Н. Совершенствование математического обеспечения автоматизированного проектирования продольного профиля дороги / Д.Н. Афоничев // Моделирование систем и процессов. - Воронеж: ВГЛТА, ВГУ, 2009. - Вып. 3, 4. - С. 18-22.
7. Афанасьев, Л.Л. Конструктивная безопасность автомобиля / Л.Л. Афанасьев, А.Б. Дьяков, В.А. Ила-рионов. - М.: Машиностроение, 1983. - 212 с.
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2012
115
