МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТЕРМОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ГЕНЕРАТОРНОГО МОДУЛЯ КОЛЬЦЕВОЙ ГЕОМЕТРИИ Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Энергетика

УДК 621.362

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТЕРМОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ГЕНЕРАТОРНОГО

МОДУЛЯ КОЛЬЦЕВОЙ ГЕОМЕТРИИ

О.В. Калядин, К.Г. Королев

Воронежский государственный технический университет, г. Воронеж, Россия

Аннотация: разработана универсальная математическая модель для определения эксплуатационных характеристик термоэлектрических генераторных модулей с произвольной геометрией кольцевых термобатарей. В качестве объекта моделирования был использован термоэлектрический модуль, состоящий из 7 генераторных термобатарей кольцевого типа. В качестве материалов для ветвей термоэлементов были использованы сплавы с р-типом проводимости (В^^Ь15Те3д с добавкой 0,06 % (масс.) РЬ) и с п-типом проводимости (Bi2Sеo,6Te2,4 с добавкой 0,24 % (масс.) Щ2С12), полученные методом горячего прессования, для которых были известны температурные зависимости термо-ЭДС, коэффициента теплопроводности и электропроводности. Для математического описания применяется система, включающая балансовые уравнения модуля; уравнения, устанавливающие связь между тепловыми потоками, КПД, электрической мощностью, генерируемым током, напряжением и сопротивлением внешней нагрузки; выражения, определяющие электрическое сопротивление модуля и полную его теплопроводность между горячим и холодным спаями; уравнения теплопроводности для всех вспомогательных слоев батарей. Результаты моделирования приведены в виде графических зависимостей влияния сопротивления внешней нагрузки на тепловые потоки и температуры спаев по горячей и холодной стороне, КПД и вырабатываемую электрическую мощность, рабочий электрический ток и напряжение. Представлена вольт-амперная характеристика модуля и зависимость генерируемой мощности от рабочего тока

Ключевые слова: моделирование, термоЭДС, термоэлектрический генератор, термобатарея кольцевой геометрии, стационарный процесс

Благодарности: работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации в рамках постановления Правительства Российской Федерации от 9 апреля 2010 г. № 218 (договор № 03.G25.31.0246)

Термоэлектричество является достаточно сложным и специфичным направлением в современной науке и технике и в настоящее время имеет большие перспективы развития. Термоэлектрические системы обладают рядом достоинств, однако низкая энергетическая эффективность зачастую не позволяет им конкурировать с традиционными устройствами генерации электрической энергии. Процессы, происходящие в термоэлектрических системах, характеризуются тесной связью тепловых и электрических явлений, наличием множества нелинейных параметров, по-своему влияющих на режимы работы устройств. Поэтому в начале разработки термоэлектрического устройства целесообразно

Введение

уделить особое внимание моделированию протекающих в нем физических процессов, поскольку таким образом можно оценить оптимальные геометрические и рабочие характеристики системы.

Описание объекта моделирования

В качестве объекта моделирования использовался термоэлектрический генераторный модуль, состоящий из 7 батарей кольцевого типа (рис. 1). Основным несущим элементом отдельной батареи является керамическая внутренняя втулка толщиной 2 мм, выполненная из А1203.

© Калядин О.В., Королев К.Г., 2018

Рис. 1. Термоэлектрическая генераторная батарея

Керамическая втулка размещается на металлической трубе толщиной 3,5 мм, по которой циркулирует горячий теплоноситель. Для улучшения теплового контакта поверхность керамической втулки с обоих сторон покрывается слоем (~ 0,15 мм) кремнийорганической термостойкой эмали марки «Эмаль зеленая КО-89». Для снятия температурных напряжений втулка имеет продольный разрез.

На внутренней втулке снаружи размещаются термоэлементы. Отдельные ветви термоэлементов выполнены в виде чередующихся дугообразно согнутых брусков р- и п-типа высотой по направлению тока 5 мм и толщиной 5,8 мм. Коммутация ветвей осуществляется с помощью бимсовых ребер. Отдельные ветви р-и п-типа с помощью коммутационных шин образуют кольцо радиусом по горячей стороне 28 мм, размещаемое на внутренней втулке. Всего в кольце размещается 16 ветвей на расстоянии 0,5 мм друг от друга. Также как и втулка, кольцо имеет разрыв для снятия температурных напряжений, ширина которого составляет 5 мм. Соединение ветвей с коммутационными шинами осуществляется с помощью пайки. С внутренней стороны (горячей) коммутационные шины выполнены из никелевых пластин толщиной 1 мм, с внешней (холодной) - из медных толщиной 1,5 мм.

Число ветвей в кольце, внутренний и наружный его диаметры, габаритные размеры ветвей, в принципе, могут быть различными и определяются в ходе проектного расчета. По-

скольку каждый из перечисленных параметров влияет на остальные, наиболее оптимальная конфигурация может быть получена после создания математической модели всей батареи и проведения численного эксперимента с целью определения требуемых энергетических характеристик.

На поверхности ветвей под коммутацию сформирован барьерный защитный слой (~ 0,3 мм), препятствующий диффузии материала шины в материал ветви, а также обеспечивающий высокие адгезионные свойства. Этот слой может формироваться как на этапе прессования ветви, так и на этапе совместного прессования коммутационных шин и ветвей термоэлементов, а также может быть получен путем напыления. Барьерный слой выполняется из таких материалов, как никель и молибден.

Для электроизоляции колец относительно друг друга при сборке батареи между ними устанавливаются прослойки из стеклотекстолита толщиной 0,5 мм.

Количество колец в батарее, в принципе, может быть любым в зависимости от требуемой ее мощности. На рис. 1 показана батарея, состоящая из 12 колец. Электрическое соединение отдельных колец осуществляется с помощью парусообразных пластин, выполненных из того же материала, что и коммутационные шины по холодной стороне, то есть из меди.

Снаружи на батарею надевается внешняя керамическая втулка толщиной 2,5 мм, выполняющая роль изолятора и теплопровода между коммутацией и внешним кожухом холодного теплообменника. Тепловое сопряжение батареи, внешних втулки и кожуха обеспечивается с помощью эласила (толщина слоя ~ 0,15 мм).

Из отдельных батарей, соединенных последовательно по электрическому току и размещенных на одном термосифоне, собирается генераторный модуль. Снаружи батареи закрываются стальным кожухом толщиной 2 мм.

Схема термоэлектрической батареи в поперечном сечении показана на рис. 2. Здесь также приведены обозначения радиусов внутренних и наружных поверхностей отдельных слоев и обозначения температур между ними.

Рис. 2. Схема термоэлектрической батареи

В качестве материалов для ветвей термоэлементов используются сплавы на основе твердых растворов халькогенидов висмута и сурьмы:

- сплав с р-типом проводимости -Вц58Ь1)5Те3>2 с добавкой 0,06 % (масс.) РЬ, полученный методом горячего прессования;

- сплав с п-типом проводимости -В128е06Те2,4 с добавкой 0,24 % (масс.) ^2С12, полученный методом горячего прессования.

Температурные зависимости термоэлектрических и теплофизических свойств используемых полупроводниковых материалов были аппроксимированы полиномами третьей и четвертой степени, в результате чего были получены следующие выражения для материалов р-и п-типа, соответственно:

- температурная зависимость термоЭДС:

ар(Т) = 1.77 ■ 10"4 - 1.39 • 10"6 • Т + +6.36 • 10_9 • Т2 — 7.16 • 10_12 • Г3, (1)

ап(Т) = —2,1 • 10_4 + 5,06 • 10_7 • Т — —4,49 • 10"10 • Т2 — 2,7 • 10"12 • Т3 + 3,89 •

10-15 • Г4; (2)

- температурная зависимость электропроводности:

оп(Т) = 590383,84 — 3176,46 • Т + +8,13 • Т2 — 0,01 • Г3 + 5,44 • 10"6 • Г4, (3)

ар(Т) = 470775.89 — 1743.9 • Т + +2.32 • Т2 — 0.001 • Г3; (4)

- температурная зависимость теплопроводности:

Лр(Т) = 5,9 — 0.03 • Т + 6 • 10"5 • Т2 — —4,34 • 10_8 • Г3, (5)

Ап(Т) = 1,98 — 0,005 • Т + +2,41 • 10"6 • Т2 + 5,05 • 10"9 • Г3. (6)

Описание модели

При разработке математической модели генераторного модуля, работающего в стационарном режиме на заданную нагрузку, были приняты некоторые допущения, в частности: не учитывался теплообмен с окружающей сре-

дой, принималось, что градиент температур направлен нормально к поверхности модуля, а также, что джоулево тепло распределяется поровну между холодным и горячим спаями. В основу модели легли следующие соотношения:

- балансовые уравнения спаев модуля;

- уравнения, устанавливающие связь между тепловыми потоками, КПД, электрической мощностью, генерируемым током, напряжением и сопротивлением внешней нагрузки;

- выражения, определяющие электрическое сопротивление модуля и полную его теплопроводность между горячим и холодным спаями;

- уравнения теплопроводности для всех вспомогательных слоев батарей.

Балансовые уравнения спаев модуля с учетом общего количества термоэлементов N2 имеют вид:

+ Кт • (Тд — ТП\

Q0

+Кт • (Тд — Th),

(}0 = а •Тъ^! ■ Ые + 2'I2 • Ят +

^ I ,

(7)

(8) (9)

где Q и Q0 - тепловые потоки по горячей и холодной сторонам, соответственно; Тд и Т^ - температуры горячего и холодного спая термоэлектрических батарей; I - сила генерируемого тока; Ят - электрическое сопротивление модуля; Кт - полная теплопроводность его ветвей; а - дифференциальная термоЭДС.

Энергетический баланс генераторного модуля в целом можно записать как

= (} — №.

(10)

Тогда электрическая мощность модуля, подводимая к внешней нагрузке, сопротивлением равна

= Ш = 12Ян

Ш = а\Тд-Тк)-1- 12Ят =

(11)

где и - напряжение, создаваемое на внешней нагрузке.

Основным параметром, характеризующим энергетическую эффективность любого генератора, является КПД.

V

ш С

(12)

Электрическое сопротивление модуля можно представить как сумму из сопротивлений последовательно соединенных ветвей Яу, коммутационных шин и контактного сопротивления. Сопротивление одной ветви, имеющей форму сектора кольца, в общем виде запишется как

Я = С* р.Л-йг,

■>г1н Б (г)

(13)

где ?! - внутренний радиус кольца, г2 -наружний радиус кольца, р - удельное электрическое сопротивление материала ветви, 5(г) - площадь поверхности ветви, пронизываемая током, как функция радиуса.

Решая интеграл, получаем окончательное выражение для сопротивления ветви

Я =

р^п

1п

f+(n-l)■s-2n■rc|,

(14)

где п - число ветвей в кольце, 5 - толщина ветви, f - ширина компенсационного шва, 5 - шаг между ветвями, гх и гд - радиус ветви по холодной и горячей сторонам.

В конструкции батарей используются три вида коммутационных шин: никелевые по горячей стороне (тип 1) и медные по холодной стороне (тип 2) для коммутации ветвей в кольцо, а также медные по холодной стороне для коммутации колец (тип 3).

Общее сопротивление коммутационных шин можно записать следующим образом (индекс в обозначениях величин определяется типом ветвей):

^бН = з ■ \pshg + рзПх ^^ N^2 +

(15)

где рБ}Хд и рзПх - удельное электрическое сопротивление материала шин по горячей и холодной сторонам, 15к и - длина и площадь поперечного сечения шин по направлению движения тока, - число шин соответствующего типа.

Температурная зависимость удельного электрического сопротивления медной и никелевой коммутации, соответственно, может быть записана в виде

Теплопроводность тепловой изоляции, заполняющей пространство между ветвями и имеющей площадь поперечного сечения 5НЗ определяется выражением

р5Кх = 1,72 ■ 10-8 ■ (1 + 4,3 ■ 10-3 ■ Тд — —293), (16)

рзПд = 8,7 ■ 10-8 ■ (1 + 6,5 ■ 10-3 ■ Тд — —293). (17)

В выражении (15) учитывается тот факт, что поскольку коммутационные шины впаяны не в торец, а внахлест относительно ветвей, учитывать полное их сопротивление нельзя. Действительное сопротивление коммутации будет меньше и в соответствии с [1] составляет 30 % от полного.

Помимо коммутационных шин дополнительное сопротивление вносят контактные площадки, образованные припоем и подком-мутационным слоем. Общее число таких площадок составляет 4Л^е. Толщины (по току) таких площадок по горячей стороне составляют по холодной - Их1. Общее контактное сопротивление для контактных площадок термоэлектрических ветвей всего модуля составит

= 2ркМе

"-в 1

2ТС- Гд-(п- 1)- Б-/

+

+

2 П ■ ГХ — (П— !)• S-f

(18)

где рк - удельное электрическое сопротивление контактной площадки.

Учитывая, что в состав модуля входит ветвей р - типа и столько же ветвей п - типа, полное электрическое сопротивление модуля можно записать следующим образом

Кт =

1 п ^/+(п-1) ■ Б—2П ■ гх + ап 2п 8 /+(п-1) ■ Б—2П■Гд

0"„ 2п 8

1п

f+(n-l)■s-2л ■Гх

/+(п-1) ■ б—2П ■ г,

91

ыее + к

яЛ +

(19)

Теплопроводность модуля (по радиусу) складывается из теплопроводности ветвей Ку и изоляции между ними КНЗ. Полная теплопроводность одной ветви имеет вид

К =

2 л: ■ 6 ■ Я

¡п:

/+(п-1) ■ Б-2П ■ Гж' /+(п-1) ■ 5-2Ж- Гд

(20)

т/- _ ^НЗ ■ ^НЗ

Лыз = ---,

(21)

+

п п 1 5 ■ (п — 1) + / + - ■ ар + - ■ ап] ■ М

х (^ — 1).

(22)

где И - высота ветви, АНЗ - коэффициент теплопроводности изоляции, Л^ - число колец в модуле, а.р и ап - длина ветвей р- и п-типа по среднему радиусу.

Теплопроводность всего модуля с учетом всех ветвей и изоляции между ними

К-т =

2п ■ Я„

б ■п

1п-

/+(п-1) ■ Б-2П ■ Гх /+(п-1) ■ Гд

/+(п-1) ■ Гж /+(«-!)■ 5-2Ж- Гл

+

2 л: ■Яр 5 ■п

х

(23)

Выражения, определяющие теплопроводность вспомогательных слоев термобатарей, могут быть получены из уравнения теплопроводности цилиндрической стенки, которое в общем виде также может быть получено из закона Фурье. В общем виде с учетом рис. 2 и ранее введенных обозначений уравнения теплопроводности вспомогательных слоев по горячей и холодной сторонам запишутся следующим образом (промежутками между коммутационными шинами и подкоммутационными слоями ввиду их малости пренебрегаем):

Q =

2л Н■Л,

■3(1)

г3(1~ 1)

1п-

■(Tg(i) — Tg(i_1)), (24)

г3(1)

Q =

2п на

Щт ■ (Г/1(Л — ^/г(7-1)), (25)

¡п-

г*0)

где г и ] - номера вспомогательных слоев по горячей и холодной сторонам в соответствии с рис. 2.

Среднеинтегральные значения (в общем виде обозначим через у) термоэлектрических и теплофизических свойств материалов ветвей у(Т) в интервале температур от Тк до Тд можно определить по общей формуле

У =

' h_

тй~тЧ '

(26)

Таким образом, в основе математической модели, описывающей работу генераторного термоэлектрического модуля в стационарном режиме, лежит система, образованная уравнениями (7-12, 19, 23) и дополненная выражениями вида (24-26).

Величинами, относительно которых при заданном тепловом потоке по горячей стороне будет вестись решение в полученной системе, являются: Q0, I, Rm, Кт, г}, W, U, RH, Тд, Тд1, Тд2, Тдз, ТдА, Тд5, Th, Thl, Th2, Thз, Th4,, ThS, a, ап, av, оп, стр, Лп, Температуры на внешней и внутренней поверхностях модуля являются величинами заданными, температура греющей среды составляет 573 К, охлаждающей - 343 К. Решение полученной системы проводилось с помощью системы компьютерной алгебры Mathcad.

Для численного решения подобных систем в Mathcad применяется специальный вычислительный блок Given/Find, состоящий из трех частей, идущих последовательно друг за другом:

- блок начальных приближений, в котором всем переменным расчетной системы уравнений присваиваются значения, близкие к ожидаемым в результате точного решения;

- Given - ключевое слово;

- система, записанная логическими операторами в виде равенств;

- Find (xi, x2, ..., хп) — встроенная функция для решения системы уравнений относительно независимых переменных x1, x2, ..., хп.

В результате решения мы получаем массив, число элементов которого определяется числом независимых переменных. Здесь необходимо отметить, что решение системы возможно также в символьном виде, в случае если значение какой-либо величины из блока исходных данных не задано. Тогда уже после вычислительного блока данная величина может быть определена и как константа, и как массив данных. В последнем случае решением системы будет матрица чисел. Таким образом, мы имеем возможность анализировать влияние изменения какого-либо исходного параметра на расчетные значения и, возможно, определять его оптимальную величину, соответствующую наилучшим рабочим характеристикам модуля.

Результаты моделирования

Для демонстрации возможностей модели был выполнен анализ влияния сопротивления внешней нагрузки на эксплуатационные характеристики термоэлектрического модуля.

Рис. 3. Влияние сопротивления внешней нагрузки на тепловые потоки модуля (1 - по горячей стороне, 2 - по холодной стороне)

На рис. 3-5 показаны графические зависимости, полученные в результате вычислений по разработанной модели и отражающие зависимость рабочих параметров термоэлектрического модуля (тепловой поток по холодной и по горячей сторонам, рабочий ток и напряжение модуля, КПД, электрическая мощность, а также температуры спаев) от сопротивления внешней нагрузки, которое варьировалось в интервале от 0,2 до 20,2 Ом. На рис. 6 показана вольт-амперная характеристика модуля и зависимость выходной электрической мощности от величины рабочего тока.

Рис. 4. Влияние сопротивления внешней нагрузки на рабочий ток и напряжение модуля

R , Ом

Рис. 5. Влияние сопротивления внешней нагрузки на КПД генераторного модуля и на вырабатываемую электрическую мощность

I, А

Рис. 6. Вольт-амперная характеристика термоэлектрического модуля и зависимость генерируемой мощности от рабочего тока

к, ОМ

Рис. 7. Влияние сопротивления внешней нагрузки на температуры спаев (1 - горячий спай, 2 - холодный спай)

Из рисунков видно, что тепловые потоки по горячей и холодной сторонам, а также рабочий ток модуля с увеличением сопротивления нагрузки уменьшаются. КПД модуля и вырабатываемая им мощность имеют максимум при определенном значении сопротивления, причем максимальный КПД достигается при работе на нагрузку ~ 2 Ом, а максимальная электрическая мощность при сопротивлении нагрузки ~ 1,8 Ом (рабочий ток, соответственно 9,6 и 10,2 А). Температура горячего спая при увеличении нагрузки в рассмотренном диапазоне возрастает с 517,7 до 529,3 К, тогда как температура холодного снижается с 377,7 до 370,4 К. Данные расчета хорошо согласуются с результатами испытаний генераторного модуля.

Заключение

Таким образом, на основе инженерно-физических соотношений термоэлектрического анализа была разработана универсальная математическая модель, использование которой позволяет описать установившийся процесс работы и определить эксплуатационные характеристики генераторных модулей любой мощности, состоящих из произвольного количества кольцевых батарей с любой геометрией ветви, а также анализировать влияние изменения внешних условий работы на рабочие параметры модуля. Кроме того, данная модель может быть использована как эффективный инструмент проверочного расчета при проектировании генераторных модулей на основе кольцевых термоэлектрических батарей, также она позволяет определять выходные характеристики разрабатываемого модуля и уточнять температуры спаев, которые на этапе проектного расчета обычно задаются.

Литература

1. Методы расчета термоэлектрических генераторов / О.В. Марченко, А.П. Кашин, В.И. Лозбин и др. Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН, 1995. 222 с.

Поступила 30.10.2018; принята к публикации 06.11.2018 Информация об авторах

Калядин Олег Витальевич - канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры физики твердого тела, Воронежский государственный технический университет (394026, Россия, г. Воронеж, Московский проспект, 14), e-mail: kaljadin@gmail.com

Королев Константин Геннадьевич - канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры физики твердого тела, Воронежский государственный технический университет (394026, Россия, г. Воронеж, Московский проспект, 14), e-mail: korolev.kg@mail.ru

MATHEMATICAL MODEL OF THE THERMOELECTRIC GENERATOR MODULE OF ANNULAR GEOMETRY

O.V. Kalyadin, K.G. Korolev Voronezh State Technical University, Voronezh, Russia

Abstract: a universal mathematical model was developed for determining the performance characteristics of thermoelectric generator modules with an arbitrary geometry of a annular thermopile. A thermoelectric module consisting of 7 generator thermopiles of the annular type was used as an object for modeling. As materials for branches of thermoelements, alloys with p-type conductivity (Bi0.5Sb1.5Te3.2 with the addition of 0.06% (mass.) Pb) and with n-type conductivity (Bi2Se0.6Te2.4 with the addition of 0,24% (mass.) Hg2Cl2), obtained by hot pressing, for which the temperature dependences of thermoEMF, thermal conductivity and electrical conductivity were known. For the mathematical description, a system is used that includes the balance equations of the module; equations that establish a relationship between heat flux, efficiency, electrical power generated by the current, voltage and resistance of an external load; expressions that determine the electrical resistance of the module and its full thermal conductivity between hot and cold junctions; heat conduction equations for all auxiliary layers of batteries. The simulation results are presented in the form of graphical dependencies of the influence of external load resistance on heat fluxes and junction temperatures on the hot and cold side, efficiency and generated electrical power, operating electric current and voltage. The current-voltage characteristic of the module and the dependence of the generated power on the operating current are presented

Key words: modeling, thermal emf, thermoelectric generator, thermobattery of annular geometry, stationary process

Acknowledgements: the work was done with the financial support of the Ministry of Education and Science of the Russian Federation in the framework of the Resolution of the Government of the Russian Federation of April 9, 2010. No. 218 (Contract No. 03.G25.31.0246)

References

1. Marchenko O.V., Kashin A.P., Lozbin V.I. et al. "Methods of calculation of thermoelectric generators" ("Metody raschyeta termoelektricheskikh generatorov"), Novosibirsk, Nauka. Siberian book-publishing firm RAS, 1995, 222 p.

Submitted 30.10.2018; revised 06.11.2018 Information about the authors

Oleg V. Kalyadin, Cand. Sc. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Voronezh State Technical University (14 Moskovskiy prospekt, Voronezh 394026, Russia), e-mail: kaljadin@gmail.com

Konstantin G. Korolev, Cand. Sc. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Voronezh State Technical University (14 Moskovskiy prospekt, Voronezh 394026, Russia), e-mail: korolev.kg@mail.ru