Математическая модель теплового состояния вылета порошковой ленты в процессе плавления Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ВЕСТНИК

ПРИАЗОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 2000 г. Вып.№9

УДК 621.791.92:621.762

Кассов В.Д.1, Чигарев В.В.2, Воленко И.В.3

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТЕПЛОВОГО СОСТОЯНИЯ ВЫЛЕТА ПОРОШКОВОЙ ЛЕНТЫ В ПРОЦЕССЕ ПЛАВЛЕНИЯ

Проанализировано тепловое состояние системы «оболочка - сердечник» порошковой ленты на различных ее участках по длине свободного вылета. Получены математические зависимости, удобные для практического использования, например, при проведении экспериментов.

Сердечник порошковой ленты представляет собой тело толщиной 2 Я. ограниченное двумя параллельными плоскостями - оболочкой ленты. Изменение температуры происходит только в одном направлении X, в двух других направлениях У и Ъ температура неизменна

дУ Ж

Сердечник находится в температурном равновесии с окружающей средой (металлической оболочкой ленты), т.е. имеет температуру окружающей среды То. В начальный момент времени оболочка нагревается с постоянной скоростью, т.е. Тс(1)= То+Ы.

Теплообмен между поверхностями сердечника и оболочки (пластины и окружающей среды) происходит по закону Ньютона. Чтобы найти распределение температуры по толщине сердечника порошковой ленты в любой момент времени, необходимо решить дифференциальное уравнение теплопроводности:

ат(х,1) _ д2т(х,г)

)Х2

(г >0; -Я < X < Я),

= а- 4 ' (1)

& 6Х2

при начальных и граничных условиях:

Т(Х, 0) = То = сопв^ (2)

ат(о,о

5Х

= 0, (3)

+а[Тс(1)-Т(ВД = 0

Оух.

(4)

В формулах (1), (4) приняты следующие обозначения: а - коэффициент температуропроводности, м2/с; X - коэффициент теплопроводности, вт/мград; а - коэффициент теплообмена, вт/м2 град.

Если обозначим через Н = а/Х относительный коэффициент теплообмена и учесть, что Тс(0 есть линейная функция времени, то граничное условие (4) можно записать в виде:

-^М+ЩТо+Ы - Т(ВД = 0 (4)

дХ

Применим преобразования Лапласа относительно переменной г к уравнению (1):

\дТ(х,1)1 = 1

дХ' ]

1 ДГМА, канд. техн. наук

2 ПГТУ, д-р техн. наук, проф.

3 ПГТУ, аспирант

оо

где L[T(x,t)] = |Т (x,t) eMt = TL(x,s).

о

Дифференциальное уравнение теплопроводности с учетом начального условия (2) после применения преобразования Лапласа будет иметь вид:

tl (x>s) - — Tl(x,s) + — = 0 (5)

а а

Решение дифференциального уравнения (5) для изображения TL(x,s) можно записать:

Tl(x,s)- ь. = Ach( j-x) + Bsh( j-x), (6)

s V a V a

где А и В - постоянные, определяемые из граничных условий (3), (47). По условию симметрии (3):

(o,s) = [A JI Sh( JIx ) + В ^ ch ( ^х )U = В = О,

откуда В = 0.

Граничное условие (4') для изображения будет иметь вид

нт нь

Tt(R,S)+—^ + — -HTL(R,S) = 0, (7)

kJ |J

rrrrr,, Hb

так как LfHBtl = —— •

S2

Подставим решение (6) с учетом В = 0 в граничное условие (7):

ГГ /7 нт нь нт г~

-Sh(J-R) +-^ + —---!

a Va S S S Va

Отсюда определяем постоянную А:

-Aj-Sh(J-R)+—^ + —----AHch(J-R) = 0 (8)

А =-j=-==-=--(9)

S2[ch(J—R) + J—Sh(J—R)] V a H V a V a Таким образом, решения для изображения будет

т-хм,^._Ж-^-М ас

V а Н \ а V а

Решение (10) есть решение двух обобщенных полиномов относительно 8, причем полином Ф2(8) не содержит постоянной, т.е. решение удовлетворяет условиям теоремы разложения, и ее можно применить при переходе решения для изображения (10) и решению для оригинала.

Теорему разложения можно записать так:

¿¿ФгЮ

L"1

l02S

где 8п - корни полинома Фг(8).

Приравнивая функцию Фг(8) нулю, находим корни: 1)8о = 0 - двухкратный корень;

2) Бп = - ац^/Я2, где 1 —И. — ц - простые корни, определяемые из характеристического

V а

уравнения:

где В1 = НЯ - критерий БИО.

Применяя теорему разложения для кратных корней, получим:

12(1 Н——)

ня

и1 "ф,(0) - b = bt + — X2

Ф2(0)] 2а

Подставляя остальные корни Sn в (11), получим:

^ÁSJst bR2

2 sin Mr,

1

Tcosl ^

X} ( 2at^

epI-A^

«=i ф2(Sn) a tí C"„ + sinЦпc°sMn) M2n Таким образом, решение поставленной задачи получим в следующем виде:

T(x,t) - То = bt--

2а

К'

1 + —

-X2

bR A An ( ХЛ ( 2г,\ а !ümn v r)

(13)

где Fo = at/R2 - критерий Фурье;

An - начальные тепловые амплитуды, определяемые из соотношения:

цп + sin \iD cos цп ц ДВ? + B¡ + ц J

Интенсивность повышения температуры окружающей среды (оболочки ленты) характеризует критерий Предводителева:

(14)

Pd =

\dFoj

(15)

Так как Тс(0 = То+Ы, то скорость нагревания <ЛГс/ск постоянна на протяжении всего процесса и равна Ь. Поэтому:

Ы _ T(x,t)-То 1

Pd Pd 2

+

An n=l Mr,

-cos

Mn R

(16)

exp{-M2nF0) (П)

а dt а

Тогда:

2 X2 В? Р2

Таким образом, относительная температура в любой точке сердечника порошковой ленты является функцией Ро, В1, Х/К.

Из (17) видно, что решение уравнения теплопроводности состоит из двух составляющих, причем вторая составляющая - ряд - довольно быстро сходится. С течением времени сумма

ряда уменьшается и, начиная с некоторого значения Ро>Р '0, им можно пренебречь, т.е. режим

нагрева сердечника можно считать квазистационарным. Тогда температура в любой точке сердечника будет линейной функцией времени, а распределение температуры по толщине будет параболическим.

Если положить В1 ->оо, то из граничного условия (4;) следует, что температура поверхности сердечника мгновенно становится равной температуре оболочки и затем изменяется по линейному закону:

Т(±1М) = То + Ы (18)

Для решения такой задачи необходимо в (17) положить В1 = оо. Тогда получим:

AT J1 Pd~ ° 2

V

+

An п=1 Мп

-cos

exp {-M„F0),

(19)

л ■ - 4

■жц^п-!,-, Ап-иГ {2ж_1у

Если критерий БИО мал (ЕИ < 0,1), то все члены ряда ничтожно малы по сравнению с первым, так как при |д„-> (п-1)% коэффициенты Ап-»0 за исключением амплитуды Аь которая близка к 1.

Для малых значений (X] можно ctq Ц] заменить на 1/Ць тогда из характеристического уравнения получим:

Следовательно, решение (17) примет вид:

(20)

дт ра

= Е,

1 + -

В

1 у

Я2

1 ( х^

+ — сое! ^в"— 1ехр(- В&)

На оси порошковой ленты, т.е. при X = 0, выражение (17) принимает вид.

ДГ

А* ° 2

1 + -

В,

' /

л=1 Мп

Здесь температура нагрева минимальна.

Удельный расход тепла за данное время I находим по формуле:

Ар = с у[ Т(0 - То)] = су ДТ

X

Интегрируя решение (17) по — в пределах от 0 до 1, получаем:

АТ Рс1

К

с

1 1

со ^

где

В - = 2Д2

Коэффициенты Вп все положительны и с увеличением ^ быстро уменьшаются. При В(—>0 коэффициент Вп будет равен:

Вп = — =

8

£ *2(2П-Т)2

(21) (22)

(23)

(24)

(25)

(26)

Выводы

Построенная математическая модель распределения тепловых полей на вылете порошковой ленты при ее плавлении, позволяет управлять характером плавления порошкового ленточного электрода.

Кассов Валерий Дмитриевич. Канд. техн. наук, ст. преподаватель кафедры сварки ДГМА, окончил Краматорский индустриальный институт в 1971 г. Основные направления научных исследований - прикладные и теоретические проблемы создания электродных материалов для дуговой наплавки с улучшенным комплексом служебных свойств, технологических процессов их изготовления.

Чигарев Валерий Васильевич. Д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой МиТСП, окончил Мариупольский металлургический институт в 1969 г. Основные направления научных исследований - прикладные и теоретические проблемы создания электродных материалов для дуговой наплавки с улучшенным комплексом служебных свойств, технологических процессов их изготовления.

Воленко Ирина Викторовна. Аспирант кафедры МиТСП, окончила Мариупольский металлургический институт в 1985 г. Основные направления научных исследований -разработка порошковых лент для восстановительной наплавки.