CC BY
29
© Д.К. Потрссов, С.И. Сапожников, 2007
УДК 622: 51.001.572
Д.К. Потресов, С.И. Сапожников
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СНИЖЕНИЯ СУБЪЕКТИВИЗМА МЕТОДА ДОСТИЖИМЫХ ЦЕЛЕЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ГОРНОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ
Семинар № 14
В ряде проблемных областей часто встают задачи, требующие нахождения такого решения, которое обеспечивало бы достижение наилучшего результата сразу по нескольким критериям, например, выражающим интересы разных групп людей или имеющим разную физическую природу. Подобные задачи относятся к классу задач многокритериальной оптимизации (МКО) и являются одними из наиболее сложных [2, 4, 6]. Это связано с тем, что оптимальное решение х задачи многокритериальной оптимизации, в общем случае, не являясь оптимальным ни для одного из частных критериев, должно быть в определенном смысле компромиссным для векторного критерия в целом [1]; при этом оценка качества полученного решения является субъективной и зависит от предпочтений ЛПР.
Возникновение многокритериальных задач нередко наблюдается в горной промышленности. Рассмотрим задачу оптимизации комплекса технико-экономических показателей взрывных работ на уступе карьера при подготовке горных пород к выемке [11]. В результате анализа предметной области взрывных работ на карьере были выявлены следующие техникоэкономические показатели, в наибольшей степени влияющие на качество производства взрыва [9]:
1) степень дробления, зависит от:
- длины заряда в скважине 1;ар, м;
- расстояния между скважинами в ряду а, м;
- расстояния между рядами
скважин Ь, м;
2) ширина развала горной массы после взрыва, зависит от;
- длины заряда в скважине 4^, м;
- расстояния между скважинами в ряду а, м;
- расстояния между рядами
скважин Ь, м;
- величины интервала замедления т, мс;
3) расстояние безопасного удаления для объектов, зависит от
- длины заряда в скважине 4^, м;
- расстояния между скважинами в ряду а, м.
Для каждого технико-экономического показателя на основании формул, содержащихся в типовом проекте буровзрывных работ, были построены математические модели, включающие формулы расчёта значений каждого из показателей и системы ограничений, накладываемые на эти значения. Формулы в построенных моделях являются мультимодальными непрерывными функциями от многих аргументов.
Постановка задачи многокритериальной оптимизации техни-
ко-экономических показателей взрывных работ на карьере
Для оценки результатов решений на моделях технико-экономических показателей введены следующие критерии оптимальности.
Критерий оптимальности для оценки степени дробления горных пород Уе представим математически в следующем виде:
У =
а -а
(1)
УЯ = Я -£Я ^ тіп
& =■
1, Я < Ят ю, Я > Яп
(5)
где Ятах - максимально допустимое безопасное расстояние, м.
Рассмотрим некоторое пространство решений Ш, определённое на четырёхмерном линейном пространстве действительных чисел Я4:
Ж _ (X4 = (/ ,а,Ь,т ) е Я4 },
(6)
где е - подвергаемая оценке степень дробления горной породы, м; е - оптимальная степень дробления горной породы, м.
Критерий оптимальности для оценки ширины развала горной массы Ув после взрыва имеет следующую математическую запись:
Ув _ В -йв ^ Ш1П (2)
где В - подвергаемая оценке ширина развала горной массы, м; £в - коэффициент, определяемый по формуле:
й Г 1, В > ВШ1П
В Т) г>шт
[», в < в (3)
где Вп,п - минимально допустимая ширина развала горной массы, определяемая используемым оборудованием, м.
Критерий оптимальности для оценки расстояний безопасного удаления УЯ представим следующим видом:
1 ,а,Ь,те Я,t _ 1, 2, ...
Зар 5 5 5 5 5 5
Пусть на Ш наложены некоторые ограничения в виде областей Да, ДЬ, О/зар и Д- допустимых значений а, Ь,
!зар и т:
1зар е П1зр , а еПа , Ь еПЬ , Те^т (7)
Тогда, с учётом (6) и (7), множество допустимых решений X может быть записано в виде:
х _{х, е Ж : 1зар .
а еПа, Ь еО,ь, теПт}, , = 1,2,... (8)
Совокупность критериев У, характеризующих качество решения Хф является трёхмерным вектором, определённым в трёхмерном линейном пространстве вещественных чисел Я3, и связь между решениями и значениями критериев устанавливается отображением /, действующим из пространства решений Ш в критериальное пространство Я3. Т.е.
/ : X ^ У с Я3 (9)
Таким образом, множество достижимости У в критериальном пространстве
Я3
может быть задано следующим образом:
У _ {(ув, Ув, Уя)ге Я3}> у] _ Ъ(х„) е Я
(10)
(4) і = 1,3, г = 1,2,...
где Я - подвергаемое оценке безопасное расстояние, м; £Я - коэффициент, определяемый по формуле:
Предпочтения лица, принимающего решение, в критериальном пространстве задаются бинарным отношением строгого порядка:
у' ^ Р у" ^ у; < уу' * у\;е J (11)
Решаемая математическая задача обладает следующими особенностями:
*
1) множества аргументов критериальных функций частично пересекаются, т.е. сложность задачи состоит в том, что при изменении значения конкретного аргумента для оптимизации решения по одному из критериев, значения других критериев также изменяются по неявной зависимости;
2) анализу подвергаются критерии, выраженные математическими функциями и формирующие невыпуклые множества достижимых целей;
3) функции критериев задачи не отвечают условиям унимодальности, что не позволяет использовать для их анализа хорошо разработанные градиентные методы оптимизации.
Выбор метода многокритериальной оптимизации технико-экономических показателей взрывных работ на карьере
Поскольку с математической точки зрения все точки паретовой границы равноценны, в многокритериальных методах поддержки принятия решений центральное место играет ЛПР, на основе предпочтений которого в зависимости от задачи отбирается единственное эффективное решение [5]. К настоящему моменту разработано несколько тысяч различных многокритериальных методов. Будем класссифицировать методы принятия решений по роли ЛПР следующим образом [5]:
- методы без участия ЛПР;
- методы, использующие ЛПР для построения решающего правила;
- итеративные человеко-машинные методы;
- итеративные методы, основанные на визуализации паретовой границы.
Методы первых двух групп часто называют методами сведения многокритериальных задач к однокритериальным. Отличие первой группы от
второй состоит в том, что в первой группе методов решающее правило строится без участия ЛПР на основе аксиоматики или некоторых эвристических принципов, а во втором случае используется информация о предпочтениях ЛПР. Поскольку в реальной жизни решение принимается некоторым человеком или группой лиц, которые несут ответственность за его последствия, такие методы не нашли широкого применения.
Методы без участия ЛПР могут применяться в системах, время выработки управляющих воздействий в которых является критичным, например, в системах операторского контроля и управления (SCADA), но непригодны для использования на более высоких уровнях, т.к. эти методы оперируют только с одним критерием и полностью исключают участие ЛПР в процессе принятия решения.
Главными недостатками методов, использующих ЛПР для построения решающего правила, является невозможность их применения к нелинейным мультимодальным функциям, малое участие ЛПР в процессе решения задач и, при этом, отсутствие у ЛПР права на ошибку.
Итеративные человеко-машинные методы основаны на итерациях, в которых перемежаются действия человека и расчет по некоторой компьютерной программе, решающей вспомогательную задачу оптимизации. Лействия человека состоят в том, что он изучает результаты решения задачи оптимизации и высказывает свои предпочтения и представления о параметрах задачи оптимизации, решаемой на следующей итерации. Затем компьютер решает очередную вспомогательную задачу оптимизации.
В последнее время многокритериальную информацию все чаще пред-
Таблица 1
Сравнительная характеристика методов, основанных на визуализации паретовой границы
Методы Критерий оценки метода
Удобство использования при трёх критериях Простота применения метода Ограничение субъективного участия ЛПР
Метод проектирования на па-ретову границу - - +
Метод Корхонена-Лааксо - + +
Метод Pareto Step + - -
Метод достижимык целей + + -
ставляют с использованием современных компьютерных средств. Развитием итеративных человеко-машинных методов стали итеративные методы, основанные на визуализации паретовой границы, ориентированные на итеративный процесс принятия решений в форме диалога с пользователем, организуемого с помощью средств мультимедиа. Такие методы наиболее рационально применять для решения многокритериальных задач МББ-уровня, в которых математический аппарат должен сочетаться с удобным и информативным графическим человеко-машинным интерфейсом. Представим сравнительную характеристику итеративных методов, основанных на визуализации парето-вой границы (табл. 1).
С точки зрения решаемой задачи наиболее важными являются удобство использования метода при трёх критериях и простота применения метода. Из табл. 1 видно, что в наибольшей степени удовлетворяющим принятым критериям оценки методов является метод достижимых целей (МДЦ).
Тем не менее, этот метод обладает двумя недостатками:
- наиболее выигрышным случаем применения классического МДЦ является решения задач МКО с фиксированным количеством стратегий;
- метод крайне субъективен.
В [11] проблема субъективности МДЦ решается путём разработки сценария принятия решения, основанной на нахождении оптимального решения в ограничениях, выявленных в диалоге с ДПР методом достижимых целей.
Касательно другого недостатка -наиболее выигрышным случаем применения классического МДЦ является решения задач МКО с фиксированным количеством стратегий (вариантов решений), в которых возможно или представление лицу, принимающему решение, всего множества достижимых целей, или, по крайней мере, множество достижимых целей может быть получено перебором всех решений. В рассматриваемой задаче анализу подвергаются критерии, выраженные математическими нелинейными мультимодальными функциями, и количество возможных вариантов решений стремиться к бесконечности.
Это затрудняет фазу построения множества достижимых целей. Для уменьшения числа рассматриваемых ДПР вариантов решения необходимо сформулировать правила построения репрезентативной выборки значений каждого из критериев, а также число формируемых областей карты решений для пары других критериев. Для этого в [11] разработан комплексный
Таблица 2
Сравнительная характеристика методов нелинейной оптимизации мультимодальных функций
Методы Критерий оценки метода
Анализ муль- Анализ уни- Схождение Простота
тимодальных модальных метода примене-
функций функций ния
Методы случайного поиска + + - +
Метод касательных - - + -
Градиентные методы - + + +
Методы ускоренного поиска вдоль гребня - + + -
метод нелинейной оптимизации мультимодальных функций от многих переменных.
Комплексный метод нелинейной оптимизации мультимодальных функций от многих переменных
В табл. 2 представлена сравнительная характеристика методов нелинейной оптимизации мультимодальных функций. Из неё видно, что ни один метод не удовлетворяет в полной мере поставленным требованиям. При этом объединение методов случайного поиска с градиентными методами приводит к формированию комплексного метода, удовлетворя-ющего всем требованиям исследования.
Комплексный метод нелинейной оптимизации мультимодальной функции состоит в следующем. На первом шаге выполняется разбиение анализируемой функции на области гиперплоскостей. Для этого для каждого аргумента функции методом Монте-Карло формируется подмножество его значений. Количество разбиений определяется среднеквадратическим отклонением для конкретной критериальной функции. При переходе в критериальное пространство в совокупности эти множества образуют множества гиперплоскостей.
Полученные области рассматриваются как выпуклые, т.е. образованные унимодальными функциями. В
каждой из полученных областей гиперплоскостей с помощью градиентного метода находится минимум.
Для нахождения минимума по области гиперплоскости используется градиентный метод скорейшего спуска с определением шага по правилу Армихо [напр., 3]. Далее полученное множество минимумов по областям гиперплоскостей сортируется и из него выбирается минимальное значение.
Содержательное описание модернизированного метода достижимых целей
На первой стадии решения строятся карты решений метода достижимых целей для каждого из критериев. В качестве стратегий используются классы целей (рис. 1), выявляемые путём анализа функции третьего (не рассматриваемого в текущем графике кривых объективного замещения) критерия.
При формировании множества достижимых целей сначала выполняется разбиение функции анализируемого критерия на гиперплоскости. Для этого для каждого параметра производства взрыва одним из методов Монте-Карло формируется подмножество его значений. Количество разбиений определяется среднеквадратическим отклонением для конкретного критерия. При переходе в критериальное пространство в сово-
купности эти множества образуют множества гиперплоскостей.
Полученные гиперплоскости рассматриваются как выпуклые, т.е. образованные унимодальными функциями. В каждой из полученных гиперплоскостей с помощью градиентного метода находится минимум. Далее полученное множество минимумов по гиперплоскостям сортируется, и его элементы объединяются в классы целей.
Количество классов также определяется среднеквадратическим отклонением по данному критерию, т.е., при коэффициенте функции среднеквадратического отклонения, равном 1/15, данный критерий будет разбит на 15 классов.
После этого для каждого класса целей строится область множества достижимых целей для двух других критериев. Наложение друг на друга
Рис. 1. Классы решений модернизированного метода достижимых целей
областей, соответствующих различным классам целей, образует карту решений. Блок-схема алгоритма построения карт решений модернизированного метода достижимых целей представлена на рис. 2.
Для уменьшения субъективизма метода достижимых целей применяется сценарий ограничения субъективного участия ЛПР в процессе принятия решения.
СТ6П6ЗД(£НЬШение субъек-ДР0бЛвИ*ОТ|Ис1 процесса принятая решения
Рассмотрим сценарий ограничения субъективного участия ЛПР в процессе принятия решения. Его схема представлена на рис. 3. После того, как карты решений метода достижимых целей построены, ЛПР может решать задачу тремя способами.
Первый из них основывается на стандартных механизмах МДЦ - ЛПР с помощью визуального анализа по карте решений интерактивно выбирает рациональную с его позиций критериальную точку.
Второй способ заключается в сведении задачи к однокритериальной. Для этого от ЛПР требуется задать основной критерий, после чего задача решается методом основного критерия.
Наконец, ЛПР может использовать механизм поддержки принятия решений, который заключается в следующем. Задача решается методом уступок. На каждой итерации
Рис. 2. Блок-схема алгоритма построения карт решений модернизированного метода достижимых целей
ЛПР в визуальной форме на карте решений задаёт уступки для текущего критерия, что позволяет избежать основного недостатка метода уступок -его ненаглядности. Другой его недостаток - отсутствие адаптации к анализу критериев, представленных мультимодальными нелинейными функциями,
- устраняется за счёт применения комплексного метода нелинейной оптимизации мультимодальной функции. Процесс выработки решения заканчивается при переборе всех критериев.
Выводы
В статье на примере оптимизации технико-
экономических показателей взрывных работ на карьере рассмотрен один из возможных вариантов построения процесса принятия многокритериальных решений. В исследовании [11] был проведён анализ существующих методов многокритериальной оптимизации. Для исследования взаимного влияния технико-экономических показателей производства взрывного разрушения горных пород на карьере друг на друга, а также выявления их совокупного влияния на качество взрыва, осуществ-
лено развитие метода достижимых целей на случай непрерывных шкал критериев.
Для пошагового анализа функции от многих переменных разработан и использован комплекс методов, включающий разбиение множества решений методом Монте-Карло на интервалы с последующим применением градиентного метода скорейшего спуска.
Рис. 3. Сценарий ограничения субъективного участия ЛПР в процессе принятия решения
По сравнению с классическим, модернизированный метод достижимых целей обладает следующими преимуществами:
1) анализу подверга-
ются модели с непрерывными шкалами критериев, выраженных неунимодальными функциями, формирующими невыпуклые
множества достижимых целей;
2) при зондировании пространства решений за счёт применения градиентного метода происходит более жёсткий отбор инте-
ресуюших ЛПРтещ^ начальных
6) наблюдается снижение
количества эксперимУ^М&НЙ^ точек во множестве достижимых целей;
4) разработан сценарий ограничения субъективного участия ЛПР в процессе решения задачи.
Предложенный алгоритм может применяться для решения широкого спектра многокритериальных задач.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Батищев Л.И. Методы оптимального управления. - М.: Недра, 1987, 229 с.
2. Лубов Ю.А., Травкин С.И., Яки-мец В.Н. Многокритериальные модели формирования и выбора вариантов систем. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. - 296 с. - (Теория и методы системного анализа.)
3. Измаилов А.Ф., Солодов М.В. Численные методы оптимизации: Учеб. пособие. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 304 с. -ISBN 5-9221-0045-9.
4. Компьютер и поиск компромисса. Метод достижения целей / Лотов А.В., Бу-шенков В. А., Каменев Г. К., Черных О. Л. -М.: Наука, 1997 - 239 с. (Серия «Кибернетика: неограниченные возможности и возможные огрвнщеь
5. Копспёк 7 плине «Метата ГНёШ^н проф., д.ф.-м.^|71отов ^гВ., кафедра Высшей математики, Государственный университет - Высшая школа Экономики, 2004.
ци-
ий»,
Ручной выбор оптимального решения
6. Ларичев О. И. Теория и методы принятия решений, а также Хроника событий в Волшебных странах: Учебник. Изд. второе, перераб. и доп. - М.: Логос, 2002. - 392 с.: ил.
7. Лотов A.B. Краткий курс многокритериальной оптимизации и многокритериальных методов поддержки принятия решений. Факультет ВМиК МГУ, 2004 г.
8. Ниязбаева C.B. «Моделирование и многокритериальная оптимизация зарядов буровзрывной скважины на карьере», магистерская диссертация, руководитель проф., д.т.н. Потресов Д.К., М.: МГГУ 2004.
9. Потресов Д.К., Белин B.A., Сапожников СИ. Виртуальное моделирование взрывных работ на карьере. Горный ин-
формационно-аналитический бюллетень, №
5, 2005. - С. 165 - 169.
10. Потресов Д.К., Сапожников С.И. Развитие метода достижимых целей на случай непрерывных шкал критериев. Горный информационно-аналитический бюллетень, № 8, 2006. - С. 229 - 237.
11. Сапожников С. И. «Компьютерное моделирование взрывных работ на карьере», магистерская диссертация, руководитель проф., д.т.н. Потресов Д.К., М.: МГГУ 2006.
12. Сараев А.Д., Щербина O.A. Системный анализ и современные информационные технологии //Труды Крымской Академии наук. - Симферополь: СОНАТ, 2006. n:rj=i
— Коротко об авторах----------------------------------------------------------------
Потресов Дмитрий Кириллович - доктор технических наук, профессор кафедры АСУ,
Сапожников Станислав Игоревич - аспирант кафедры АСУ,
Московский государственный горный университет.
Доклад рекомендован к опубликованию семинаром № 14 симпозиума «Неделя горняка-2007». Рецензент д-р техн. наук, проф. Н.И. Федунец.
---------------------------------- ДИССЕРТАЦИИ
ТЕКУЩАЯ ИНФОРМАЦИЯ О ЗАЩИТАХ ДИССЕРТАЦИЙ ПО ГОРНОМУ ДЕЛУ И СМЕЖНЫМ ВОПРОСАМ
Автор Название работы Специальность Ученая степень
ИНСТИТУТ ГОРНОГО ДЕЛА УрО РАН
БАЛЕК Александр Евгеньевич Управление напряженно-деформированным состоянием скального массива при подземной разработке рудных месторождений системами с обрушением 25.00.20 д.т.н.
