Математическая модель слоистой структуры с наноразмерным отверстием Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 517.958, 537.812

H.В. Гришина, Ю.А. Еремин, А.Г. Свешников

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СЛОИСТОЙ СТРУКТУРЫ С НАНОРАЗМЕРНЫМ ОТВЕРСТИЕМ1

(лаборатория вычислительной электродинамики факультета ВмиК,

e-mail: eremin@cs.msu.ru)

На основе метода дискретных источников построена математическая модель задачи рассеяния поляризованного светового излучения наноразмерным отверстием в металлической пленке на стеклянной подложке. Обнаружен эффект экстремального просачивания энергии через отверстие в области неизлучающих волн.

Введение. Нанооптика — наука, сформировавшаяся в последние десятилетия, — регулярно преподносит сюрпризы исследователям. Совсем недавно было открыто явление аномального просачивания энергии через отверстие в экране, сделанном из благородного металла, при этом диаметр отверстия был существенно меньше дифракционного предела [1]. Короткое время спустя был проведен анализ рассеивающих свойств отверстия в экране и дана физическая интерпретация аномального просачивания энергии, которая заключается в возбуждении плазмонов — свободных электронов, имеющихся в наличии в благородных металлах [2]. Следом за этим множество исследователей принялись анализировать различные аспекты рассеяния волн наноразмерными отверстиями в экранах и пленках применительно к конструированию оптических антенн и биосенсоров [3-6]. Подавляющее большинство этих работ посвящено рассмотрению нормального падения плоской волны на поверхность экрана (пленки). Кроме того, во всех имеющихся публикациях анализируется случай распространяющихся волн, когда отсутствуют условия возникновения неизлучающей волны за экраном. Вместе с тем именно случай возбуждения неизлучающей волной, угол падения которой превышает угол полного внутреннего отражения, в настоящее время широко используется при конструировании оптических антенн, локальных биосенсоров, а также в современных микроскопах ближнего поля [7-9].

В настоящей работе на основе метода дискретных источников (МДИ) построена математическая модель рассеяния электромагнитных волн отверстием в проводящей пленке на подложке. Проведен анализ рассеивающих свойств наноразмерного отверстия в поле неизлучающих волн. Обнаружено явление экстремального просачивания энергии в области неизлучающих волн, непосредственно примыкающей к углу полного внутреннего отражения.

I. Математическая модель отверстия в пленке. Начнем с математической постановки рассматриваемой задачи. Пусть все пространство разделено на три части: воздух — область D0, пленка — Df и стеклянная призма — D\. В качестве внешнего возбуждения будем рассматривать поле линейно поляризованной плоской электромагнитной волны {Е°,Н0}, падающей из Т)\ под углом в\ относительно нормали на плоскую границу ©i раздела призма-пленка. Цилиндрическое отверстие, занимающее область D\ с гладкой границей ¿Ш,, расположено внутри пленки толщины d, ограниченной плоскостями ©о и ©1, при этом плоскость ©о разделяет пленку и воздух. Будем полагать, что ось симметрии отверстия совпадает с направлением внешней нормали к ©i. Введем прямоугольную систему координат, выбрав ее начало на плоскости ©i, а ось Oz направим вдоль оси симметрии отверстия. Тогда математическая постановка задачи имеет вид

rotH^ = jke^Е^, rotE^ = -jk/i^H^ в D^, С = 0, f, l,i,

пр X (Ei(p) - Ef(p)) = 0, ez x (E0(p) — Ef(p)) = 0,

p G oD{. p G ©o,

npx(Hi(p)-Hf(p)) = 0, ' ez x (H0(p) — Hf(p)) = 0,

x (Ef(p) — Ei(p)) = 0,

p G ©i, (1)

e,x(Hf(p)-H1(p)) = 0,

с условиями излучения (или затухания) для рассеянных полей на бесконечности.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ-ННИО.

Здесь — полное поле в соответствующей области, ez — единичный вектор нормали к

границам раздела слоистой среды, а пр — нормаль к поверхности отверстия dD\. Напомним, что в областях Di)f полное поле включает в себя падающую и отраженную плоскую волну, а в области D0 — преломленную волну, которая при определенных условиях превращается в неизлучающую. Полагаем поверхность отверстия гельдеровой: ¿Ш, С С'^2,а\ а параметры сред удовлетворяющими условиям ^ 0 (временная зависимость выбрана в виде exp{jwí}). Тогда граничная задача (1) имеет единственное решение [10].

Прежде чем строить приближенное решение для рассеянных полей, решим задачу дифракции поля плоской волны {Е°,Н°} на слоистой структуре воздух-пленка-подложка. Как известно [11], это решение может быть записано в явном виде. Обозначим полученное поле через {Е°,Н°}, £ = 0,f, 1. Теперь будем строить приближенное решение граничной задачи (1) для рассеянного поля С = 0, f, 1, в Д^, С = 0, f, 1, и полного поля в Д на основе МДИ [7].

Суть МДИ состоит в представлении для поля в виде конечной линейной комбинации полей муль-типолей, которая удовлетворяет системе уравнений Максвелла в областях -Do,f,i,b условиям на бесконечности для рассеянного поля в -Содд, а также условиям сопряжения для тангенциальных компонент полей всюду на ©од. В этом случае решение граничной задачи рассеяния (1) сводится к задаче аппроксимации поля внешнего возбуждения лишь на поверхности отверстия dD\ полями мультиполей. Таким образом, определение неизвестных амплитуд ДИ производится из условий сопряжения на ¿Ш,, которые принимают следующий вид:

tip х (Ei - Е|) = пр х , tip х (Hi - Н|) = np х . (2)

Начнем с построения поля внешнего возбуждения внутри пленки {Е^Н®} для P/S-поляризованного возбуждения плоской волной. Это поле может быть записано как

Ef = wf'SE¡+)P'S + Hf = wf'SH¡+)P'S + W''-Щ (3)

Е^±)Р = (т cosdfex + sin0feí:)7±, Hj.: u' = -nfeJ/7±, H[±)S = щ (=Fcos0fex + sin0feí:)7±, e[±)S = eyj±,

7± = exp {^jkf (xsmOf ± zcosí?f)} , Щ = щ = ^е^ц^, ^ = 0, f, 1,

rpP,S

WiP,S = p]¡ P,S 2 ' WrP'S = -ñfflSe^iP'S- ef = eXP i~3kfd COS 0f} ,

1 — i?fl' i?fQ' ef

P S P s

^■a'p ' ^ah — соответствующие коэффициенты отражения и преломления на плоской границе, разделяющей Da и Dp, для P/S-поляризованной плоской волны [11], a ex,y,z — базис декартовой системы координат.

Будем строить приближенное решение таким образом, чтобы учесть осевую симметрию геометрии задачи (1). В основу представления для рассеянного поля положим мультипольные источники, удовлетворяющие условиям сопряжения для тангенциальных компонент полей на плоскостях ©од, что позволит учесть аналитически всевозможные взаимодействия отверстия с плоскостями раздела сред [7]. В данном случае структура полей будет определяться тензором Грина слоистой среды [12]. Его азимутальные гармоники Фурье имеют представление [7]

где

СЮ

Ge-h((,zn) = J Jm(\Pyi'1h(z,zn,X)\1+md\ о

сю

9m{£,,Zn) = J Jm(\p)v3l(z,Zn,\)\1+md\,

(4)

здесь Jm(-) — цилиндрическая функция Бесселя, точка £ = (p,z) располагается в полуплоскости ср = const, а точки локализации мультиполей распределены вдоль оси симметрии zn € Oz внутри Г)\.

В данном случае для спектральных функций А), //^(г, А), которые обеспечивают непре-

рывность тангенциальных компонент полей на ©од, справедливы следующие представления:

е,Н

е.Н

=

+ В{? ехр{-^ - *)} + СЦ1 ехр{-^}, ООО, А, (¿) ехр{г/1г}, г < О,

' А1\ (К «0 ехр{^г/о(г - (¿)), О В^ ехр{—щ{й — г)} + С1(1 ехр{—й ^ г ^ О, ^{Х, «О ехр{г]1г}, г < 0.

(5)

Здесь т?2 = А2 — Щ. Кроме того, спектральные функции удовлетворяют следующим условиям сопряжения на границах г = 0, й [12]:

'11}

1 Эу^ ц дх

= 0,

—и-

31

= 0,

31

ец дг

£Ц

Ш = 1 ,

11 5

— V-

31

1 ду^

е дх

= 0,

= 0,

1 дуЦ ' 1"

£Ц дх

(6)

11 ■

Из соотношений (5), (6) легко убедиться, что внутри пленки имеет место равенство

= , О О 0.

'31 5

Будем строить приближенное решение задачи (1), которое учитывает не только осевую симметрию рассеивателя, но и одновременно поляризацию внешнего возбуждения [7]. Для этого используем векторные потенциалы {А^пп, А®, А^}, введенные в [8], а в качестве дт — функции, удо-

влетворяющие соотношениям (3)-(6).

Рассмотрим Р-поляризованную плоскую волну, вектор Е° которой лежит в плоскости падения XX. Тогда с учетом сказанного выше приближенное решение для рассеянного поля принимает вид

М И„

Ее _

\Ртп то=0п=1 ^

3

ке^ц^

кЛ rot А;

1

■ТОП 1 я.тм Атоп

V гп — кЛ rot А кем

е

П1

(7)

ТТ.5 _ 3

кЛЕ^(М), С = 0Д1,

где последнее слагаемое соответствует вертикальным электрическим диполям. В полном соответствии с [7] строится приближенное решение для внутреннего поля в Х),. Построенное таким образом представление для приближенного решения удовлетворяет всем условиям граничной задачи (1), за исключением условий сопряжения на поверхности отверстия. Удовлетворяя условиям (2) в некоторой норме, определяем амплитуды ДИ {ртп, цтп-, гп}- Заметим, что, определив таким образом амплитуды ДИ, мы построим представление для поля сразу во всех областях А)дд.

Совершенно аналогично строится приближенное решение для ^-поляризованного внешнего возбуждения.

Сходимость приближенного решения к точному обеспечивается полнотой системы полей мульти-польных источников [7].

Для вычисления характеристик рассеянного поля на бесконечности необходимо иметь диаграмму рассеяния. В данном случае она определяется в области 1)0 как

е2(М)/|е°(2 = О)| =

ехр{-^0г}.

¥(6,<р) + о(г-1), г>й, г=\М\^оо.

Для получения конкретного вида диаграммы рассеяния для приближенного решения (7) достаточно использовать асимптотические представления для интегралов Зоммерфельда. Тогда для в, ¡^-компонент

диаграммы рассеяния в случае Р-поляризации имеем ■, М Nm

Ff(ei <р) = — У2 íik0 sin0)TO cos(m + \)tp y2{Pnm\Genm COS0 + jko sin2 вдпт} +

tn=0 n=l

—h jkQ N° —h + 4nmGnm}--sin0 > rnGn0, (8)

eo —:

n= 1

'к M N'm h <p) =--- Y1 sine)m sin(m + X/{PnmGnm + 4nm[Gnm eos9 + jko sin2 вдпт]},

m=O n= 1

где соответствующие спектральные функции дпт имеют вид

Gnm(9) = jkocosdexp{jkodcos6}A\'ll(kosmd, zn,d),

_ (У)

дпт{0) = jko cos0exp{jfcodcos0}A31(fcosin0, zn,d).

Как явствует из (8), (9), компоненты диаграммы рассеяния не содержат интегралов Вейля-Зом-мерфельда и после определения неизвестных амплитуд ДИ для расчета характеристик рассеяния достаточно вычислять лишь комбинацию элементарных функций.

2. Обсуждение результатов. Будем рассматривать интенсивность рассеянного поля, которая определяется как

Ip>s(eue,<p) = |FeP'S(0b0,^)|2 + . (10)

Р s

Здесь F0 ' (9i,в,(р) — в-, ¡^-компоненты диаграммы рассеяния, соответствующие P/S-поляризации возбуждающей волны (3). Размерность интенсивности (10) — мкм2. Нас также будет интересовать сечение рассеяния — интенсивность, рассеянная в верхнее полупространство:

aP,S

(0^ = J IP^(0U0,ip)d U. (И)

П

Здесь телесный угол Ü = {0 < <р < 360°; 0^0^ 89,9°}.

В качестве внешнего возбуждения будем рассматривать плоскую P/S-поляризованную волну единичной амплитуды А = 532 нм, а в качестве материала призмы — стекло с индексом рефракции п\ = 1,52. Пусть 6q — преломленный угол, под которым волна проходит в D0. Соотношение Снел-лиуса применительно к данному случаю дает sinö0 = ^sinöi. Так как |щ| > |по| (показатель преломления стекла больше, чем показатель преломления воздуха), то при увеличении угла падения в\ в диапазоне от 0 до 7г/2 возникает момент, начиная с которого |sin0o| > 1. Тогда cosöo = —j л/sin2 0Q — 1 и 7+ = exp{^jÄoa;sin0o} exp |^fc0z-\/sin2 0Q — lj. Таким образом, в верхнем полупространстве возникает неизлучающая волна, которая распространяется вдоль границы раздела (вдоль оси X) и экспоненциально затухает по нормали к границе (вдоль оси Z). В данном конкретном случае критический угол вс = arcsin(no/ni), за которым располагается область неизлучающих волн, оказывается равным 0С = 41,2°. Во всех результатах, приведенных ниже, апостериорная оценка погрешности вычислений составляла менее 1%.

На рис. 1 приведены результаты расчета сечения рассеяния ap,s (0i) в зависимости от угла падения в\. Диаметр отверстия D = 30 нм, толщина пленки d = 45 нм, а в качестве материалов пленки выбраны серебро (Ag) и золото (Au). Как видно из рисунка, сечение для 5-поляризации монотонно убывает, в то время как для Р-поляризации оно имеет немонотонный характер, а именно сразу за критическим углом его значение резко падает более чем на порядок и достигает минимума при значении угла 0i = 42°, а затем резко возрастает более чем на два порядка (см. кривая 1) и достигает максимума при значении в\ = 44°. Причем величина максимума на порядок превышает значение ср(0°). Сходное поведение имеет ар(0\) для пленки из золота. Заметим, что при этом диаметр отверстия составляет менее одной десятой длины волны в стекле, равной 350 нм.

70 80 01, град

Рис. 1. Сечение рассеяния ар,Б (01) (11) для цилиндрического отверстия диаметром И = 30 нм в пленке толщиной (1 = 45 нм в зависимости от угла падения в\: Ag-плeнкa, Р-поляризация (кривая _/); Аё, 5 (2); Аи, Р (3); Аи, 5 (4)

Рис. 3. Сечение рассеяния ар(0\) для отверстия И = 30 нм в Ag-плeнкe различных толщин для Р-поляризации: (1 = 30 нм (кривая _/); (1 = 45 нм (2); ^ = 60 нм (3)

Рис. 2. Сечение рассеяния сгР {0\) для отверстий различных диаметров И в Ag-плeнкe (I = 45 нм для Р-поляризации: И = 20 нм (кривая _/); В = 30 нм (2); В = 40 нм (5)

Рис. 4. Сечение рассеяния ар(0\) для отверстия И = 30 нм в Ag-плeнкe ^ = 45 нм для Р-поля-ризации с различными материалами заполнения отверстия: воздух (кривая 1); 8Ю2 (2); SiN (3)

На рис. 2 приведены расчеты ар (61) для серебряной пленки при трех значениях диаметра отверстия. Хорошо видно, что увеличение диаметра приводит к возрастанию сечения рассеяния. На рис. 3 — те же результаты при И = 30 нм для трех различных толщин пленки. Как явствует из рисунка, эффект экстремального просачивания энергии сохраняется, при этом положение максимума практически не меняется.

На рис. 4 приведены аналогичные результаты для случая заполнения отверстия веществом с более высоким индексом рефракции — ЭЮ2 (Щ = 1,46) и SiN (щ = 2,03). Из рис. 4 видно, что подобное заполнение приводит лишь к увеличению эффективного диаметра отверстия (см. рис. 2).

Заключение. Вычислительный эксперимент, проведенный на основе развитой математической модели, позволил выявить новый физический эффект — эффект экстремального просачивания энергии через наноразмерное отверстие в пленке из благородного металла, возникающий в области неизлуча-ющих волн. Его наличие не зависит от диаметра отверстия, толщины пленки и заполнения отверстия, а определяется лишь материалом пленки. Подобные явления могут активно использоваться при проектировании современных устройств нанооптики и биофотоники.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ebbesen T.W.,Lezee H.J.,Ghaemi H.F. et al. Extraordinary optical transmission through subwavelength

hole arrays // Nature. 1998. 391. P. 667-669.

2. Wannamacher R. Plasmon-supported transmission of light through nanometric holes in metallic thin films // Opt. Commun. 2001. 195. P. 107-118.

3. D eg iron A., Lezec H. J., Y a ma mo to N., Ebbesen T. W. Optical transmission properties of a single subwavelength aperture in a real metal // Opt. Commun. 2004. 239. P. 61-66.

4. Yin L., Vlasko-Vlasov V.K., Rydh A. et al. Surface plasmons at single nanoholes in Au films // Appl. Phys. Lett. 2004. 85. N 3, P. 467-469.

5. Shuford K.L., Gray S.K., Ratner M. A., Schatz G. C. Substrate effects on surface plasmons in single nanoholes // Chem. Phys. Lett. 2007. 435. P. 123-126.

6. Olkkonen J., Kataja K., Howe D.G. Light transmission through a high index dielectric-filled subwavelength hole in a metal film // Opt. Express. 2005. 13. N 18, P. 6980-6989.

7. Еремин Ю. А., Свешников А. Г. Математические модели задач нанооптики и биофотоники на основе метода дискретных источников // ЖВМиМФ. 2007. 47. № 2. С. 269-287.

8. Гришина Н. В., Еремин Ю. А., Свешников А. Г. Математическая модель локального биосенсора// Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2005. № 4. С. 22-29.

9. Eremina Е., Grishina N., Eremin Yu. et al. Total internal reflection microscopy with multilayered interface: light scattering model based on discrete sources method //J. Opt. A: Pure Appl. Opt. 2006. 8. P. 999-1006.

10. Захаров E. В. О единственности и существовании решений интегральных уравнений электродинамики неоднородных сред // Вычислительные методы и программирование. Сер. 24. М.: Изд-во МГУ, 1975. С. 37-42.

11. Chew W. С. Waves and fields in inhomogeneous media. N.Y.: IEEE Press, 1995.

12. Дмитриев В.И. Поля в слоистых средах. М.: Изд-во МГУ, 1963.

Поступила в редакцию 29.11.07

УДК 519.65

Ж.Г. Ингтем

СПЛАЙН-ФУНКЦИЯ С МИНИМАЛЬНОЙ НОРМОЙ ПРОИЗВОДНОЙ В ЗАДАЧАХ ИНТЕРПОЛЯЦИИ И АППРОКСИМАЦИИ

(кафедра математической физики факультета ВМиК, e-mail: nmail2002@yandex.ru)

Настоящая работа посвящена использованию квадратичного сплайна с минимальной производной для приближения функции в задачах интерполяции и аппроксимации. Строится гладкий сплайн на сетке с равномерным шагом таким образом, чтобы норма его производной была минимальной. Узлы сплайна и узлы интерполяции совпадают. Такой подход позволяет получить сплайн по заданным на сетке значениям функции, обходясь без дополнительного задания значения производной функции в начальной точке, так как она находится из условия минимума нормы производной сплайна в L2.

Введение. В настоящее время наиболее часто при решении задач интерполяции и аппроксимации используется квадратичный сплайн [1, 2], который полностью определяется заданием функции на некоторой сетке и производной в начальной точке. Как правило, производная в начальной точке неизвестна, и обычно ее определяют как разностную производную по известным значениям функции в начальной и следующей точках. Однако при относительно большом шаге сетки такое определение производной имеет большую погрешность, что сказывается на устойчивости сплайна. В работе [3] было предложено искать производную в начальной точке из условия минимума нормы производной сплайна. В настоящей работе будет показано, как можно успешно решать задачи интерполяции и аппроксимации с использованием такого сплайна.

1. Использование сплайна в задачах интерполяции. Пусть нам известно N + 1 значений функции /(ж) на равномерной сетке с шагом h = ^jf-- По заданным значениям fn = f(xn) функции