Математическая модель системы регулирования температуры внутри помещения Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 697.1/3:621.1.016:51.001.57

В. Н. Ханнанова

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ ВНУТРИ ПОМЕЩЕНИЯ

Ключевые слова: регулирование температуры, теплопотери, теплопередача, тепловая энергия, тепловой баланс.

Разработана математическая модель системы регулирования температуры внутри помещения. Модель учитывает температуру наружного воздуха, температуру теплоносителя. Определены основные теплопотери помещения. Записана передаточная функция помещения. Проведено моделирование с использованием программы MatLab.

Keywords: temperature regulation, heatlosses, heat transfer, thermal energy, thermal balance.

The mathematical model of the system room temperature regulation is developed. The model takes into account temperature of external air, heat carrier temperature. The main heatlosses of the room are defined. Transfer function of the room is written down. Modeling with MatLab program use is carried out.

Введение

В холодное время года человек, находясь в помещении, ограждаемом со всех сторон от более холодного наружного воздуха, вынужден поддерживать внутри помещения такую температуру воздуха, которая обеспечивала бы чувство комфорта

Для поддержания температуры воздуха на заданном уровне система отопления должна выделять в помещение определенное количество тепла. Для этого необходимо получить тепло и передать его помещению. Вследствие этого система отопления состоит из следующих трех основных элементов: устройства для получения тепла (генератор тепла); устройства для транспортирования тепла от места получения его до отапливаемого помещения (теплопроводов); устройства, обеспечивающего передачу помещению подведенного к нему тепла (нагревательных приборов).

Регулирование отпуска тепла в системах теплоснабжения осуществляется в источниках тепла, центральных тепловых пунктах, а непосредственно у потребителя регулирование, как правило, не осуществляется. В водяных системах теплоснабжения обычно производится так называемое качественное регулирование подачи тепла. Оно заключается в изменении температуры теплоносителя в соответствии с принятым температурным графиком.

Существует несколько ступеней регулирования климатических условий в отапливаемом помещении:

1) установка регулятора с постоянной температурой;

2) установка регулятора с температурой по графику;

3) установка регулятора по датчику комнатного воздуха и по графику одновременно;

4) установка регулятора по температуре наружного воздуха, по графику, по программе с раздельным управлением контурами системы отопления.

Чем больше будет установлено ступеней регулирования, тем эффективнее работает вся

система теплоснабжения. Немаловажным фактором в вопросе энергосбережения является инерционность системы отопления. При наличии большой протяженности теплосетей и большом объеме теплоносителя, время реагирования всей системы на изменение климатических условий очень продолжительно, что наблюдается при централизованном теплоснабжении. Автономные котельные решают эту проблему. Время реакции автоматики и котельной на изменения погоды доходят до минут. В этом случае достигается экономия на энергоносителях.

Вопросы моделирования процессов теплообмена в различных средах рассматриваются в [1-5], однако анализ этих публикаций показывает, что не уделяется внимание вопросам теплообмена внутри помещений. В связи с этим становится актуальной задача разработки математической модели системы регулирования температуры внутри помещения.

Целью данной работы является разработка математической модели системы регулирования температуры внутри помещения.

Исходные параметры для моделирования

Обогреваемое помещение имеет размеры 3 х 3,5 х 2,5 м.

Ограждающая конструкция представляет собой кирпичную стену толщиной 640мм с внутренней известковой штукатуркой. Толщина штукатурки 15 мм. Коэффициенты теплопроводности: для внутренней известковой штукатурки X = 0,6 ккал/м час град; для кирпичной кладки на тяжелом растворе X = 0,7 ккал/м час град. Сопротивление теплопереходу Яв для внутренних поверхностей стен, полов, а также потолков, имеющих гладкую поверхность

составляет 0,133 м2 час град/ккал. Сопротивление теплопереходу для поверхностей, соприкасающихся непосредственно с наружным воздухом (наружные стены, бесчердачные покрытия и прочие) составляет

0,05 м час град/ккал [6].

Удельная теплоемкость воздуха св = 1,005 кДж/кг К.

Пусть в помещении установлен чугунный радиатор М-140 из пяти секций. Поверхность нагрева одной секции для данного типа радиатора 2

составляет 0,254 м [6].

Температура в помещении должна

поддерживаться на уровне 18 ° С.

Моделирование проводилось с

использованием программы ЫсйЬаЪ.

Определение потерь тепла отапливаемыми помещениями

В холодный период года, когда наружная температура ниже внутренней температуры помещений, в наружных ограждениях здания возникает тепловой поток, направленный наружу.

Для поддержания в помещениях более или менее стабильной температуры необходимо непрерывно компенсировать отоплением количество теряемого тепла. Основные теплопотери помещений слагаются из теплопотерь через отдельные ограждения, определяемых по формуле:

О = Рок (*в - tн ) ккал/час, Кок

где О - теплопотери через ограждение в ккал/час;

с „2 гок - площадь ограждающей конструкции в м ;

Яок - сопротивление теплопередаче конструкции

ограждения в м2 час ° С/ккал; tв - температура

воздуха в помещении, ° С; tн - температура

наружного воздуха, ° С. [7]

Ограждения бывают однородными и многослойными.

Величину сопротивления теплопередаче многослойного ограждения Яок определяют по формуле:

= ЯВ ++ Я2 +...+ЯН м 2 час ° С /ккал.

где

внутренней поверхности ограждения; Я2 -термические сопротивления отдельных слоев ограждения; Ян - сопротивление теплопереходу у наружной поверхности ограждения.

Термическое сопротивление однородного ограждения или слоя, входящего в состав многослойного ограждения, должно вычисляться по формуле:

Я = — м 2 час ° С /ккал, X

где 8 - толщина слоя в м; X - коэффициент

теплопроводности материала в ккал/м час ° С.

Температура воздуха tв , которую система отопления должна обеспечить внутри помещения, зависит от назначения помещения и степени интенсивности работы, выполняемой человеком.

Зимой хорошее самочувствие человека, находящегося в состоянии покоя или во время

Яв - сопротивление теплопереходу у

работы, не связанной с затратой мускульной силы,

обеспечивается при температуре +18...+20°С при условии, что температура поверхности пола будет ниже температуры помещения не более чем на 1,252,5 ° С [6].

Помимо основных теплопотерь существуют также добавочные теплопотери через ограждающие конструкции, которые учитывают: ориентацию ограждения по сторонам света, наличие в помещении двух и более наружных стен, высоту помещений, воздействие ветра на ограждения и охлаждение через открываемые двери [7].

В целях упрощения расчетов будем учитывать только основные теплопотери.

Расчет нагревательных приборов

Теплоотдача нагревательного прибора О может быть определена из выражения:

О

кпр ■ Рпр

^пр - tв ) ккал/час,

где

к

пр

коэффициент теплопередачи

нагревательного прибора в ккал/м 2 час" С; Рпр -

площадь поверхности нагревательного прибора в 2 +

м ; tпр - средняя температура теплоносителя в приборе; tв - температура воздуха в помещении.

Средняя температура теплоносителя в приборе по схеме сверху вниз определяется по формуле:

^ + t2

2

где

температура теплоносителя

соответственно в подающем и обратном трубопроводе.

Температура теплоносителя в подающем и обратном трубопроводе зависит от температуры наружного воздуха и температурного графика тепловой сети, и может быть определена по отопительным графикам.

Для домового отопления используются графики 105/70 и 95/70, где в числителе указана температура теплоносителя в подающем трубопроводе, в знаменателе - температура теплоносителя в обратном трубопроводе.

Регулирование температуры воздуха в обогреваемом помещении

Анализ регулирования температуры воздуха в обогреваемом помещении можно описать дифференциальным уравнением. Чтобы упростить анализ процесса, представим себе такой идеальный процесс, когда обогреваемое помещение или здание - однородное тело, температура которого во всех точках одинаковая.

Тепловая энергия, подводимая в помещение О, расходуется на нагревание самого помещения Опом и на покрытие расхода тепловой энергии через ограждающие конструкции Оок, то есть

0 = °пом + °ок

и

2

За бесконечно малый отрезок времени энергия, подведенная в помещение ОСт,

расходуется на нагревание самого помещения на сН градусов:

Спм ■ спмСН

и на покрытие расхода энергии через ограждающие конструкции

кок ■ Рок ДНвСт .

Получим дифференциальное уравнение теплового баланса обогреваемого помещения: 0сСI = впм ■ спмСН + кок ■ Рок ■ Д^Л ,

где Рок - площадь поверхности ограждающих конструкций; т - время; впм - масса помещения; спм - удельная теплоемкость; кок - коэффициент теплопередачи ограждающих конструкций; ДНВ -температурный напор, ДНВ = Нв - Нн, Нв -температура воздуха в помещении; Н н - температура наружной среды [8].

Преобразуем полученное уравнение: сН Ст

0Ст = Спм ■ спм "Г + кок ■ Рок ■ ДНв~Г СТ ат

Qdг dr Gпм • с пм dt

кок • 'ок dr кок • 'ок dr

Q dt

___= Т — +1 -1

k F ' пм . + 1 в 1 н ,

kок • 'ок dr

Q t - Т di t

+ LH — ' пм . + tв •

+ At в

кок • 'ок

dr

где О - тепловая энергия, подводимая в помещение; Гпм - постоянная времени обогреваемого

помещения, Гпм = 6™ ' °пм .

кок ■ Рок

Из данного уравнения получим передаточную функцию обогреваемого помещения:

Q

W(Р)пм — ^ ^ 'ок

+ t н

пм ■ Р + 1

На основании изложенного можно сделать следующие выводы:

1) нагревание и охлаждение помещений зависят не только от количества тепла, подводимого в помещение. Эти процессы зависят также и от массы помещения. Постоянная времени 7"пм у

зданий тем больше, чем больше масса, теплоемкость и чем меньше теплопроводность их внутренних и наружных ограждающих конструкций, то есть внутренних и наружных стен, перегородок, перекрытий и так далее;

2) понижение температуры воздуха в помещении после выключения отопления происходит тем медленнее, чем выше температура наружного воздуха [8].

Структурная схема разомкнутой системы регулирования температуры

Из выше сказанного можно выделить основные уравнения, необходимые для построения структурной схемы:

Q

кок •F

^пм —

t — Т dL t ■

+ lh — ' пм dr+tв ■

пм

с

пм

к о

ок ок Передаточная функция помещения:

обогреваемого

Q

W(Р)пм — -ок ^ 'ок

t

н

Пусть tH — -10 ° С•

Тпм • Р +1

температура наружного воздуха Тепловая сеть работает по температурному графику 95/70. Зная температуру наружного воздуха и температурный график тепловой сети, можно узнать какая температура должна быть в подающем и обратном трубопроводах. В сети Internet был найден отопительный график, по которому температура в подающем и обратном трубопроводах при

выбранных условиях составляет 65,3 ° С и 51,7 ° С соответственно [9].

Рассчитаем параметры обогреваемого помещения.

Объем помещения составляет:

Упм — 3 • 3,5 • 2,5 — 26,25 м 3.

Масса помещения:

Gпм — ^м • Рв — 26,25 • 1,29 — 33,86 кг.

Площадь ограждающей конструкции:

Рок — 3 • 2,5 — 7,5 м 2 .

Величина сопротивления теплопередаче для многослойного ограждения:

Як = R+R+R+R — 0,133+0015+064+0,05= Ък ^ 4 4 ^ 0,6 0,7

—1,12 м2 час град/ккал.

Коэффициент теплопередачи ограждения:

ко

Rm

1

1,12

: 0,89 ккал/м час град.

1 кал=4,19 Дж, тогда

кок—

0,89-103 • 4,19 Д 2

- — 3,72 кДж/м час град.

1

Постоянная помещения:

сп

времени обогреваемого

Тпм —

33,86 • 1,005 • 103

кок • 'ок

—1,2 час.

3,72 ■ 10 ■ 7,5 Теперь необходимо определить тепловую энергию, поступающую в помещение от нагревательного прибора.

Средняя температура теплоносителя в приборе:

tпр *

^ +t

2

65,3 + 51,7

= 58,5° С.

2 2 Коэффициент теплопередачи радиатора М-140 при разности между средней температурой теплоносителя и температурой помещения

40 * 45 ° С равен 26,4 кДж/час м 2 град [7].

Площадь поверхности нагревательного прибора:

Рпр = 5 • 0,254 = 1,27 м 2.

Теплоотдача нагревательного прибора: О = кпр • Рпр-(*пр - *в) = 3Д52-(405) = 135-77 кДж

Построим структурную схему в среде MatLab (рисунок 1).

Результаты моделирования для

температуры воздуха *в показаны на рисунке 2.

Рис. 1 - Структурная схема разомкнутой системы регулирования температуры в среде ММЬиЪ

Рис. 2 - Результаты моделирования для температуры воздуха *в

Определим показатели качества переходного процесса для tв :

1) перерегулирование

^в.тах — *в.уст , АА0, 29,3 — 29,3

СТ =-• 100% =-•

в. уст

29,3

100% = 0;

2) время переходного процесса t пп = 4,65 час.

Из рисунка 2 видно, что установившееся значение температуры воздуха в помещении

составляет 29,3 ° С, что значительно превышает

необходимую температуру 18 ° С. Следовательно, необходимо ввести контур регулирования температуры воздуха в помещении.

Структурная схема замкнутой системы регулирования температуры

Регулирование будет осуществляться при помощи термостата. Если отклонение от заданной

температуры будет превышать ± 2 ° С, то сигнал на выходе термостата равен единице, в противном случае - равен нулю. Для реализации данного способа регулирования в схеме на рисунке 1, необходимо сформировать обратную связь по температуре воздуха в помещении.

Согласно постановлению Правительства РФ от 6 мая 2011 г. N 354 "О предоставлении коммунальных услуг собственникам и пользователям помещений в многоквартирных домах и жилых домов" отопительный период должен начинаться или заканчиваться со дня, следующего за днем окончания 5-дневного периода, в течение которого соответственно среднесуточная температура наружного воздуха ниже 8 градусов Цельсия или среднесуточная температура наружного воздуха выше 8 градусов Цельсия.

Представим, что температура наружного воздуха в течение 182 дней принимает значения от +8

до +8 ° С с промежуточным минимальным значением -

35 ° С. Например 1 октября температура наружного

воздуха составляла +8 ° С, 30 декабря на улице было -

35 ° С, а 1 апреля температура наружного воздуха

опять достигла отметки +8 ° С. Таким образом мы можем представить температуру наружного воздуха периодической функцией, поскольку нам известен период ее изменения, а также максимальное и минимальное значение. Теперь необходимо задать тепловую энергию, поступающую от нагревательного прибора. Определим теплоотдачу радиатора для

tн =+8° С и *н =—35° С.

При t н = —35° С температура в подающем

и обратном трубопроводах составляет 95 ° С и 70 ° С соответственно. [9] Средняя температура теплоносителя в приборе:

. ^ +12 95 + 70 С *пр * —^— = —2-=

Коэффициент теплопередачи радиатора М-140 при разности между средней температурой теплоносителя и температурой помещения

60 * 65°С равен 30,2 кДж/час м2 град. [7] Теплоотдача нагревательного прибора в этом случае о = кпр • гпр ('пр - *в) = 384^625) = 239771 кДж.

При t н = +8° С температура в подающем и

обратном трубопроводах составляет 41,2 ° С и

35,8 ° С соответственно. [9] Средняя температура

теплоносителя в приборе:

Ь + 12 41,2 + 35,8 С Iпр *---=---= 38,5 С.

'пр

2

2

Коэффициент теплопередачи радиатора М-140 при разности между средней температурой

теплоносителя и температурой помещения 20,5 ° С в

справочниках не указан. Однако существует метод В. М. Гусева, суть которого заключается в следующем. Если известен коэффициент ^4,5

нагревательного прибора при разности между средней расчетной температурой теплоносителя и

95 + 70

воздухом

помещения

—18 = 64,5 ,

то

к = к 64,5 п-

к = 30,2 •

град.

2

коэффициент к для любой другой разности температур Д* может быть найден из выражения

гаТ

I 64,5 '

где показатель степени п для радиаторов равен 3 [7]. Найдем коэффициент к :

р05 = 20 6 кДж/час м 2 64,5

Теплоотдача нагревательного прибора в этом случае

о=кпр • Fпр•(tпр—*в)=2616^(205) = 5363 кДж.

Составим структурную схему в среде MatLab (рисунок 3).

Результаты моделирования для

температуры воздуха в помещении *в , в зависимости от температуры наружного воздуха *н представлены на рисунке 4.

ОН—V

я_, + РгоЛис!

в—1

в

Рис. 3 - Структурная схема замкнутой системы регулирования температуры в среде ММЬиЪ

Рис. 4 - Переходные процессы температуры воздуха в помещении

Как видно из рисунка 4, при понижении температуры наружного воздуха увеличивается частота включений термостата.

Выводы

Разработана структурная схема отапливаемого помещения, позволяющая поддерживать температуру воздуха в помещении на

уровне 18 ± 2° С.

Достоинствами полученной структурной схемы являются:

теплопотерь

наглядно процессы при

I 1

1) простота;

2) учет основных помещения;

3) возможность демонстрировать динамические изменении внешних условий.

Недостатки схемы:

1) в рассматриваемой структурной схеме учитывается только один вид теплообмена -теплопроводность;

2) пренебрегаем добавочными теплопотерями, которые учитывают: ориентацию ограждающих конструкций по странам света; потери тепла через пол, потолок и внутренние стены; воздействие ветра на ограждения; охлаждение через открываемые двери. Также не учитываются потери на нагревание наружного воздуха, инфильтрующегося в помещение через притворы окон и балконных дверей. Отсутствует учет бытовых выделений тепла в помещении.

Результаты компьютерного моделирования подтверждают работоспособность структурной схемы и ее пригодность для практического применения. Имеется возможность устранения перечисленных недостатков путем модернизации схемы в соответствии с заданными условиями.

Литература

1. Е. К. Вачагина, Г. Р. Халитова, Ю. В. Караева, И. А. Трахунова, Математическая модель теплообмена в системе поддержания температурного режима в реакторе метанового брожения, Вестник Казан. технол. ун-та, 15,19,33-37 (2012).

2. Р. Ш. Гайнутдинов, Нестационарное температурное поле плоского тела в условиях зависимости температуры среды и коэффициента теплообмена от времени, Вестник Казан. технол. ун-та, 14, 2, 37-42 (2011).

3. Р. Ш. Еналеев, Э. Ш. Теляков, О. А. Тучкова, М. А. Закиров, О. Ю. Харитонова, Моделирование предельных состояний элементов строительных конструкций при высокоинтенсивном нагреве, Вестник Казан. технол. унта, 13, 8, 41-51 (2010).

4. А. Ф. Файрушин, В. К. Половняк, Р.Ш. Еналеев, Снижение теплопотерь в трубопроводах горячего водоснабения с использованием арагонитового покрытия на внутренних стенах, Вестник Казан. технол. ун-та, 13,

5. 91-96 (2010).

5. М. Ф. Халиков, Б. М. Азизов, И. В. Чепегин, Исследование сочетанного воздействия повышенной температуры воздуха и вредных веществ, Вестник Казан. технол. ун-та, 13, 7, 99-109 (2010).

6. В. В. Белоусов, Ф. С. Михайлов. Основы проектирования систем центрального отопления . Госстройиздат, Москва, 1962. 402 с.

7. Г. А. Максимов. Отопление и вентиляция. Отопление. Высшая школа, Москва, 1963. 352 с.

8. В. П. Туркин. Отопление гражданских зданий. Южно-Урал. кн. изд-во, Челябинск, 1975. 320с.

9.Отопительный график качественного регулирования [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://energoworld.ru/blog/otopitelnyj-grafik-kachestvennogo-regulirovaniya-otpuska-tepla-po-srednesutochnoj-temperature-naruzhnogo-vozduxa/, свободный.

© В. Н. Ханнанова - магистрант каф. электропривода и электротехники КНИТУ, regist1234@mail.ru.