МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

ПРОБЛЕМЫ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

УДК 004.32.06

Математическая модель системы дистанционного обучения

А.М.Баин

Московский государственный институт электронной техники (технический университет)

Предложена математическая модель системы дистанционного обучения с позиций теории сетей массового обслуживания, позволяющая рассчитывать производительность, время отклика и долю теряемых запросов многопользовательской системы.

Анализ современных исследований в области систем дистанционного обучения показал, что основное внимание уделяется педагогическим и экономическим аспектам разработки систем дистанционного обучения (СДО) [1-2]. В частности, в [3] выделяют следующие критерии эффективности СДО: формирование системы знаний; формирование системы профессиональных умений и навыков; рентабельность образовательного процесса и разумная стратегия цен за обучение.

Для пользователей систем дистанционного обучения наиболее очевидным критерием, характеризующим удобство и качество работы, является время отклика Я, т.е. время, прошедшее с момента отправки запроса до получения ИТМЬ-страницы от сервера. Многочисленные исследования показывают, что для комфортной работы с сервером СДО время отклика не должно превышать 1 с, а для того, чтобы пользователи не отвлекались на другие задачи, время полной загрузки страницы должно оставаться в пределах 10 с. Повышение эффективности СДО должно осуществляться через призму их основных функций обслуживания, т.е. поиска и предоставления информации определенного характера по заявке пользователя.

Таким образом, актуальным является математическое моделирование СДО, направленное, в первую очередь, на вычисление основных характеристик производительности системы. Математическое моделирование производительности СДО может осуществляться с разной степенью детализации: на уровне системы, когда сама система считается «черным ящиком», обрабатывающим поступающие запросы, и на уровне компонентов, когда используются модели процессоров, дисков и сетей . Для анализа характеристик системы построим ее обобщенную модель, используя основные положения теории массового обслуживания [4, 5].

Представим весь программно-аппаратный комплекс, автоматизирующий процессы дистанционного обучения, в виде «черного ящика», на вход которого поступают запросы пользователей со средней частотой X запросов/с, обслуживаемые системой с усредненной производительностью д запросов/с. Допустим, что нагрузка однородна, т.е. запросы статистически неразличимы, и имеет значение только их количество. Предположим, что система находится в операционном равновесии, т.е. количество запросов, обрабатываемых системой в начале рассматриваемого периода, равно количе-

© А.М.Баин, 2010

А.М.Баин

ству запросов, обрабатываемых в конце периода. Опишем состояния системы единственным параметром - числом ожидающих обслуживания или обслуживаемых запросов, при этом последействие отсутствует и рассматриваемый процесс функционирования системы является марковским.

Построим диаграмму переходов обобщенной модели уровня системы, обозначив ее возможные состояния числами 0, 1, 2,..., к,..., считая при этом, что интенсивности поступления и обработки запросов Xк и цк могут зависеть от состояния

Поскольку система находится в состоянии операционного равновесия поток переходов в состояние к должен быть равен потоку переходов из этого состояния, т.е. выполняется принцип равенства входящего и исходящего потоков. Исходя из этого, имеем следующую систему уравнений:

Х 0 Ро

Х\Р\ = ц 2 р 2; х к-\рк-1 = ц крк;

(1)

где рк - относительный период времени, в течение которого система находится в состоянии к. Закон сохранения потоков выполняется с учетом сделанного ранее предположения о марковском процессе функционирования системы. Из (1) получим:

х о

Р1 = —Ро;

Ц1

Х1 Х1 Xо

р 2 =—Р1 =--Ро;

Ц 2 Ц 2 Ц

(2)

X к-1 X к-1 Х1 X о Рк =—Рк-1 = —— Ро;

цк

ц к ц2 ц1

Используя более компактное представление, запишем (2) в виде

к-1 X Рк = Ро П '

г=о Цг+1

Поскольку сумма всех рк должна быть равна 1, получим

к-1

X,.

( да к-1 ^ N

Е Рк=Ро +Е Рк = Ро+Е Ро =Ро1+ЕП—

к=1 г=о ц г+1 V к=1 г=о ц г+1

к=о

к=1

= 1,

(3)

(4)

<

да

да

да

откуда

-и

Ро =

то к—1 ^

1+2ПА-

к=1 1=0 +1

(5)

Коэффициент использования системы находим как долю времени, в течение которого система не бездействует

и = 1 — ро . (6)

Средняя производительность системы будет равна сумме произведений производи-тельностей ^ на доли времени рк, в течение которых система функционировала:

то

X = Т^кРк . (7)

к=1

Среднее количество запросов, находящихся в системе, определяется как

то

N = 2 кРк . (8)

к=1

В соответствии с законом Литтла среднее количество обрабатываемых системой запросов равно произведению интенсивности входного потока (производительности системы) на среднее время обработки заявки, следовательно, среднее время отклика вычисляется как [5]

то

* = N = . (9)

Е^кРк

к=1

В рамках полученной обобщенной модели можно выделить множество вариантов функционирования системы, отличающихся постоянной или переменной скоростью обработки, конечной или бесконечной очередью, а также конечной или бесконечной совокупностью поступающих запросов (т.е. открытым или закрытым типом системы).

Для моделирования системы будем использовать модель системы массового обслуживания с переменной скоростью обработки, конечной очередью и конечной совокупностью поступающих запросов (выбор закрытой модели обоснован ограниченностью количества запросов системы дистанционного обучения).

В закрытой модели системы каждый из М пользователей отправляет запросы с частотой 1/2, где 2 - время принятия решения (интервал времени между последовательными запросами). Если система пребывает в состоянии к (на сервере находятся к запросов), то в состоянии принятия решения находятся М - к пользователей, отправляющих запросы с интенсивностью 1/2, поэтому средняя частота поступления запросов состав. М — к ляет кк = ———, к = 0,..., М.

Скорость обработки запросов сервером растет до достижения некоторого количества одновременно обрабатываемых запросов 3, после чего наступает состояние насыщения, что можно описать следующей зависимостью:

АМ.Баин

\Х(к), к = 1,...,3;

(10)

[X(3), к > 3.

Подставив значения Хк и дк в выражения (3) и (5) и учитывая, что максимальное количество запросов в системе ограничено Ж, где Ж < М, получим:

М!

Рк =

Ро

Ро

к = 1,..., 3;

(М - к)!1кр(к):

М! X ( 3 ) 3 (М - к)!{2 • X(3))кр(3)

(11)

Ро =

1+Т

М!

- +

X (3)

3 ш

к > 3;

М!

к=1 (М - к)!2кр(к) р(3) к =3+1 (М - к)!(2 • X(3))

-1

(12)

где Р(к) = X (1) X (2)..^^ (к), при этом доля теряемых запросов определяется как рЖ. Исходя из (8), можно определить среднее количество запросов на сервере:

ш

N = Т кРк .

к=1

Средняя производительность, согласно (7), вычисляется по формуле:

Ш 3 ш

X = Т X(к)Рк = Т X(к)Рк + X(3) Т Рк .

к=1

к=1

к=3+1

Время отклика, в соответствии с законом Литтла, определяется как

я = n / X

(13)

(14)

(15)

Таким образом, для вычисления основных характеристик производительности системы дистанционного обучения должны быть известны такие параметры модели уровня системы, как время принятия решения Z, количество обучающихся, одновременно работающих с системой М, максимальное количество одновременно обрабатываемых системой запросов Ж, значения производительности системы в зависимости от количества находящихся в ней запросов Х(к).

Для расчета теоретических характеристик системы используем предложенную математическую модель со следующими параметрами: время принятия решения Z = 60 с; количество пользователей, одновременно работающих с системой М = 3600; максимальное количество одновременно обрабатываемых системой запросов Ж = 150; значения производительности системы в зависимости от находящихся в ней запросов Х(к); по результатам эксперимента, а также учитывая конфигурацию сервера (имеется возможность обработки двумя процессорами четырех независимых потоков, т.е. 3 = 4) Х(1) = 24, Х(2) = 48, Х(3) = 57, Х(4) = 64. Тогда по (11) - (15) получим, что среднее количество запросов на сервере N = 14,53, по (6) коэффициент использования системы и = 98,2%, средняя производительность Х= 59,76 запросов/с, среднее время отклика Я = 0,243 с, а доля теряемых запросов равна нулю.

Время отклика системы по мере увеличения количества одновременно отправляемых запросов возрастает практически линейно, что свидетельствует о том, что опера-

<

к

ционная система равномерно распределяет нагрузку между всеми потоками вебсервера и системой управления базой данных. Среднее время отклика системы может составлять от 38 до 1105 мс в зависимости от количества одновременно выполняемых запросов. Результаты экспериментов подтверждают достоверность данных, получаемых с помощью мониторинга времени выполнения страниц, осуществляемого в процессе разработки и тестирования системы.

Представленная модель может быть успешно использована для расчета и оптимизации параметров производительности СДО в зависимости от количества пользователей, что позволяет обоснованно определить требования к программно-аппаратным ресурсам системы.

Литература

1. Солодова Е.А., Антонов Ю.П. Математическое моделирование педагогических систем // Математика. Компьютер. Образование: сб. тр. XII междунар. конф. / Под общей ред. Г.Ю.Ризниченко. -Ижевск: Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика», 2005. - Т. 1. - С. 113-121.

2. Рыженков Д.В., Константинов И.С., Новиков С.В., Кизимова Н.А. Адаптивная модель в автоматизированных системах дистанционного обучения // Изв. Тульского государственного университета. Сер. «Технологическая системотехника». Вып. 10. - 2006. - С. 31-39.

3. Минзов А.С. Оценка эффективности системы дистанционного обучения. - URL: http://www.mesi.ru/ joe/ st176.html

4. Хинчин А.Я. Работы по математической теории массового обслуживания. - М.: Изд-во URSS, 2009. -240 с.

5. Свешников А.А. Прикладные методы теории марковских процессов. - СПб.: Лань, 2007. - 192 с.

Статья поступила после доработки 5 октября 2009 г.

Баин Александр Михайлович - кандидат технических наук, доцент кафедры информатики и программного обеспечения вычислительных систем МИЭТ. Область научных интересов: автоматизированные обучающие системы, системы поддержки принятия решений, информационно-поисковые системы. E-mail: evgen_uis@mail.ru

Издательско-полиграфический комплекс Московского государственного института электронной техники

информирует

Будет издано в 2010 году

Топильский В.Б.

Схемотехника интегральных систем сбора данных

В учебном пособии рассматриваются вопросы аналоговой схемотехники систем сбора данных, современные интегральные ЦАП, АЦП и некоторые функциональные устройства ЦАП/АЦП, используемые при их построении (источники опорного напряжения, устройства выборки и хранения).

Пособие в первую очередь ориентировано на подготовку специалистов по специализации 220100 «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети» направления 654600 «Информатика и вычислительная техника», специализирующихся на разработке различных информационно-измерительных и управляющих систем, а также может быть рекомендовано и при изучении смежных дисциплин в области промышленной автоматики, робототехники, приборостроения, электротехники и радиоэлектроники. Книга может быть полезна не только студентам и аспирантам, но и специалистам, так как соответствует современному уровню развития техники.