Модель системы облачных вычислений в виде системы массового обслуживания с несколькими очередями и с групповым поступлением заявок Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Модель системы облачных вычислений в виде системы массового обслуживания с несколькими очередями и с групповым поступлением заявок

В системе облачных вычислений пользователь посылает запрос, который обрабатывается на виртуальньх облачных серверах. Предполагается, что запрос пользователя состоит из независимых подзапросов по числу поставщиков услуг облачных вычислений, причем каждый из поставщиков обрабатывает ровно один подзапрос, а подзапросы одного и того же запроса поступают одновременно в очереди на ожидание обработки серверами поставщиков услуг. Показателем качества является время отклика системы облачных вычислений на запрос пользователя, которое определено, как максимальное время обработки составляющих его подзапросов. Для анализа времени отклика построена модель в виде системы массового обслуживания с несколькими очередями и с групповым поступлением заявок.

Мокров Е.В.

Аспирант кафедры систем телекоммуникаций РУДН, melkorZZ@yandex.iv

Самуйлов К.Е.,

Заведующий кафедрой систем телекоммуникаций РУДН, дт.н, профессор, ksam@sci.pfv.edv.rv

1. Введение

Облачные вычисления являются новой вычислительной парадигмой, которая может изменить подход к приобретению и использованию вычислительных ресурсов. До сих пор инвестиции в вычислительные ресурсы являлись одной из основных статей расходов большинства организаций. Однако, с появлением облачных вычислений, эти расходы могут рассматриваться уже не как основные, а как эксплуатационные затраты. Кроме того, пользователь будет платить только за услуги, а не за аппаратное и программное обеспечение. Облачные вычисления включают в себя несколько компонентов, такие как сетевые устройства, вычислительные ресурсы, системы хранения данных, физически расположенные на больших расстояниях [1,2]. Пользователи могут гибко совмещать эти распределенные ресурсы, чтобы создать уникальную вычислительную среду.

В статье построена математическая модель системы облачных вычислений как система с групповым поступлением заявок, которая состоит из нескольких однолинейных систем массового обслуживания (СМО) по числу поставщиков услуг облачных вычислений [3,4]. Предполагается, что входящий групповой поток является пуас-соновским, а время обслуживания распределено по экспоненциальному закону. В этих предположениях предложен метод вычисления на основании инфинитезималь-ной матрицы марковского процесса (МП) [5], описывающего функционирование системы. Показано, что матрица имеет блочную диагональную структуру, что в свою очередь позволяет компактно записать систему уравнений равновесия (СУР) и решать ее с учетом известных численных методов. Проведен расчет времени отклика системы облачных вычислений с использовани-

Исследование выполнено при псддержкв Министерства образования и науки Российской Федерации (соглашение 14.U02.21.1874, проект879622013) и при финансовой псддержке РФФИ в рамках научного проекта № 13-07-00953-а

ем математической модели с конечными и с бесконечными очередями, а также с использованием имитационного моделирования, которое выполнялось с помощью системы ОРЗБ.

2. Построение модели в виде СМО с групповым поступлением заявок

На рис. 1 показана функциональная схема рассматриваемой системы облачных вычислений.

---------------------Время отклика п----.-----------г —

^ Время отклика; запрос

< ''чч ....

с

I

I-------------------------Время отклика л------

Рис. 1. Функциональная схема системы облачных вычислений

Запрос, посылаемый пользователем, разбивается на подзапросы, по числу К поставщиков услуг облачных вычислений, после чего каждый поставщик обрабатывает свой подзапрос. По окончании обработки подзапроса к-\\ поставщик посылает клиенту ответ, а после получения ответов на все подзапросы считается, что пользователь получил ответ (отклик) на свой запрос. Случайную величину (СВ) длительности интервала времени, прошедшего от момента инициации запроса пользователем до момента получения им ответов на все составляющие его подзапросы, будем называть временем отклика системы облачных вычислений. Обозначим СВ времени отклика к-го поставщика услуг облачных вычислений и будем считать [5], что СВ времени / отклика системы облачных вычислений на запрос пользователя определяется формулой:

/ = шах л .

Ключевые слова: система облачных вычислений, система массового обслуживания, групповое поступление заявок, время отклика, система уравнений равновесия.

Введем следующие обозначения: гк - ограничение на длину к-й очереди; //, - интенсивность обработки запросов к-м поставщиком; Л - интенсивность поступления запросов пользователей. На рис. 2 изображена модель облачных вычислений в виде СМО с групповым поступлением заявок. Предполагается, что размер группы фиксирован и равен К, т.е. числу однолинейных систем массового обслуживания.

п

[К]

Mi

О

для случая К = 3 , /?, = /?2 = R3 = 4 . Приведенные ниже вычисления показывают, что (2,0,2) < (1,3,0):

II =2+0+2=4=п =1 + 3 + 0 = 4, у = шахR. = 4,

1

£(Я; - „■)■ (у +1)*-' = (2 - 1X4 +1)3-' + (0-3X4 + \У~2 +

;=| '

+ (2-0Х4 + |)3"3 =25-15 + 2 = 12>0

С учетом введенного лексикографического порядка получаем матрицу интенсивностей переходов, которая может быть представлена в блочном трехдиагональном виде (рис. 3), где

[и-у.

0 в остальных случаях.

Рис. 2. СМО с групповым входящим потоком как модель системы облачных вычислений

Обозначим nk(t) число ^-заявок в СМО в момент времени />0, 0<nk(t)<Rk, где Rk=rk+1 емкость подсистемы А-го поставщика услуг. Тогда случайный процесс N(/) = («|(/),...,nK(t)) по построению является марковским (МП) и описывает функционирование системы над множеством состояний

X = |п = (и,,...,яА.):0<п. <R.nk £ Я,,* = l.tf},

К к

где R. = и п. = .

*-1 *«|

Введем Хп = {п € Х:п. = /и} - подмножество состояний системы, в которых в системе находится ровно m заявок, m = \,R, . Можно показать, что пространство состояний МП N(/) представимо в виде

R. т-К т-К

x=\Jxm, dim Хя = С” - £с' = с£_ - £с",.

да» 0 /■! /-1

(1)

_ J//,, п = п -ek, к = \,К,

(3)

(4)

Ь„,(п',п) = <!'''*....... т е {0,...,/?.}

[0 в остальных случаях,

и„(п,п ) = | /3" П П т 6 {0,...,/?,-/к}

0 в остальных случаях,

1 (5)

В формуле (4) ед - вектор, к-й элемент которого равен 1, а остальные элементы равны 0.

А х. л; х: Хш xt X" «П.:

* D, о 0 0 II, 0 0 0 0 0

и Г) 0 0 0 и. 0 0 0 0

хг 0 L D. 0 0 0 0 0 0

м*

V. 0 0 0 D. 0 0 0 и. 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 ч* 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 «м

—

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

¿V... 0 0 0 0 0 0 0 D.-.I 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 к* 0

*к 0 0 0 0 0 0 0 0 Ч D,

Рис. 3. Матрица А интенсивностей переходов в блочном трехдиагональном виде

3. Система уравнений равновесия

Пусть А матрица интенсивностей переходов МП

1Ч(/) и у = шах Rk максимальное значение элементов

*-ис

вектора пеХ. Обозначим п(/ + 1) = (и1,и2,...,иА.) ,

число, составленное из элементов вектора п и представленное в системе счисления по основанию у +1. Можно

показать, что представление числа п(у +1) в десятичной

системе счисления определяется формулой

(п(/ + 1))ю =Х/,Д>' + 1)Л *•

кш\

Введем на множестве X следующий лексикографический порядок

п > п о

(2)

Для иллюстрации правила (2) рассмотрим пример упорядочивания двух векторов п =(2,0,2) и п =(1,3,0)

Для нахождения стационарных вероятностей р"' = (р ,р,,...,р;;) состояний МП 1Ч(/) необходимо

решить систему уравнений равновесия (СУР), которая, с учетом вида матрицы А , может быть записана в виде:

т = \,Я.-К,

+р:;о»,+р:+,ь_, = о, т=к, я. -к-\, рцл+р^-о,

где Р2=1Рх,т>'Р«т»1...Л(-+!).|). х(т) = А\тХ„ из (1),

т = 0Ж.

Подставляя в (6) значения элементов блоков II т, I) „ и Ьга, вычисленные по формулам (3), (4), (5), и учитывая условие нормировки, можно получить численное решение СУР.

4. Численный анализ

На рис. 4 показаны графики среднего значения £7 времени отклика системы облачных вычислений в зави-

симости от нагрузки на систему р = max рк, где

рк = Я/цк,к = \,К. Вычисления проведены для случая К = 3,г, = г, = г} = 3, fit = 1,4, //, = 1,6, Цу = 1,8 . Сплошной линией показаны результаты вычислений, полученных для математической модели в результате решения СУР (6). Пунктирной линией показан график времени отклика, полученный с помощью имитационной модели для СМО с групповым поступлением заявок и конечной очередью, а точками - график времени отклика для случая rk = со,k = Y,K [3,5].

<.5

А

3,5

2,5 1 3 у і

0,5

модель При rk -CO — — имитационная модел

]

/

- —

El !Г"Я,ІГ"

0.2

0,4

0,6

0.8

Рис. 4. Среднее время отклика системы облачных вычислений

Как видно из рис. 4, результаты вычислений по формулам (3)-(6) практически совпадают с результатами имитационного моделирования. Для сравнения на рис. 4 приведены результаты расчетов для модели из [3,5]. Из графиков видно, что при значениях р до 0,5 расчеты для модели из [3,5] дают заниженную оценку времени отклика, а при значениях р, близких к единице, время отклика для модели из [3,5] резко возрастает. Последнее объясняется тем, что в модели из [3,5] отсутствуют потери, и запросы могут дожидаться обслуживания бесконечное время. Заметим, что в реальных системах облачных вычислений время отклика системы на запрос пользователя, являющееся одним из показателей качества функционирования системы, нормируется международными стан-

дартами, поэтому модель, построенная в разделе 2, более адекватно описывает функционирование системы облачных вычислений.

5. Заключение

Построена и проанализирована марковская модель облачных вычислений с несколькими поставщиками услуг. Получен метод вычисления стационарных характеристик модели и проведен численный анализ, показавший высокую точность метода при сравнении с результатами имитационного моделирования.

В дальнейшем предполагается исследовать модель с учетом наличия брокера в системе облачных вычислений и недетерминированным размером группы заявок.

Авторы выражают благодарность за полезные обсуждения и замечания в ходе работы над этой статьей доценту Гайда.чака Ю.В.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 12-07-00108-а) и Министерства образования и науки РФ (проекты 8. 7962.2013, I4.U02.21.1874).

Литература

1. ITU-T Focus Group on Cloud Computing Technical Report Version 1.0 Part 3: Requirements and framework architecture of cloud infrastructure 2012, 51 p.

2. Borko Furht, Armando Escalante “Handbook of Cloud romputing”, Springer New York Dordrecht Heidelberg London,

P )10, 634 p.

3. Самуилов K.E., Мокрое E.B. Модель облачных вычислений в виде системы массового обслуживания // сборник избранных трудов «Современные информационные технологии и ИТ-образование», МГУ, ВМиК, 2012. - С. 680-685.

4. Башарин Г.П. Лекции по математической теории телетрафика. - М.: Изд. РУДН, 2009. - 344 с.

5. Moll anted Firdhous. Osman Ghazali, Suhaidi Hassan "Modeling of Cloud System using Erlang Formulas" in 17th Asia-Pacific Conference on Communications (APCC), Sabah, Malaysia 2011.

Modeling of cloud computing as a queuing system with batch arrivals Eugeny Mokrov and Konstantin Samouylov Abstract

In cloud computing system user sends a query, which is handled by a virtual cloud servers. It is assumed that a user's query consists of several independent sub-queries according to the number of cloud computing services providers. All sub- queries of the same query are handled simultaneously by the service providers. We develop a queuing system model with multiple queues and batch arrival to analyze the response time of cloud computing system to a user query, which is defined as the maximum processing time among all its sub-queries.

Keywords: cloud computing system, queuing system, batch arrivals, response time, equilibrium equation system.