CC BY
79
УДК 621.515
Математическая модель регенеративного теплоутилизатора
Соболь Е.В. [email protected]
Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий, факультет КТ и К, кафедра кондиционирования воздуха
В данной статье описана математическая модель регенеративного теплоутилизатора: получены зависимости для нахождения коэффициента теплоотдачи, дифференциальные уравнения для расчета процессов тепломассопере-носа. Представлено описание программного модуля для решения уравнений и получения коэффициентов регенерации и аккумуляции.
Ключевые слова: коэффициент теплоотдачи, процессы тепломассоперено-са, программный модуль.
В последнее время рост стоимости энергетических ресурсов и повышение требований к качеству жизни существенно обострили проблему сокращения затрат на отопление и вентиляцию бытовых и производственных помещений. Одним из решений данной задачи является использование локальных систем вентиляции с утилизацией теплоты удаляемого из помещения воздуха. Важная роль в таких системах отведена регенеративному теплоутилизатору.
На рис. 1 изображен регенеративный теплоутилизатор с указанием направления движения теплоносителя. Движение воздуха попеременно осуществляется в обоих направлениях. Во всех каналах регенератора происходят одинаковые процессы теплообмена, поэтому можно рассматривать единичный канал (рис. 2). Процесс теплообмена в канале насадки является установившимся. Температура поверхности канала изменяется по длине насадки и по времени. Примем следующие допущения:
- регенератор теплоизолирован, поэтому потери тепла из насадки в окружающую среду отсутствуют;
- теплообмен в насадке происходит без конденсации паров влажного воздуха;
- теплофизические свойства регенератора и воздуха постоянны;
- время прохождения воздуха через регенератор намного меньше, чем время цикла.
Рис. 1. Конструкция стационарного регенеративного теплоутилизатора (1 — корпус регенератора; 2 — изоляционная фольга; 3 — вентилятор; 4 — теплоизоляция; 5 — регенеративная насадка).
Рис. 2. Сечение канала насадки регенеративного теплоутилизатора.
На рис. 2 изображен единичный канал насадки. Здесь: I и II — торцевые сечения насадки; GaK — расход воздуха на этапе аккумуляции (передача теплоты удаляемого воздуха насадке); Gper — расход воздуха на этапе регенерации (передача теплоты от насадки к приточному воздуху); Tin — температура большего потенциала; Tout — температура меньшего потенциала; L — длина насадки. Расход воздуха через единичный канал насадки определяется как общий расход воздуха, отнесенный к общему количеству каналов насадки. Толщина стенки канала равна половине стенки между смежными каналами.
На рис. 3 приведены зависимости изменения температуры поступаемого и удаляемого воздуха в торцевых сечениях канала I и II от времени [2]. Здесь так — время процесса аккумуляции теплоты насадкой; трег — время процесса отдачи теплоты от насадки воздуху.
Рис. 3. Изменение температуры поступаемого и удаляемого воздуха в торцевых сечениях канала в зависимости от времени.
Рассмотрим изменение температуры воздуха в торцевом сечении канала I за один период цикла. За период цикла будем принимать: тц = так + трег. За время первого полупериода так температура в канале сечения I постоянна и равна внутренней температуре помещения. Через полупериод происходит изменение направления движения воздуха и в течение времени трег температура в сечении изменяется по кривой, представленной на графике. После этого температура воздуха скачком изменяется на первоначальное состояние. Далее циклы повторяются.
Подобным образом происходит изменение температуры воздуха в торцевом сечении канала II.
Площади заштрихованных участков диаграммы пропорциональны теплоте аккумулированной насадкой — Qак и регенерированной теплоте — Qрег.
<2ак = Qрeг ; (1)
рег
Орег = JTdt-Tout; (2)
0
так
a„ = Tt - Jtdr. о)
0
Рассмотрим выделенный элемент насадки длиной Az (Рис. 4). Для участка канала Az составим уравнение теплового баланса для воздуха за время Ат.
Рис. 4. Выделенный участок канала длиной Д2.
Количество теплоты в выделенном элементарном объеме в начальный (предыдущий) момент времени:
а = 2 (т( щ)+т( $) св г в ^ (4)
Количество теплоты в элементарном объеме через время Ат:
О = 1 (T(*) + T(*) ) с о sAz
Q2 2 \в (i) ТВ (i +1W z
в (i)+ ТВ (1+1)) св о в s Az (5)
Теплота воздушного потока, поступившая в контрольный объем:
Q = GT®, с, At (6)
Теплота воздушного потока, вышедшего из контрольного объема:
04 = GTB %v> cB At (7)
Количество теплоты участвующее в теплообмене с насадкой:
Q5 — paAzAt
f T (k) + T (k) T (k) + T (k) ^
1 В(i) 1 В(i+1) 1 Н(i) 1 Н(i+1)
2 2
V У
(8)
Здесь: TB — температура воздуха; TH — температура насадки; s — площадь проходного сечения канала; рВ — плотность воздуха; p — периметр проходного сечения канала; a — коэффициент теплоотдачи.
Примем, что положительными являются процессы, приводящие к уменьшению теплосодержания контрольного объема. Тогда уравнение теплового баланса имеет вид
Q4 - Q3 + Q5 = Qi - Q2;
(Tiki+i) - С) GcBAt+(T5(k)+V2) - T^) paDzDt = (9)
— (T(k) - T(k-1) )с 0
~ \1B(i+1/2) В(i+1/2)/ ^вИВ^^
Пусть Az ® 0 и At ® 0, тогда в любом сечении воздушного канала процесс тепломассопереноса описывается дифференциальным уравнением
3T ^t
Gc*~z + СвГВs -t+ Pa(Tß - TH) = 0 (10)
Для решения дифференциального уравнения (10) необходимо задать краевые условия.
В качестве граничного условия зададим температуру воздуха на входе в канал
T if G — G
in J ак
T tifG — G (11)
o u tJ рег
Так как при номинальном режиме работы регенератора тепловые процессы имеют циклический установившийся характер и не зависят от исходного теплового состояния, начальные условия могут задаваться в произвольной форме.
Для определенности примем, что при t= 0 температура воздуха в канале линейно изменяется от Tin до To t , тогда начальное условие имеет вид
T — T (Tin Tout) z (12)
tb(t—0) _ Tin L
TB (z—0) — *
Составим уравнение тепломассопереноса для элементарного объема насадки.
Количество теплоты в элементарном объеме насадки в начальный (предыдущий) момент времени
06 = 2 (ТнН'(01)+ ТНЦ) сн р„ Зн Аz (13)
Количество теплоты в элементарном объеме насадки через время Ат
07 = 2 (ТН(!)+ ТНи) Сн РН ^ (14)
Теплота, поступившая в элементарный объем насадки вследствие теплопроводности
Т (") + т (")
0, = Л„ Аг н"' +АТн"-') (15)
Аг .
Теплота, вышедшая из элементарного объема насадки вследствие теплопроводности
Т(") + Т(")
09 =лн sн Ат ('+1' + Тн (') (16)
Аг .
Теплота, участвующая в теплообмене с воздухом
01О = -05. (17)
Здесь: сн — теплоемкость материала насадки; рН — плотность материала насадки; sН — площадь поперечного сечения насадки; ЛН — теплопроводность материала насадки.
Уравнение теплового баланса для элементарного объема насадки имеет
вид
09 - 08 - 010 = 06 - 07;
(Т (") - 2Т (") + Т (") ^
\1н (,+1) Н (,1в (, -1) у
Аг
ЛнСнАт+(ТН'|+12) - Т?,+12))раАгАт= (1,)
_ ( ТН(!+1/2) ТН(г+1/2) ) СНрНSН А
Н(,+1/2) А Н(,+1/2)
Если Аг ® 0 и Ат® 0, то уравнение примет вид
э 2т Т
ЛнСн -ЭТг + Ра(Тн - Тв) + Снрнsн -т = 0 (19)
Для решения дифференциального уравнения (19) необходимо сформулировать краевые условия. В допущениях было принято, что насадка теплоизолирована, поэтому граничные условия можно представить в виде
эгг
H
V
dz
f
= 0;
J z=0
dT
Л
H
V
dz
=0
(20)
J z=L
Начальное условие для уравнения (19) аналогично начальному условию для уравнения (10)
(T - T t) z
\ in out )
T = T -
H (t=0) in
L
(21)
Для решения дифференциального уравнения (10) необходимо знать коэффициент теплоотдачи а. Методика расчета коэффициента теплоотдачи была взята из литературного источника [1]
Ш -Л
а = ——, (22) dэ
где ^ — эквивалентный диаметр канала; X - коэффициент теплопроводности воздуха; N4 - число Нуссельта.
В качестве определяющего размера используется эквивалентный диаметр
л 4f
йэ (23)
э П ,
где /— площадь поперечного сечения канала; П - смоченный периметр.
Для определения расчетного уравнения числа Нуссельта необходимо знать режим движения воздуха в канале насадки. Найдем число Рейнольдса по следующей зависимости
™ РуЛэ
Яе = -—э (24)
V ,
где р - плотность воздуха, р = 1.2кг / м3; и - характерная скорость воздуха; п -динамическая вязкость воздуха, V = 1.82 -10-5 Н - с / м2.
Для ламинарного режима движения воздуха, когда число Рейнольдса лежит в пределах Яе < 2 000. При таком режиме движения можно выделить вязкостной и вязкостно-гравитационный режимы. Они определяются через число Релея:
Ra = Gr - Рг, (25)
где Ог — число Грасгофа, Рг — число Прандтля.
Число Прандтля для воздуха
Рг = 0.713. (26)
Число Грасгофа
аг = - Ц (27)
V2 ,
где g — ускорение свободного падения, g = 9,81 м/с2; tc — температура поверхности теплообмена; to — температура теплоносителя; в — температурный коэффициент объёмного расширения теплоносителя, V — коэффициент кинематической вязкости.
Ь 1
Р =--(28)
273 + к 9
При условии Яа < 3 105 преобладает вязкостной режим и уравнения для числа Нуссельта имеет вид
Ми = 1.55(Ре • 4вн / ¡/'е, (29)
где Ре — число Пекле, I — длина трубы, е1 — коэффициент, учитывающий изменение коэффициента теплоотдачи по длине трубы.
е = 1+0.01
2/
Яе ^
Г Л/3
V1 / 4вн J
(30)
При условии Яа > 8 105 преобладает вязкостно-гравитационный режим и уравнение для числа Нуссельта имеет вид
№ = 0,15Ре0,33Яа0,1е, (31)
где Ре — число Пекле; Яа — число Релея; е — поправочный коэффициент, учитывающий изменение коэффициента теплоотдачи по длине канала. Число Пекле
Ре = Р э (32)
С ,
где Ср — теплоемкость при постоянном давлении, Ср = 1005Дж / (кг • К); х — коэффициент теплопроводности воздуха, % = 0,0257Вт / (м • К).
Для турбулентного режима движения теплоносителя, при числе Рейнольд-са Яе > 10 000 расчетное уравнение имеет вид
Ш = 0,021Яе08 Рг0 43 е, (33)
где Pr — число Прандтля.
При переходном движении воздуха 2 000 < Re < 10 000 используют уравнение для турбулентного режима, вводя в них поправочный множитель епер, зависящий от значения числа Рейнольдса.
Таким образом, тепловой расчет процессов тепломассопереноса в канале регенеративного теплообменника сводится к совместному решению дифференциальных уравнений (10), (19) с краевыми условиями (11), (12) и (20), (21).
Для решения дифференциальных уравнений был применен метод разностных аналогов. Производные в уравнении (10) заменим на отношение конечных разностей. Для внутренних узлов применим интерполяцию по двум точкам, для крайнего узла применим интерполяцию по трем точкам. Это обеспечит одинаковую погрешность расчета. После подстановки в дифференциальное уравнение (10) получим уравнение для узлов пространственной и временной сеток. Подобным образом получаются уравнения для решения дифференциального уравнения (19).
Таким образом, расчет сводится к решению на каждом временном слое системы состоящей из (2n) линейных алгебраических уравнений.
В матричной форме система линейных алгебраических уравнений имеет
вид
[A\T = b . (34)
где [Л] квадратная матрица коэффициентов размером 2nх2n; T — вектор-
столбец искомых температур размером 2n; b — вектор-столбец коэффициентов вычисляемых по результатам расчета предыдущего временного слоя размером 2n.
Матрица [ Л] является разреженной, число элементов отличных от нуля в
любой ее строке не больше четырех. Полученная система уравнений решалась методом Гаусса с учетом разреженности матрицы. Интегралы, входящие в условие (1) решались по методу трапеций. Коэффициент аккумуляции теплоты:
Как = Tnt - f T dT/T - Toa )TaK (35)
Коэффициент регенерации теплоты:
Крег = Tnd/- ToutTрег 1 (Tin - Tout ) Трег (36)
Результатом построения модели была разработка программы в среде Visual Basic (Рис. 5). Для выполнения расчета необходимо задать геометрию насадки,
теплофизические характеристики материала насадки и теплоносителя и параметры работы регенератора. Результатом расчета в программе являются коэффициент теплоотдачи и коэффициенты аккумуляции и регенерации, а также температурные поля по временным слоям. При описанных ранее допущениях коэффициенты регенерации и аккумуляции должны быть равны. Температурные поля по временным слоям показывают характер теплообмена в каждом сечении насадки. Эта программа будет полезна для изучения теплообмена в насадке и дальнейшего совершенствования конструкции регенеративного тепло-утилизатора.
Рис. 5. Интерфейс программы расчета теплообмена в регенеративном
теплоутилизаторе.
Список литературы
1. Бараненко А.В., Бухарин Н.Н., Пекарев В.И., Сакун И.А., Тимофеевский Л. С. Холодильные машины. - Санкт-Петербург, 1997.
2. Васильев В.А., Гаврилов А.И., Каменецкий К.К., Соболь Е.В. Параметрическое исследование регенеративного теплообменника.// Вестник МАХ, 2010, №1.
Mathematical model of a regenerative heat exchanger
Sobol E.V. [email protected]
St.-Petersburg State University of Refrigeration and Food Engineering
The present paper describes a mathematical model of a regenerative heat exchanger: there are developed dependences for determination of heat transfer coefficient, differential equations to calculate heat and mass transfer. A program module to solve equations and estimate regeneration and accumulation coefficients are shown.
Keywords: heat emission coefficient, heat emission processes, program module.
