CC BY
2УДК 620.9 Меньшиков П.Д., Борисенко С.В.
Меньшиков П.Д.
ассистент кафедры Энергетики Волжский филиал Национальный исследовательский университет «МЭИ» (г. Волжский, Россия)
Борисенко С.В.
магистрант кафедры Энергетики Волжский филиал Национальный исследовательский университет «МЭИ» (г. Волжский, Россия)
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСХОДНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАБОТЫ БЫСТРОДЕЙСТВУЮЩЕГО ЗАПОРНО РЕГУЛИРУЮЩЕГО ШАРОВОГО КРАНА ДЛЯ ПОДАЧИ ПРИРОДНОГО ГАЗА
Аннотация: в работе построена математическая модель, характеризующая зависимость между площадью проходного сечения и положением регулирующего элемента, в качестве которого выбран шаровой кран.
Ключевые слова: проходное сечение, шаровой кран, регулирование, угол закрытия, расход среды, трубопровод.
Возрастающая необходимость в повышении энергоэффективности современных машин и агрегатов во всех областях промышленности обуславливает все более острую значимость применения интеллектуальных систем управления.
На сегодняшний день для решения этих задач ведутся работы по совершенствованию оборудования и использованию современных информационных технологий. Но при этом управление нелинейными системами
1713
стараются свести к линейным, для которых существует мощный и удобный математический аппарат, позволяющий проводить их анализ и синтез, однако, все эти методы ограниченно приемлемы для нелинейных систем управления и регулировки расхода природного газа.
Одним из аспектов решения проблемы дозирования жидкости является анализ влияния расходных характеристик на процесс.
Анализ показал, что данная система имеет нелинейную зависимость расхода жидкости от положения управляющего элемента вследствие того, что несколько параметров изменяется нелинейно, например, площадь проходного сечения в регулирующем устройстве нелинейно зависит от изменения положения регулирующего элемента БЗРШК. Вследствие чего линейная аппроксимация передаточной функции системы управления приводит к неудовлетворительным результатам [1].
В рамках данной работы определена зависимость между площадью проходного сечения и положением регулирующего элемента, в качестве которого выбран шаровой кран.
Для определения зависимости изменения площади проходного сечения от угла поворота сферы введены следующие ограничения:
- все поверхности имеют идеальные геометрическую форму и размеры,
- проходное сечение сводится к его проекции на плоскость,
- проходное сечение полностью определяет пропускную способность
регулирующего устройства.
Для определения зависимости площади проходного сечения от угла поворота сферического диска необходимо рассмотреть шаровой кран в сечении, проведенном по оси симметрии корпуса и перпендикулярно к оси рукоятки, схема которого представлена на рисунке 1.
1714
Рисунок 1. Сечение шарового крана. D пр - диаметр отверстия в сфере, а - угол поворота сферического диска относительно оси корпуса, L ш - длина сферического диска
Длина диска, при соответствии крана [2], имеет соотношение с диаметром отверстия, представлено в формуле (1):
Lh =1.1Dnp
(1)
Для определения точки пересечения двух окружностей построим два треугольника ABC и BCD (рисунок 2). Треугольник ABC является равнобедренным, так как AB=AC=0,5L^ Рассмотрим треугольники ABD и ACD, данные треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Сторона AB является общей стороной, и угол ZBAD равен углу ZCAD и равен а/2 из треугольника ABC. Рассмотрим треугольник BCD, данный треугольник является равнобедренным, так как сторона BD равна стороне CD из условия равенства треугольников ABD и ACD. Следовательно, точка D принадлежит одновременно отрезкам BF, CE и находится под углом а/2 к оси корпуса.
1715
Рисунок 2. Треугольники ABC и BCD.
Определим отрезок CD, для этого рассмотрим треугольник ACD: СБ = АБхап(а/2)
Откуда следует, что:
Лй =
СБ 0.5Ь
Ш
Бт(а/2) cos(а/2)
^ СБ =
0.5Ь
Ш
cos(a/2)
-(0.5Ьш )
(3)
В дальнейшем вместо переменной СБ используем переменную И. Переменная И является расстоянием, на котором расположена хорда относительно центра окружности, как показано на рисунке 3.
Рисунок 3. Расположение хорды от центра окружности.
Для определения длины хорды рассмотрим треугольник АСБ, представленный на рисунке 3. Из теоремы Пифагора следует:
2
2
1716
АВ = 2хДБ = 2Хл/АС2-СБ2 = 2х
1
'Б ^
пР
V 2 У
-И2
(4)
Определим угол ¿ЛСБ:
СБ = АСх^/АСБ
(5)
Г СБ > 2И ]
агс^ V АС У = агс^ V БпР У
(6)
Тогда угол ¿ЛСВ равен:
/АСВ=2/АСБ
(7)
Определим площадь сегмента:
пК2 пБ2 Б2 хsinZACB
^сег = ^ ^АСВ - 8давс = —-пр^ ^АСВ -
3600
4- 3600
8
(8)
Б2 '
с =_пр
сег 8
п-2-агс^(1.1 -(а/2)) . и ( , -шТ"^- - sin (2 - агс^ (1 1 - tg (а / 2)))
(2.9))
Площадь сегмента является составляющей площади проходного сечения. Второй составляющей проходного сечения принимаем половину эллипса, получаемого в результате проецирования сегмента на плоскость, перпендикулярную оси рисунка (рисунок 4).
Площадь половины эллипса определяется по формуле:
1717
8ЭЛ = п • а • Ь
(10)
Рисунок 4. Вторая составляющая сечения. а - большая полуось, Ь - малая полуось.
Из формул (10) и (11) видно, что в качестве большой полуоси можно принять половину хорды АВ:
а = 0.5 • ЛВ = Лй
(11)
следовательно:
а =
1
'Б л
пр
2
-И2 =
\ ^ у
'Б ^
пр
2
\ ^ у
0.5Ь
Ш
соБ(а/2)
-(0.5Ьш )
(12)
Преобразуя формулу (2.12) и подставляя в нее значение длины сферического диска Ьш из формулы (2.1) получим:
2
2
2
2
2
а =
С Т~Л Л
пр
Б
2
-И2 =
\ ^ у
/тл Л2 ( Г,---- ч2
Б„
пр
2
\ ^ у
0.55Б
пр
соБ(а/2)
-(05Бпр)
В качестве малой полуоси используем зависимость:
2
2
1718
Ь
= (Бпр -2И)соБа 2
(14)
Подставляя в формулу (14) зависимость из формулы (3), получим:
Б -2
пр
Ь =
_ V
соБ(а)
(БПр-1.1БПр1^а/2)) cos(а) (15))
2
2
Подставляя в формулу (10) формулы (13) и (15), получим:
пх
^ЭЛ ='
(Бпр-1.1Бпр 1в(а/2)) cos(а)
(16))
2
Площадь проходного сечения равна сумме площадей сегмента и половины эллипса:
^пр ^сег +^эл
(17)
Подставляя в формулу (17) формулы (9) и (16), получим:
1719
Б
^ = 8
П'
пР
п - 2 - агс^(1.1 - tg(а /2)) . / л / ,„ч\\ -- - sin (2 - атс^ (1.1 - tg (а / 2)))
+
"К-1.^^а/2)) соф)] (18)
2
где Бпр - диаметр проходного сечения шарового крана, а - угол поворота регулирующего элемента.
График зависимости площади проходного сечения от угла порота шарового крана диаметром 149 миллиметров представлен на рисунке 5.
Рисунок 5. График зависимости проходного сечения от угла поворота.
Расход среды определяют методом переменного перепада давления по [21]. Метод основан на создании в трубопроводе с помощью СУ местного сужения потока, часть потенциальной энергии которого переходит в
1720
кинетическую энергию, средняя скорость потока в месте его сужения повышается, а статическое давление становится меньше статического давления до СУ. Разность давления (перепад давления) тем больше, чем больше расход среды, и, следовательно, она может служить мерой расхода.
Массовый расход среды при этом рассчитывают по формуле:
= 8пр • С• Е• е-(2-р• Ар)05, (19)
где Б пр - диаметр проходного отверстия шарового крана, С -коэффициент истечения, Е - коэффициент скорости входа, е - коэффициент расширения,
р - плотность газа, Ар - перепад давления.
Плотность газа зависит от его температуры X и давления р, и ее вычисляют по формуле (20):
. р Л N
Р°(Х>Р) = *М] (20)
V ЯТ уг,
р^ р) - плотность идеального газа, Я- универсальная газовая постоянная, равная 8.31452 Дж/моль-1, Т=Х+273,15 - абсолютная температура, К, , М;]
- молярная масса смеси, где х;- - молярная доля ]-го компонента, М;- - молярная масса ]-го компонента.
Связь массового расхода среды при рабочих условиях и объемного расхода, приведенного к стандартным условиям, устанавливает формула (21):
qm=qvP. (21)
График зависимости объемного расхода природного газа от угла поворота шарового крана представлен на рисунке 6.
1721
?т
лг !ч
О 10 J0 30 J0 50 ® 70 80 5К> 100
Рисунок 6. График зависимости расхода природного газа от угла поворота.
Судя по графику необходимо линейно аппроксимировать зависимость расхода природного газа от угла поворота шарового крана в диапазоне от 0 до 50 градусов линейной функцией, где ошибка будет наименьшей для чего воспользуемся встроенными функциями Mathcad.
Линейная регрессия в системе Mathcad выполняется по векторам аргумента x и отсчетов y функциями: slope (x, y) вычисляет параметр k (угловой коэффициент линии регрессии), intercept (x, y) вычисляет параметр b (смещение регрессии по вертикали).
Таким образом, получим приближение линейной функцией к зависимости расхода от угла поворота крана, показанное на рисунке 7.
1722
Рисунок 7. Аппроксимация линейной функцией графика расхода природного газа от угла поворота.
Вычислим абсолютную погрешность аппроксимации в каждой точке по формуле (22):
5=—
(22)
где Ау=чт-:Т(х) - относительная погрешность. И среднеквадратическое отклонение по формуле (23):
Ё Чт
Ят-
1=0
п
о=-
п
т
2
1723
Ё ^
1=0
где п - среднее значение.
Принимая Др=0Д-106 Па и р=0,7075 кг/м3 получим следующие
абсолютные погрешности:
(0.221 > 0.015
5=
0.022 8.882х10"3 0.018 0.022
И соответственно среднеквадратическое отклонение: а=1,68. В диапазоне от 50 до 90 за счет незначительного изменения расхода газа от угла поворота крана возможно плавное регулирование в момент розжига котлоагрегата, график которого показан на рисунке 8.
0 0 0 п
а^град
Рисунок 8. График расходной характеристики в диапазоне розжига котлоагрегата.
1724
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. ГОСТ 28343-89 (ИСО 7121-86) Краны шаровые стальные фланцевые. Технические требования. - М.: «Энергомаш», 1992;
2. ГОСТ 21345-2005 Краны шаровые, конусные и цилиндрические на номинальное давление не более PN 250.- М.: ФГУП «СТАНДАРТИНФОРМ», 2008
Menshikov P.D., Borisenko S. V.
Menshikov P.D.
National Research University "MPEI" (Volzhsky, Russia)
Borisenko S.V.
National Research University "MPEI" (Volzhsky, Russia)
MATHEMATICAL MODEL OF FLOW CHARACTERISTICS OF OPERATION OF A FAST-ACTING SHUT-OFF BALL VALVE FOR NATURAL GAS SUPPLY
Abstract: in this work, a mathematical model is constructed that characterizes the relationship between the flow area and the position of the control element, for which a ball valve is selected.
Keywords: flow area, ball valve, regulation, closing angle, medium flow, pipeline.
1725
