Математическая модель работы нелинейного стержневого элемента конструкции Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Железнодорожный путь, мосты и строительство

7

Железнодорожный путь, мосты и строительство

УДК 531.01

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАБОТЫ НЕЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЕВОГО ЭЛЕМЕНТА КОНСТРУКЦИИ

И. А. Федотова

Аннотация

Разработана теория расчета стержневых конструкций с учетом всех видов нелинейности. Изогнутая ось стержня аппроксимируется пространственной кривой. Чтобы описать положение любой точки данной линии в пространстве по отношению к глобальной системе отсчета, исследуется поведение бесконечно-малого элемента данной кривой длиной ds. Выведены дифференциальные зависимости между элементарными перемещениями и углами поворота сечений выделенного стержневого элемента, получены системы разрешающих дифференциальных уравнений.

Ключевые слова: стержневой элемент конструкции; физическая и

геометрическая нелинейность; напряженно-деформированное состояние

Введение

Задача анализа работы всей конструкции включает в себя следующие аспекты: расчет сечения, расчет выделенного элемента конструкции, расчет всей пространственной статически неопределимой системы. Все указанные задачи и соответствующие им системы уравнений решаются параллельно-последовательно. Данная статья посвящена вопросу создания расчетной схемы стержневого элемента и построению его математической модели с учетом нелинейного характера работы.

1. Постановка задачи

Рассмотрим некоторый реальный r-ый (r=1...L) стержневой элемент конструкции, находящийся под воздействием системы внешних и внутренних сил. Выделим в данном стержне l расчетных сечений, в каждом из которых известны главный вектор и главный момент, приведенная начальная жесткость, а также кривизна изогнутой оси стержня, координаты его центра тяжести и ориентация сечения в пространстве в начальном положении. Часть данного элемента, заключенная между i-ым и i+1-ым сечениями (i=\...N), изображена на рис. 1. Приведенные массы, активные силы и силы инерции условно не показаны.

Известия Петербургского университета путей сообщения

2004/1

8

Железнодорожный путь, мосты и строительство

Чтобы описать поведение данного элемента конструкции, т. е. сформировать систему уравнений его движения при переходе из одного равновесного состояния в другое, надо получить выражения, связывающие

взаимные перемещения и углы поворота расчетных сечений стержня.

Очевидно, что изогнутая ось данного элемента может быть аппроксимирована некоторой пространственной кривой. Чтобы описать конфигурацию деформированной оси, разобьем часть рассматриваемого элемента, показанную на рис. 1, на бесконечно-малые стержневые элементы длиной ds и исследуем поведение одного из них на какой-либо стадии работы сооружения.

2. Формулы для описания конфигурации оси стержня

2.1. Особенности работы бес- конечно-малого элемента

Пусть в начальном положении элемент не деформирован и ось его совпадает с вертикальной осью неподвижной системы координат O0X0Y0Z0, начало которой совмещено с начальным сечением r-ого элемента конструкции. Переход его в некоторое конечное состояние под воздействием ряда факторов может быть представлен как результат поведения элемента как абсолютно жесткого тела (параллельный перенос в пространстве, повороты вокруг осей) и тела деформируемого (сжатого или растянутого, закрученного и изогнутого в пространстве).

Рассмотрим такую последовательность движения элемента: 1)

центральное сжатие в направлении оси O0 Z0; 2) параллельный перенос сжатого элемента в пространстве вместе с сопровождающей системой координат OXYZ; 3); 4); 5) последовательные повороты сжатого элемента на углы фх, 9Y и 9Z вокруг координатных осей OX, OY и OZ соответственно; 6) пространственный изгиб сжатого и повернутого вокруг осей элемента; 7) закручивание поперечных сечений деформированного стержня.

2.2. Формулы для элементарных перемещений расчетных сечений

Проследим, как будет изменяться длина элемента ds в результате его продольной деформации и композиции указанных поворотов. Проекции

Рис. 1. Равновесие части элемента между /-ым и /+1-ым сечениями.

2004/1

Известия Петербургского университета путей сообщения

Железнодорожный путь, мосты и строительство

9

элемента на оси координат (/У1 и O0Y° будем обозначать соответственно du и dv, а величину его укорочения вдоль оси O0Z° - dw (рис. 2).

1) Сжатие: dude^=0; dvde^=0; dw(k’^ s0т/v; ds' = (l-s0) ds - длина

сжатого элемента; s0 - относительная деформация стержня;

3) Поворот вокруг оси OX. dux=0; dv^= (l-80)sincpx<iv; <Лтх=(l-s0) х

х (1 -coscpx) ds; ds "= (1 -80)coscpx ds - проекция элемента на ось О0Z°;

4) Поворот вокруг оси OY: t/Mr=(l-So)coscpxsinq)y ds; dvY=0; dwY=( 1--so)(l-cosq)y)coscpx<iv; ds =(l-s0) coscpx coscpy ds - проекция на ось O0Z°;

5) Поворот вокруг оси OZ\ duz=duY (coscpz -1) + dvx sin(pz; dvz= =dvK coscpz - duY sincpz; dwz=0.

а)

в)

Рис. 2. Проекции бесконечномалого стержневого элемента на оси глобальной системы координат при поворотах вокруг осей: а) OX; б) OY; в) OZ.

А

Z

щ . dwY ds

1 * У 1 О

; duY

^ » У0 о

Z0

ds'

Окончательно, принимая ds=dZ, для приращений длины стержня вдоль координатных осей получаем:

du =(l-s0)(sin(px sincpz + sincpy coscpxcoscpz) dZ; dv =(l-So)(sin(px coscpz- simp; coscpy si n(pz) dZ\ СЙТ = [1-(1-80) coscpx coscpY] dZ. (1)

Упростим полученные выражения, считая углы поворота малыми и пренебрегая слагаемыми выше третьего порядка малости:

du — ^ Sq jpY

dv - 4- s0

dZ

dZ \

2 2

dw= 4 - 80 ^Y dZ + zQdZ. (2)

0

Известия Петербургского университета путей сообщения

2004/1

10

Железнодорожный путь, мосты и строительство

Из анализа полученных формул можно сделать следующие выводы:

• Выражения для проекций сжатого элемента du и dv на оси координат

O0X и O0Y однотипны: они показывают доминирующую прямо

пропорциональную зависимость этих проекций от величины угла поворота вокруг оси, перпендикулярной рассматриваемой, и в меньшей степени - от произведения углов поворота вокруг двух других осей;

• Выражение для определения укорочения стержня dw вдоль оси O0Z содержит 2 слагаемых, первое из которых учитывает уменьшение его длины за счет его поворота вокруг осей OX и OY, а второе - за счет сжатия.

Дальнейшее упрощение формул, подразумевающее исключение величин третьего порядка малости, приводит к следующим выражениям: du=( 1-е0)(фу+Фхфг) dZ\ dv=( 1-е0)(фу-фуф2) dZ;

1 11

dw = - (1 - s0 )(cpx + cp Y )dZ + s 0dZ.

(3)

Следует заметить, что последние формулы дают очень грубое приближение и, вообще говоря, не могут использоваться для описания поведения бесконечно-малого стержневого элемента. Докажем это на следующем примере: определим величину проекции стержня du на ось О0Х° при условии, что фх= 0, a cpY^ 0 и ф2#0. Тогда:

из (3) ^ du=(l-Zo)q>YdZ; из (2) du= <- s(

f 2 \ _ФZ

2

dZ.

Очевидно, что более точный подход учитывает уменьшение проекции

стержня на ось O0X0 за счет поворота на угол

(pz-

2.3. Формулы для элементарных углов поворота расчетных сечений

Таким образом, в результате сжатия и композиции поворотов вокруг координатных осей стержень, длина которого составляет ds\ оказался лежащим в плоскости, перпендикулярной плоскости Х° O0Y° и пересекающей ось O0Y° под углом (а+фг), где а угол между осью O0Y° и проекцией элемента на плоскость XO0Y до его поворота вокруг оси OZ (рис. 3). Проекции оси стержня на координатные плоскости равны:

dfX = <- £с

1

<P.v

( 2 \2

ij'Y л 2

df - 4~ s0 ^jcpF

-Z

-ZtyxVrVzdZ;

+ 2фхфгф zdZ;

(4)

2004/1

Известия Петербургского университета путей сообщения

Железнодорожный путь, мосты и строительство

11

При моделировании пространственного изгиба проекции оси вырезанного элемента на координатные плоскости будут криволинейными и состоящими из бесконечно-малых дугообразных элементов, хорды которых имеют длину df. Учитывая малую длину дуг, а также большой радиус кривизны при изгибе реальных конструкций, угол взаимного поворота концевых сечений <Уср бесконечно-малого криволинейного элемента можно определить как произведение длины элемента df и кривизны дуги К\

Рис. 3. Проекции бесконечно-малого элемента на координатные плоскости и оси.

dtyx~ Kxdfx; dq>Y= KY dfY '

d<$z=Kzdfz. (5)

С учетом принятых допущений <Уср также является углом взаимного поворота секущих соседних криволинейных элементов.

Интегрируя выражения для элементарных перемещений и углов поворота по всей длине стержня, определяем проекции и и v части элемента, заключенной между /-ым и /+1-ым сечениями, на оси координат и величину сближения сечений вдоль оси OZ - w, а также взаимные углы поворота расчетных сечений вокруг координатных осей фх, фг и фх

3. Заключение

Полученную систему нелинейных уравнений, описывающую конфигурацию деформированной оси элемента, следует дополнить уравнениями равновесия отсеченной части элемента, которые связывают внутренние силовые факторы в сечении с граничными параметрами и нагрузкой, действующей на него. Продифференцировав по времени данные системы нелинейных алгебраических уравнений и объединив их с выражениями, описывающими напряженно-деформированное состояние

Известия Петербургского университета путей сообщения

2004/1

12

Железнодорожный путь, мосты и строительство

сечений (Astafiev D.O. & Fedotova I.A., 2003), получим уравнения движения стержня вследствие изменения параметров внешней нагрузки или ползучести материала.

4. Литература

Astafiev D.O. & Fedotova I.A. Stability of physically and geometrically non-linear spatial composite rod systems. //Proc. of the 2-nd Int. Conf. «Conceptual approach to structural design», Milan, Italy, 1-2 June 2003: 233-240.

УДК 625.115

АНАЛИЗ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ РЕЛЬСОВОЙ КОЛЕИ ДЛЯ РАЦИОНАЛЬНОГО ПРИМЕНЕНИЯ НОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ СКРЕПЛЕНИЙ

А.А. Бекиш, В.В. Уманцев

Аннотация

Показано, что железобетонные шпалы Ш1 и скрепления КБ не обеспечивают необходимую стабильность геометрических параметров рельсовой колеи. Приведены результаты обследования и сравнительной оценки параметров колеи с различными конструкциями скреплений. Разработана методика и определены размеры шпал ШС-АРС, влияющие на ширину колеи. Определены и систематизированы эксплуатационные параметры главных путей Октябрьской железной дороги. Определены объемы возможной укладки новых конструкций скреплений в особо сложных условиях эксплуатации. Полученные результаты могут использоваться для обоснования сфер их рационального применения.

Ключевые слова: стабильность; ширина рельсовой колеи; геометрические параметры; железобетонные шпалы; промежуточные скрепления; методика; эксплуатационные параметры; сферы рационального применения

Введение

В настоящее время примерно 45 % из 122,9 тыс. км развёрнутой длины главных путей сети железных дорог РФ составляет путь на железобетонных шпалах с промежуточным скреплением КБ. Однако

2004/1

Известия Петербургского университета путей сообщения