CC BY
36
Доклады БГУИР
2013 № 2 (72)
УДК 620.92+502.174.3
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАБОТАЮЩЕГО В СКОЛЬЗЯЩЕМ РЕЖИМЕ ИМПУЛЬСНОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ ПОСТОЯННОГО ТОКА
А.М. ТРЕЩ
Белорусский национальный технический университет пр. Независимости, 65, Минск, 220027, Беларусь
Поступила в редакцию 3 декабря 2012
Рассмотрены преобразователи постоянного тока повышающего типа с широтно-импульсной модуляцией и их математические модели, преобразующие параметры электроэнергии с ее последующим накоплением для обеспечения потребителей требуемым энергоснабжением вне зависимости от погодных условий и времени суток.
Ключевые слова: солнечные батареи, ШИМ-контроллер, математическое моделирование.
Введение
Актуальным вопросом, который находится в центре внимания по ряду причин, является необходимость использования возобновляемых источников энергии (ВИЭ). Такая страна, как Ливия, например, обладает большими запасами углеводородного сырья. Тем не менее, там разработана государственная программа развития ВИЭ [1-3]. Прогноз производства электрической энергии (ЭЭ) показывает рост установленной мощности (МВт) от 6000 в 2008 году до 15000 в 2015 году. За этот же период производство ЭЭ увеличится с 29 ТВт до 73 ТВт. При этом потребление ЭЭ по секторам народного хозяйства характеризуется большой долей автономных потребителей (до 45%) [1]. Большой потенциал имеют солнечная и ветровая энергии, однако их особенности таковы, что ни один из названных источников не способен обеспечить ЭЭ в любое время суток и года. Кроме того, в определенное время суток можно прогнозировать избыток производимой энергии - в дневное время и при наличии ветра. Это приводит к необходимости установки накопителей ЭЭ. Таким образом интегрированная система электрообеспечения должна иметь в своем составе, кроме солнечных батарей (СБ), силовые интерфейсные модули (СИМ), задачей которых является преобразование параметров ЭЭ СБ для накопителей (аккумуляторные батареи, батареи суперконденсаторов) и потребителей.
Повышающие преобразователи с широтно-импульсной модуляцией
Распространенным классом СИМ в установках с СБ являются силовые повышающие преобразователи (СПП), работающие в режиме непрерывного тока, методам исследования которых уделяется много внимания [3, 4-6]. Системы управления, обеспечивающие необходимые динамические характеристики СПП, строятся по принципу регулирования выходного напряжения и (или) регулирования тока, которые обеспечивают лучшие динамические показатели при использовании широтно-импульсной модуляции (ШИМ) силового ключа [4, 6].
Предлагаемая для анализа схема контроллера (рис. 1) использует в качестве переменных отклонение выходного напряжения U0 и тока iL . В схемах с ШИМ-регулированием ток i* определяется по отклонению напряжения
i = K (U * aU0), (1)
где и и и - заданное и фактическое напряжение, а - коэффициент обратной связи, Е - коэффициент усиления ошибки напряжения.
Скользящее управление [7] СПП может быть организовано как результат линейной комбинации трех переменных состояния
^ — а^х^ + + адXд ,
(2)
где а, а, а - коэффициенты скользящего управления; х1, х2, х - переменные состояния скользящего режима, определяемые по управлениям
X — и -аио,
X — | (х + х2)&,
где ^ - мгновенное значение тока индуктивности.
СБ [
I
для
т
т
о.
и
I
+ и, (
Б БУ
и, (|
(3)
Рис.1. Схема преобразователя постоянного тока повышающего типа; Н - нагрузка; БУ - блок управления; БЛ - генератор ШИМ-сигналов; Б - драйвер
Динамическая модель СПП (рис. 1) может быть представлена системой уравнений
• _ й (С - ^) _ аЮс (Э,. - Ш0) — й — ~С I '
• й(и* -аио) а/с Х2 — й " " ~С~'
(4)
X — 0* -'ь) + (и* -аио),
где /с и Э - мгновенные значения тока емкости и входного напряжения; С и I - емкость и индуктивность СПП; /я и Л - ток и сопротивление нагрузки.
Сигнал управления СПП с токовым управлением можно получить, решая уравнение
/ Ж = а1х1+а2х2+а3х3 =0, (5)
что дает
иу — 1 -(1/и0)(К21с + Кх(и*-аи0) -КЪ1Ъ -Э,), (6)
где К, К2, К3 - фиксированные параметры блока управления (БУ) (рис.1).
Выразим (5) в терминах первоначально управляемых переменных состояния х1 и х2
х1 —' 'I
к
VI
Н
Л
н
Л
и
Uy = 1 -(K2U0 /iL + K3((U* -PU0) -(i* -iL))l(K2iL -U0). (7)
Как следует из (7), результат представлен в комплексной форме обобщенного сигнала управления U* , что создает трудности при реализации контроллера. Использование мгновенных значений переменных состояния i и i в (7) уменьшает эти проблемы, как это следует из последующего изложения.
Следует отметить, что, несмотря на различные формы уравнения представления сигнала управления, уравнение, относительно которого выбраны переменные состояния, принципиально сводится к одинаковому решению вида Uy = f1(x1, x2) = f2(iL, iC ) [8, 9].
Далее сосредоточим внимание на работе контроллера в скользящем режиме при постоянной частоте, который реализован на основе ШИМ с учетом использования законов управления основанных на «косвенном» управлении скользящими режимами. Такой контроллер назовем СР-ШИМ. Он может быть получен на основе скользящей поверхности (2) и уравнения U* = D, где D -сигнал управления (скважность) ШИМ-преобразователя [6]. Это позволяет рассматривать архитектуру управления ШИМ-преобразователя, реализующую статические и динамические режимы контроллера - CP, работающего в режиме ШИМ-контроллера.
Уравнение закона управления включает сигнал управления Uс и амплитуду пилы i/l , что позволяет записать
UC=GSK,[U'-^U0]-GsK2ic-GsK3iL +G3[f/0 -£/,■],
U-i =GSU0, (8)
0<GS <1.
Здесь намеренно введен коэффициент пропорциональности для согласования амплитуд получаемых сигналов с параметрами используемых микросхем, на которых полагается реализация устройства. Более того, имея в виду, что СПП не может принципиально функционировать при D = 1, необходима предосторожность, реализуемая аппаратно, обеспечивающая режим D<1. В рассматриваемом контроллере это реализуется умножением логического сигнала U ШИМ-генератора на логический сигнал U импульсного генератора с использованием
логической функции «И» (AND) (рис. 1).
Рассмотрим процедуру проектирования контроллера, общая схема которого приведена на рис.1. Основным уравнением является (8). Воспользуемся рекомендациями [7], согласно которым ШИМ-генератор, который изменяет максимальное напряжение пилы при изменении выходного напряжения, необходим для компенсации нелинейности. Однако, в противоположность контроллеру [5], работающему на основе скользящих режимов, в представленной на рис.1 схеме контроллера отсутствует связь напряжения пилы и входного напряжения. Это упрощает реализацию ШИМ-генератора. В контроллере используются две обратных связи по току (iL и /с ), по сравнению с одной ОС по току в [6]. Однако дополнительная ОС по току iL
позволяет увеличить быстродействие контроллера.
Фактор существования скользящего режима может быть найден исследованием условия (7) lim S ■ (ds / dt) < 0 , что при подстановке в (2) дает
«1 [-PKC / с - и / L] - «2Р/; / с+«3 ((K+1)[U* - p U0 ] - iL) < 0, « [-PKC / C - (U - U0 / L)] - a2pz; / C + a3 ((K + 1)[U* - pU0] - zL ) > 0.
Полагая, что контроллер спроектирован на основе статической скользящей поверхности для удовлетворения условий существования в статическом режиме (точка скольжения) [7] и учитывая (6), тогда (9) может быть упрощено
0<UVn -Ki[U -P0U9S] + ^ + K^, u^ -Ki[U -P0U9S]+K2ic_ +K4^ <Uos,
где и и и - максимальное и минимальное значения входного напряжения; иох - ожидаемое значение выходного напряжения установившегося режима, другими словами это отклонение сигнала постоянного напряжения от заданного значения и ; , , гс и /с - максимальное и минимальное значения тока индуктивности Ь и емкости С соответственно при работе с полной нагрузкой. Форма мгновенных значений токов показана на рис. 2.
и и=1 и=0
-►
г
а
1 и=1 и=0
г
б
Рис.2. Форма тока СПП: а - ток в индуктивности; б - ток в емкости
Выбор параметров (коэффициентов усиления) контроллера К, К, К должен производиться на основе неравенств в (10). Это гарантирует существование скользящего режима работы по крайней мере в малом районе, принадлежащем всей области условий, включая полную нагрузку [8].
Условия устойчивости
В противоположность скользящему режиму (СР) контроллеров с управлением напряжением, для которых выбор скользящих коэффициентов (коэффициентов усиления) для удовлетворения условий стабильности производится автоматически проектированием системы для некоторых желательных динамических свойств [6, 7], такой подход не может быть использован при проектировании контроллера с токовым управлением. Причиной является уравнение движения (при = 0) рассматриваемого контроллера, которое, учитывая перемещение состояния как тока, так и напряжения, является крайне нелинейным и не может быть легко решено аналитически. Иной подход, основанный на методе эквивалентного управления использован в [6], и его суть заключается в получении идеальной скользящей динамики системы и после этого анализа ее точки колебаний, который, в конце концов, позволяет получить условие устойчивости, что использовано в [4, 5].
Замена и на И, (так называемый метод эквивалентного управления) в первоначальном описании СПП при условии непрерывности тока преобразует прерывистую систему в идеальную скользящую непрерывную систему
Жь = (и, - ии)/Ь,
Ж
Жип
=/ с - и0 / дяс.
ж
Подстановка (7) в (11) дает
ж
Ж
ь = и, / Ь - и0(К2и0 / Д - и, + Кз(из -ри0) - Кз(Г - ,Ь )/Ь(К2,ь - ио),
0 = ,Ь (К2ио / Д - и + Кз(из -рио) - Кз(, - ,Ь )/С(К2,Ь - ио) - ио / ^С.
Ж
Полученные условия описывают идеальную скользящую динамику скользящего режима СПП при токовом управлении.
Анализ точки равновесия
Положим, что существует точка устойчивого равновесия на скользящей поверхности. На этой точке равновесия не происходит изменений в динамике системы при условии отсутствия возмущений со стороны входа или нагрузки, т.е. Ж^/Ж = Жио / Ж = 0. Тогда уравнения состояния могут дать
1н = ио2/ и,Ян,
где /н ,и и Лн - величины тока, напряжения нагрузки, входного напряжения и сопротивления нагрузки соответственно в условиях устойчивого равновесия.
Линеаризация идеально скользящего режима динамики в окрестности точки равновесия позволяет сделать запись в виде
ЖЬ- ~ тг жи0 _ — -рт
= ац1Ь + а12и0' ,, = а211Ь + а22и о, Ж Ж
Г7И. п - КзУА п _кри& - 2К2иг + и2дь / и _ вд. - и,2 д / ио - Кзио
г де а 1 — , а — , а™ — ,
11 КзЬи0 - ьияь 12 Кз ьио - ьи ,ЯЬ 21 К2иоС - си,яь
_ Кио / Д -К^ 1 —
22 К2иос - си,дь ДьС
Решение выполняется при соблюдении условий статического равновесия
и = 3,, Дн = ^, и* - рио =0; Г - /н = 0.
Характеристическое уравнение линеаризованной системы:
р2 - (аи + а12)р + апа12 - а^а^ = 0.
Кси д - К,ьри„ + ь и Для случая а,, + а™ < 0 условие стабильности выглядит так-,
Д у 12 22 у Ки - и Дн
или
Кзиднс / Ьри + и ! ри < К при К2 > идн / и, К3иднс / ьри + и / Ри > К при к2 < ид / и.
Для случая апа22 + а12а21 > 0 условие стабильности выглядит так:
2Кзиз(зк2 -К^н) + (ирКкрь, -2К2)+ирд(зк -К№н)-иД >0.
Таким образом, наличие условий (10) и условий стабильности являются основой для выбора коэффициентов передачи контроллера СПП, работающего в режиме управления током,
в величинах управляемых переменных. Выполнение этих условий гарантирует устойчивость замкнутой системы.
Чтобы устранить трудности при проектировании коэффициентов управления, основанных на различных условиях, применяется математическое моделирование, которое позволяет изучить влияние отдельных факторов (коэффициентов усиления) отдельных элементов схемы на формирование выходного сигнала.
Заключение
Приведенная математическая модель позволяет реализовать скользящий режим повышающего преобразователя постоянного тока. Применение обратных связей по току и напряжению улучшает динамические свойства преобразователя.
MATHEMATICAL MODEL OF A PULSE CONVERTER DC, WORKING IN THE SLIDING MODE
A.M. TRESH
Abstract
Simulation model of sliding-mode controller for DC/DC boost converter has been developed. Dynamic properties of the controller improved with the use of current and voltage control.
Список литературы
1. Sims R.E.H. // Solar Energy. 2004. Vol. 76. P. 9-17.
2. Трещ А.М. // Тезисы докл. XIX межд. науч.-практ. конф. «Информационные технологии: наука, техника, технология, образование, здоровье». Харьков, 1-3 июня 2011. С. 82.
3. Тгesh A.M., Petrenko Y.N. // Сб. науч. ст. м-лов III Междунар. науч.-тех. конф. «Национальные и европейские контексты в научных исследованиях». Новополоцк, 27-28 апреля 2011. С. 144-146.
4. Трещ A.M. // Матер. X Респ. Науч. конф. студентов и аспирантов. Часть 1. Гомель, 2011. С. 63-64.
5. Трещ А.М., Блинков Г.Н., Петренко Ю.Н. // Энергоэффективные технологии, образование, наука, практика. Том 1. Минск, 20-21 мая 2010. C. 147-150.
6. So W.C., Tse C.K., Lee Y.S. // IEEE Trans. Power Electron. 1996. Vol. 11, № 1. P. 24-32.
7. Chan C. Y. // IEEE Trans. Power Electron. 2007. Vol. 22, № 1. P. 216-222.
8. Mattavelli P., Rossetto L, Spiazzi G. et. al // IEEE PESC. 1993. P. 609-615.
9. Utkin V., Guldner J., Shi J.X. Sliding Mode Control in Electromechanical Systems. London, 1999.
