Математическая модель процесса заправки транспортных средств КПГ на АГНКС Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическая модель процесса заправки транспортных средств

КПГ на АГНКС

I

А.А. Евстифеев,

начальник лаборатории ООО «Газпром ВНИИГАЗ», к.т.н.

В статье приведена математическая модель расчета необходимого числа и производительности заправочных колонок на АГНКС, выполненная с использованием теории массового обслуживания. Приведены также решения при условии, что характер потока заявок - пуассоновский, а распределение времени обслуживания -экспоненциальное. Получены уравнения для двух и п каналов обслуживания различной производительности.

__Ключевые слова:

компримированный природный газ, АГНКС, заправка транспортных средств.

ассмотрим технологическое оборудование АГНКС как систему мас-^^ сового обслуживания с параллельными каналами [1], которая ха-

рактеризуется следующими показателями: числом и производительностью газовых заправочных колонок на АГНКС; интенсивностью потока транспортных средств, приходящих на заправку; количеством и мощностью основного производственного оборудования (компрессоры, адсорберы и т.д.). Опишем АГНКС как систему.

АГНКС состоит из территориально распределенных газовых заправочных колонок (п), каждая из которых обладает собственной производительностью (цп). Вдоль маршрутов по улично-дорожной сети движутся транспортные

средства, которые формируют поток заявок на обслуживание или заправку с интенсивностью X. Число обращений для заправки неограниченно и обусловлено тем, что клиент может несколько раз в день приезжать на заправку за газовым моторным топливом.

Все вышесказанное позволяет сделать допущение о пуассоновском характере потока заявок и экспоненциальном распределении времени обслуживания, что дает возможность применить теорию Марковских случайных процессов [2] к нашему случаю.

Система из двух АГНКС

Предположим, что АГНКС состоит из двух элементов (заправочные колонки) - а и б, обладающих разной интенсивностью обслуживания. Эти элементы в случайные моменты времени и независимо друг от друга заканчивают обработку поступившей на обслуживание заявки. Для анализа работы системы при постоянных условиях выберем участок времени, на котором поток заявок является простейшим и стационарным пуассоновским. Параметры потока заявок для а и б различны и равны Ха и Хб . При поступлении заявки на вход системы один из каналов немедленно приступает к ее обслуживанию. Время, потраченное на обслуживание заявок, распределено по экспоненциальному закону [3] с параметром ца (если заявку обслуживает элемент а) и цб (если заявку обслуживает элемент б).

Легко показать, что процесс, протекающий в системе, - Марковский с ожиданием, непрерывным временем и конечным множеством состояний: Х0 - все элементы свободны, в системе нет заявок; - занят элемент а, обслуживается заявка; Х2 - занят элемент б, обслуживается заявка. Схема возможных переходов представлена на рис. 1.

Х0 Х2

Рис. 1. Схема переходов между состояниями системы

Для построения аналитических зависимостей воспользуемся методикой решения задачи, изложенной в [4], для нескольких неодинаковых приборов. Рассмотрим пример двухканальной системы (п=2). Каждый канал обслуживания в системе имеет собственную интенсивность обслуживания

/ТА

^ и ц2. Интенсивность обслуживания каналов по условиям задачи различна. Данное условие является важным, поскольку нас интересует пример именно с несколькими неодинаковыми приборами.

ф

Входящий поток заявок

г-►

\

Рис. 2. Схема двухканальной системы массового обслуживания с параллельными каналами

На рис. 2 показана схема двухканальной системы с параллельными каналами различной интенсивности обслуживания и вероятностью ф выбора первого канала. Полная интенсивность обслуживания составит

Ц = Е Ц, • (1)

1=1

Применение данной методики распределения потока заявок между каналами обслуживания позволяет вводить балансировочную вероятность. Заявка на обслуживание, поступающая в момент отсутствия в системе других заявок, может поступить на обслуживание в любой из двух приборов, выбирая прибор I с вероятностью ф.. Предположим, что для двух приборов

ф =ф2;Фг = 1 -ф,0 <ф< 1. (2) По условиям задачи, производительность одного из каналов меньше, чем у другого - допустим, ц1>ц2. На основании сделанных предположений система будет работать со следующими условиями:

при ф=0 заявка выбирает низкопроизводительный канал (Х2); при ф=0,5 заявка случайным образом выбирает один из двух каналов; при ф=1 заявка выбирает высокопроизводительный канал (Х1). Наличие возможных промежуточных значений ф позволяет обеспечить управление процессом обслуживания с помощью выбора соответствующих значений ф.

Процесс обслуживания зависит от четырех параметров: входящего на заправку потока транспорта интенсивности обслуживания каналов ц1, ц2; вероятности выбора высоко- или низкопроизводительного канала обслуживания ф.

Определим вероятности состояний (рис. 3). Таким образом, в исходном

состоянии имеем отсутствие заявок в системе, два параллельных канала обслуживания и несколько последовательных [3].

' > Х4

Цг X

Рис. 3. Граф состояний для системы с двумя параллельными каналами обслуживания

На основании графа состояний составим систему дифференциальных уравнений, но прежде рассмотрим возможные состояния системы и их вероятности. Обозначим через р и р2 вероятность занятости прибора 1 и прибора 2 соответственно. Поскольку и^1, обозначение рп не приводит к противоречию. Соответственно возможные вероятности состояния системы обозначим как

Ро(* X Рг(( X р2(? X Р3(?),-, Рп С )• (3)

Кроме этого, в любой момент времени имеет место

Ё рк с)=1.

(4)

За счет сделанных допущений и предположений система приведена к виду, соответствующему методу анализа систем массового обслуживания, описанному в [2, 5]. Поэтому для вероятностей состояний получим систему дифференциальных уравнений вида: ^ ^)

Ж

Фх (/) Ж

Ф2(')

Ж

Лрп (г) Ж

= (1 - Р0({) + М1 Р2( 1) + ^2Рх (?) = [1 - (^ + Ц 2)] Р\ О) + И1 Рз (О + (! - Ф) ^ Ро С) = [1 - (X + ^)] р2 (?) + Ц2 р3( ? ) + фА.р0 (?)

= [1 - (Х + ц)] Рп (I) + цРп+1 (г) + ХРп_, (г)

/ТА

Использовав [3], получим вероятности состояния в установившемся режиме при п > 3:

^РоО) = Р2 +^2 Рх (X + ц2) рх = р3 + (1 - ф )Хр0

(^ + ^1) Р2 =^2 Рз +

(6)

Ф + Ц) Рп =^Рп+1 + ^„-1 Введем отношение интенсивности обслуживания а =

X

X

^ + ^2 ^

Это приведенная плотность потока заявок, равная отношению среднего числа заявок к среднему времени обслуживания одной заявки:

а = — = Хт,

(7)

где т - среднее время обработки.

Решим систему (6) относительно неизвестных р0, р , р2, р3,..., рп. Из первого уравнения получаем

из второго уравнения из п-го уравнения

где у = Ь. .

Рп =

а 1 + У/ 1 \ Рх = (---(а+1 - ф)Д> ;

1 + 2а у

(1 + у ) (а + ф) р0; [1 + (1 + у) а-(1 -у) ф] р0,

Р( =

а

1 + 2а ап (1 + у)

1 + 2а у

(8)

(9) (10)

Определим среднее число заявок г, находящихся в системе. Плотность выходящего потока равна интенсивности Л., усредненной по п:

X = 0 р0 + Ц 2 Р( + ^ Р( + ^ Ц р„ .

п-3

Отсюда среднее число заявок в системе будет равно а(1 + у)[1 + (1 + у)а - (1 - у)ф]

г = ■

у(1 + 2а) + а[1 + (1 + у )а - (1 - у )ф]

(11)

(12)

Величина ( может быть использована в качестве критерия производительности АГНКС, то есть чем меньше значение г при одинаковой плотности потока транспортных средств, приходящих на заправку, тем быстрее работает станция.

В данной части работы рассмотрен пример АГНКС с двумя заправочными колонками разной производительности - для легкового и грузового транспорта. В качестве средства арбитража очереди используется параметр ф, изменение которого позволяет влиять на общую производительность заправочной галереи АГНКС.

Обобщение для п заправочных колонок на АГНКС

Рассмотрим АГНКС с числом заправочных колонок, равным п, и площадкой для очереди числом 5. Предположим, что все п заправочных колонок работают параллельно, и вероятности их остояний обозначим через р0 , р1 , р2 , р3 ,... , рп. Схема возможных состояний системы и переходов между ними приведена на рис. 4.

С

/(2)Х ^2

Х -- Х х , п+1 ' > Хп+2

Х0 ^2 Х2 X ^х

Рис. 4. Схема возможных состояний системы и переходов между ними

Обозначим состояния каналов обслуживания через Х1 , Х2, Х3,..., Хп, а дополнительно через Хп+1 , Хп+2 , Хп+3 ,..., Х+ , обозначим состояния очереди и введем функцию/(/) распределения потока заявок на канал I.

По аналогии с двухканальной системой составим дифференциальные уравнения для вероятностей состояний. Предположим, что число заявок 5, стоящих в очереди, в наших условиях может быть сколь угодно большим, тогда система уравнений будет иметь вид:

dp.it) _ Л

Л

ФогСО л

¿Ры (О

л

)

ж ¡=1

ж ¡=1 Ф„+, (О

(О

¡=1

= / (1) 1р0 (г) - (ц 01 + / (1) X) Рт (г) + Ц01 Р„+1 (г) = /№„(?) - (|102 + /(2)Х)^02(Г) + Ц02р„+1(Г)

= / (и)^Ро (г) - <А„ + / («М Ро„ (Г) + Н-оЛ+1 (Г)

и и и и

^Е / (') р<>1 с) - (Е / (о*-+Е^) р„л)+Е^д,+2 (?)

/=1 /=1 1=1 /=1

п п п п

^Е / (о - (Е / +Е^) РпЛ)+Е^оа+3 )

¡=1 1=1 ¡=1 1=1

: 0>„+^) - (£/('> + Е ^ (Г) + Е ^оА+,+1«

1=1 ¡=1

(13)

/ТА

Введем в (13) вместо суммы производительностей «приведенную» сумму производительностей каналов обслуживания:

п

!>о,- =^пр- (14)

г=\

Сумма интенсивности потока, распределенная между каналами с помощью функции распределения нагрузки, равна полной интенсивности:

Е А/ (0 = А. (15)

i=l

Далее преобразовав (13), получим вероятности состояния в установившемся режиме в виде системы алгебраических уравнений:

п

X (о<) ~ХРо = 0

1=1

/(1) V» - (Ь)1 + f (!)Ро1 + М-01 Рп+1 = 0 /(2)Ър0 - (ц02 + /(2)Х)р02 + ц02рп+1 = 0

/(п)Хр0 - (ц0и + /(п)Х)р0п + ц0пРп+1 = 0 [, (16)

п

Ра - + ^пр) Рп+1 Рп+2 = 0

1=1

„-Х - № + М Рп+* + Цпр Рп+,+1 = 0

ОТ

X Рок = 1

к=1

Разрешив ее относительно неизвестных р0, р1, р2, р3,..., р0п , рп+1, ..., рп для любого к < п получим

Рок =

f {к р0 + рп+1 ц0 к

(17)

Цо к + /

Полученные соотношения позволяют проводить расчет необходимого числа заправочных колонок по типам с учетом неравномерности прихода на заправку грузового транспорта, автобусов и легковых автомобилей. Графики распределения численности приходящих на заправку транспортных средств по времени суток приведены в работах [6, 7]. Проведенные работы по анализу неравномерности объемов заправки транспорта природным газом и необходимого уровня обеспечения надежности снабжения потребителей газовым моторным топливом [8] показали, что следует рассчитывать не средние значения заявок в очереди, как обычно делается для систем массового обслуживания, а максимальные (пиковые) значения. Расчет числа каналов обслуживания разной мощности по предельным значениям числа заявок (транспортных средств) приводит к дополнительным финансовым затратам на оборудование станции, но позволяет покрывать перспективную потребность и создавать запас по надежности заправки транспорта.

Данный подход также может быть распространен на расчет необходимого

числа компрессоров, аккумуляторов, систем осушки и подготовки природного

газа. Процесс расчета и математическая модель при этом остаются неизмен- 31

ными, коррекции подлежат только исходные данные.

_ Литература

1. Вентцель Е.С. Исследование операций. - М.: Сов. Радио, 1972.

2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1962. -564 с.

3. Олзоева С.И. Моделирование и расчет распределенных информационных систем. -Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2004. - 67 с.

4. Кофман А., Крюон Р. Массовое обслуживание. Теория и приложения. - М.: Мир, 1965. - 302 с.

5. Евстифеев А.А. Математическая модель анализа потребности в КПГ и СПГ на вновь газифицируемых территориях // Газовая промышленность. - 2013. - № 01 (685). - С. 87-88.

6. Евстифеев А.А. Модель прогнозирования потребления газового моторного топлива в населенном пункте // Транспорт на альтернативном топливе. - 2013. -№ 3 (33). - С. 43-47.

7. Евстифеев А.А. Расчет надежности системы поставок газового моторного топлива потребителям // Транспорт на альтернативном топливе. - 2013. - № 4 (34). - С. 61-65.

8. Евстифеев А.А., Заева М.А., Хетагуров Я.А. Применение математического моделирования при испытаниях и отработке сложных технических систем // Вестник Нац. исслед. ядерного ун-та МИФИ. - 2013. - Т. 2. - № 1. - С. 115.

Новости отрасли

W///////////////////////M

Совещание в «Газпром трансгаз Ставрополь»

Компания РариТЭК - дистрибьютор ОАО «КАМАЗ» - приняла участие в семинаре-совещании, который состоялся 19-22 ноября 2013 г. и одна из тем которого была посвящена автотехнике КАМАЗ, использующей в качестве моторного топлива природный газ.

Перед многочисленными специалистами и руководителями «Газпром транс-газ Ставрополь» выступил генеральный директор «РариТЭК» Рафаэль Батыршин. В своем докладе представитель КАМАЗа раскрыл возможности использования природного газа в качестве моторного топлива на серийно выпускаемых автомобилях КАМАЗ, рассказал об их сервисном обслуживании, обучении персонала и перспективах сотрудничества. Предложенный комплексный подход КАМАЗа подразумевает активную деятельность всех участников газового рынка: поставщиков КПГ - производителей автотехники - администраций районов.

По итогам совещания стороны отметили перспективность в сотрудничестве по использованию автотехники КАМАЗ, в том числе использующей в качестве моторного топлива КПГ (метан).